Στην διάταξη του σχήµατος (1) η διπλή τροχα λία θεωρείται µε αµελητέα µάζα και εφάπτεται λείου κεκλιµένου επιπέδου και κατακόρυφου τοίχου. Στο εσωτερικό αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα στο άκρο του οποίου έχει δεθεί σώµα Σ µάζας m. Nα βρείτε για ποιες τιµές του συντελεστή οριακής τιµής µεταξύ τροχαλίας και τοίχου εξασφαλίζεται η ισορ ροπία του συστήµατος. Δίνονται οι ακτίνες R, r της τροχαλίας µε R>r, η γωνία κλίσεως φ του κεκλιµένου επιπέδου ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το σύστηµα διπλή τροχαλία-σώµα ισορροπεί. Η τροχαλία δέχεται την δύναµη Q από το νήµα που περιβάλλει το εσωτερικό της αυλάκι, ίση µε το βάρος m g του σώµατος Σ, την δύναµη επαφής F από το λείο κεκλιµένο επίπεδο της οποίας ο φορέας ως κάθετος στο επίπεδο αυτό διέρχεται από το κέντρο Κ της τροχαλίας και τέλος την δύναµη επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην κάθετη προς αυτόν συνιστώσα N (κάθετη Σχήµα 1 αντίδραση) και στην παράλληλη προς αυτόν συνιστώσα T (στατική τριβή) µε φορά προς τα πάνω, διότι η τροχαλία τείνει να ολισθήσει επί του τοίχου προς τα κάτω. Λόγω της ισορροπίας της τροχαλίας η συνολίκη ροπή όλων αυτών των δυνάµεων περί το κέντρο της Κ είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύ ει η σχέση: (K) = TR - Qr = T = mgr/r (1)
Eξάλλου και η συνισταµένη των οριζόντιων αλλά και των κατακόρυφων δυνάµεων που ενεργούν επί της τροχαλίας είναι µηδενική, δηλαδή έχουµε τις σχέσεις: και (x) = N - F x = N = F"$ () (1) (y) = T + F y - Q = T = -Fµ" + mg mgr/r = -Fµ" + mg F = mg( 1 - r/r) / µ" (3) Συνδυάζοντας την () µε την (3) παίρνουµε: N = mg( 1 - r/r) "$ / %µ$ (4) Όµως η τριβή είναι στατική και εποµένως ακολουθεί την σχέση: (1),(4) T nn mgr R nmg( 1 - r/r) "$% &µ% r" R $ n % 1 - r ( ' * n r"$ & R ) R - r (5) H (5) καθορίζει τις τιµές του συντελεστή οριακής τριβής n µεταξύ τροχαλίας και τοίχου, για τις οποίες το σύστηµα ισορροπεί. P.M. fysikos H αβαρής ράβδος ΑΒ του σχήµατος () έχει µή κος L και στηρίζεται µε το άκρο της Α επί λείου κατακόρυφου τοίχου, ενώ το άκρο της Β εφάπτεται σε τραχύ οριζόντιο εδάφος. Όταν στο µέσον C της ράβδου ενεργεί εξωτερική κατακόρυφη δυνα µη F, τότε αυτή ισορροπεί υπό κλίση φ ως προς το έδαφος. i) Nα βρείτε τις αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης Α και Β της ράβ δου. ii) Θεωρείστε µια νοητή κάθετη τοµή της ράβδου στο µέσο a του τµήµατος ΑC αυτής. Να δείξετε ότι λόγω της αλληλεπίδρασης των δύο µερών της ράβδου που βρίσκονται εκατέρωθεν της τοµής a εµφανίζονται στην τοµή αυτή µια εσωτερική δύναµη και µια εσωτε ρική ροπή, των οποίων να προσδιορίσετε τα στοιχεία. iii) Να βείτε την αντίστοιχη εσωτερική δύναµη και εσωτερική ροπή στην κάθετη τοµή στο µέσο b του τµήµατος CB της ράβδου. ΛΥΣΗ: i) Η ράβδος ισορροπεί υπό την επίδραση της εξωτερικής κατακό ρυφης δύναµης F που εφαρµόζεται στο µέσον της C, της οριζόντιας δύναµης
στήριξης R από τον λείο κατακόρυφο τοίχο και τέλος της δύναµης στήριξης Q από το οριζόντιο έδαφος, που αναλύεται στην κατακόρυφη συνιστώσα Q y Σχήµα (κάθετη αντίδραση) και την οριζόντια συνιστώσα Q x (στατική τριβή). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου οι φορείς των τριών αυτών δυνάµεων διερχονται από το ίδιο σηµείο Σ, που στην ουσία είναι το σηµείο τοµής της κάθετης επί τον τοίχο στο σηµείο στήριξης Α και της κατακόρυφης που διέρχεται από το µέσον C της ράβδου (σχ. ), Εξάλλου η συνολική ροπή περί το σηµείο Β, όλων των δυνάµεων επί της ράβδου είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: " (B) = R( L"$ ) - F( L%µ$ ) + Q& = R"$ = F%µ$ R = F" / (1) Aκόµη η συνισταµένη των οριζόντιων αλλά και η συνισταµένη των κατακό ρυφων δυνάµεων επί της ράβδου είναι µηδενικές, δηλαδή έχουµε τις σχέ σεις: F(x) = " R - Q x = " Q x = R (1) " Q x = F" / $ % () F(y) = $ Q y - F = Q y = F Q y = F & Άρα η δύναµη στήριξης Q είναι: Q = Q x + Q y µε µέτρο: Q = Q x + Q y () Q = F " / 4 + F = " + 4( F/) (3) ii) Οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται η ράβδος ΑΒ προκαλούν µια κατα νοµή εσωτερικών δράσεων και αντιδράσεων µεταξύ των σωµατιδίων που την αποτελούν. Οι δράσεις αυτές καθίστανται εµφανείς αν θεωρήσουµε µια οποιαδήποτε κάθετη τοµή της ράβδου που θεωρητικά την χωρίζει σε δύο ελεύθερα σώµατα, οπότε υποχρεωνόµαστε να δεχθούµε ότι αυτά αλληλοεπιδ ρούν µε εσωτερικές δύνάµεις που είναι κατανεµήµενες εκατέρωθεν της το µής. Ας δεχθούµε ότι η τοµή αυτή γίνεται στο µέσο a του τµήµατος ΑC της ράβδου. Τότε το τµήµα Αa της ράβδου είναι ένα ελευθερο σώµα που ισορρο πεί υπό την επίδραση της δύναµης R από τον τοίχο και των εσωτερικών δράσεων που δέχεται από το υπόλοιπο τµήµα ab της ράβδου, οι οποίες είναι
κατανεµήµενες επί της τοµής a. Αν οι δράσεις αυτές εκφράζονται µε µια συνολική δύναµη, τότε η ροπή της δύναµης αυτής ως προς την τοµή a θα είναι µηδενική, ενώ η αντίστοιχη ροπή της R θα είναι διάφορη του µηδενός που σηµαίνει ότι το τµήµα Αa δεν µπορεί να είναι σε ισορροπία, πράγµα όµως που δεν συµβαίνει. Άρα οι εσωτερικές δράσεις που εµφανίζονται επί της τοµής a εκφράζονται µε µια συνισταµένη δύναµη και µε µια ροπή. Η συ Σχήµα 3 Σχήµα 4 νισταµένη δύναµη αναλύεται σε µια συνιστώσα N a κάθετη* στην τοµή a και σε µια συνιστώσα T a παράλληλη* προς τη τοµή, ενώ η ροπή* " εξουδε τερώνει την ροπή της R ως προς την a (σχ. 3). Εφαρµόζοντας για το τµήµα Αa της ράβδου συνθήκες ισορροπίας θα έχουµε τις σχέσεις: R y ( Aa) -" a = a = R"$% L/ (1) ( ) και a = F"$ F( " F( " x ) = $ y ) = % L FL(µ$ %&'$ = 4 R x - T = " a R y - N a = $ Rµ" - T = & a ' R$%" - N a = ( (4) T a N a = Rµ" = R$%" & ' ( (1) T a = Fµ " / $%" N a = Fµ" / iii) Εάν N b, T b, b είναι οι εσωτερικές δράσεις (κάθετη δύναµη, παράλληλη δύναµη και ροπή αντίστοιχα) στην διατοµή b της ράβδου στο µέσο του τµή µατος CB αυτής, τότε από την ισορροπία ροπών του τµήµατος Αb θα έχουµε: R y ( Ab) -F y ( bb) -" b = R"$ 3L/ & ' ( ( ) -F%µ$ L/ (1) ( ) =& b ----------------------------------- * Στην θεωρία της Αντοχής των υλικών οι συνιστώσες N a, T a ονοµάζον ται κάθετη δύναµη και τέµνουσα δύναµη αντιστοίχως της ράβδου στην τοµή a, η δε ροπή " αποτελεί την ροπή κάµψεως της ράβδου στην διατο µή αυτή. (5)
3L F" $%& - L F'µ =( = = LF"µ b b 4 (6) ενώ από την ισορροπία δυνάµεων παίρνουµε: F( " F( " x ) = $ y ) = % R x - T b + F x = " R y - F y - N b = $ Rµ" - T a = & ' R$%" - N a = ( F"$µ / + F%&' = T b F"%&' / - F$µ = N b Rµ" - T b + F$%" = R$%" - Fµ" - N b = ( ) * & ' ( (1) T b = F (µ " / $%" + $%") N b = -Fµ" / Tο αρνητικό πρόσηµο της Ν b δηλώνει ότι η κάθετη δύναµη N b έχει αντίθετη φορά από αυτή που θεωρήθηκε στο σχήµα (4). P.M. fysikos & ' ( (7) Oµογενής ράβδος µήκους L και µάζας m στρέ φεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο, µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Κάποια στιγµή που η ράβδος βρίσκεται πάνω στον άξονα Οx καταργείται ο άξονας περιστροφής και η ράβδος ελευθερώνεται. i) Να βρείτε τις ταχύτητες των άκρων της ράβδου µετά από χρόνο t*=π/ω αφ ότου αυτή ελευθερώθηκε. ii) Eάν κατά την ανωτέρω χρονική στιγµή η ράβδος συγκρουσθεί τελείως ελαστικά µε σταθερό εµπόδιο, που είναι αντικρυστό προς το κέντρο της και εξασκεί στην ράβδο δύναµη κάθετη σ αυτήν, να βρείτε τις ταχύτητες των άκρων της αµέσως µετά την κρούση. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι λίγο πριν καταργηθεί ο άξονας περιστροφής της ράβδου το κέντρο µάζας της C έχει ταχύτητα v, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Το διάνυσµα v ως κάθετο στην ράβδο θα έχει την κατεύθυνση του άξο να Οy και µέτρο: v = L/ (1) Όταν καταργηθεί ο άξονας περιστροφής της ράβδου αυτή θα συνεχίσει να κινείται πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση του βάρους της και της κατακόρυφης αντίδρασης του επιπέδου. Επειδή οι φορείς των δυνά µεων αυτών είναι κατακόρυφοι, οι ροπές τους περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το C είναι µηδενικές, γεγονός που δηλώνει ότι η στροφορµή της ράβδου περί τον άξονα αυτόν διατηρείται σταθερή και ίση µε την αντί στοιχη στροφορµή της λίγο πριν καταργηθεί ο άξονας περιστροφής της.
Αυτό σηµαίνει ότι η ράβδος θα περιστρέφεται περί ελεύθερο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση µε, το δε κέντρο µάζας θα µετατοπίζεται µε σταθερή ταχύτητα v C ίση µε v, αφού η συνισταµένη δύναµη επί της ράβδου είναι µηδενική. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να θεωρούµε την επίπεδη κίνηση της ράβδου ως επαλληλία µιας οµαλής στροφικής κίνησης περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και µιας ευθύγραµµης µεταφορικής κίνησης µε σταθερή ταχύτητα v. Η ταχύτητα εποµένως οποιουδήποτε σηµείου της ράβδου θα προκύπτει κάθε χρονική στιγµή ως συνισταµένη της µεταφορικής και της περιστροφικής ταχύτητας του σηµείου. Αν αναφερθού µε στις άκρες Α και Β της ράβδου θα έχουµε για τις ταχύτητές τους v A, v B τις σχέσεις: v A = v A(µ ) + v A ( ) = v + v B = v B(µ ) + v B( ) = v + v B( ) v A( ) " $ όπου v A(µ ), v B(µ ) οι µεταφορικές ταχύτητες των Α, Β αντιστοίχως ίσες µε v και v A( ), v B( ) οι αντίστοιχες ταχύτητες τους λόγω της περιστροφής της ράβδου, των οποίων οι φορείς είναι κάθετοι στην ράβδο, έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, τα δε µέτρα τους είναι ίσα µε ω L/. Όµως ύστερα από χρόνο t * =π/ω αφ ότου ελευθερώθηκε η ράβδος θα έχει εκτελέσει µια πλήρη περιστροφή περί το κεντρο µάζας της, οπότε θα γίνει παράλληλη προς την αρχική της θέση ΟΑ, µε αποτέλεσµα το µεν διάνυσµα v A( ) να είναι οµόρρο () Σχήµα 5 πο του v το δε διάνυσµα v B( ) αντίρροπο του v (σχ. 5). Με βάση τα παρα πάνω και σε συνδυασµό µε τις σχέσεις (1) θα έχουµε για τα µέτρα των ταχυτήτων v A, v B την χρονική στιγµή t * =π/ω τις σχέσεις: v A = v + v A( ) = v + " L/ $ v B = v - v B( ) = v - " L/ % (1)
v A = L/ + L/ v B = L/ - L/ " $ v A = L " v B = $ (3) ii) Όταν την χρονική στιγµή t * =π/ω η ράβδος συγκρουσθεί µε το σταθερό εµπόδιο, θα δεχθεί από αυτό δύναµη κρούσεως βραχείας διάρκειας, που ο φορέας της είναι κάθετος στην ράβδο και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, µε αποτέλεσµα να αναστρέφεται η µεταφορική της κίνησή, ενώ η γωνιακή της ταχύτητα δεν θα µεταβληθεί, διότι η ροπή της κρουστικής δύναµης περί το κέντρο µάζας είναι µηδενική. Επειδή η κρούση είναι τελείως ελαστική η κινητική ενέργεια της ράβδου λίγο πρίν και αµέσως µετά την κρούση είναι ίδια, που σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε την σχέση: 1 mv C + 1 I C = 1 m v " C + 1 I C v C = v C (4) όπου Ι C η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το κέντρο µάζας της και v C η ταχύτητα του κέντρου µάζας αµέσως µετά την κρούση. Επειδή οι ταχύτητες v C και v C είναι αντίθετες Σχήµα 6 εύκολα γίνεται κατανοητό µε βάση και τα όσα εκτέθηκαν παραπάνω, ότι αµέ σως µετά την κρούση. η µεν ταχύτητα του άκρου Α θα γίνει µηδέν, ενώ η ταχύτυτα του Β θα γίνει - v C (σχ. 6). P.M. fysikos Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µάζας έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο (,) και το άλλο άκρο της στο σηµείο (L, ). Tην χρονική στιγµή t= ένα σφαιρίδιο πλαστελίνης µάζας m προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο της ράβδου µε ταχύτητα v κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα Οy και προσκολλάται στην ράβδο.
i) Nα µελετηθεί η κίνηση του συστήµατος. ii) Να επαληθεύσετε ότι η στροφορµή L (O) του συστήµατος περί την αρχή Ο των αξόνων και η στροφορµή του L (C) περί το κέντρο µά ζας του C ικανοποιούν την σχέση: L (O) = L (C) + L * όπου L * η στροφορµή του κέντρου µάζας C περί το Ο, αν θεωρή σουµε σ αυτό συγκενρωµένη όλη η µάζα του συστήµατος. ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα ράβδος-σφαιρίδια είναι µηχανικά µονωµένο, αφού οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται (βάρη σφαιριδίων, αντίδράσεις του λείου επιπέδου επί των σφαιριδίων) αλληλοαναιρούνται. Άρα η ορµή του κέντρου µάζας C του συστήµατος δεν µεταβάλλεται, που σηµαίνει ότι µετά την πλα στική κρούση του σφαιριδίου µάζας m µε την ράβδο το κέντρο µάζας C θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα v C, η οποία ικανοποιεί την σχέση: ( m + m) v C = m v + v C = v /3 (1) Σχήµα 7 Αµέσως µετά την κρούση το κέντρο µάζας C θα βρίσκεται επί της ράβδου σε απόσταση ΑC από το σηµείο κρούσεως Α, για την οποία ισχύει η σχέση: m( AC) = m( OC) ( AC) = L - ( AC) ( AC) = L/3, οπότε θα είναι και ( OC) = L/3 Με βάση τα προηγούµενα το κέντρο µάζας C θα κινείται µε σταθερή ταχύ τητα v /3 επί µιας ευθείας (ε) που απέχει από το σηµείο κρούσεως Α από σταση ίση µε L/3 (σχ. 7). Αλλά και η στροφορµή του συστήµατος περί το κέν
τρο µάζας C δεν µεταβάλλεται, διότι οι αντίστοιχες ροπές των εξωτερικών δυνάµεων είναι µηδενικές, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: L "$ = L µ%&' mv ( AC) + = I C mv ( L/3) = I C (3) όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος µετά την κρούση, περί άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το C, ενώ Ι C είναι η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον άξονα αυτόν. Όµως η ροπή αδράνει ας Ι C υπολογίζεται από την σχέση: I C = m( L/3) + m( L/3) = ml /3 (4) Συνδυάζοντας την (3) µε την (4) παίρνουµε: mv ( L/3) = ml /3 = v / L (5) Από την όλη ανάλυση γίνεται κατανοητό ότι, µετά την κρούση το σύστηµα ράβδος-σφαιρίδια εκτελεί ορίζόντια επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρήθεί ως επαλληλία µιας ευθύγραµµης µεταφορικής κίνησης µε σταθερή ταχύτητα v C και µιας στροφικής κίνησης περί ελεύθερο κατακόρυφο άξονα που διέρχε ται από το κέντρο µάζας του C, µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. ii) Επειδή η στροφορµή L (O) του συστήµατος περί την αρχή Ο δεν µεταβάλ λεται, θα είναι κάθε στιγµή t ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή του λίγο πριν τη πλαστική κρούση του σφαιριδίου µάζας m µε την ράβδο, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: L (O) = mv L k = ml k = ml (6) όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο οριζόντιο επίπεδο κίνησης του συστήµατος, του οποίου η φορά ελήφθη ίδια µε εκείνη του διανύσµατος L (O). Η στροφορµή L (C) του συστήµατος περί άξονα διερχόµενο από το C είναι: (4) L (C) = I C L (C) = ml /3 (7) Η στροφορµή L * περί το Ο του κέντρου µάζας µάζας C αν σ αυτό θεωρή σουµε συγκεντρωµένη την µάζα 3m του συστήµατος είναι: L * = 3mv C OC k ( ) (1) L * = 3m v C / 3 ( )( L/3) k L * = 4mL k /3 = 4mL / 3 (8) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (7) και (8) έχουµε:
L (C) + L * = ml /3 + 4mL / 3 = ml η οποία συνδυαζόµενη µε την (6) δίνει την αποδεικτέα σχέση: L (O) = L (C) + L * P.M. fysikos Ένας κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας R ηρεµεί επί λείου οριζοντίου επιπέδου. Μικρό σφαιρίδιο πυλού µάζας m/3 κινούµενο στο οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητα v κατά µήκος µιας ευθείας που απέχει από το κέντρο του δίσκου απόστα ση R/ προσκολλάται στην περιφέρεια του δίσκου. i) Να εξετασθεί η κίνηση του συστήµατος µετά την πλαστική κρού ση του σφαιριδίου µε τον δίσκο. ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σφαιριδίου αµέσως µετά την κρούση. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι Κ =mr / του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα δίσκος-σφαιρίδιο είναι µηχανικά µονωµένο, αφού οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται (βάρος δίσκου, βάρος σφαιριδίου, αντίδρά σεις του λείου επιπέδου) αλληλοαναιρούνται. Άρα η ορµή του κέντρου µάζας C του συστήµατος δεν µεταβάλλεται, που σηµαίνει ότι µετά την κρούση το κέντρο µάζας C θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα v C, η οποία ικανοποιεί την σχέση: ( m + m/3) v C = m v /3 + v C = v /4 (1) Αµέσως µετά την κρούση το κέντρο µάζας C θα βρίσκεται επί της ακτίνας ΚΟ του δίσκου σε απόσταση ΟC από το σηµείο κρούσεως Ο, για την οποία ισχύει η σχέση: ( OC)m / 3 = ( OK)m ( OC) / 3 = R - ( OC) ( OC) = 3R/4, οπότε θα είναι και ( KC) = R/4 Με βάση τα προηγούµενα το κέντρο µάζας C θα κινείται µε σταθερή ταχύ τητα v /4 επί µιας ευθείας (ε) που απέχει από το σηµείο κρούσεως Ο από σταση α, που υπολογίζεται από την σχέση: $ = ( OC)"µ = & 3R % 4 ' ) ( R / R = 3R 8 () Αλλά και η στροφορµή του συστήµατος περί το κέντρο µάζας C δεν µεταβάλ λεται, διότι οι αντίστοιχες ροπές των εξωτερικών δυνάµεων είναι µηδενικές, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:
L "$ = L µ%&' ( m / 3)v + = I C " v m $ & " 3 % 3R 8 = I C ' = mvr 8I C (3) Σχήµα 8 όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος µετά την κρούση, περί άξονα κάθετο στον δίσκο και διερχόµενο από το C ενώ Ι C είναι η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον άξονα αυτόν. Όµως η ροπή αδράνει ας Ι C υπολογίζεται από την σχέση: I C = I K + m( KC) + ( m/3) ( OC) = mr / + m( R/4) + ( m/3) ( 3R/4) I C = mr + mr 16 + 3mR 16 = 3mR 4 (4) Συνδυάζοντας την (3) µε την (4) παίρνουµε: = 4mvR 4mR = v 6R (5) Από την µέχρι στιγµής ανάλυση γίνεται κατανοητό ότι, µετά την κρούση το σύστηµα δίσκος-σφαιρίδιο εκτελεί ορίζόντια επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρήθεί ως επαλληλία µιας ευθύγραµµης µεταφορικής κίνησης µε σταθερή ταχύτητα v C και µιας στροφικής κίνησης περί ελεύθερο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του C, µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. ii) Η ταχύτητα v του σφαιριδίου αµέσως µετά την πλαστική του κρούση µε τον δίσκο θα προκύψει ως συνισταµένη της ταχύτητάς του v µ, λόγω της µεταφορικής κίνησης του συστήµατος και της ταχύτητάς του v, λόγω της στροφικής κίνησης (σχ. 8). Η ταχύτητα v µ είναι ίση µε v C, η δε v κατευθύ νεται κάθετα προς την ΟC και το µέτρο της είναι ίσο µε ω(co). Σύµφωνα µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου το µέτρο της v υπολογίζεται από την σχέση:
v = v µ +v " + v µ v " $(" / - % ) = v C +& ( OC) + v C & ( OC)'µ% v = ( v/4) +" ( 3R/4) (5) + ( v/4)" ( 3R/4) ( 1/ ) v = v 16 + " v % $ ' 6R& 9R " $ % 16 & ' + " v % " v % " 3R% $ 4 ' $ ' $ ' & 6R& 4 & v = v 16 + v 64 + v 3 = 7v 8 H διεύθυνση της ταχύτητας v καθορίζεται από την γωνία θ που υπολογίζε ται από τον νόµο του συνηµιτόνου, δηλαδή από την σχέση: v =v µ +v " - v µ v " "$% "$ = v µ +v - % v µ v (6) "$ = v C+v - % ( OC) = v C v ( ) - v/6r ( v/4) ( 7v/8) ( v/4) + 7v/8 ( ) ( 3R/4) =... P.M. fysikos Λεπτή ράβδος µήκους L έχει αµελητέα µάζα και στο ένα της άκρο έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m, µπορεί δε να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άλλο της άκρο Ο. Η ράβδος βρίσκεται στην θέση ασταθούς ισορρο πίας και κάποια στιγµή δέχεται ελαφρά ώθηση που την θέτει σε κίνηση. i) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η ράβδος µε την κατακόρυφη διεύθυνση, την γωνιακή της ταχύτητα. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία φ την δύναµη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση Μ της κυκλικής του τροχιάς δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από την ράβδο που αναλύ εται σε µια συνιστώσα F κατά την διεύθυνση της ράβδου και µια συνιστώ σα N κάθετη στην ράβδο. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) το σφαιρίδιο ασκεί στην ράβδο δύναµη επαφής µε αντίστοιχες συνιστώσες F, N που είναι αντίθετες των F και N (σχ. 1). Η ράβδος δέχεται ακόµη δύναµη επαφής R από την άρθρωση Ο, ενώ µπορούµε να θεωρήσουµε το βάρος της ασήµαντο, αφού η µάζα της είναι
αµελητέα. Εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: " (O) = I O $ R + F " + N " L N = N " (1) Σχήµα 9 Σχήµα 1 διότι η ροπή αδράνειας Ι Ο της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι περίπου µηδέν, ενώ η γωνιακή της επιτάχυνση " είναι διάφορη του µηδενός. Από τα παραπάνω παρατηρούµε ότι οι δυνάµεις αλληλεπίδρασης σφαιριδίου και ράβδου έχουν την διεύθυνση της ράβδου. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ της αρχικής του θέσεως Α και της θέσεως Μ παίρνουµε την σχέση: K M - K A = W + w W mv / - = mg A M F ( ) + v = g( L - L"$ ) v = 4gLµ (" / ) v = µ (" / ) gl () όπου v η ταχύτητα του σφαιριδίου στην θέση Μ. Εξάλλου το µέτρο της αντίστοιχης γωνιακής ταχύτητας της ράβδου θα υπολογιστεί από την σχέ ση: () v = L L = "µ ( / ) gl = "µ ( / ) g/l (3) ii) Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C της ράβδου τον δεύ τερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση (ε) της εφαπτοµένης της τροχι άς του παίρνουµε την σχέση: F(" ) = m % $ L/ R n (4) όπου R n η κάθετος επί την ράβδο συνιστώσα της R, ενώ η µάζα m ρ της ράβ δου θεωρήθηκε περίπου µηδενική. Η (4) δηλώνει ότι η δύναµη R έχει την διεύθυνση της ράβδου. Ο ίδιος νόµος δίνει για το κέντρο µάζας C κατά την διεύθυνση (r) της ράβδου την σχέση:
F(r) = m " L/ F - R r " F R (5) Εξάλλου για το σφαιρίδιο η συνισταµένη των δυνάµεων κατά την διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς του αποτελεί κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή µπορου µε να γράψουµε την σχέση: (), (3) w r - F = mv /L mg"$ - F = mv /L mg"$ - R = 4mgL%µ ( $ / ) /L R = mg ["$ - ( 1 - "$ )] R = mg( 3"$ - ) P.M. fysikos H ράβδος του σχήµατος (11) έχει µάζα m και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορ ροπίας και κάποια στιγµή προσπίπτει στο κάτω άκρο της Α σφαι ρίδιο µάzας m, µε ταχύτητα v η οποία κατευθύνεται προς τα κάτω και σχηµατίζει οξεία γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση. i) Εάν η κρούση του σφαιριδίου µε την ράβδο είναι πλαστική, να βρείτε το µέγιστο επιτρεπτό µήκος της ράβδου ώστε αυτή να εκτε λεί ανακύκλωση, δηλαδή το άκρο της Α να διαγράφει κατακόρυφη κυκλική τροχιά. ii) Nα δείξετε ότι αµέσως µετά την κρούση η δύναµη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής έχει την διεύθυνση της ράβδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι Ο =ml /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt (Δt ) που διαρκεί η πλαστική κρούση του σφαιριδίου µε την ράβδο, η στροφορµή του συστήµα τος, περί τον άξονα περιστροφής της ράβδου δεν µεταβάλλεται, διότι οι ροπές όλων των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα περί τον άξονα αυτόν είναι µηδενικές (οι φορείς των βαρών της ράβδου, του σφαιριδί ου και η δύναµη του άξονα διέρχονται από τον άξονα). Mπορούµε λοιπόν να γράψουµε την σχέση: L "$ %&'( = L mv O O )µ*+,- µ./ ( ) + = ( ml + I O ) mvlµ" = ml + ml & % $ 3 ( = ' vµ" L + L/ 3 = 3vµ" 4L όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και του σφαιριδίου, αµέσως µετά (1)
την κρούση. Ας δεχθούµε ότι η ράβδος περιστρεφόµενη φθάνει στην ανώτα τη θέση ΟΒ µε γωνιακή ταχύτητα (σχ. 11), Εφαρµόζοντας για το σύστηµα ράβδος-σφαιρίδιο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ των θέσεων ΟΑ και ΟΒ παίρνουµε την σχέση: K " + U " = K $%& + U $%& 1 ml + 1 ml 3 - mgl - mg L = = 1 ml + 1 ml 3 + mgl + mg L L + L 6-3g = L + L 6 + 3g Σχήµα 11 Σχήµα 1 (1) 4L - 9g = 4L + 9g 4L 3vµ" & % ( $ 4L ' - 18g = 4L)
9v µ " 4L - 18g = 4L = 9v "µ - 18g 16L 4L () Για να εκτελεί το σύστηµα ανακύκλωση πρέπει να ισχύει: () " 9v µ " 16L - 18g 4L v µ " 4L g L v "µ 8g L max = v µ " 8g ii) Eφαρµόζοντας αµέσως µετά την κρούση για το σύστηµα ράβδος-σφαιρίδιο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: "(O) = ( ml + I O ) $ (3) Όµως η συνολική ροπή Στ (Ο) περί τον άξονα περιστροφής, των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα αµέσως µετά την κρούση είναι µηδενική, αφου οι φορείς των εξωτερικών δυνάµεων διέρχονται από τον άξονα, οπότε από την (3) προκύπτει ότι η αντίστοιχη γωνιακή του επιτάχυνση ω είναι µηδενική. Εφαρµόζοντας εξάλλου την ίδια στιγµή για το κέντρο µάζας του συστήµατος τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την κάθετη προς την ραβ δο διέυθυνση παίρνουµε την σχέση: ( ) " F(n) = m OC = (4) όπου ΟC η απόσταση του κέντρου µάζας C του συστήµατος από τον άξονα περιστροφής και ΣF (n) η συνισταµένη δύναµη επί του συστήµατος κατά την κάθετη προς την ράβδο διεύθυνση. Όµως η µόνη δύναµη που δέχεται το σύστηµα κατά την διεύθυνση αυτή είναι η αντίστοιχη συνιστώσα της αντίδ ρασης του άξονα περιστροφής, που σύµφωνα µε την (4) πρέπει να είναι µηδενική. Άρα η αντίδραση του άξονα περιστροφής αµέσως µετά την κρούση έχει την διεύθυνση της ράβδου. P.M. fysikos Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, εκτοξεύεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε την στιγµή που έρχεται σ επαφή µε το οριζόντιο έδαφος να έχει µεταφορική ταχύτητα v παράλληλη προς το έδαφος, ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα. H φορά περιστροφής της στεφάνης και η φορά της ταχύτητας v είναι τέτοιες, ώστε το σηµείο της στεφάνης που έρχεται σ επαφή µε το έδαφος να έχει εξ αιτίας των δύο αυτών κινήσεων οµόρροπες ταχύτητες. i) Εάν ισχύει v <ω R, να δείξετε ότι κάποια στιγµή η κίνηση του κέντρου της στεφάνης θα αντιστραφεί και να καθορίσετε την θέση στην οποία θα συµβεί αυτό.
ii) Να δείξετε ότι τελικώς η κίνηση της στεφάνης θα είναι ισοταχής κύλιση και να προσδιορίσετε την κινητική της ενέργεια. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n, µεταξύ στεφάνης και εδάφους. ΛΥΣΗ: i) Tην στιγµή που η στεφάνη έρχεται σε επαφή µε το οριζόντιο έδαφος (t=) το σηµείο επαφής της A µε αυτό έχει σε σχέση µε το έδαφος ταχύτητα v A µέτρου v +ω R, δηλαδή η στεφάνη ολισθαίνει επί του εδάφους, που σηµαίνει ότι η τριβή T που δέχεται από αυτό είναι τριβή ολίσθησης αντίρροπη της v A, η οποία τείνει να ελαττώσει την µεταφορική ταχύτητα v Σχήµα 13 της στεφάνης. Εξάλλου η ροπή της τριβής περί το κέντρο της στεφάνης, αντιστέκεται στην περιστροφή της, δηλαδή τείνει να µειώσει την γωνιακή της ταχύτητα. Aπό τα παραπάνω προκύπτει ότι η στεφάνη εκτελεί επί του εδάφους επίπεδη κίνηση, η οποία µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας επιβραδυνόµενης µεταφορικής κίνησης και µιας επιβραδυνόµενης περισ τροφικής κίνησης περί ελεύθερο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέν τρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Eάν a C είναι κάποια στιγµή η επιβράδυνση του κέντρου µάζας της στεφάνης θα έχουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα την σχέση: T = ma C nmg = ma C a C = ng (1) όπου m η µάζα της στεφάνης. Eξάλλου εάν ' είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιβράδυνση της περιστροφικής κίνησης της στεφάνης, θα έχουµε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης την σχέση: TR = I' nmgr = mr '/ '= ng/r () Oι σχέσεις (1) και () µας πληροφορούν ότι, τόσο η µεταφορική όσο και η περιστροφική κίνηση της στεφάνης είναι οµαλά επιβραδυνόµενες, οπότε για το µέτρο της µεταφορικής ταχύτητας v της στεφάνης σε χρόνο t και για το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας θα ισχύουν οι σχέσεις: v C = v - a C t (1) v C = v - ngt (3) = - 't ( ) = - ngt/r (4)
Επειδή είναι δεδοµένο ότι ω R>v, από τις () και (3) προκύπτει ότι η ταχύ τητα v θα µηδενιστεί γρηγορότερα από την και αυτό θα συµβεί την χρονική στιγµή t * που υπολογίζεται από την σχέση: = v - ngt * t * = v / ng (5) Όµως χρονική στιγµή t * η στεφάνη περιστρέφεται αριστερόστροφα µε αποτέ λεσµα η τριβή από το έδαφος να είναι τριβή ολισθήσεως µε φορά που φαίνε ται στο σχήµα (13), η οποία τριβή επιταχύνει την µεταφορική κίνηση της στεφάνης εκ της ηρεµίας σε κατεύθυνση αντίθετη της αρχικής. Η αναστροφή της µεταφορικής κίνησης της στεφάνης θα συµβεί σε απόσταση S * από την θέση εκτόξευσής της, η οποία υπολογίζεται από την σχέση: S * = v t * - ngt * (5) S * = v v /ng - ng( v /ng) S * = v /ng (6) ii) Eξάλλου µετά την χρονική στιγµή t * η ροπή της τριβής περί το κέντρο της στεφάνης θα επιβραδύνει την περιστροφή της και θα υπάρξει χρονική στιγµή που θα συµβεί v=ωr, oπότε στην συνέχεια η στεφάνη θα κυλίεται ισο ταχώς επί του εδάφους µε τελική µεταφορική ταχύτητα v και τελική γω νιακή ταχύτητα " των οποίων τα µέτρα υπολογίζονται µέσω των σχέσεων: Σχήµα 14 v = ngt ** $ " = ngt ** / R% (7) Όµως ο χρόνος t ** ικανοποιεί και την σχέση: ngt ** = ( * - ngt ** / R)R ngt ** = * R - ngt ** ngt ** = ( - ngt * / R)R ngt ** = R - ngt * (5) ngt ** = R - v t ** = ( R - v ) / ng (8) Oι σχέσεις (7) συνδυαζόµενες µε τη (8) δίνουν:
( ) / ( ) / R v = " R - v " = " R - v % $ &% (9) H τελική κινητική ενέργεια Κ τ της στεφάνης υπόλογίζεται από την σχέση: K = mv + I" = mv + mr " = mv + mv K = mv (9) K = m (" R - v ) / 4 P.M. fysikos Η βαλίτσα του σχήµατος (15) έχει µάζα m και εκτοξεύεται σε οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα v, επί του οποίου και ολισθαίνει. H απόσταση του κέντρου µάζας C της βαλίτσας από το δάπεδο είναι h, η απόσταση των µπροστινών από τους πισινούς τροχούς της είναι L, ο δε συντελεστής τριβής ολισθήσεως µεταξύ των τροχών της βαλίτσας και του δαπέδου είναι n. i) Nα βρείτε τις κατακόρυφες αντιδράσεις του δαπέδου επί των τροχών της βαλίτσας κατά τον χρόνο που αυτή ολισθαίνει. ii) Tι θα συµβεί αν ισχύει n=l/h. Δίνεται η επιτάχυνση g της βα ρύτητας. ΛΥΣΗ: i) H βαλίτσα δέχεαι το βάρος της m g, την αντίδραση του οριζόντι ου δαπέδου επί των οπίσθιων τροχών, η οποία αναλύεται στην τριβή ολισθή σεως T 1 και την κάθετη αντίδραση N 1 και τέλος την αντίδραση του δαπέδου επί των µπροστινών τροχών, που αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T και την κάθετη αντίδραση N. Πρέπει να επισηµάνουµε ότι οι φορείς όλων των Σχήµα 15 παραπάνω δυνάµεων ανήκουν στο κατακόρυφο επίπεδο συµµετρίας ΑCB της βαλίτσας, το οποίο διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και από τα µέσα Α, Β των ευθειών που συνδέουν τους δύο πίσω και τους δύο µπροστινούς τρο
χούς της βαλίτσας. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της βαλίτσας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: T 1 + T = ma C nn 1 + nn = ma C N 1 + N = ma C / n (1) όπου a C η επιβράδυνση της βαλίτσας. Επειδή το κέντρο µάζας της βαλίτσας κινείται επί οριζόντιας ευθείας, η συνισταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει: N 1 + N - mg = N 1 + N = mg οπότε η σχέση (1) γράφεται: mg = ma C / n a C = ng () Από την () προκύπτει ότι η επιβράδυνση της βαλίτσας είναι σταθερή, δηλα δή η µεταφορική της ολίσθηση επί του οριζοντίου δαπέδου είναι οµαλά επιβ ραδυνόµενη και εποµένως το µέτρο της ταχύτητάς της ύστερα από χρόνο t αφ ότου εκτοξεύθηκε, δίνεται από την σχέση: v = v - a C t v = v - ngt (3) Στον χρόνο t * που διαρκεί η κίνηση της βαλίτσας µέχρις ότου αυτή σταµατή σει η ταχύτητά της µηδενίζεται και η (3) δίνει: = v - ngt * t * = v /ng (4) ii) Επειδή η βαλίτσa εκτελεί µεταφορική κίνηση η συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας της C όλων των δυνάµεων που δέχεται είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: L -N + T h + N L 1 + T h = 1 L -N + nn h + N L 1 + nn h = 1 N nh - L $ " % & h + N nh + L 1 " + $ & = % ( mg - N 1 ) nh - L $ " % & h + N nh + L 1 " + $ & = % N 1 -nh + L + nh + L $ " % & = -mg nh - L $ " & % LN 1 = mg L " - nh $ % & N = mg 1 1 - nh $ " L & (5) %
Άρα το µέτρο της N είναι: (5) N = mg - N 1 N = mg - mg 1 - nh $ & " L % N = mg 1 + nh $ & (6) " L % iii) Eάν τα δεδοµένα του προβλήµατος ικανοποιούν την σχέση n=l/h, τότε η (5) δίνει Ν 1 = που σηµαίνει ότι οι πίσω τροχοί της βαλίτσας τείνουν να εγκαταλείψουν το οριζόντιο δάπεδο, µε αποτέλεσµα να επίκειται η περιστρο φή της περί τους εµπρόσθιους τροχούς της. P.M. fysikos Στο αυλάκι της τροχαλίας του σχήµατος (16) έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα που δεν µπορεί να ολισθαίνει κατά µήκος αυτού. Το ένα άκρο του νήµατος είναι σταθερό και το άλλο συνδέεται µε το ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Εκτρέπουµε το σώµα Σ κατα κόρυφα προς τα κάτω και το αφήνου µε ελευθερο. Να δείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει αρµονική ταλάν τωση, της οποίας να βρείτε την περίοδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι Κ =MR / της τροχαλίας περί άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το κέντρο της Κ, όπου Μ η µάζα και R η ακτίνα της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: Όταν το σύστηµα ισορροπεί το ελατήριο θα είναι τεντωµένο από την φυσική του κατάσταση κατά x και θα ισχύουν οι σχέσεις: Q + T - ( M + m)g = " Q R - T R = Q + T = M + m ( )g " Q = T Q = ( M + m)g kx = ( M + m)g (1) όπου T η τάση του αριστερού τµήµατος του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας και Q η τάση του δεξιού τµήµατος, ίση µε την τάση του τεντωµένου ελατηρίου (σχ. 16). Εξετάζοντας το σύστηµα κάποια τυχαία στιγµή t που η αποµάκρυνση του σώµατος Σ από την θέση ισορροπίας του Ο είναι x (σχ. 17) εύκολα κατανοούµε ότι και το κέντρο Κ της τροχαλίας θα είναι µετατοπισµένο προς τα κάτω κατά x σε σχέση µε την θέση ισορροπίας του, οπότε το ελατήριο θα έχει υποστεί πρόσθετη επιµήκυνση ίση µε x. Στην θέση αυτή του συστήµατος η τροχαλία δέχεται το βάρος της M g, την δύναµη F από το νήµα που συγκρατεί το σώµα Σ, την τάση T του αριστε ρού σκέλους του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της και την τάση Q του
δεξιού σκέλους, ίση µε την τάση του ελατηρίου. Εφαρµόζοντας για το κέν τρο µάζας Κ της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνου µε την σχέση: T + Q - F - Mg = Ma K () όπου a K η επιτάχυνση του Κ. Όµως η τροχαλία την χρονική στιγµή t περι στρέφεται και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: QR - TR = I K " QR - TR = MR " / Q - T = MR " / (3) Σχήµα 16 Σχήµα 17 όπου " η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Εξάλλου κάθε στιγµή η ταχύ τητα του σηµείου επαφής Α της τροχαλίας µε το αριστερό σκέλος του νήµα τος είναι µηδενική, διότι το σκέλος αυτό είναι ακλόνητο, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του Α λόγω της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας είναι αντίθε τη της ταχύτητάς του λόγω της στροφικής της κίνησης. Μπορούµε εποµέ νως να γράψουµε την σχέση v K =ωr, όπου v K η ταχύτητα του Κ και η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγµή που την εξετάζουµε. Εάν dv K είναι η µεταβολή του µέτρου της v K µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt (dt ) και dω η αντίστοιχη µεταβολή του µέτρου της, η v K =ωr µας επιτρέπει την σχέση: dv K = Rd dv K / dt = R( d / dt) a K = R " (4) Η (3) λόγω της (4) γράφεται: Q - T = Ma K / (5)
Προσθέτοντας κατά µέλη τις () και (5) παίρνουµε: Q - F - Mg = 3Ma K / (6) Eξετάζοντας το σώµα Σ παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του m g και την τάση F του νήµατος που το συγκρατεί, η οποία είναι αντίθετη της F (το νήµα θεωρείται αβαρές) η δε επιτάχυνσή του είναι κάθε στιγµή ίση µε a K (το νήµα θεωρείται τεντωµένο), οπότε συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: F - mg = ma K (7) Διαιρώντας κατά µέλη τις (6) και (7) παίρνουµε: Q - F - Mg F - mg = 3M m 4Qm - mf - Mmg = 4Qm - mf - Mmg = 3MF - 3mMg = 3MF - 3mMg 4Qm + Mmg = F( 3M + m) (8) Όµως το µέτρο της Q είναι: (1) Q = k( x + x) ( Q = k M + m )g " k $ + x& %& ( = M + m )g + xk οπότε η (8) γράφεται: ( M + m)mg + 8kmx + Mmg = F( 3M + m) F = ( 3M + m)mg + 8kmx 3M + m = mg + 8kmx 3M + m (9) Eάν είναι ΣF είναι η αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης που δέχε ται το σώµα, αυτή θα ικανοποιεί την σχέση: (9) F = mg - F F = mg - mg - 8kmx 3M + m F = - 8kmx 3M + m = -Dx µε D = 8km 3M + m (1) Η σχέση (1) εγγυάται ότι το σώµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς 8k/(3M+m), της οποίας η περίοδος Τ * δίνεται από την σχέση: T * = m D m( 3M + m) = 8mk = 3M + m k P.M. fysikoς