ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης Μια σχέση όπου κάθε τιμή μιας μεταβλητής x, αντιστοιχίζεται σε µία µόνο τιμή μιας μεταβλητής στα Μαθηματικά λέγεται συνάρτηση. Τότε λέμε ότι η μεταβλητή εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής x Για παράδειγμα αν x είναι η πλευρά ενός τετραγώνου τότε η σχέση Ε= x που εκφράζει το εμβαδόν του τετραγώνου είναι μια συνάρτηση, δηλαδή το εμβαδόν του τετραγώνου Ε είναι συνάρτηση των τιμών της μεταβλητής x(των τιμών που παίρνει η πλευρά του τετραγώνου) Αν x= τότε E = = Αν x= τότε E = = 4 Αν x=3 τότε E = 3 = 9 κ.τ.λ Πίνακας Τιμών της συνάρτησης Η αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών x και φαίνεται καλύτερα με την βοήθεια ενός πίνακα. Ο πίνακας αυτός ονομάζεται πίνακας τιμών της συνάρτησης. Για παράδειγμα τα ζεύγη των τιμών των μεταβλητών Ε και x του προηγούμενου παραδείγματος παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. x 3 Ε 4 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Οι μισθοί των υπαλλήλων μιας εταιρείας αυξάνονται κατά 0 ο καθένας. Η σχέση που εκφράζει το νέο μισθό ως συνάρτηση του παλιού μισθού x, είναι: α) =0x β) = x + 0 γ) = x 0 δ) =0, x Η σωστή απάντηση είναι το β γιατί αν x είναι ο μισθός του υπαλλήλου με την αύξηση θα γίνει (x+0). Άρα η σχέση που εκφράζει τον νέο μισθό είναι η =x+0. Οι μισθοί των υπαλλήλων μιας εταιρείας αυξάνονται κατά 5%. Η σχέση που εκφράζει το νέο μισθό ως συνάρτηση του παλιού μισθού x είναι:
9 ΜΕΡΟΣ Α -3.- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 α) = x + β) =x+5 γ) =,5x δ) =0,5 x 00 Η σωστή απάντηση είναι το γ γιατί η αύξηση 0,5 x προστίθεται στο μισθό που είναι x και δίνει x+0,5x=,5x. 3. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές x και είναι 00 cm. H σχέση που εκφράζει το μήκος του ως συνάρτηση του x είναι: α) = 00x β) =00+x 00 δ) =00- x γ) = x Η σωστή απάντηση είναι το γ γιατί το εμβαδόν του ορθογωνίου με πλευρές x και είναι Ε=x. ή 00=x.. 4. Δίνεται τετράγωνο πλευράς x. Η σχέση που εκφράζει το εμβαδόν του τετραγώνου ως συνάρτηση του x είναι: α) Ε = x β) Ε = x γ) Ε = x δ) Ε = 4x Η σωστή απάντηση είναι το β γιατί το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά x είναι Ε = x. 5. Να αντιστοιχίσετε τις συναρτήσεις της στήλης Α του παρακάτω πίνακα µε τον πίνακα τιμών της στήλης Β. (Στη στήλη Β ένας πίνακας τιμών περισσεύει.) ΣΤΗΛΗ Α α) =x+ β) =x + γ) =-x i) ii) iii) iv) ΣΤΗΛΗ Β x -3-0 0 5 x -3-0 -5-3 5 x -3-0 4 0 - x -3-0 4 0 Το α αντιστοιχίζεται στο ii),το β στο i),το γ στο iii)
ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 93 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: x -3 - - 0 α) =3x- x - 0 4 5 β) = x x -3 - - 0 α) =3x- - -8-5 - 4 x - 0 4 5 β) = x - 3 Γιατί στην =3x- είναι για x=-3 το =3.(-3)-=-, για x=- το =3.(-)- =-8, για x=- το =3.(-)-=-5, για x=0 το =3.0-=-, για x= το =3.- =4. Γιατί στην = x είναι για x=- το = =, για x=0 το 0 = =,
94 ΜΕΡΟΣ Α -3.- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ για x= το = =, για x=4 το 5 = =. ΑΣΚΗΣΗ 4 3 = =, για x=5 το Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: x -3-0 5 α) =x + x -3-0 3 β) =x +3x- x -3-0 5 α) =x + 0 5 6 x -3-0 3 β) =x +3x- - -4-6 Γιατί στην =x + είναι για x=-3 το =(-3) +=0, για x=- το =(-) +=, για x=0 το =(0) +=, για x= το = +=5, για x=5 το =5 +=6, Γιατί στην =x +3x- είναι για x=-3 το =(-3) +3(-3)-=-, για x=- το =(-) +3(-)-=-4, για x=0 το =0 +3.0-=-, για x= το = +3.-=, για x=3 το =(3) +3(3)-=6.
ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 95 ΑΣΚΗΣΗ 3 Οι τιμές ενός καταστήματος ηλεκτρονικών επιβαρύνονται µε φόρο 8%. Να εκφράσετε τις τιμές µε φόρο, ως συνάρτηση των τιμών x χωρίς φόρο. 8 Αν x είναι η τιμή χωρίς το φόρο, η επιβάρυνση θα είναι x = 0,08x και 0 η τιμή μαζί με το φόρο θα είναι = x + 0,08x =,08x ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας πωλητής παίρνει μισθό 600 το μήνα και ποσοστό 7% επί του ποσού των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Να εκφράσετε το συνολικό ποσό που κερδίζει το μήνα ως συνάρτηση του ποσού x των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Επειδή x είναι το ποσό των πωλήσεων που πραγματοποιεί το μήνα τότε ο πωλητής παίρνει επιπλέον 0,07x,άρα το συνολικό ποσό που κερδίζει το μήνα είναι =600+0,07x. ΑΣΚΗΣΗ 5 Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές µε μήκη x και (σε cm). α) Αν η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 60cm, να εκφράσετε την πλευρά ως συνάρτηση της πλευράς x. β) Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 00 cm, να εκφράσετε την πλευρά ως συνάρτηση της πλευράς x. α) x + = 60 Επειδή η περίμετρος είναι 60 cm. = x + 60 = x + 30 β) Ε = x. x. = 00 = 00 x ΑΣΚΗΣΗ 6 α) Λύνουμε ως προς την ισότητα Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα Διαιρούμε με τον συντελεστή του. β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο Ε=x. Λύνουμε ως προς την ισότητα Ένα τετράγωνο έχει πλευρά µε μήκος x (σε cm). Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε και την περίμετρο Π του τετραγώνου ως συναρτήσεις του x. Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών.
96 ΜΕΡΟΣ Α -3.- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ x,5 5 0,3 Ε Π Το εμβαδόν Ε του τετραγώνου είναι Ε=x και η περίμετρος Π=4x,οπότε ο πίνακας συμπληρώνεται όπως φαίνεται παρακάτω. x,5 5 0,3 Ε 4 6,5 5 0,09 Π 4 8 0 0, Γιατί για x= είναι Ε= = και Π=4.=4, για x= είναι Ε= =4 και Π=4.=8, για x=,5 είναι Ε=(,5) =6,5 και Π=4.,5=0, για x=5 είναι Ε=5 =5 και Π=4.5=0, για x=0,3 είναι Ε=0,3 =0,09 και Π=4.0,3=,. ΑΣΚΗΣΗ 7 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης = 3x 5. x -3 7 - x 4-3 7-4 - Γιατί για x= έχουμε =3.-5= για =7 έχουμε 7=3.x-5 3x= και x=4 Γιατί για x=-3 έχουμε =3.(-3)-5=-4 για =- έχουμε -=3.x-5 3x=-+5 και 3x=3,x= ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένα αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα 70 χιλιόμετρα την ώρα. α) Πόση απόσταση θα έχει διανύσει σε ώρες και πόση σε 5 ημέρες; β) Να εκφράσετε την απόσταση S (σε χιλιόμετρα) που θα έχει διανύσει το αυτοκίνητο ως συνάρτηση του χρόνου t (σε ώρες). α) Το αυτοκίνητο σε ώρες θα διανύσει 70.=40 Km. Το αυτοκίνητο σε 5 ημέρες ή σε 0 ώρες θα διανύσει 70.0=8400 Km. β) Το αυτοκίνητο σε t ώρες θα διανύσει S=70.t Km