ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΟΥΜΕΝΗΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΟΥΜΕΝΗΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Φώτης Ν. Κουμπουλής Νικόλαος Δ. Κούβακας και Ιωάννης Σταθαράς Τμήμα Αυτοματισμού ΤΕΙ Χαλκίδας 34 4 Ψαχνά Ευβοίας Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕΙ Χαλκίδας 34 4 Ψαχνά Ευβοίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται το πλήρες μαθηματικό μοντέλο ενός τροχοφόρου οχήματος με ενεργητικές και παθητικές αναρτήσεις στο οποίο είναι τοποθετημένος ένας καρτεσιανός ρομποτικός βραχίονας το εργαλείο τελικής δράσης του οποίου βρίσκεται σε συνεχή επαφή με κατακόρυφο τοίχο. Για το σύστημα σχεδιάζεται μη γραμμικός ελεγκτής για τον έλεγχο της εξόδου του συστήματος δηλαδή της ταχύτητας του εργαλείου αντισταθμίζοντας τις δυνάμεις αντίδρασης από την επαφή του εργαλείου με τον τοίχο. Ο ελεγκτής ανατροφοδοτεί μόνο την έξοδο. Η καλή απόδοση του ελεγκτή αναδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων ενώ ταυτόχρονα διερευνάται η ευαισθησία του προτεινόμενου σχήματος σε σχέση με την παρουσία θορύβου στην μέτρηση της εξόδου. Λέξεις κλειδιά: Κινούμενα ρομπότ Ρομποτική κίνηση με περιορισμούς Μη γραμμικός έλεγχος Γενικευμένα ουδέτερα συστήματα με χρονικές καθυστερήσεις ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα κινούμενα ρομποτικά οχήματα έχουν ευρεία χρήση σε βιομηχανικές εφαρμογές όπως η μεταφορά φορτίων με διάφορα σχήματα και κατανομές μάζας (zamzi e al 6 zamzi e al 7/8) η εκτέλεση σύνθετων εργασιών π.χ. κοπή συγκόλληση βαφή. Ιδιαίτερο βάρος έχει δοθεί στην μοντελοποίηση οχημάτων που φέρουν ρομποτικούς βραχίονες (Cheng and sai 3 Chung and Velinsky 999 Gao e al 6 an e al 8 Wang e al 6). Ο στόχος του σχεδιασμού ελέγχου στις εργασίες αυτές είναι η ανάπτυξη κατάλληλων εργαλείων σχεδιασμού τροχιάς που να επιτρέπουν την επιτυχή ολοκλήρωση των ρομποτικών εργασιών. Ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα που εμφανίζονται στις εφαρμογές αυτές είναι η ύπαρξη τριβής μεταξύ των επιφανειών που βρίσκονται σε επαφή. Η τριβή περιορίζει την ακρίβεια μέτρησης και ελέγχου της θέσης των εργαλείων τελικής δράσης ενώ σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να οδηγήσει σε αστάθεια. Για την αντιμετώπιση αυτών των ζητημάτων έχει αναπτυχθεί στην βιβλιογραφία μιας σειρά τεχνικών που στοχεύουν στην αντιστάθμιση της επίδρασής της τριβής βλέπε (Asrom and Canudas De Wi 8 Canudas De Wi e al 995) και τις αναφορές τους. Στην παρούσα εργασία μελετάται το πρόβλημα της επεξεργασίας επιφανειών (χάραξη λείανση γραφή ή βαφή) με ρομποτικό βραχίονα εποχούμενο σε τροχοφόρο όχημα με παθητικές και ενεργητικές αναρτήσεις. Οι παθητικές αναρτήσεις αλλά κυρίως οι ενεργητικές συνεισφέρουν στην απόσβεση των διαταραχών που προκύπτουν από την επαφή με την επιφάνεια και αντισταθμίζουν «δομικά» φαινόμενα αστάθειας και κρουστικές συμπεριφορές. Το πρόβλημα παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και αναμένεται να έχει μεγάλο εύρος εφαρμογών. Στην παρούσα εργασία μελετάται η ειδική περίπτωση τροχοφόρου οχήματος που φέρει καρτεσιανό βραχίονα. Το μοντέλο του τροχοφόρου οχήματος είναι ανάλογο με αυτά που παρουσιάστηκαν στις εργασίες (zamzi e al 6 zamzi e al 7/8). Το εργαλείο τελικής δράσης θεωρείται ότι βρίσκεται σε επαφή με κατακόρυφο τοίχο επί του οποίου εκτελεί ευθύγραμμη εργασία π.χ. βαφή ή χάραξη. Οι ενεργητικές αναρτήσεις χρησιμοποιούν την τεχνική των καθυστερημένων αντηχείων με καθυστερημένη ανατροφοδότηση επιτάχυνσης (Olga e al 996 Renzulli e al 999) Ο συγκεκριμένος τύπος αναρτήσεων εξασφαλίζει απόσβεση διαταραχών σε μεγάλο εύρος συχνοτήτων. Όσον αφορά το μοντέλο της τριβής χρησιμοποιείται ένα μοντέλο τριών διαφορικών εξισώσεων που ενοποιεί τα τρία βασικά φαινόμενα: στατική τριβή ταλάντωση τριβή ολίσθησης (Asrom and Canudas De Wi 8 Olsson e al 998 Canudas De Wi a al 995). Είναι σημαντικό να σημειωθεί πως το μη γραμμικό μοντέλο της συνολικής διάταξης ανήκει στην κατηγορία των μη γραμμικών γενικευμένων ουδέτερων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το οι περιγραφές ρομποτικών βραχιόνων σε επαφή με εξωτερικές επιφάνειες (Kazerooni

and Kim 989 Khayai e al 6 Krishnan and MClamroh 994 Mills and Goldenberg 989) όσο και των ρομποτικών συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις (Koumboulis e al 9 Κουμπουλής και Κούβακας 9) είναι ιδιαίτερα διαδεδομένες στη ρομποτική η συνδυασμένη μαθηματική περιγραφή που προκύπτει από την παρούσα διάταξη δεν έχει μέχρι σήμερα μελετηθεί. Ο στόχος του σχεδιασμού είναι η ακολούθηση επιθυμητής τροχιάς για το εργαλείο τελικής δράσης δια μέσω του ελέγχου της ταχύτητάς του. Σχεδιάζεται ένας μη γραμμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου για τον έλεγχο της ταχύτητας του εργαλείου ο οποίος κατορθώνει να αντισταθμίσει τις δυνάμεις αντίδρασης από την επαφή του εργαλείου με τον τοίχο. Η απόδοση του ελεγκτή αναδεικνύεται δια μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Επιπλέον διερευνάται η ευαισθησία του προτεινόμενου ελεγκτή σε σχέση με την παρουσία θορύβου στην μέτρηση της εξόδου. Ο θόρυβος αυτός οφείλεται κυρίως στην μεταβολή της θέσης της βάσης (σασί) του οχήματος από το έδαφος. Η επιλογή της παρούσας ρομποτικής διάταξης είναι αντιπροσωπευτική με την έννοια ότι πιο σύνθετες διατάξεις (άλλοι τύποι βραχιόνων ή κοίλες ή κυρτές επιφάνειες εργασίας) μπορούν να αντιστοιχηθούν σε μαθηματικές περιγραφές που είναι παρόμοιες της περιγραφής της παρούσας διάταξης μετά την εφαρμογή κατάλληλων μετασχηματισμών χωρικών συντεταγμένων και ταυτόχρονη εφαρμογή ελεγκτών αντίστροφων δυναμικών που οδηγούν σε διαγώνιες ή τριγωνικές δομές του συστήματος κλειστού βρόχου. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Έστω ένα αυτοκινούμενο όχημα με παθητικές και ενεργητικές αναρτήσεις καθυστερημένης ανατροφοδότησης επιτάχυνσης πάνω στο οποίο είναι τοποθετημένος ένας καρτεσιανός ρομποτικός βραχίονας δύο αρθρώσεων (βλέπε Σχήμα ). Το όχημα βρίσκεται μπροστά από έναν κατακόρυφο τοίχο με το εργαλείο τελικής δράσης να βρίσκεται σε επαφή με αυτόν. Η μαθηματική περιγραφή του συστήματος είναι της μορφής Ex E x f x u () όπου x x και όπου 3 4 5 6 7 8 x x x x x x x x x u u u r r q xa xb q q xa xb Ειδικότερα ισχύει ότι 8 8 E στοιχεία των πινάκων E και ακολούθως: 8 8 E και f xu f j xu j 8. Τα μη μηδενικά E καθώς και του διανύσματος στήλη f xu υπολογίζονται ως e e e e 33 m 44 ml ml e m 45 l ml e 48 e m 54 l ml e m 55 l ml e 58 e e 66 e 77 e 88 e g 47 e g 66 m e g 77 m f xu x4 f xu x6 f xu x f x u g m m m k k - k k x 3 7 4 l l - - - k x x3 x4 x5 x6 x7 x8 g m m u x x f x u x 5 l l 4 5 8 f x u 6 g k x x / m x6 x4 / m f x u 7 g k x x3 / m x7 x4 / m f x u x x x x x x x 8 4 5 8 4 5 4 5 g 46 v u s ex v v s Στην μαθηματική περιγραφή () οι τρεις πρώτες εξισώσεις αποτελούν ορισμούς των ταχυτήτων των μεταβλητών του συστήματος. Η τέταρτη και η πέμπτη εξίσωση συνιστούν τις δυναμικές εξισώσεις του οχήματος. Η έκτη και η έβδομη εξίσωση είναι οι εξισώσεις των ενεργητικών αναρτήσεων. Σε ότι αφορά τον προσδιορισμό της δύναμης τριβής χρησιμοποιείται το μοντέλο LuGre (Asrom and Canudas De Wi 8 Olsson e al 998 Canudas De Wi e al 995). Από την όγδοη εξίσωση της μαθηματικής περιγραφής () προσδιορίζεται η εσωτερική μεταβλητή του μαθηματικού μοντέλου τριβής. Η επίδραση

των παθητικών αναρτήσεων έχει ενσωματωθεί στην τρίτη εξίσωση της μαθηματικής περιγραφής του συστήματος. Αξίζει να σημειωθεί πως η κάθετη στον τοίχο δύναμη αντίδρασης είναι ίση με την δεύτερη ενεργοποιήσιμη είσοδο του συστήματος. Ως μεταβλητή απόδοσης για το παραπάνω σύστημα λαμβάνεται η ταχύτητα του τελικού σημείου δράσης: y x4 x5 () Στο Σχήμα απεικονίζεται αφαιρετικά η q 3 μελετώμενη ρομποτική διάταξη. Σημειώνεται ότι q είναι η κάθετη απόκλιση της x b m q m l πλατφόρμας του οχήματος από το έδαφος (οδόστρωμα) q είναι η απόκλιση του πρώτου συνδέσμου του ρομποτικού βραχίονα από την πλατφόρμα του οχήματος q 3 είναι η απόκλιση του τελικού σημείου δράσης του βραχίονα από τον κατακόρυφο άξονα στήριξης x και a x είναι οι αποκλίσεις των ελατηρίων των ενεργητικών αναρτήσεων από το ελεύθερο μήκος τους είναι εσωτερική Σχήμα : Σκαρίφημα οχήματος μεταβλητή του μαθηματικού μοντέλου της τριβής r και r είναι οι ασκούμενες δυνάμεις από τους ενεργοποιητές του ρομποτικού βραχίονα. Οι δύο ενεργητικές αναρτήσεις θεωρούνται κατασκευαστικά όμοιες δηλαδή έχουν ίδια μάζα m ίδια σταθερά ελατηρίου k και ίδιο συντελεστή απόσβεσης. Επιπλέον έχουν ίδιο κέρδος g και ίδια καθυστέρηση στις ανατροφοδοτήσεις των επιταχύνσεών τους. Οι παθητικές αναρτήσεις θεωρούνται επίσης όμοιες δηλαδή έχουν ίδια σταθερά k ίδιο συντελεστή απόσβεσης και ίδιο ελεύθερο μήκος. m l m l και m είναι οι μάζες του πρώτου συνδέσμου του δεύτερου συνδέσμου και του οχήματος αντίστοιχα ενώ με s και συμβολίζονται οι συντελεστές στατικής τριβής και τριβής Coulomb αντίστοιχα. και είναι οι συντελεστές ακαμψίας μικροαπόσβεσης και ιξώδους τριβής του εργαλείου στον τοίχο αντίστοιχα. v s είναι η ταχύτητα Sribek και είναι παράμετρος του μοντέλου τις τριβής. Τέλος με g συμβολίζεται η επιτάχυνσης της βαρύτητας και με l b η απόσταση του άξονα συμμετρίας του οχήματος από τον κατακόρυφο τοίχο. Αξίζει να σημειωθεί ότι στο παραπάνω μοντέλο και οι δύο ρόδες του οχήματος θεωρούνται ακίνητες και επομένως το όχημα δεν μπορεί να πάρει κλίση αλλά μόνο να μετακινηθεί κατακόρυφα. Επιπλέον ότι το εργαλείο τελικής δράσης βρίσκεται σε συνεχή επαφή με τον τοίχο ( q 3 l b ). Έτσι αποφεύγεται η παρουσίαση αλγεβρικών περιορισμών που μπορεί σε ειδικές συνθήκες να αναδείξουν «κρουστικά» χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς της διάταξης. 3 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΚΤΗ q m x a m l m l b Στην ενότητα αυτή θα σχεδιαστεί μη γραμμικός ελεγκτής για τον έλεγχο της ταχύτητας του εργαλείου τελικής δράσης του ρομποτικού βραχίονα που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα (βλέπε Σχήμα ). Χρησιμοποιώντας την μαθηματική περιγραφή του συστήματος () και εκτελώντας εκτενείς αλγεβρικούς υπολογισμούς προτείνεται ο ακόλουθος νόμος ελέγχου τύπου αντιστρόφων δυναμικών u ml ml w ml ml x4 x5 ml ml g w (3α) u ex vs x4 x5 x4 x5 / ex vs x4 x5 s όπου και w είναι η εξωτερική εντολή. Μπορεί πολύ εύκολα να παρατηρηθεί ότι το μόνο μετρήσιμο μέγεθος που χρησιμοποιεί ο ελεγκτής είναι η ταχύτητα του εργαλείου τελικής δράσης ή ισοδύναμα το άθροισμα της ταχύτητας της πλατφόρμας του οχήματος και της πρώτης άρθρωσης του ρομπότ γεγονός το οποίο αποτελεί σημαντικό πλεονέκτημα για τον ελεγκτή. Εφαρμόζοντας τον ελεγκτή (3) στην μαθηματική περιγραφή () προκύπτει το ακόλουθο σύστημα κλειστού βρόχου b (3β)

x f x x w (4) όπου f x x w f x x w j j 8 και όπου f x x w f x x w x f x x w x4 x6 3 7 w f4 x x g m ml ml k x k x x k x x3 x4 x4 x5 x4 x6 x4 x7 x8 gm m m m w m f5 x x w l l l l l ml x4 x5 x 4 x5 x8 ml ml gw f x x w k x x / m 6 6 4 / f u gk x x3 m x 7 7 4 x x w x g x x m f x x 8 4 5 8 x / x / m Εκτελώντας απλούς αλγεβρικούς υπολογισμούς προκύπτει ότι η εξίσωση της μεταβλητής απόδοσης είναι της μορφής y w y w από όπου προκύπτει ότι με κατάλληλη επιλογή της παραμέτρου η εξίσωση σφάλματος είναι ευσταθής οπότε η έξοδος τείνει ασυμπτωτικά (όσο γρήγορα επιθυμούμε) στην εξωτερική εντολή. Η απαίτηση αυτή εξασφαλίζεται με κατάλληλο. Για τη μελέτη της ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου υπολογίζεται το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της γραμμικής προσέγγισης του συστήματος κλειστού βρόχου: s s s 3 s e s e s e s (5) όπου s s kk k k ss k m m k m g s s e e s s k s m g s 3s s s. s e e s m m m g m m g s 3 4 s e e Μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (5) δεν εξαρτάται από τις ονομαστικές τιμές γύρω από τις οποίες υπολογίζεται η γραμμική προσέγγιση. Για να είναι το γραμμικό σύστημα ευσταθές αρκεί και πρέπει κάθε ένα από τα πολυώνυμα και 3 να είναι ευσταθές. Σε ότι αφορά το πολυώνυμο 3 λαμβάνοντας υπόψη ότι σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο καθώς επίσης ότι και (Asrom and Canudas De Wi 8 Olsson e al 998 Canudas De Wi e al 995) προκύπτει ότι αυτό είναι ευσταθές. Σε ότι αφορά το πολυώνυμο παρατηρείται ότι αυτό είναι το χαρακτηριστικό του συστήματος της ενεργητικής ανάρτησης. Συνεπώς λαμβάνοντας υπόψη την θεωρία των καθυστερημένων αντηχείων (Olga e al 996 Renzulli e al 999) προκύπτει ότι οι παράμετροί του επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε αυτό να είναι οριακά ευσταθές. Σε ότι αφορά το πολυώνυμο παρατηρείται ότι αυτό παραμένει ευσταθές για την πλειοψηφία των τιμών των παραμέτρων του μοντέλου που παρουσιάζονται στην βιβλιογραφία (βλ. ενδεικτικές τιμές στην Ενότητα 4). Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις προκύπτει ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές. 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Στην παρούσα ενότητα θα μελετηθεί η εφαρμογή της ρομποτικής διάταξης στη χάραξη ενός κατακόρυφου ευθύγραμμου τμήματος σε κατακόρυφη επίπεδη επιφάνεια. Ταυτόχρονα οι δυνάμεις επαφής και οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι πρέπει να διατηρούνται σε αποδεκτά επίπεδα. Για ελεγχθεί η απόδοση του ελεγκτή θεωρήστε το μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος () καθώς και τον ελεγκτή (3). m.77 kgr Χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες τιμές των παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου: 6 6 k 3.49 N m 8.8kgr se.m g.833kgr 387.487 se k N m kgr se m m m kgr.74 l.5 kgr l kgr s

4.57 3.9 N m 395Nse m Nsem vs.m se g 9.8 m se l.5m b Σε ότι αφορά τις αρχικές συνθήκες του συστήματος θεωρούμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία και ακινησία. Συνεπώς επιλέγοντας u 4.75N και u N προκύπτει ότι οι ονομαστικές τιμές των μεταβλητών κατάστασης είναι x.486m x.584m x3.584m x4 mse x5 mse x6 mse x7 mse x8 m. Σε ότι αφορά την επιθυμητή ταχύτητα του εργαλείου τελικής δράσης αυτή επιλέγεται της 4 μορφής w.e e m se ενώ ο βαθμός ελευθερίας του ελεγκτή επιλέγεται.. Με βάση τις παραπάνω τιμές παραμέτρων και επιλογές εκτελείται προσομοίωση του συστήματος κλειστού βρόχου (βλ. Σχήματα -7). Για να παρουσιαστούν τα πλεονεκτήματα του προτεινόμενου ελεγκτή θεωρείται ότι υπάρχει 3% (επί τις μέγιστης τιμής της εξωτερικής εντολής) τυχαίο σφάλμα στην μέτρηση της ταχύτητας του τελικού σημείου δράσης. Από τα Σχήματα έως 7 όπου παρουσιάζονται οι κυριότερες μεταβλητές του συστήματος προκύπτει ότι η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι ικανοποιητική. Ιδιαίτερα για την μεταβλητή απόδοσης (βλ. Σχήμα 6) μπορεί να παρατηρηθεί ότι η έξοδος είναι οπτικά όμοια με την επιθυμητή εξωτερική εντολή (διακεκομμένη γραμμή) παρά την ύπαρξη του σφάλματος στην μέτρηση. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές του συστήματος και ιδιαίτερα για τις ενεργοποιήσιμες εισόδους (βλ. Σχήμα 7) καθώς και για την δύναμη τριβής παρατηρείται ότι παραμένουν προφανώς σε σχέση με τις δυνατότητες των ενεργοποιητών σε αποδεκτά επίπεδα..4.35 4 3 x ém.3.5 F én 3 4 5 Σχήμα : Απόκριση μεταβλητής x 3 4 5 Σχήμα 5: Απόκριση δύναμης τριβής....8 x émse 4. -. -. 3 4 5 Σχήμα 3: Απόκριση μεταβλητής x 4 y é êmse ë.6.4.. 3 4 5 Σχήμα 6: Απόκριση μεταβλητής απόδοσης y x émse 5...8.6.4.. 3 4 5 Σχήμα 4: Απόκριση μεταβλητής x 5 u u é N 7 6 5 4 3 3 4 5 Σχήμα 7: Απόκριση εισόδων ( u - συν u -διακ)

5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάστηκε το πλήρες μαθηματικό ενός τροχοφόρου οχήματος με ενεργητικές και παθητικές αναρτήσεις στο οποίο είναι τοποθετημένος ένας καρτεσιανός ρομποτικός βραχίονας το εργαλείο τελικής δράσης του οποίου βρίσκεται σε συνεχή επαφή με κατακόρυφο τοίχο. Για το σύστημα σχεδιάστηκε μη γραμμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου για τον έλεγχο της ταχύτητας του εργαλείου αντισταθμίζοντας τις δυνάμεις αντίδρασης από την επαφή του εργαλείου με τον τοίχο. Η απόδοση του ελεγκτή διερευνήθηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων ενώ επίσης διερευνήθηκε η ευαισθησία του σχήματος σε σχέση με την παρουσία θορύβου στην μέτρηση της εξόδου. Ακολουθώντας τα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας η μελλοντική έρευνα θα κατευθυνθεί σε πιο σύνθετες ρομποτικές διατάξεις και μεγαλύτερη ποικιλία επιφανειών και εργασιών. Επιπλέον η μελέτη του παρόντος προβλήματος με τεχνικές ασφαλούς μεταγωγής είναι υπό διερεύνηση. 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Asrom K.J. and Canudas De Wi C. (8) Revisiing he LuGre Model: Sik-sli moion and rae deendene IEEE Conrol Sysems Magazine. -4 Canudas De Wi C. Olsson H. Asrom K.J. and Lishinsky P. (995) A New Model for Conrol of Sysems wih Friion IEEE ransaions on Auomai Conrol vol. 4 no. 3. 49-45 Cheng M.P. and sai C.C. (3) Dynami Modeling an raking Conrol of a Nonholonomi Wheeled Mobile Maniulaor wih wo Roboi Arms Proeedings of he 4nd IEEE Conferene on Deision and Conrol Hawaii USA Chung J.H and Velinsky S.A. (999) Robus Conrol of a Mobile Maniulaor Dynami Modeling Ariah Proeedings of he Amerian Conrol Conferene California USA Gao C. Zhang M. and Sun L. (6) Moion Planning And Coordinaed Conrol For Mobile Maniulaors 9h Inernaional Conferene on Conrol Auomaion Robois and Vision Singaore Kazerooni H. and Kim S. (989) Cona insabiliy of he dire drive robo when onsrained by a rigid environmen Proeedings of he ASME Winer Annual Meeing San Franiso USA Khayai K. Bigras P. and Dessain L.A. (6) A mulisage osiion/fore onrol for onsrained roboi sysems wih friion: Join-sae deomosiion linearizaion and muliobjeive observer/onroller synhesis using LMI formalism IEEE ransaions on Indusrial Eleronis vol. 53 no. 5. 698-7 Koumboulis F.N. Kouvakas N.D. and Paraskevooulos P.N. (9) Veloiy Conrol and Vibraion Aenuaion for a Car-Pendulum Sysem wih Delayed Resonaors 8 h IEEE Inernaional Conferene on Conrol Aliaions Sain Peersburg Russia Krishnan H. and MClamroh N.H. (994) raking in nonlinear differenial-algebrai onrol sysems wih aliaions o onsrained robo sysems Auomaia vol. 3 no.. 885-897 Mills J.K and Goldenberg A.A. (989) Fore and osiion onrol of maniulaors during onsrained moion asks IEEE ransaions on Robois and Auomaion vol. 5 no.. 3-46 Olga N. Elmali H. and Vijayan S. (996) Inroduion o he dual frequeny delayed onaor Journal of Sound and Vibraion vol. 89 no. 3. 355-367 Olsson H. Asrom K.J. Canudas De Wi C. Gafver M. and Lishinsky P. (998) Friion models and friion omensaion Euroean Journal of Conrol vol. 4. 76-95 Renzulli M.E. Ghosh-Roy R. and Olga N. (999) Robus Conrol of he Delayed Resonaor Vibraion Absorber IEEE ransaions on Conrol Sysems ehnology vol.7 no. 6. 683-69 an X.M. Zhao D. Yi J. and Xu D. (8) Adaive Hybrid Conrol for Omnidireional Mobile Maniulaors Using Neural Nework 8 Amerian Conrol Conferene Seale USA zamzi M.P. Koumboulis F.N. Kouvakas N.D. and Panagioakis G.E. (6) A simulaed annealing onroller for sloshing susion in liquid ransfer wih delayed onaors 4 h IEEE Medierranean Conferene on Conrol and Auomaion Anona Ialy zamzi M.P. Koumboulis F.N. Kouvakas N.D. and Skareis M.G. (7/8) Robusness of a Robo Conrol Sheme for Liquid ransfer 6 h WSEAS Inernaional Conferene Ciruis Sysems Eleronis Conrol and Signal Proessing (CSECS'7) Cairo Egy. 33-38/ WSEAS ransaions on Sysems vol. 7 no.. 359-37 Wang Z.P. Ge S.S. and Lee.. (6) Moion/Fore Conrol of Unerain Consrained Nonholonimi Mobile Maniulaor Using Neural Nework Aroximaion Proeedings of he 6 IEEE Inernaional Symosium on Inelligen Munih Germany Κουμπουλής Φ. και Κούβακας Ν. (9) Μεταευρετικός Έλεγχος για Όχημα με Ενεργητικές Αναρτήσεις που Μεταφέρει Υγρό ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής Αθήνα Ελλάς