7-2 Έλεγχος Ανοικτού Βρόχου

Κεφάλαιο 7 Γραµµικός Έλεγχος 7-1 Εισαγωγή Υποθέτουµε ότι έχουµε µία επιθυµητή τροχιά για κάθε άρθρωση που περιγράφεται από τη χρονική συνάρτηση q d (t). Το πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε σε αυτό το κεφάλαιο είναι πως θα µπορέσουµε να επιτύχουµε q(t)! q d (t). Λύση στο πρόβληµα αυτό δίνει ο αυτόµατος έλεγχος. 7-2 Έλεγχος Ανοικτού Βρόχου Εξετάζουµε πρώτα την περίπτωση ελέγχου του Σχ. 7-1. Αυτό απεικονίζει ένα κινητήρα µε µειωτήρα µε λόγο µείωσης n, ένα φορτίο του οποίου η θέση περιγράφεται από τη γωνία θ και µία τροφοδοσία µεταβλητής τάσης u(t). O στόχος είναι!!! d. Σχήµα 7-1. Σύστηµα κίνησης φορτίου ανοικτού βρόχου. Μετά από µερικές δοκιµές ή υπολογισµούς, µπορούµε να προσδιορίσουµε την κυµατοµορφή u(t) που θα κάνει τη γωνία!!! d. Με τον τρόπο αυτό, θα µπορούσαµε να προσδιορίσουµε και να αποθηκεύσουµε πολλές κυµατοµορφές, µία για κάθε επιθυµητή γωνία! d και όταν θέλουµε κάποια συγκεκριµένη γωνία φορτίου, να εφαρµόζουµε την κατάλληλη αποθηκευµένη κυµατοµορφή. Η µεθοδολογία αυτή αντιστοιχεί σε έλεγχο ανοικτού βρόχου: Η έξοδος! δεν επηρεάζει την είσοδο ελέγχου u(t). Το ερώτηµα όµως εδώ είναι: Είναι αυτό αρκετό; Η απάντηση είναι αρνητική, στην περίπτωση όπου έχουµε: ιακυµάνσεις ή µεταβολές στις παραµέτρους, π.χ. στην τριβή στα έδρανα, (παραµετρική αβεβαιότητα). ιαταραχές, π.χ. εξωτερικές ροπές λόγω επαφής του φορτίου µε κάποιο αντικείµενο. 7-1

Ένα άλλο πρόβληµα είναι ότι η απόκριση δεν είναι δυνατόν να ελεγχθεί. Εάν για παράδειγµα θελήσουµε να µεταβάλλουµε την ταχύτητα ή τον τρόπο µε τον οποίο προσεγγίζουµε τη γωνία! d, ή αν θέλουµε να αποφύγουµε ταλαντώσεις, τότε αυτό δεν είναι εφικτό µε τη µεθοδολογία του ανοικτού βρόχου. 7-3 Έλεγχος Κλειστού Βρόχου Θεωρούµε ξανά το σύστηµα του Σχ. 7-1. Όµως αυτή τη φορά προσθέτουµε ένα αισθητήρα (παλµογεννήτρια ή ποτενσιόµετρο), ένα συγκριτή σηµάτων µε έξοδο το σφάλµα e(t) και ένα ενισχυτή που παράγει τάση u(t) ανάλογη µε την είσοδό του. Όπως φαίνεται στο Σχ. 7-2, µε u(t) = K p e(t), Εάν! =! d! e(t) = 0! u(t) = 0 και εποµένως ο κινητήρας σταµατάει. Εάν! <! d! e(t) > 0! u(t) > 0 και εποµένως ο κινητήρας κινείται έως ότου! =! d. Αντίστοιχα, εάν! >! d! e(t) < 0! u(t) < 0 ο κινητήρας µειώνει τη γωνία του φορτίου, έως ότου! =! d. Το πρόσηµο του κέρδους K P είναι σηµαντικό για να οδηγηθεί το!!! d. Εάν εδώ αυτό είναι αρνητικό, τότε η εµφάνιση σφάλµατος οδηγεί στην αύξησή του (αντί σε µείωση) µε αποτέλεσµα την αστάθεια του συστήµατος. Σχήµα 7-2. Σύστηµα κλειστού βρόχου. Το σύστηµα ελέγχου του Σχ. 7.2 είναι έλεγχος κλειστού βρόχου. Σε αυτό, η έξοδος!(t) έχει άµεση επίπτωση στην είσοδο ελέγχου, u(t) = K p e(t). Βασικά πλεονεκτήµατα ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόχου είναι: Σχετικά µη ευαίσθητο σε παραµετρικές µεταβολές. Σχετικά µη ευαίσθητο σε δοµικές µεταβολές (δηλαδή µεταβολές στα δυναµικά χαρακτηριστικά του συστήµατος). Σχετικά µη ευαίσθητο σε διαταραχές και θόρυβο. Η απόκριση κλειστού βρόχου µπορεί να ελεγχθεί (εδώ µε αλλαγή του K p ). Βασικά µειονεκτήµατα ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόχου είναι: 7-2

Η ευστάθεια µπορεί να επηρεαστεί και ένα ευσταθές σύστηµα να µετατραπεί σε ασταθές. Πλέον σύνθετο σύστηµα. Ακριβότερο σύστηµα (αισθητήρες, υπολογιστές, κλπ.). Λιγότερο αξιόπιστο, περισσότερα υποσυστήµατα που µπορούν να παρουσιάσουν βλάβη. Παρόλα τα µειονεκτήµατα αυτά, τα συστήµατα κλειστού βρόχου εγγυώνται την απόκριση και συµπεριφορά των σύγχρονων συστηµάτων ακριβείας και χρησιµοποιούνται ολοένα και περισσότερο. 7-3-1 οµή Ελέγχου Κλειστού Βρόχου Το Σχ. 7-3 απεικονίζει το βασικό δοµικό διάγραµµα ενός συστήµατος κλειστού βρόχου. Σε αυτό, είναι y = έξοδος (ελεγχόµενη µεταβλητή) r = εντολή, γενικά συνάρτηση του χρόνου (set-point εάν είναι σταθερή) u = είσοδος ελέγχου d = διαταραχή e = r-(y+n) = σφάλµα n = θόρυβος µέτρησης (αισθητήρα, καλωδίων) Σχήµα 7-3. οµή συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόχου. Ο ελεγκτής ή κατευθυντής ρυθµίζει την είσοδο στο ελεγχόµενο σύστηµα (νόµος ελέγχου) και υλοποιείται µε αναλογικά ηλεκτρονικά ή µε υπολογιστή, µικροϋπολογιστή, ή µικροελεγκτή και λογισµικό. Το σύστηµα αντιστοιχεί στην ελεγχόµενη άρθρωση ή ροµπότ. Ο σκοπός του νόµου ελέγχου είναι η διατήρηση του y! r παρά την πιθανή παρουσία διαταραχών, θορύβου και µεταβαλλόµενων ή ανακριβών παραµέτρων του συστήµατος και της κατασκευής του. 7-3

7-4 Αυτόµατος Έλεγχος Ροµπότ Ένα ροµπότ είναι γενικά ένα πολυµεταβλητό, µη γραµµικό και χρονικά µεταβαλλόµενο σύστηµα. Νόµοι ελέγχου που είναι κατάλληλοι για γραµµικά συστήµατα, ή µικρές µεταβολές γύρω από λειτουργικά σηµεία, δεν προσφέρονται για τον έλεγχο ενός συστήµατος στο οποίο η αδράνεια µπορεί να αλλάξει µε λόγο 1:100. Επιπλέον, το τι θέλουµε να ελέγξουµε σε ένα ροµπότ δεν είναι πάντοτε το ίδιο και δεν είναι απαραίτητα η θέση ή η ταχύτητα. Όπως φαίνεται στο Σχ. 7-4, ο έλεγχος για ροµπότ µπορεί να έχει ως στόχο τον έλεγχο της θέσης, τον έλεγχο της δύναµης αλληλεπίδρασης µε το περιβάλλον, τον έλεγχο της σχέσης µεταξύ θέσης (ταχύτητας) και δύναµης (Έλεγχος Σύνθετης Αντίστασης ή Εµπέδησης, Impedance Control), ή µπορεί να ελέγχεται το ροµπότ ως προς τη θέση σε κάποιες διευθύνσεις και ως προς τη δύναµη σε κάποιες άλλες (Υβριδικός Έλεγχος). Ο έλεγχος θέσης µπορεί να είναι Γραµµικός (P, PD, PID, κλπ.) ή µη Γραµµικός. Ο πρώτος γενικά αγνοεί τη µη γραµµική δυναµική του ροµπότ και µπορεί να εφαρµοσθεί µε καλά αποτελέσµατα όταν το ροµπότ έχει αρθρώσεις που χρησιµοποιούν µειωτήρες µε σχετικά µεγάλο λόγο µείωσης (20-100). Ο µη Γραµµικός Έλεγχος είναι απαραίτητος σε ροµπότ υψηλής απόδοσης µε κατευθείαν σύνδεση του κινητήρα µε την αδράνεια που επιταχύνει (direct drive robots). Tέλος, ο µη Γραµµικός Έλεγχος µπορεί να έχει ως στόχο την ελαχιστοποίηση σφαλµάτων που ορίζονται στην κάθε άρθρωση, ή στον Καρτεσιανό χώρο.!"#$%&' (&µ)*+!"#$%&',-./'!"#$%&' 0123µ/'!"#$%&' 4125#+/' 62+7.+3./' (Impedance Control) 89:;<;=*'!"#$%&' >:3µµ;=*'!"#$%&'?/ >:3µµ;=*'!"#$%&' P PD PID 4+& %@:& +A2 3:5:@.#A2 4+&2 B3:+#.;32* %@:& Σχήµα 7-4. Ταξινόµηση µεθόδων ελέγχου για ροµπότ. 7-5 Έλεγχος Θέσης Aρθρώσεων Στην παράγραφο αυτή εστιάζουµε την προσοχή µας στον Έλεγχο Θέσης αρθρώσεων ενός ροµπότ. Ειδικότερα, ο στόχος είναι η παρακολούθηση συγκεκριµένης τροχιάς και εποµένως το σφάλµα ορίζεται ως η διαφορά της θέσης της άρθρωσης κάποια χρονική στιγµή από την επιθυµητή θέση: e(t) =! d (t) "!(t) (7-1) Κατά περίπτωση, εκτός από το σφάλµα παρακολούθησης που δίνεται από την Εξ. (7-1) µπορεί να χρησιµοποιούνται και οι χρονικές παράγωγοι του σφάλµατος αυτού. Το Σχ. 7-5 απεικονίζει τη δοµή ενός τυπικού συστήµατος ελέγχου θέσης ενός ροµπότ. 7-4

Σχήµα 7-5. Σύστηµα ελέγχου θέσης ροµπότ. Η τροχιά για κάθε άρθρωση µπορεί να είναι κάποια κυµατοµορφή του χρόνου, ή κάποια σταθερά τιµή. Στην πρώτη περίπτωση, ο στόχος είναι να παρακολουθηθεί ορισµένη πορεία, ενώ στη δεύτερη περίπτωση ο στόχος είναι να µεταβληθούν οι γωνίες των αρθρώσεων, χωρίς να ενδιαφέρει η ακριβής εξέλιξη της µεταβολής (έλεγχος από σηµείο σε σηµείο). (α) Έλεγχος από σηµείο σε σηµείο (point-to-point control) Στην περίπτωση αυτή, µας ενδιαφέρει, q! q d =!"#$. (set - point) (7-2) (β) Έλεγχος παρακολούθησης τροχιάς (tracking) Στην περίπτωση αυτή, µας ενδιαφέρει, ( )! q d ( t) ( )!!q d ( t) ( )!!!q d ( t) q t!q t!!q t (7-3) Πριν προχωρήσουµε στον έλεγχο αρθρώσεων, εξετάζουµε τη δυναµική συµπεριφορά της «εγκατάστασης», που αποτελείται από τους επενεργητές, ενισχυτές, µεταδόσεις και αδράνειες των κινούµενων µερών. Επειδή στη µεγάλη πλειονότητα ροµπότ οι επενεργητές είναι κινητήρες συνεχούς ρεύµατος (µε ή χωρίς ψήκτρες), παρουσιάζουµε το δυναµικό µοντέλο ενός κινητήρα DC. 7-6 Μοντελοποίηση DC Κινητήρα µε Φορτίο Θεωρούµε ένα κινητήρα DC µόνιµου µαγνήτη. Το ισοδύναµο κύκλωµα παρίσταται στο Σχ. 7-6. Σχήµα 7-6. Ισοδύναµο κύκλωµα κινητήρα DC. 7-5

Για τον ιδανικό κινητήρα ισχύουν οι εξισώσεις ηλεκτροµαγνητικής µετατροπής ενέργειας: Ο νόµος τάσεων Kirchoff (ΝΤΚ) δίνει: e a = k t!!m = k t " m (7-4)! m = k t i a (7-5) L a di a dt + R ai a + k t!!m = v a (7-6) Γενικά η αυτεπαγωγή του τυλίγµατος του δροµέα είναι πολύ µικρή, και η χρονική σταθερά L a / R a πολύ µικρότερη από τη µηχανική χρονική σταθερά. Για τους λόγους αυτούς, η αυτεπαγωγή θεωρείται ίση µε το µηδέν Το ρεύµα που απορροφά ο κινητήρας είναι τότε: L a! 0 (7-7) i a = v a!k t!!m R a (7-8) Ο κινητήρας µπορεί να οδηγηθεί µε δύο τρόπους. Ο πρώτος, που αποκαλείται «έλεγχος τάσης», θεωρεί ότι ο κινητήρας έχει ως είσοδο µία καθορισµένη κυµατοµορφή τάσης που προέρχεται από ένα ενισχυτή ή από µία πηγή τάσης. Στην περίπτωση αυτή, η ροπή δίνεται από τη σχέση:! m = k t ( v a!k t "m! ) είσοδος v a (7-9) R a O δεύτερος τρόπος, που αποκαλείται «έλεγχος ρεύµατος», θεωρεί ότι ο κινητήρας έχει ως είσοδο µία καθορισµένη κυµατοµορφή ρεύµατος που προέρχεται από ένα ενισχυτή ή από µία πηγή ρεύµατος. Στην περίπτωση αυτή, η ροπή δίνεται από τη σχέση:! m = k t i a είσοδος i a (7-10) Σε ροµπότ και σερβοµηχανισµούς συνήθως χρησιµοποιείται ο δεύτερος τρόπος οδήγησης, διότι ελέγχοντας το ρεύµα, ελέγχουµε αµέσως την επιτάχυνση του φορτίου. Εάν ο κινητήρας οδηγηθεί µέσω τάσης, τότε η επιτάχυνση που θα έχουµε εξαρτάται από τη γωνιακή ταχύτητα του κινητήρα. Εποµένως, σε µεγάλες ταχύτητες, η επιτάχυνση περιορίζεται µε αυτόν τον τρόπο οδήγησης. Για να ολοκληρωθεί το µοντέλο του κινητήρα φορτίου, πρέπει να έχουµε και µοντέλο του φορτίου. Ενώ σε συνήθεις εφαρµογές σταθερών στροφών το φορτίο είναι συνήθως οι τριβές κάθε φύσης και ίσως και τα στατικά φορτία, στα ροµπότ, λόγω των µεγάλων επιταχύνσεων, το κύριο φορτίο είναι το αδρανειακό. Εξετάζουµε στη συνέχεια πως φαίνονται τα διάφορα µηχανικά φορτία από την πλευρά του κινητήρα. 7-6

Αναγωγή αδρανειών, τριβών και διαταραχών. Το Σχ. 7-7 απεικονίζει το µηχανικό υποσύστηµα ενός κινητήρα µε φορτίο και µετάδοση κίνησης µέσω µειωτήρα οδοντωτών τροχών. Η ανάλυση που ακολουθεί ισχύει και για κάθε άλλη µετάδοση. Σχήµα 7-7. Μηχανικό υποσύστηµα κινητήρα-φορτίου. Ο µειωτήρας αυξάνει τη ροπή στον άξονα από την πλευρά του φορτίου και µειώνει τις στροφές:!! = n!1!! m " = n " 1 (7-11) όπου n είναι ο λόγος µείωσης που συνήθως κυµαίνεται µεταξύ του 20 και 100, J m είναι η ροπή αδράνειας του δροµέα του κινητήρα, J L είναι η ροπή αδράνειας του φορτίου (σύνδεσµος ροµπότ), b m είναι ο συντελεστής δυναµικής τριβής του κινητήρα (αντιστάσεις στα έδρανα, αντιστάσεις ανεµισµού, κλπ.), b L είναι ο συντελεστής δυναµικής τριβής του φορτίου και! d! είναι διαταραχή ροπής ή ροπή που µεταφέρεται πέρα του συνδέσµου του ροµπότ. Ισορροπία ροπών για το φορτίο δίνει: Αντικατάσταση των Εξ. (7-11) στην Εξ. (7-12) δίνει:! = J!! L " +b! L " +!d! (7-12) Ισορροπία ροπών για τον κινητήρα δίνει: 1 n! 1 = J!! 1 L " m +b L!" m +! d! (7-13) n n! m = J!! m " m +b! m "m + J L "!! n 2 m + b L "m! +!! d " $$$$$$$$ n# 2 $$$$$$$$ n% (7-14)! 1 Ορίζοντας τα εξής J e = J m + J L n 2 (7-15) b e = b m + b L n 2 (7-16) 7-7

! d =!! d n (7-17) όπου J e είναι η ισοδύναµη αδράνεια, b e η ισοδύναµη απόσβεση και! d η ισοδύναµη διαταραχή ροπής όλα από την πλευρά του κινητήρα. Με αυτούς τους ορισµούς, η Εξ. (7-14) καταλήγει στο µηχανικό µοντέλο κίνησης κινητήρα-φορτίου,! m = J e!! " m +b e! "m +! d (7-18) Παρατηρούµε ότι η ροπή αδράνειας και η δυναµική τριβή µετασχηµατίζονται µε το τετράγωνο του λόγου µετάδοσης, ενώ η καθαρή ροπή αναλογικά του λόγου. Το αποτέλεσµα αυτού του µετασχηµατισµού είναι ότι µία ακόµη και µεγάλη αδράνεια φορτίου µε λόγο µετάδοσης 20 φαίνεται από τον κινητήρα 400 φορές µικρότερη. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το φορτίο δεν επιδρά παρά ελάχιστα στον κινητήρα και εποµένως, απλός έλεγχος θέσης του κινητήρων ενός ροµπότ είναι αρκετός για τον πλήρη και ικανοποιητικό έλεγχο του ροµπότ. Προκειµένου να περιγράψουµε την εξίσωση αυτή µε οµικά ιαγράµµατα ( ), γράφουµε την Εξ. (7-18) ως εξής:!!! m = " m! " d!b e!!m J e (7-19) Η εξίσωση αυτή έχει δύο ολοκληρωτές και µπορεί να αναπαρασταθεί όπως φαίνεται στο Σχ. 7-8. Σχήµα 7-8. οµικό διάγραµµα µηχανικού υποσυστήµατος κινητήρα-φορτίου. Το του Σχ. 7-8 µπορεί να συµπτυχθεί στην ισοδύναµη µορφή του Σχ. 7-9, όπου εµφανίζεται ένας ελεύθερος ολοκληρωτής (σύστηµα τύπου 1). Σχήµα 7-9. οµικό διάγραµµα µηχανικού υποσυστήµατος κινητήρα-φορτίου. Επίσης, το του Σχ. 7-9 µπορεί να απεικονισθεί και σε πλέον συνεπτυγµένη µορφή, βλ. Σχ. 7-10. 7-8

Σχήµα 7-10. οµικό διάγραµµα µηχανικού υποσυστήµατος κινητήρα-φορτίου. Για να ολοκληρωθεί το µοντέλο κίνησης κινητήρα φορτίου, πρέπει η Εξ. (7-18) να συµπληρωθεί µε µία από τις Εξ. (7-9) και (7-10), έτσι ώστε η είσοδος να είναι η τάση ή το ρεύµα του κινητήρα και έξοδος η γωνιακή θέση του δροµέα. Παρατηρούµε ότι η προσθήκη των εξισώσεων αυτών δεν αυξάνει την τάξη της διαφορικής εξίσωσης που δίνεται στην Εξ. (7-18). 7-7 Απόκριση Συστηµάτων εύτερης Τάξης Όπως είδαµε στην προηγούµενη παράγραφο, το µοντέλο ενός κινητήρα µε φορτίο περιγράφεται από µία διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Στην παράγραφο αυτή, υπενθυµίζουµε συνοπτικά βασικά στοιχεία σχετικά µε την απόκριση των εξισώσεων αυτών. Η γενική µορφή για σταθερή διέγερση x d είναι ή a 2 x!! +a 1!x +a 0 x = a 0 x d (7-20) x!! + 2!" n!x + " n2 x = " n2 x d (7-21) όπου! είναι ο λόγος απόσβεσης και! n η φυσική συχνότητα (rad/s). Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι, και έχει ρίζες: s 2 + 2!" n s + " n2 = 0 (7-22) s 1,2 =!!" n ± j" n 1!! 2 (7-23) Η θέση των ριζών στο µιγαδικό επίπεδο παρίσταται στο Σχ. 7-11 µε X. Η γενική λύση της γραµµικής διαφορικής εξίσωσης αποτελείται από το άθροισµα της οµογενούς και της µερικής λύσης, Η λύση της οµογενούς είναι x(t) = x hom (t)+ x part (t) (7-24) x hom (t) = c 1 e s 1t +c 2 e s 2t (7-25) όπου c 1, c 2 είναι σταθερές που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. Μία µερική λύση είναι η x part (t) = x d (7-26) 7-9

Σχήµα 7-11. Ρίζες (πόλοι) διαφορικής εξίσωσης β τάξης στο µιγαδικό επίπεδο. Εποµένως, η γενική λύση δίνεται από την επόµενη εξίσωση, x(t) = x d +c 1 e s 1t +c 2 e s 2t (7-27) Παράδειγµα 7-1 Θεωρούµε την επόµενη διαφορική εξίσωση, x!! + 5!x + 6x = 6 η χαρακτηριστική εξίσωση και οι ρίζες της (πόλοι) είναι: Εποµένως, η γενική λύση είναι: Οι ρίζες παρίστανται στο Σχ. 7-12. s 2 + 5s + 6 = 0! s 1 = "3, s 2 = "2 x(t) = 1 +c 1 e!3t +c 2 e!2t Σχήµα 7-12. Πόλοι που αντιστοιχούν στη διαφορική εξίσωση του Παρ. 7-1. 7-10

7-7-1 Απόκριση ως Συνάρτηση του! και των Εισόδων Όπως είδαµε, η απόκριση ενός συστήµατος εξαρτάται από τη λύση της οµογενούς και τη µερική λύση. Η λύση της οµογενούς έχει κύρια επίδραση στη µεταβατική απόκριση του συστήµατος, επειδή τα εκθετικά µετά από κάποιο χρόνο µηδενίζονται (υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι το σύστηµα είναι ευσταθές). Η µερική λύση ευθύνεται για την απόκριση στη µόνιµη κατάσταση. Εξετάζοντας καταρχήν την οµογενή λύση, παρατηρούµε ότι η µορφή της απόκρισης εξαρτάται από το ζ. Ο Πίνακας 7-1 δίνει σχηµατικά την απόκριση µιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης ως συνάρτησης του ζ. Η µερική λύση παρουσιάζει µεγάλη ποικιλία που οφείλεται στην εκάστοτε διεγείρουσα συνάρτηση x d (t). Μερικές από αυτές τις συναρτήσεις ή εισόδους είναι η βηµατική, η αναρρίχησης και η παραβολική συνάρτηση. Οι συναρτήσεις αυτές αντιστοιχούν σε σταθερή γωνιακή µετατόπιση, σταθερή ταχύτητα και σταθερή επιτάχυνση, αντίστοιχα και απεικονίζονται στον Πίνακα 7-2. Πίνακας 7-1. Απόκριση διαφορικής εξίσωσης β τάξης ως συνάρτηση του λόγου απόσβεσης ζ.! < 0 ασταθής! = 0 χωρίς απόσβεση 0 <! < 1 υποαπόσβεση! = 1 κρίσιµη απόσβεση! > 1 υπεραπόσβεση 7-11

Πίνακας 7-2. Τυπικές είσοδοι. Βηµατική είσοδος (σταθερή θέση) Είσοδος αναρρίχησης (σταθερή ταχύτητα) Παραβολική είσοδος (σταθερή επιτάχυνση) 7-7-2 Χαρακτηριστικά της Μεταβατικής Απόκρισης Προκειµένου να επιλέγουµε σωστά τα κέρδη ελέγχου, πρέπει να µπορούµε να συνδέουµε τις παραµέτρους της διαφορικής εξίσωσης µε την απόκρισή της. Το Σχ. 7-13 παρουσιάζει µία τυπική απόκριση συστήµατος που περιγράφεται από διαφορική β τάξης σε βηµατική συνάρτηση, όταν το ζ<1. Σχήµα 7-13. Απόκριση συστήµατος β τάξης σε βηµατική είσοδο για ζ<1. Το µέγεθος M P, βλ. Σχ. 7-13, καλείται υπερακόντιση και συνήθως δίνεται ως ποσοστό της απόκρισης στη µόνιµη κατάσταση x ss. Είναι δηλαδή M P % = 100%!M P / x ss (7-28) Γενικά, στα ροµποτικά συστήµατα θέλουµε η υπερακόντιση M P % να είναι 0, αλλιώς έστω και µικρή υπερακόντιση του ΤΣ µπορεί να οδηγήσει σε ανεπιθύµητες κρούσεις, µεγάλα σφάλµατα τροχιάς, κλπ. Αυτό δεν ισχύει στα συνήθη συστήµατα ελέγχου, όπου µικρές υπερακοντίσεις της τάξης του 4% γίνονται δεκτές µε σκοπό την επιτάχυνση της απόκρισης. Το µέγεθος t s, βλ. Σχ. 7-13, καλείται χρόνος αποκατάστασης. Αυτός ο χρόνος συνήθως ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται έως ότου η απόκριση απέχει από την απόκριση στη 7-12

µόνιµη κατάσταση ±2% της τιµής της, ή αν αυτή είναι µηδέν στη µόνιµη κατάσταση, να κυµαίνεται γύρω από το 0 ±2% της αρχικής τιµής και, και στις δύο περιπτώσεις, να µην εξέλθει από την ταινία του ±2%. Το µέγεθος t r, βλ. Σχ. 7-13, καλείται χρόνος ανύψωσης και όσο µικρότερος είναι τόσο γρηγορότερο είναι καταρχήν το σύστηµα. Όµως υπάρχουν πολλές περιπτώσεις όπου αυτή η παράµετρος είναι µικρή µεν, µετά όµως ακολουθούν ταλαντώσεις αποσβένονται δύσκολα και που είναι ανεπιθύµητες και αυξάνουν κατά πολύ το χρόνο αποκατάστασης. Εποµένως, χρήση του χρόνου t r ως κριτηρίου για την ποιότητα του συστήµατος ελέγχου θέλει πολλή προσοχή. Ο Πίνακας 7-3 δίνει αναλυτικούς τύπους για το χρόνο αποκατάστασης, το χρόνο ανύψωσης και την ποσοστιαία υπερακόντιση ως συνάρτηση του ζ. Ο πίνακας αυτός µπορεί να χρησιµοποιείται για τη σύνδεση των κερδών ελέγχου µε τα χαρακτηριστικά της απόκρισης µέσω των! και! n. Παράδειγµα 7-2 Θεωρούµε άρθρωση ροµπότ που κινείται ελεύθερα στο χώρο (π.χ. ροµπότ βαφής). Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη δυναµική µιας άρθρωσής του είναι: µε παραµέτρους, x!! +1, 414!x + x = 1, t > 0! n = 1! = 0.707. Η υπερακόντιση υπολογίζεται ως M p % = 4.32% και γίνεται δεκτή επειδή το ροµπότ δεν έρχεται σε επαφή µε το περιβάλλον. Επίσης, υπολογίζουµε ότι t r! 3.3s και t s! 5.66s. 7-13

Πίνακας 7-3. Παράµετροι συστήµατος β τάξης ως συνάρτηση του ζ. 7-14

7-7-3 Προδιαγραφές στη Μόνιµη Κατάσταση Αφού τελειώσει η µεταβατική απόκριση ενός συστήµατος, µας ενδιαφέρει η συµπεριφορά του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση. Αυτή η συµπεριφορά µπορεί να βρεθεί µε το θεώρηµα της τελικής τιµής και συναρτήσεις µεταφοράς, µπορεί όµως να βρεθεί και απλούστερα, σχηµατίζοντας τις εξισώσεις που διέπουν τη δυναµική του σφάλµατος (error dynamics). Η εξίσωση σφάλµατος σχηµατίζεται αντικαθιστώντας στη διαφορική που περιγράφει τη δυναµική της κίνησης x!! + 2!" n!x + " n2 x = " n2 x d (7-29) τη µεταβλητή x µε την ίση της x d!e, λόγω του ορισµού του σφάλµατος ως εξής: Λαµβάνουµε λοιπόν την εξής δυναµική σφάλµατος: e = x d!x (7-30) e!! + 2!" n!e + " n2 e = x!! d + 2!" n!x d (7-31) Στη συνέχεια ορίζουµε τρεις σηµαντικές προδιαγραφές στη µόνιµη κατάσταση: (α) το σφάλµα θέσης, (β) το σφάλµα ταχύτητας και (γ) το σφάλµα επιτάχυνσης. (α) Σφάλµα θέσης, e p. To σφάλµα θέσης στη µόνιµη κατάσταση µε είσοδο x d (t) = 1, (µοναδιαία βηµατική), βλ. Σχ. 7-14. Εποµένως, η Εξ. (7-31) µε x d = 1,!x d = 0, x!! d = 0 και στη µόνιµη κατάσταση, δίνει! n2 e ss = 0 και άρα για το σύστηµα της Εξ. (7-29), e p = e ss = 0. Σχήµα 7-14. Σφάλµα θέσης. (β) Σφάλµα ταχύτητας, e v. Το σφάλµα θέσης στη µόνιµη κατάσταση όταν x d (t) = t, (µοναδιαία συνάρτηση αναρρίχησης), βλ. Σχ. 7-15. Εποµένως, η Εξ. (7-31) µε x d = t,!x d = 1, x!! d = 0 και στη µόνιµη κατάσταση, δίνει! n2 e ss = 2"! n και άρα για το!1 σύστηµα της Εξ. (7-29), e v = e ss = 2! " n. Σχήµα 7-15. Σφάλµα ταχύτητας. 7-15

(γ) Σφάλµα επιτάχυνσης, e a. Το σφάλµα θέσης στη µόνιµη κατάσταση όταν x d (t) = t 2, (µοναδιαία παραβολή), βλ. Σχ. 7-16. Εποµένως, η Εξ. (7-31) µε x d = t 2,!x d = 2t, x!! d = 2 και στη µόνιµη κατάσταση, δίνει e a! ". Σχήµα 7-16. Σφάλµα επιτάχυνσης. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι ένα σύστηµα ελέγχου µπορεί να έχει ικανοποιητική απόκριση όταν η είσοδος είναι βηµατική, αλλά παρ όλα αυτά να έχει απαράδεκτη απόδοση σε κάποια άλλη είσοδο. Αυτό πρέπει να λαµβάνεται σοβαρά υπόψη για τα ροµπότ, όπου οι είσοδοι είναι κυµατοµορφές οποιουδήποτε είδους. 7-8 Έλεγχος Θέσης Απλής Άρθρωσης Στα επόµενα, θεωρούµε ότι το ροµπότ έχει µεταδόσεις µε λόγο αρκετά µεγάλο, έτσι ώστε η επίδραση της πλήρους και συζευγµένης δυναµικής του ροµπότ να µπορεί να θεωρηθεί αµελητέα. Στην περίπτωση αυτή, το κύριο φορτίο είναι η αδράνεια και οι τριβές του δροµέα του σερβοκινητήρα της άρθρωσης. Η επίδραση της δυναµικής των άλλων αρθρώσεων λόγω σύζευξης των εξισώσεων της δυναµικής, λαµβάνεται υπόψη µόνο ως µία µικρή διαταραχή! d. 7-8-1 Έλεγχος Αναλογικού Τύπου (P) Το Σχ. 7-17 απεικονίζει το κλειστού βρόχου µε ελεγχόµενο σύστηµα µία άρθρωση ροµπότ. O κινητήρας ελέγχεται µε ρεύµα και εποµένως παρίσταται στο ως ένα κέρδος, βλ. Εξ. (7-10). Ο κατευθυντής που χρησιµοποιείται είναι ο απλούστερος όλων, δηλαδή ένα απλό κέρδος που µπορεί να αντιστοιχεί στο κέρδος του ενισχυτή του κινητήρα. Σχήµα 7-17. Σύστηµα ελέγχου τύπου P. H εξίσωση κλειστού βρόχου βρίσκεται µε χρήση του Σχ. 7-17, 7-16

(! d!!)!##" ## $ K p K t!#### e "#### $!##### i "#### # $ " m + " d = " m* = J e %%! m +b e %!m (7-32) ή, ισοδύναµα, Υποθέτουµε καταρχήν ότι! d = 0. J e!!! m +b e!!m + K p K t! m = K p K t! d + " d (7-33) Μόνιµη Κατάσταση. Για K p > 0 το σύστηµα είναι ευσταθές και άρα οδηγείται σε µόνιµη κατάσταση, όπου!!! m,!! m = 0 και! d = σταθερό. Εποµένως! mss =! d! e ss = 0 (7-34) ανεξάρτητα από την τιµή του κέρδους K p Μεταβατική Απόκριση. H δυναµική περιγράφεται από την εξίσωση, µε!!! m + 2"# n!!m + # n2! m = # n2! d (7-35)! n = K pk t J e (7-36)! = b e 2 J e K p K t (7-37) Η ιδανική απόκριση περιγράφεται από!! 1 (µικρή υπερακόντιση), t r = µικρό (γρήγορη απόκριση), t s = µικρό (γρήγορη απόκριση). Για! = 1 : Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση, η! n είναι προκαθορισµένη: K p = b e 2 4J e K t (7-38) και εποµένως και ο χρόνος αποκατάστασης,! n = b e 2J e (7-39) Εξετάζοντας την απόκριση σφάλµατος, έχουµε t s = 6! n = 12 J e b e (7-40)! m =! d!! e (7-41) 7-17

J e e!! +b e!e + K p K t e = J!! e! d +b! e!d (7-42) e p = e ss = 0 (7-43) e v = 2! " n = 4 J e b e (7-44) ηλαδή το σφάλµα θέσης είναι µηδέν, όχι όµως και το σφάλµα ταχύτητας. Ο τόπος των ριζών για µεταβαλλόµενο θετικό κέρδος K p απεικονίζεται στο Σχ. 7-18 και µπορεί να βρεθεί αναλυτικά µε χρήση της χαρακτηριστικής εξίσωσης J e s 2 +b e s + K p K t = 0 (7-45) Οι δύο κλάδοι του τόπου ξεκινούν από τους πόλους ανοικτού βρόχου (παρίστανται µε τα X), ενώνονται στο σηµείο όπου ζ=1 (το σηµείο στο οποίο αντιστοιχεί ο σχεδιασµός του κατευθυντή) και µετά αποµακρύνονται από τον πραγµατικό άξονα µε πτωτικό ζ (ταλαντώσεις). Σχήµα 7-18. Τόπος ριζών για µεταβαλλόµενο κέρδος K p. Εξετάζουµε τώρα την επίδραση της διαταραχής, όταν η εντολή προς την άρθρωση είναι να µείνει στην αρχική της θέση, δηλαδή, Η δυναµική του σφάλµατος είναι,! d = 0, " d = σταθερό (7-46) e!! + 2!" n!e + " n2 e =!! d (7-47) J e Το σφάλµα µόνιµης κατάστασης λόγω της διαταραχής υπολογίζεται από την Εξ. (7-47) ως, 7-18

e ss =!! d " n2 J e =! 1 K p K t! d (7-48) και παρίσταται στο Σχ. 7-19. Παρατηρούµε ότι το σφάλµα αυτό απαιτείται προκειµένου, πολλαπλασιαζόµενο µε το κέρδος, να εµφανίσει την κατάλληλη ροπή στον κινητήρα που χρειάζεται για να ισορροπήσει τη σταθερή διαταραχή ροπής. Προκειµένου να µειώσουµε το σφάλµα αυτό, µπορούµε να αυξήσουµε το κέρδος K p. Στην περίπτωση όµως αυτή, το! µειώνεται όπως το K p!1/2 και οδηγεί σε ταλαντωτική συµπεριφορά. Εποµένως βλέπουµε ότι ο τύπος αυτός ελέγχου έχει πολλούς περιορισµούς και γενικά δεν είναι ο συνήθως χρησιµοποιούµενος. Είναι όµως χρησιµότατος στην περίπτωση όπου έχουµε ένα νέο ή άγνωστο σύστηµα και θέλουµε να το κινήσουµε µε απλό τρόπο, προκειµένου να σιγουρευτούµε ότι όλα τα συστήµατα εργάζονται σωστά. Αφού ο σερβοµηχανισµός περάσει τη δοκιµασία του ελέγχου P µε επιτυχία, τότε και µόνον στρεφόµαστε προς συνθετότερους νόµους ελέγχου. Σχήµα 7-19. Σφάλµα θέσης παρουσία σταθερής διαταραχής. 7-8-2 Έλεγχος Αναλογικού ιαφορικού Τύπου (PD) Το Σχ. 7-20 απεικονίζει το κλειστού βρόχου µε ελεγχόµενο σύστηµα µία άρθρωση ροµπότ. O κινητήρας ελέγχεται και εδώ µε ρεύµα και εποµένως παρίσταται ως ένα κέρδος, βλ. Εξ. (7-10). Ο κατευθυντής που χρησιµοποιείται είναι τύπου PD και προϋποθέτει ανάδραση θέσης και ταχύτητας, ή συνηθέστερα, ανάδραση θέσης και υπολογισµό ταχύτητας από τη θέση, µέσω προσεγγιστικής διαφόρισης. H εξίσωση κλειστού βρόχου βρίσκεται µε χρήση του Σχ. 7-20, " (! d!! m )! K & v # $!m! ' $ K % $ K p p K t + " d = " * = J e!!! m +b e!m! (7-49) ( $ Σχήµα 7-20. Σύστηµα ελέγχου τύπου PD. ή, ισοδύναµα, 7-19

J!! e! m + ( b e + K v K t )! m + K p K t! m = K p K t! d + " d (7-50) Η Εξ. (7-50) γράφεται στη συνήθη µορφή ως εξής: µε,!!! m + 2"# n!!m + # n2! m = # n2! d +! d J e (7-51) 2!" n = b e + K v K t J e (7-52)! n2 = K pk t J e (7-53) Στην περίπτωση αυτή, µπορούν να ρυθµιστούν το! και το! n ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και εποµένως, µπορεί να επιτευχθεί γρήγορη και οµαλή απόκριση. Η χαρακτηριστική εξίσωση που αντιστοιχεί στην Εξ. (7-51), µε! d = 0, είναι, J e s 2 + ( b e + K v K t )s + K p K t = 0 (7-54) Ο τόπος των ριζών για µεταβαλλόµενο θετικό κέρδος K p απεικονίζεται στο Σχ. 7-21 και µπορεί να βρεθεί αναλυτικά µε χρήση της χαρακτηριστικής εξίσωσης Εξ. (7-54). Σχήµα 7-21. Τόπος ριζών για µεταβαλλόµενο κέρδος K p σε κατευθυντή PD. Ένας τρόπος για να επιλέξουµε πρακτικά τα κέρδη ελέγχου είναι να αυξήσουµε το K p έτσι ώστε να πάρουµε µία γρήγορη απόκριση και στη συνέχεια να αυξήσουµε το K v για να αποσβέσουµε τις ταλαντώσεις. Βέβαια, αυτό δεν µπορεί να συνεχισθεί επ άπειρο. Πράγµατι, αύξηση των κερδών οδηγεί για κάποια σφάλµατα σε όλο και µεγαλύτερα ρεύµατα και ροπές που εφαρµόζει ο κινητήρας. Όµως, εδώ εµφανίζονται πολλοί περιορισµοί, όπως ο περιορισµός ρεύµατος και ο ισχύος από τον ενισχυτή καθώς και οι περιορισµοί ροπής από τον ίδιο τον κινητήρα. Σε ένα καλά σχεδιασµένο σύστηµα, οι περιορισµοί αυτοί εµφανίζονται περίπου µαζί. Άλλοι περιορισµοί έχουν σχέση µε το ίδιο το σύστηµα (ροµπότ) και ειδικότερα µε την ιδιοσυχνότητα του φορέα του, κάτι που θα µελετηθεί συνοπτικά στη συνέχεια. 7-20

Παράδειγµα 7-3 Θεωρούµε άρθρωση ροµπότ µε εξίσωση κλειστού βρόχου την εξής:!!! m + ( 1 + K v )! m + K p! m = K p! d + " d Οι προδιαγραφές σχεδιασµού απαιτούν, e p = e ss! 0.01 για! d = 1, " d = 0 και M p % = 0% για! d = 1, " d = 0 Ξεκινώντας από την πρώτη απαίτηση, έχουµε: e p =! d!! m,ss =! m,ss = " d K p " 0.01 # K p! 100 Για K p = 100, έχουµε:! n2 = K p = 100!! n = 10 rad s "1 Από τη δεύτερη προδιαγραφή, έχουµε, M p % = 0%!! = 1 Εποµένως, 2!" n = 20 = 1 + K v! K v = 19 Επανερχόµενοι στη µελέτη του νόµου ελέγχου, εξετάζουµε εάν το σφάλµα e τείνει στο µηδέν για µία γενική τροχιά. Η εξίσωση σφάλµατος, µε την υπόθεση µηδενικής διαταραχής, είναι, e!! + 2!" n e + " n2 e = #!! d + 2!"!!1 n #d! $ d J e (7-55) Παρατηρούµε ότι εάν! d =!"#$.! e ss = 0 (7-56) ηλαδή, τότε το σφάλµα µηδενίζεται. Αυτό ισχύει και όταν το! d αλλάζει αργά ως προς το εύρος ζώνης του κατευθυντή (ανάλογο του! n ). Εάν όµως, 7-21

! d = t!!! d = 1,!!! d = 0! e ss = e v = 2" # n " 0 (7-57) δηλαδή, το σφάλµα ταχύτητας παραµένει µη µηδενικό. 7-8-3 Έλεγχος Παρακολούθησης Τροχιάς Προκειµένου να πετύχουµε µηδενικό σφάλµα παρακολούθησης, µελετάµε τον κατευθυντή που απεικονίζεται στο Σχ. 7-22. Παρατηρούµε ότι ο κατευθυντής αυτός περιέχει και κέρδη που είναι συνάρτηση παραµέτρων του συστήµατος και εποµένως ανήκει στην κατηγορία των κατευθυντών που βασίζονται στο µοντέλο. Σχήµα 7-22. Έλεγχος παρακολούθησης µε κατευθυντή που βασίζεται στο µοντέλο του ελεγχόµενου συστήµατος. Για το σύστηµα αυτό, το δίνει: ( "!!! d + K p (! d!! m )+ K! v (!d!! #$ m )% &' J e + b, * e )!m! * -K + * K t K t + " d = J e!!! m +b e!m! (7-58) t.* Η Εξ. (7-58) ξαναγράφεται ως: J e ( e!! + K v!e + K p e) =!! d (7-59) Υποθέτοντας ότι! d = 0 και επειδή η ισοδύναµη αδράνεια είναι µη µηδενική, προκύπτει: e!! + K v!e + K p e = 0! e ss = 0 (7-60) δηλαδή, οποιοδήποτε σφάλµα παρακολούθησης προκύψει κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστήµατος, αυτό οδηγείται στο µηδέν µε απολύτως προβλέψιµο τρόπο, βλ. Σχ. 7-23. Τα K v και K p καθορίζουν ακριβώς τον τρόπο µε τον οποίο το σφάλµα θα συγκλίνει στο µηδέν. Από το σηµείο όπου το σφάλµα µηδενισθεί και µετά, η άρθρωση κινείται ακριβώς όπως ορίζει η εντολή. Για το λόγο αυτό ο νόµος ελέγχου του Σχ. 7-21, λέγεται Έλεγχος Παρακολούθησης Τροχιάς (tracking controller). 7-22

Σχήµα 7-23. Το σφάλµα παρακολούθησης οδηγείται στο µηδέν ασυµπτωτικά. Τα µειονεκτήµατα αυτού του νόµου ελέγχου είναι: Απαιτεί ακριβή γνώση των J e,b e, K m, τα οποία δεν είναι σταθερά. Είναι περίπλοκη µέθοδος. Οι διαταραχές οδηγούν και εδώ σε σφάλµατα µόνιµης κατάστασης. 7-8-4 Έλεγχος Αναλογικού- ιαφορικού-ολοκληρωτικού Τύπου (PID) Ο προηγούµενος νόµος ελέγχου, αν και µηδενίζει το σφάλµα παρακολούθησης όταν οι διαταραχές είναι µηδενικές, εµφανίζει σφάλµα όταν αυτές είναι µη µηδενικές. Για το λόγο αυτό, εξετάζουµε την προσθήκη ολοκληρωτή, που έχει την ικανότητα να ακυρώνει µία σταθερή ή αργά µεταβαλλόµενη διαταραχή. Με αυτό υπόψη, αντικαθιστούµε στο Σχ. 7-22 όπου K p e µε το K p e + K I! edt. Τότε το σχετικό τµήµα του Σχ. 7-22 µετατρέπεται σε αυτό του Σχ. 7-24. Η εξίσωση σφάλµατος γίνεται: J e ( e!! + K v!e + K p e + K I edt) = "! d (7-61) µε τα J e,! d : σταθερά. Η Εξ. (7-61) γράφεται µετά από µία παραγώγιση ως:! e!!! + K v e!! + K p!e + K I e =! d dt " # $! d J e % &' = 0 (7-62) Η Εξ. (7-62) αποδεικνύει ότι στην περίπτωση σταθερής διαταραχής, ο νόµος ελέγχου του Σχ. 7-24 οδηγεί το σφάλµα στο µηδέν ασυµπτωτικά εφόσον στη µόνιµη κατάσταση: K I e ss = 0! e ss = 0 (7-63) Εξετάζοντας τώρα τι συµβαίνει µε τη διαταραχή και ξεκινώντας από την Εξ. (7-61), βλέπουµε ότι, δηλαδή ισχύει ότι: " e!! + K!e v " + " K pe + K I! edt = "! d (7-64) J e =0 =0 =0 7-23

Σχήµα 7-24. Προσθήκη ολοκληρωτή στο νόµο ελέγχου του Σχ. 7-22 για αντιµετώπιση σταθερών διαταραχών.! edt = "! d (7-65) J e K I Με άλλα λόγια, ο ολοκληρωτής µε το χρόνο προσεγγίζει µία τιµή που παράγει ροπή για ακύρωση της διαταραχής, χωρίς όµως να απαιτεί µη µηδενικό σφάλµα για να κάνει κάτι τέτοιο. Το Σχ. 7-25 απεικονίζει το γεγονός ότι αν και το σφάλµα παρακολούθησης οδηγείται στο µηδέν, το ολοκλήρωµά του είναι µη µηδενικό. Σχήµα 7-25. Ολοκλήρωµα σφάλµατος µη µηδενικό. Γενικά, η χρήση ολοκληρωτών στο νόµο ελέγχου απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή. Τα προβλήµατα που µπορεί να παρουσιασθούν είναι τρία: (α) Ευστάθεια. Η συνθήκη K v, K p, K I > 0, δεν είναι αρκετή για ευσταθές σύστηµα. Πρέπει επιπλέον να ισχύει K v K p > K I. (β) Φόρτωµα ολοκληρωτή (integrator windup) παρουσία κορεσµού. (γ) Επαναφορά αρχικών συνθηκών ολοκληρωτή (integrator initial conditions-reset). 7-9 Περιορισµοί στην Επιλογή των Κερδών Αν και γενικά κάθε ελεγχόµενο σύστηµα µοιάζει να βελτιώνει την απόκρισή του όταν χρησιµοποιούµε απλά µοντέλα σε προσοµοίωση (Matlab), στην πράξη αυτό δεν είναι εφικτό. Οι κυριότεροι περιορισµοί για το άνω όριο των κερδών είναι: 7-24

7-9-1 Περιορισµοί Οδήγησης Για την περίπτωση κινητήρα που ελέγχεται µε ρεύµα, και ο νόµος ελέγχου είναι τύπου PD, τότε, u = i a = K p e! K v!!m < i max (7-66) όπου το i max είναι σταθερό όσο ο ενισχυτής δεν ξεπερνά τη µέγιστη ισχύ του, ενώ από εκεί και πέρα εξαρτάται και από τις στροφές του κινητήρα. Επειδή συνήθως το σφάλµα είναι µέγιστο στην εκκίνηση, όπου η ταχύτητα είναι µηδέν, µπορεί προσεγγιστικά να χρησιµοποιηθεί η σχέση K p e < i max (7-67) Ανάλογα ισχύουν για ενισχυτή που ελέγχει κινητήρα µε τάση. Στην περίπτωση αυτή όµως, ο περιορισµός είναι να µην ξεπεραστεί η τάση τροφοδοσίας του ενισχυτή. Εάν ο νόµος ελέγχου είναι τύπου PD, τότε, u = v a = K p e! K v!!m < v max (7-68) 7-9-2 Θόρυβος Ο θόρυβος εµφανίζεται ως είσοδος στο σύστηµα κλειστού βρόχου. Αύξηση των κερδών αναγκάζει το σύστηµα ελέγχου να ακολουθεί και να ενισχύει το θόρυβο, µε αποτέλεσµα τη µείωση της ακρίβειάς του. 7-9-3 Μη Μοντελοποιηµένη υναµική-ευκαµψία Το ροµπότ έχει κάποια ιδιοσυχνότητα (χαµηλότερη φυσική συχνότητα της κατασκευής, resonant frequency),! res, που µάλιστα εξαρτάται από τη διαµόρφωση (θέση) στην οποία βρίσκεται. Κατά το σχεδιασµό, όµως, του συστήµατος ελέγχου, υποθέτουµε ότι το ροµπότ αποτελείται από στερεά µόνο σώµατα. Εάν όµως τα κέρδη ελέγχου µεγαλώσουν πολύ και η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος κλειστού βρόχου πλησιάσει την ιδιοσυχνότητα των πόλων της δυναµικής που δεν έχει µοντελοποιηθεί, τότε το ροµπότ θα αρχίσει να ταλαντώνεται, παρόλο που η δυναµική κλειστού βρόχου δεν προβλέπει κάτι τέτοιο. Σε ορισµένες µάλιστα περιπτώσεις, το πρόβληµα αυτό µπορεί να οδηγήσει ακόµη και σε αστάθεια. Για το λόγο αυτό, επιλέγουµε συχνότητα κλειστού βρόχου τουλάχιστον 2 φορές µικρότερη της χαµηλότερης ιδιοσυχνότητας του ροµπότ και ιδανικά, πέντε φορές χαµηλότερη,! n ( K p ) < 2! res (7-69) Στη συνέχεια, δίνουµε µερικά στοιχεία σχετικά µε τον προσδιορισµό της ιδιοσυχνότητας µηχανικών συστηµάτων. (α) Μάζα-ελατήριο. Το απλούστερο µοντέλο µηχανικού συστήµατος µε ταλαντωτική συµπεριφορά και ιδιοσυχνότητα είναι µία µάζα προσαρτηµένη σε ελατήριο, βλ. Σχ. 7-26. Θεωρώντας ελατήριο µηδενικής µάζας, έχουµε: m!! x =!K x "!! x + K m x = 0 (7-70) 7-25

Σχήµα 7-26. Στοιχειώδες µοντέλο ευκαµψίας ροµπότ.! n =! res = K m (7-71) K! = mg! K m = g! (7-72)! res = g! (7-73) Η Εξ. (7-73) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον προσεγγιστικό προσδιορισµό της ιδιοσυχνότητας του ροµπότ, µέσω υπολογισµού του βέλους κάµψης που παρουσιάζει. (β) Πακτωµένη δοκός. Ένα συνθετότερο µοντέλο είναι αυτό που παρίσταται στο Σχ. 7-27. Χωρίς απόδειξη, ισχύει! = mgl3 8EI = mg K eq (7-74) όπου E είναι το µέτρο ελαστικότητας! N m "# -2 $ και I η ροπή αδράνειας της διατοµής της %& δοκού,! m "# 4 $. Τότε, η ιδιοσυχνότητα υπολογίζεται ως, %&! res = 8EI ml 3 (7-75) Σχήµα 7-27. Πακτωµένη δοκός µε βέλος κάµψης. (γ) οκός-στροφικό Ελατήριο. Κάθε άξονας είναι ένα στροφικό ελατήριο µε µεγάλη βέβαια δυσκαµψία, βλ. Σχ. 7-28. Για ένα άγονα, η σταθερά στροφικού ελατηρίου δίνεται από τη σχέση: K s = G!d 4 32l s! Nm $ # & (7-76) " rad % όπου G είναι το µέτρο ελαστικότητας σε διάτµηση! N m "# -2 $ %& ορίζονται στο Σχ. 7-28. και οι υπόλοιπες παράµετροι 7-26

Σχήµα 7-28. Αριστερά. Μοντέλο εύκαµπτου άξονα. εξιά. Εύκαµπτος άξονας µε στερεό σύνδεσµο. Στην περίπτωση αυτή, το βέλος κάµψης είναι:! = mgl cl K s! m$ "# %& (7-77) Χρησιµοποιώντας την Εξ. (7-77) έχουµε:! res = K s ml c l (7-78) Παράδειγµα 7-4 Θέλουµε να υπολογίσουµε την ιδιοσυχνότητα συστήµατος εύκαµπτου άξονα και συνδέσµου µε µετάδοση µέσω µειωτήρα. ίνονται τα στοιχεία που ακολουθούν, πολλά από τα οποία ορίζονται στο Σχ. 7-29. Ο άξονας είναι από χάλυβα, ενώ ο σύνδεσµος από αλουµίνιο. G s = 7.5!10 10 Nm "2!"#$%&' d s = 0.7cm l s = 30cm n = 20 E a = 7!10 10 Nm "2! a = 2643 Kgm "3 l a = 100cm H = 5cm h = 4cm!"#$µ%&'# Η µάζα του συνδέσµου είναι: Η σταθερά ελατηρίου του άξονα είναι: m a =! a V a =! a ( H 2!h 2 )l a = 2.38kg ( 7.5!10 10 )3.14 0.7 4 " % # $ 100& ' K s = = 58.9Nmrad (1 32( 0.3) 7-27

Σχήµα 7-29. Σύστηµα άξονα-συνδέσµου για προσδιορισµό ιδιοσυχνότητας. Η σταθερά αυτή, από την πλευρά του συνδέσµου φαίνεται µεγαλύτερη λόγω της µείωσης:! K s = n 2 K s = 23560 Nmrad "1 Το βέλος κάµψης λόγω του χαλύβδινου άξονα, βλ. Σχ. 7-30, υπολογίζεται τότε ως εξής:! m a g l $ a "# 2 %& l a! s = = 2.38(9.81(0.5(1 = 0.5mm K s ' 23560 Σχήµα 7-30. Βέλος κάµψης λόγω του εύκαµπτου άξονα. Η ροπή αδράνειας που αντιστοιχεί στη διατοµή του συνδέσµου δίνεται από πίνακες ως I a = H 4!h 4 12 = 3.08"10!7 m 4 Με χρήση της Εξ. (7-74), το βέλος κάµψης λόγω του αλουµινένιου συνδέσµου υπολογίζεται ως εξής:! a = m agl a 3 E a I a 8 = 2.38!9.81!1 3 7!10 10!3.08!10 "7!8 = 0.14mm Εποµένως, το συνολικό βέλος υπολογίζεται ως η υπέρθεση των επί µέρους βελών (βέλη µικρά), βλ. Σχ. 7-31, Σχήµα 7-31. Υπέρθεση βελών για προσδιορισµό ιδιοσυχνότητας. 7-28

! total =! s +! a = 0.64mm Με χρήση αυτού του αποτελέσµατος, η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος που µελετάµε υπολογίζεται ως,! res = g! total = 124 rad s!1 " 20Hz Το αποτέλεσµα αυτό είναι σε συµφωνία µε τις συνήθεις ιδιοσυχνότητες ροµποτικών συστηµάτων που βρίσκονται στην περιοχή 4! 70Hz. 7-10 Τοποθέτηση Πόλων Η µέθοδος αυτή είναι πολύ χρήσιµη όταν γνωρίζουµε που πρέπει να τοποθετηθούν οι πόλοι του συστήµατος κλειστού βρόχου για να έχουµε καλή και υλοποιήσιµη απόκριση. Εξετάζουµε τη µέθοδο µε ένα παράδειγµα. Έστω ότι έχουµε την επόµενη χαρακτηριστική εξίσωση µε συντελεστές που είναι συνάρτηση των κερδών του νόµου ελέγχου: s 3 + K v s 2 + K p s + K I = 0 (7-79) Θέλουµε οι πόλοι του συστήµατος αυτού να είναι σε ορισµένες θέσεις. Αυτές µπορούν να είναι µία στον πραγµατικό άξονα και δύο στο µιγαδικό επίπεδο σε συζυγείς θέσεις, ή και οι τρεις στον πραγµατικό άξονα. Εποµένως, θα πρέπει να ισχύει, βλ. και Σχ. 7-32, s 3 + K v s 2 + K p s + K I = ( s +a) ( s 2 + 2!"s + " 2 ) = ( s +a) ( s +b) ( s +c) (7-80) Σχήµα 7-32. Υποψήφιες θέσεις πόλων που αντιστοιχούν στην Εξ. (7-79). Εξισώνοντας το αριστερό και ένα από τα δεξιά µέλη της Εξ. (7-80), έχουµε ένα σύστηµα εξισώσεων που µας δίνουν τα κέρδη ελέγχου που απαιτούνται για να βρεθούν οι πόλοι στην επιθυµητή θέση. Βέβαια, το ερώτηµα που προκύπτει είναι ποια είναι η θέση αυτή. Για να απαντήσουµε το ερώτηµα αυτό, χρησιµοποιούµε το Σχ. 7-33. Το Σχ. 7-33 υποδεικνύει τα εξής. Οι πόλοι δεν πρέπει να έχουν ζ µικρότερο από 0,7 για αποφυγή ταλαντώσεων. εν πρέπει να η απόστασή τους από την αρχή να είναι µεγάλη διότι τότε αλληλεπιδρούν µε την ιδιοσυχνότητα του ροµπότ. εν πρέπει να είναι πολύ κοντά στην αρχή, διότι τότε το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι πολύ αργό και δεν µπορεί να παρακολουθήσει τις εντολές. 7-29

Σχήµα 7-33. Επιθυµητή θέση πόλων. Με αυτές τις παρατηρήσεις, προκύπτει ότι πρέπει να επιλέγουµε, πόλους µε! n =! servo τέτοια ώστε,!!"#$%&'!! servo <! res (7-81) ενώ συγχρόνως πρέπει η δειγµατοληψία να είναι γρήγορη, δηλ.! sampling! 10! servo. Τα επόµενα αποτελούν παράδειγµα συχνοτήτων.! res = 2" ( 40Hz )! servo = 2" ( 15Hz )! sampling! 2" ( 150Hz )!!"#$. = 2" ( 15Hz ) Όσο µεγαλύτερη είναι η διαφορά των συχνοτήτων, τόσο το καλύτερο. 7-30