ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων echnology nd omputer rchitecture
Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές Σήματος Στην ηλεκτρονική μας ενδιαφέρουν πηγές που παράγουν χρονικά εξαρτημένες τάσεις και ρεύματα. Μια σημαντική κατηγορία είναι οι πηγές περιοδικών σημάτων και πιο ειδικά οι ημιτονοειδής πηγές. Τα ημιτονοειδή σήματα χαρακτηρίζονται από την περίοδο Τ (ή ισοδύναμα τη συχνότητα f), το πλάτος Α και τη φάση φ. x(t) cosωt φ f = φυσική συχνότητα = /Τ σε Hertz (Hz) ω = κυκλική συχνότητα = πf σε rd/sec φ = φάση =π Δt/Τ σε rd φ = 36 Δt/Τ σε deg υ(t) i(t) υ(t) ~ συνημίτονο αναφοράς Σύμβολα Χρονικά Εξαρτημένων Πηγών Ημιτονοειδής Πηγή 3 Μέση και M Τιμή Με στόχο την έκφραση της ισχύος μιας χρονικά εξαρτώμενης πηγής σήματοςεισάγουμετιςακόλουεςέννοιες: Μέση ή D τιμή (vergevlue) x(t) x(t)dt o Ημέσητιμήημιτονικούσήματοςx(t)=cos(ωt) είναι μηδέν. Τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής του τετραγώνου (root men squre M vlue) xm x (t) dt o Η M τιμή ημιτονικού σήματος x(t)=cos(ωt) είναι Α/=.77Α. 4
Φυσική Σημασία της M Τιμής ΗέννοιατηςM τιμήςμιαςχρονικάεξαρτώμενης() πηγής μας βοηάει να απαντήσουμε στο ερώτημα: Πόση πρέπει να είναι η τιμή του ρεύματος (ενεργός τιμή eff ) μιας D πηγής ώστε η μέση τιμή της ισχύος που καταναλώνεται σε μια αντίσταση να είναι ίση με τη μέση ισχύ η οποία καταναλώνεται στην ίδια αντίσταση από την χρονικά εξαρτώμενη πηγή; P(t) i c (t)dt eff eff ic (t)dt Η M ή ενεργός τιμή μιας χρονικά εξαρτώμενης () πηγής είναι η σταερή (D) τιμή που προκαλεί την ίδια μέση κατανάλωση ισχύος σε μια αντίσταση μεαυτή που προκαλεί η πηγή. M eff eff υ c (t) ~ i c (t) 5 Ταυτότητα του Euler Χρησιμοποιούμε την αναπαράσταση των ημιτονοειδών σημάτων με μιγαδικούς αριμούς, ώστε στην ανάλυση κυκλωμάτων με πυκνωτές και πηνία να μην απαιτείται η επίλυση διαφορικών εξισώσεων! Η ταυτότητα του Euler ορίζει το μιγαδικό εκετικό ως ακολούως: sini m j cos j e e j cos jsin Το πλάτος (μέτρο) για το μιγαδικό εκετικό είναι: e j cos jsin cos sin Η γωνία (όρισμα) για το μιγαδικό εκετικό είναι: j j e rge 6 3
Φάσορες Ι Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler ένα ημιτονοειδές σήμα μπορεί να γραφεί ως ακολούως: cos(ωt ) e j ωt jωt j e ee e καώς ισχύει: e jωt e ecos(ωt ) jsin(ωt ) cos(ωt ) Ο μιγαδικός μγ ςφάσορας (complex( p phsor) ) που αντιστοιχεί στο ημιτονοειδές σήμα ορίζεται ως ο μιγαδικός αριμός e j, δηλ.: e j cos(ωt ) 7 Φάσορες ΙΙ Συνεπώς, ένα ημιτονοειδές σήμα παριστάνεται με δύο τρόπους: στη μορφή της αναπαράστασης χρόνου (time domin form) π.χ. υ(t) cos(ωt ) e j ωt jωt j e e e e στη μορφή της περιοχής συχνοτήτων (frequency domin) π.χ. (jω) e Προσοχή: στην αναπαράσταση στη μορφή της περιοχής συχνοτήτων (ή φασόρων) ) οόρος e jωt υπονοείται! j e j cos(ωt ) 8 4
Υπέρεση Σημάτων Στο κύκλωμα του σχήματος, δύο ημιτονοειδείς πηγές ρεύματος σε παράλληλη συνδεσμολογία οδηγούν ένα φορτίο. Ισχύει στο πεδίο του χρόνου: i(t) cos(ωt ) i(t) cos(ωt ) και στο πεδίο των συχνοτήτων: K i (t) i (t) i (t) cos(ω t ) cos(ω t ) i j jω t j e e j jω t j e e (jω) e e (jω) e e (jω) (jω) (jω) e i (t) e j j i (t) i (t) Φορτίο 9 Σύνετη Αντίσταση Εμπέδηση Οι αντιστάσεις, οι πυκνωτές και τα πηνία στα κυκλώματα μπορούν να περιγραφούν κάτω από το πρίσμα των φασόρων ως μια μιγαδική αντίσταση που ονομάζεται σύνετη αντίσταση ή εμπέδηση (impednce). Ηέννοιατης σύνετης αντίστασης δηλώνει την συμπεριφορά ρ των πυκνωτών και των πηνίων ως αντιστάσεις των οποίων η τιμή εξαρτάται από τη συχνότητα της ημιτονοειδούς διέγερσης. Η σύνετη αντίσταση δεν είναι φάσορας είναι ένας απλός μιγαδικός αριμός. Υπό αυτή την εώρηση, τα εωρήματα και οι τεχνικές που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα επεκτείνονται και στα κυκλώματα. i (t) () υ (t) cos(ωt) (jω) υ (t) ~ υ (t) ή υ (t) ή υ (t) (jω) ~ (jω) 5
Αντίσταση m Αντίσταση Πυκνωτής Πηνίο υ(t) i(t) cos(ωt) e (jω) (jω) (jω) (jω) (jω) Σύνετη Αντίσταση Ωμικής Αντίστασης Πυκνωτής m π/ dυ(t) d i (t) cos(ωt) dt dt π ωsin(ωt) ωcosωt e (jω) π (jω) ω (jω) (jω) (jω) jω Σύνετη Αντίσταση Πυκνωτή Πηνίο m di (t) υ (t) i(t) υ (t)dt dt i (t) cos(ωt)dt sin(ωt) ω π/ e ω π cosωt (jω) (jω) ω π (jω) (jω) jω (jω) Σύνετη Αντίσταση Πηνίου Ισχύει: j j m jω π/ π/ j ω e Άεργη Αντίσταση jω j π ω ω Η έννοια της σύνετης αντίστασης καίσταται χρήσιμη στην επίλυση προβλημάτων σε κυκλώματα καώς διευκολύνει την εφαρμογή των εωρημάτων (τεχνικών) που παρουσιάστηκαν για κυκλώματα D με τη διαχείριση των κυκλωματικών στοιχείων ως σύνετες αντιστάσεις. Στη γενική μορφή η σύνετη αντίσταση ενός στοιχείου κυκλώματος εκφράζεται ως το άροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού μέρους: Ισχύει : π jω ω j j (jω) jx(ωt) Η ποσότητα Χ ονομάζεται άεργη αντίσταση (rectnce). 6
Παράδειγμα: Σύνετη Αντίσταση Ι Πρόβλημα: Να βρεούν οι σύνετες αντιστάσεις μη ιδανικού πυκνωτή και πηνίου. Λύση: jω (jω) // jω jω jω Μη ιδανικός πυκνωτής (jω) jω Μη ιδανικό πηνίο end 3 Παράδειγμα: Σύνετη Αντίσταση ΙΙ Πρόβλημα: Να βρεεί η σύνετη αντίσταση του σύνετου κυκλώματος, όταν ω= 4 rd/s, =Ω,=μF και =mh. Λύση: j = jω jω (jω) // jω jω jω jω ω oλ (jω) jω jω (jω) jω ω oλ (jω).9 j9.38 Επαγωγική σύνετη αντίσταση end 4 7
Σύνετη Αγωγιμότητα Η σύνετη αγωγιμότητα (dmittnce) Υ ορίζεται ως το αντίστροφο της σύνετης αντίστασης. Όταν Ζ= τότε η σύνετη αγωγιμότητα ισούται με την αγωγιμότητα G(Y=G). Στη γενική περίπτωση ισχύει: Y = G jb όπου ποσότητα Β ονομάζεται επιδεκτικότητα (susceptnce). jx Y jx jx jx Y jx jx X Y Συνεπώς: G X X j X X και B X X 5 Παράδειγμα: Σύνετη Αγωγιμότητα Πρόβλημα: Να βρεούν οι σύνετες αγωγιμότητες μη ιδανικού πυκνωτή και πηνίου. Λύση: (jω) jω Y (jω) jω jω Μη ιδανικός πυκνωτής Μη ιδανικό πηνίο (jω) jω jω Y(jω) jω ω end 6 8
9 Παράδειγμα: Παράδειγμα: Ανάλυση Κόμβων Ανάλυση Κόμβων Πρόβλημα Πρόβλημα: Εκφράστε το ρεύμα της πηγής Ι ως συνάρτηση της συχνότητας με εφαρμογή της μεόδου ανάλυσης φασόρων στο κύκλωμα, αν τα μεγέη της πηγής τάσης, των αντιστάσεων και του πυκνωτή είναι γνωστά. Λύση Λύση: Αναπαριστούμε το κύκλωμα με τη μορφή των i (t) Λύση Λύση: Αναπαριστούμε το κύκλωμα με τη μορφή των φασόρων. Εν συνεχεία, εφαρμόζουμε την ανάλυση κομβικών τάσεων. Υπάρχουν τρεις κόμβοι. // // 3 3 υ (t) i (t) ~ 7 jω jω jω jω = = jω 3 ~ Παράδειγμα: Παράδειγμα: Ανάλυση Κόμβων Ανάλυση Κόμβων jω jω jω jω ω jω ω jω Ισχύει: 8 = = jω 3 ~ ω jω Ισχύει: end
Παράδειγμα: Ανάλυση Απλών Βρόχων Πρόβλημα: Εκφράστε τα ρεύματα Ι (jω) και Ι (jω) ως συνάρτηση της συχνότητας με εφαρμογή της μεόδου ανάλυσης φασόρων στο κύκλωμα, αν τα μεγέη της πηγής τάσης, των αντιστάσεων, του πηνίου και του πυκνωτή είναι γνωστά. Λύση: Αναπαριστούμε το κύκλωμα με τη μορφή των φασόρων. Εν συνεχεία, εφαρμόζουμε την ανάλυση απλών βρόχων. Υπάρχουν δύο απλοί βρόχοι. ~ i (t) i (t) υ (t) βρόχος (jω) (jω) (jω) (jω) βρόχος (jω) (jω) (jω) (jω) ~ Ι (jω) (jω) Ι (jω) (jω) (jω) (jω) 9 Παράδειγμα: Ανάλυση Απλών Βρόχων Μέοδος rmer (jω) (jω) (jω) (jω) (jω) (jω) jω ~ Ι (jω) Ι (jω) (jω) jω
Παράδειγμα: Ανάλυση Απλών Βρόχων Συνεπώς, με αντικατάσταση των τιμών των σύνετων αντιστάσεων προκύπτει: jω jω (jω) jω jω jω jω (jω) (jω) jω jω jω jω jω (jω) jω ~ Ι (jω) Ι (jω) (jω) jω end Ισοδύναμα Κυκλώματα Ζ Εν σειρά σύνετες αντιστάσεις Εν σειρά σύνετες αγωγιμότητες Εν παραλλήλω σύνετες αντιστάσεις Υ Υ Y Y Εν παραλλήλω σύνετες αγωγιμότητες Υ Υ Υ Υ
Θεωρήματα hevenin Norton Τα εωρήματα hevenin και Norton εφαρμόζονταικαι στα δικτυώματα. Για τον υπολογισμό της ισοδύναμης σύνετης αντίστασης κατά hevenin ή Norton σε ένα δίκτυο πραγματοποιούμε τις ίδιες ενέργειες με εκείνες για τα δικτυώματα απλών αντιστάσεων. Συνεπώς, έτουμε όλες της πηγές του κυκλώματος ίσες με μηδέν και υπολογίζουμε ακολούως την ισοδύναμη σύνετη αντίσταση στα τερματικά άκρα του δικτύου. Οι πηγές ρεύματος μηδενίζονται βραχυκυκλώνοντας τα άκρα τους (αντικαίστανται από βραχυκύκλωμα), ενώ οι πηγές ρεύματος μηδενίζονται ανοικτοκυκλώνοντας ένα άκρο τους (αντικαίστανται από ανοικτοκύκλωμα). Ισχύει ότι Ζ =Ζ N. N 3 // 4 Αφαιρούμε τη σύνετη 3 αντίσταση του 3 φορτίου = N 4 και μηδενίζουμε την πηγή τάσης 4 3 Θεωρήματα hevenin Norton Για τον υπολογισμό του ισοδύναμου κυκλώματος κατά hevenin ηισοδύναμη πηγή τάσης είναι η τάση ανοικτού κυκλώματος στα άκρα όπου συνδέεται το φορτίο (όταν δηλ. το φορτίο έχει αφαιρεεί). Για τον υπολογισμό του ισοδύναμου κυκλώματος κατά Norton η ισοδύναμη πηγή ρεύματος είναι το ρεύμα βραχυκυκλώματος μεταξύ των άκρων όπου συνδέεται το φορτίο (όταν δηλ. το φορτίο έχει αντικατασταεί από ένα βραχυκύκλωμα). //( 3 4 ) 3 4 3 4 //( 3 4 ) O N ( ) ( ) 3 4 3 4 3 3 O = = N 4 4 4
Παράδειγμα: Ισοδύναμο hevenin Πρόβλημα: Να βρεεί το ισοδύναμο κύκλωμα κατά hevenin για το κύκλωμα αριστερά των ακροδεκτών,, με δεδομένες τις τιμές των υ, =Ω, και. Λύση: Εμφανίζουμε μ το κύκλωμα με τη χρήση σύνετων αντιστάσεων. Αφαιρούμε το φορτίο Ζ και μηδενίζουμε την πηγή τάσης. Ηαντίστασηhevenin α είναι: // jω jω ω j jω jω ω υ 5 Παράδειγμα: Ισοδύναμο hevenin Για την εύρεση της τάσης hevenin αφαιρούμε το φορτίο Ζ. Το κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα και συνεπώς: Τ = Ισοδύναμο κύκλωμα κατά hevenin end 6 3