Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2 Αν R είναι ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, με περισσότερα από ένα στοιχείο, και χωρίς διαιρέτες του μηδενός, δείξτε ότι ισχύει ab = 1 αν και μόνον αν ba = 1. (Υπόδειξη. Προφανώς a 0 και b 0. Αν ab = 1, τότε (ba)(ba) = b(ab)a = ba ba(ba 1) = 0. Όμως ba 0, διότι διαφορετικά θα ήταν a = 1 a = (ab)a = a(ba) = 0.) Ά σ κ η σ η 1.3 Ένας δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός τότε και μόνον τότε όταν για οποιαδήποτε στοιχεία a και b του R ισχύει (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Ά σ κ η σ η 1.4 Να βρεθούν οι διαιρέτες του μηδενός και τα αντιστρέψιμα στοιχεία των δακτυλίων Z 8, Z 12 και Z 7. Ά σ κ η σ η 1.5 Δείξτε ότι ένας δακτύλιος R με μοναδιαίο στοιχείο είναι αντιμεταθετικός αν και μόνον αν ισχύει (ab) 2 = a 2 b 2, για κάθε a, b R. Ά σ κ η σ η 1.6 Δείξτε ότι, για κάθε ελεύθερου τετραγώνου ακέραιο n, το σύνολο Z[ n] = {a + b n/a, b Z} είναι μια ακεραία περιοχή. Είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου R, όταν ο n είναι θετικός, και υποδακτύλιος του δακτυλίου C, όταν ο n είναι αρνητικός αριθμός. Ά σ κ η σ η 1.7 Δείξτε ότι ο δακτύλιος Z[ 3] έχει άπειρα αντιστρέψιμα στοιχεία. (Υπόδειξη: Παρατηρείστε ότι (2 + 3)(2 3) = 1, και θεωρείστε, για κάθε φυσικό αριθμό n, τις δυνάμεις (2 + 3) n.) Ά σ κ η σ η 1.8 Δείξτε ότι ένας δακτύλιος R με μοναδιαίο στοιχείο, που περιέχει υποδακτύλιο S με μοναδιαίο στοιχείο διάφορο από αυτό του R, δεν είναι ποτέ ακεραία περιοχή. Ά σ κ η σ η 1.9 Δείξτε ότι, για κάθε ελεύθερου τετραγώνου ακέραιο n, το σύνολο Q[ n] = {a + b n/a, b Q}, είναι υπόσωμα του R, όταν n > 0, ή υπόσωμα του C, όταν n < 0. Να εξεταστεί αν το σύνολο {a + b 3 2/a, b Q} είναι υπόσωμα του R. 1

Ά σ κ η σ η 1.10 Αν i = 1, δείξτε ότι το σύνολο Z[i] = {a + bi/a, b Z} είναι υποδακτύλιος του C. Να εξεταστεί αν ο δακτύλιος Z[i] είναι ακεραία περιοχή. Ο δακτύλιος Z[i] λέγεται δακτύλιος του Gauss. Ά σ κ η σ η 1.11 Δείξτε ότι σε ένα πεπερασμένο δακτύλιο R με n στοιχεία ισχύει η σχέση na = 0, για κάθε a R. Ά σ κ η σ η 1.12 Αν R είναι ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, δείξτε ότι το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του R αποτελεί μια πολλαπλασιαστική ομάδα. Ά σ κ η σ η 1.13 Έστω a τυχόν στοιχείο ενός δακτυλίου R. Δείξτε ότι το σύνολο C(a) = {r R/ra = ar} είναι υποδακτύλιος του R. 2 Ομάδα II Ά σ κ η σ η 2.1 Έστω R ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο 1 και a ένα αντιστρέψιμο στοιχείο του R. Δείξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται από τη σχέση f(r) = ara 1, για κάθε r R, είναι ένας αυτομορφισμός του R. Ά σ κ η σ η 2.2 Έστω f : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων, και έστω ότι ισχύει char R > 0. Δείξτε ότι ισχύει η σχέση 0 < char f(r) char R. Ά σ κ η σ η 2.3 Αν f : R R είναι ένας ενδομορφισμός του R, δείξτε ότι το σύνολο S = {a R/f(a) = a} είναι υποδακτύλιος του R. Ά σ κ η σ η 2.4 Θεωρούμε το δακτύλιο M 2 (Z) όλων των 2 2 πινάκων με στοιχεία ακέραιους αριθμούς. Δείξτε ότι (i) Το υποσύνολο S = {( n 0 2n 0 ) /n Z} του M 2 (Z) είναι υποδακτύλιος του M 2 (Z). (ii) Ο δακτύλιος S είναι ισόμορφος με τον δακτύλιο Z των ακεραίων. Ά σ κ η σ η 2.5 Έστω f : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων τέτοιος, ώστε να ισχύει f(r) 0 για κάποιο r R {0}. Αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο 1, και ο S δεν έχει διαιρέτες του μηδενός, δείξτε ότι το f(1) είναι μοναδιαίο στοιχείο του S. (Υπόδειξη: Για κάθε s S ισχύουν f(r)s = f(r 1)s = f(r)f(1)s και sf(r) = sf(1 r) = sf(1)f(r).) Ά σ κ η σ η 2.6 Δίνονται τα υποσώματα του σώματος R, των πραγματικών αριθμών F = Q( 2) = {a + b 2/a, b Q}, και K = Q( 3) = {a + b 3/a, b Q}. Να εξεταστεί αν τα σώματα αυτά είναι ισόμορφα. 2

Ά σ κ η σ η 2.7 Δείξτε ότι το σύνολο F = {( a ) } b b a /a, b R, εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πινάκων, είναι ένα σώμα ισόμορφο με το σώμα C των μιγαδικών αριθμών. 3 Ομάδα III Ά σ κ η σ η 3.1 Έστω Z[x] ο δακτύλιος όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι το σύνολο S όλων των σταθερών πολυωνύμων του Z[x] είναι υποδακτύλιος αλλά όχι ιδεώδες του Z[x]. Ά σ κ η σ η 3.2 Έστω Z[x] ο δακτύλιος όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι το σύνολο I όλων των πολυωνύμων του Z[x] με άρτιο σταθερό όρο είναι ένα ιδεώδες του Z[x]. Δείξτε ότι το ιδεώδες I δεν είναι κύριο. (Υπόδειξη. Αν I = ( p(x) ), τότε το 2 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του p(x), διότι 2 I. Δηλαδή p(x) = ±2. Επομένως θα πρέπει να ισχύει x = (±2)r(x), διότι x I.) Ά σ κ η σ η 3.3 Αν I 1, I 2,, I n, είναι ιδεώδη ενός δακτυλίου R, τέτοια ώστε να ισχύει I 1 I 2 I n, δείξτε ότι η ένωση I = I i, i=1 όλων των ιδεωδών I i, είναι επίσης ιδεώδες του R. Ά σ κ η σ η 3.4 Έστω F ένα σώμα, και φ ένας αυτομορφισμός του F. Δείξτε ότι το σύνολο L = {x F /φ(x) = x}, όλων των στοιχείων του F που σταθεροποιούνται από τον αυτομορφισμό φ, αποτελεί υπόσωμα του F. Ά σ κ η σ η 3.5 Έστω a τυχόν στοιχείο ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R. Δείξτε ότι το σύνολο I = {x R/xa = 0} είναι ένα ιδεώδες του R. Ά σ κ η σ η 3.6 Δείξτε ότι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος R με μοναδιαίο στοιχείο, και μοναδικά ιδεώδη τα (0) και R είναι σώμα. Ά σ κ η σ η 3.7 Έστω F ένα σώμα χαρακτηριστικής p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός, και k ένας ακέραιος που δεν διαιρείται από τον p. Δείξτε ότι αν a F και ισχύει ka = 0, τότε θα είναι a = 0. Ά σ κ η σ η 3.8 Αν D είναι μια πεπερασμένη ακεραία περιοχή, δείξτε ότι για κάθε μη μηδενικό στοιχείο a D, υπάρχει ένας θετικός ακέραιος k τέτοιος, ώστε να ισχύει a 1 = a k. Ά σ κ η σ η 3.9 Να βρεθούν όλα τα διαφορετικά κύρια ιδεώδη των δακτυλίων Z 5, Z 9 και Z 12. 3

Ά σ κ η σ η 3.10 Δείξτε ότι το σύνολο όλων των μη αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου Z 8 είναι ένα ιδεώδες του Z 8. Δείξτε το ίδιο για το δακτύλιο Z 9. Δώστε παράδειγμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R με μοναδιαίο στοιχείο, στον οποίο το σύνολο των μη αντιστρέψιμων στοιχείων δεν είναι ιδεώδες του R. 4 Ομάδα IV Ά σ κ η σ η 4.1 Έστω Z[x] το σύνολο όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και I το σύνολο όλων των πολυωνύμων του Z[x] με άρτιο σταθερό όρο. Δείξτε ότι το I είναι ένα ιδεώδες του Z[x] και να προσδιοριστεί ο δακτύλιος πηλίκο Z[x]/I. Ά σ κ η σ η 4.2 Δείξτε ότι ισχύει Z[x]/ ( x ) = Z. Ά σ κ η σ η 4.3 Θεωρούμε τα σύνολα {( ) } {( a b R = /a, b R, και I = 0 a 0 b 0 0 ) /b R Δείξτε ότι το R είναι ένας δακτύλιος με πράξεις την πρόσθεση, και τον πολλαπλασιασμό πινάκων, και το I ένα ιδεώδες του R. Να προσδιοριστεί η μορφή των στοιχείων στον δακτύλιο πηλίκο R/I. Ά σ κ η σ η 4.4 Αν F είναι σώμα, R ένας μη μηδενικός δακτύλιος, και η f : F R είναι ένας επιμορφισμός δακτυλίων, δείξτε ότι ο δακτύλιος R είναι σώμα. Ά σ κ η σ η 4.5 Αν I 1 και I 2 είναι ιδεώδη ενός δακτυλίου R τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση R = I 1 I 2, δείξτε ότι θα ισχύουν R/I 1 = I2 και R/I 2 = I1. Ά σ κ η σ η 4.6 Δείξτε ότι ισχύει Z 20 / ( 5 ) = Z5. Ά σ κ η σ η 4.7 Έστω f : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων, και F ένας υποδακτύλιος του R, ο οποίος συμβαίνει να είναι σώμα. Δείξτε ότι αναγκαστικά θα ισχύει F Ker f ή ο δακτύλιος S περιέχει έναν υποδακτύλιο ισόμορφο με τον F. Ά σ κ η σ η 4.8 Δείξτε ότι κάθε υπόσωμα του σώματος R των πραγματικών αριθμών περιέχει αναγκαστικά το σώμα Q των ρητών αριθμών. }. 5 Ομάδα V Ά σ κ η σ η 5.1 Δείξτε ότι σε ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο R με μοναδιαίο στοιχείο οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) R είναι σώμα, (ii) ( 0 ) είναι μέγιστο ιδεώδες στο R, (iii) R δεν έχει μη μηδενικά γνήσια ιδεώδη. 4

Ά σ κ η σ η 5.2 Να βρεθεί ένα μέγιστο ιδεώδες I του δακτυλίου Z 8. Δίνεται το στοιχείο 3 + I του σώματος Z 8 /I. Να βρεθεί το αντίστροφό του. Ά σ κ η σ η 5.3 Έστω R μια ακεραία περιοχή και p 0 ένα στοιχείο της R. Υποθέτουμε ότι το ( p ) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R. Αν ισχύει p = ab, δείξτε ότι θα πρέπει να είναι a αντιστρέψιμο ή b αντιστρέψιμο. Ά σ κ η σ η 5.4 Έστω f : R S ένας επιμορφισμός αντιμεταθετικών δακτυλίων. Δείξτε ότι ισχύουν (i) αν M είναι μέγιστο ιδεώδες του R που περιέχει τον πυρήνα Ker f, τότε το f(m) είναι μέγιστο ιδεώδες του S. (ii) αν P είναι πρώτο ιδεώδες του R που περιέχει τον πυρήνα Ker f, τότε το f(p ) είναι πρώτο ιδεώδες του S. (iii) αν M είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του S, τότε το f 1 (M ) είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του R. (iv) αν P είναι ένα πρώτο ιδεώδες του S, τότε το f 1 (P ) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R. Δείξτε όλα τα προηγούμενα στην περίπτωση που οι δακτύλιοι R και S περιέχουν μοναδιαίο στοιχείο. Ά σ κ η σ η 5.5 Δίνεται ο δακτύλιος R[x] όλων των πολυωνύμων με συντελεστές από το σώμα των πραγματικών αριθμών και ένας πραγματικός αριθμός a. Δείξτε ότι το σύνολο I = {φ(x) R[x]/φ(a) = 0} είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου R[x]. Ά σ κ η σ η 5.6 Αν I είναι το ιδεώδες του δακτυλίου R[x] που παράγεται από το πολυώνυμο x 2 + 1, δείξτε ότι ισχύει R[x]/ ( x 2 + 1 ) = C. Ά σ κ η σ η 5.7 Ένα γνήσιο ιδεώδες M ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R με μοναδιαίο στοιχείο είναι μέγιστο αν και μόνον αν για κάθε r R M υπάρχει στοιχείο x R τέτοιο ώστε να ισχύει 1 rx M. 6 Ομάδα VI Ά σ κ η σ η 6.1 Δείξτε ότι ο δακτύλιος Z[ 6] δεν είναι δακτύλιος με μονσήμαντη ανάλυση. Ά σ κ η σ η 6.2 Δείξτε ότι τα στοιχεία 2, 3 + 5 και 3 5 είναι ανάγωγα, αλλά όχι πρώτα στοιχεία του δακτυλίου Z[ 5]. Ά σ κ η σ η 6.3 (i) Δείξτε ότι τα στοιχεία 3, 2 + 5 και 2 5 είναι ανάγωγα, αλλά όχι πρώτα στοιχεία του δακτυλίου Z[ 5]. 5

Ά σ κ η σ η 6.4 Δείξτε ότι τα στοιχεία a = 1 + 3 και b = 1 3 του δακτυλίου Z[ 3] είναι πρώτα μεταξύ τους. Ά σ κ η σ η 6.5 Έστω R δακτύλιος με μονοσήμαντη ανάλυση, και P ένα μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες του R. Δείξτε ότι υπάρχει ένα στοιχείο a R {0} τέτοιο, ώστε να ισχύει Ra P, και Ra πρώτο ιδεώδες του R. Ά σ κ η σ η 6.6 Δείξτε ότι ο αριθμός 5 είναι ένα πρώτο στοιχείο του δακτυλίου Z[ 2], αλλά δεν είναι πρώτο στοιχείο στο δακτύλιο Z[i]. Να εξεταστεί πότε ένας πρώτος φυσικός αριθμός είναι πρώτο στοιχείο και στο δακτύλιο Z[i]. Ά σ κ η σ η 6.7 Δείξτε ότι το σύνολο R = { a 2 n /a Z, n N }, εφοδιασμένο με τις συνήθεις πράξεις των ρητών αριθμών, είναι μια ακεραία περιοχή. Να βρεθούν τα αντιστρέψιμα στοιχεία του R, και να εξεταστεί αν τα στοιχεία 2 και 6 είναι ανάγωγα στοιχεία του R. 7 Ομάδα VII Ά σ κ η σ η 7.1 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο φ(x) είναι παράγοντας του πολυωνύμου ψ(x) στον αντίστοιχο δακτύλιο, σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις. (i) (ii) (ii) φ(x) = x 3, ψ(x) = 3x 3 9x 2 7x + 21 στο Q[x], φ(x) = x + 2, ψ(x) = x 3 + 8x 2 + 6x 8 στο R[x], φ(x) = x 2, ψ(x) = 2x 5 3x 4 4x 3 + 3x στο Z 5 [x]. Ά σ κ η σ η 7.2 Να βρεθούν όλοι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί p, για τους οποίους το πολυώνυμο x 2 είναι παράγοντας του x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 2 στο δακτύλιο Z p. Ά σ κ η σ η 7.3 Να βρεθούν οι τιμές του k Q, ώστε το x 1 να είναι παράγοντας του πολυωνύμου k 2 x 3 + 2x 2 2kx k στο δακτύλιο Q[x]. Ά σ κ η σ η 7.4 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο x + 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου x 3 + 2x 2 + x + 2 του δακτυλίου Z 3 [x]. Ά σ κ η σ η 7.5 Να βρεθεί ο αριθμός όλων των πολυωνύμων βαθμού δύο και τρία στο δακτύλιο Z 4 [x]. Να γίνει το ίδιο για το δακτύλιο Z 5 [x]. Ά σ κ η σ η 7.6 Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι ανάγωγα στο δακτύλιο Z[x], ή στο δακτύλιο Q[x]. (i) 2x 6 (ii) 3x + 2 (iii) 5x + 25 (iv) 2x 7 6

Ά σ κ η σ η 7.7 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο φ(x) = x 4 x 2 + 2x + 1 είναι ανάγωγο στο δακτύλιο Q[x]. Ά σ κ η σ η 7.8 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο φ(x) = x 4 + x 2 + 2x + 1 είναι ανάγωγο στο δακτύλιο Z 3 [x]. Ά σ κ η σ η 7.9 Έστω F ένα σώμα, και f(x), g(x) F [x]. Αν f(x) = kg(x), όπου k F {0}, δείξτε ότι τα πολυώνυμα f(x) και g(x) έχουν το ίδιο σύνολο ριζών. Να εξεταστεί αν ισχύει και το αντίστροφο. Ά σ κ η σ η 7.10 Έστω R μια ακεραία περιοχή και φ(x), ψ(x) πολυώνυμα του R[x] βαθμού m. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν m + 1 διαφορετικά στοιχεία a 1, a 2,, a m+1 του R, τέτοια ώστε να ισχύει φ(a k ) = ψ(a k ), για κάθε k = 1, 2,..., m + 1. Δείξτε ότι θα ισχύει φ(x) = ψ(x). Ά σ κ η σ η 7.11 Θεωρούμε το σώμα F = Z 11, και το πολυώνυμο p(x) = x 2 + 1 F [x]. Δείξτε ότι το πολυώνυμο p(x) είναι ανάγωγο στο F [x]. Επίσης, δείξτε ότι ο δακτύλιος πηλίκο F [x]/ ( p(x) ) είναι ένα σώμα με 121 στοιχεία. 8 Ομάδα VIII Ά σ κ η σ η 8.1 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. φ(x) = 2x 5 6x 3 + 9x 2 15 στο Q[x], 2. g(x) = 8x 3 + 6x 2 9x + 24 στο Z[x], 3. ψ(x) = x 17 + 6x 13 15x 4 + 3x 2 9x + 12 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.2 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. φ(x) = x 3 + 2x 2 + 5x + 2 στο Z[x], 2. g(x) = x 3 + 6x 2 + 5x + 25 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.3 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. σ(x) = x 3 + 6x 2 + 5x + 25 στο Q[x], 2. φ(x) = x 3 + 6x 2 + 13x + 17 στο Z[x], 3. g(x) = x 5 + 8x 4 + 3x 2 + 4x + 7 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.4 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. φ(x) = 1 + x + x 2 + + x p 1, p πρώτος, στο Z[x], 7

2. g(x) = x 4 + 4x + 1 στο Q[x], 3. τ(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.5 Να εξεταστεί αν ο δακτύλιος πηλίκο Z 2 [x]/(x 4 + x + 1) είναι σώμα, και να βρεθεί η μορφή των στοιχείων του. 9 Ομάδα IX Ά σ κ η σ η 9.1 Δείξτε ότι το σύνολο Q( 3, 5) = Q( 3)( 5) = {a + b 5/a, b Q( 3)} είναι υπόσωμα του σώματος R των πραγματικών αριθμών και περιέχει το Q. Να βρεθεί ο βαθμός επέκτασης [Q( 3, 5) : Q] του Q( 3, 5) πάνω στο Q. Ά σ κ η σ η 9.2 Θεωρούμε ένα πεπερασμένο σώμα K και ένα υπόσωμα F του K τέτοιο, ώστε [K : F ] = n. Αν το F περιέχει p στοιχεία, δείξτε ότι το σώμα K περιέχει p n στοιχεία. Ά σ κ η σ η 9.3 Δείξτε ότι ένα πεπερασμένο σώμα περιέχει p n στοιχεία για κάποιο πρώτο αριθμό p και κάποιο θετικό ακέραιο n. Ά σ κ η σ η 9.4 Δείξτε ότι ο μιγαδικός αριθμός a = 1+i είναι ένα αλγεβρικό στοιχείο πάνω στο σώμα Q των ρητών αριθμών. Ά σ κ η σ η 9.5 Δείξτε ότι ο πραγματικός αριθμός a = 1 + 3 1 + 2 είναι ένα αλγεβρικό στοιχείο πάνω στο σώμα Q των ρητών αριθμών. Ά σ κ η σ η 9.6 Συμβολίζουμε με u τη θετική πραγματική τετάρτη ρίζα του 2. Δείξτε ότι η απλή επέκταση Q(u) του σώματος Q είναι αλγεβρική πάνω στο Q. Επίσης, να βρεθούν: (i) το ελάχιστο πολυώνυμο του u πάνω στο Q, (ii) ο βαθμός επέκτασης [Q(u) : Q] του Q(u) πάνω στο Q, και (iii) το αντίστροφο του στοιχείου a = 2 u 4 + 3u 5 του Q(u). Ά σ κ η σ η 9.7 Να κατασκευαστεί ένα σώμα με 2 3 = 8 στοιχεία. 8