Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα πολλώ προσθετέω. 4. Αφαίρεση ρητώ αριθµώ. 5. Απαλοιφή παρεθέσεω. 6. Πολλαπλασιασµός ρητώ αριθµώ. 7. Γιόµεο πολλώ παραγότω. 8. ιαίρεση ρητώ αριθµώ. 9. υάµεις ρητώ αριθµώ µε εκθέτη φυσικό-ακέραιο. 10. Τυποποιηµέη µορφή αριθµώ. 11. εκαδική µορφή ρητώ αριθµώ. 0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ύο αριθµοί λέγοται οµόσηµοι α έχου το ίδιο πρόσηµο. Π.χ +3 και +8. ύο αριθµοί λέγοται ετερόσηµοι α έχου διαφορετικό πρόσηµο. Π.χ -1,+14. Φυσικοί αριθµοί είαι οι αριθµοί: { 0,1,,3,4,5,... } και συµβολίζοται µε το γράµµα N από τη αγγλική λέξη Natural Ακέραιοι αριθµοί είαι οι φυσικοί αριθµοί µαζί µε τους ατίστοιχους..., 5, 4 3,, 1,0,1,,3, 4,5,.... αρητικούς τους. ηλαδή οι αριθµοί: { } Συµβολίζοται µε το γράµµα Z από τη γερµαική λέξη zahlen που σηµαίει αριθµός. Σελίδα -1-
Ρητοί αριθµοί είαι οι φυσικοί αριθµοί, τα κλάσµατα και οι δεκαδικοί µαζί µε τους ατίστοιχους αρητικούς. Γεικά έας αριθµός λέγεται ρητός ότα έχει ή µπορεί α πάρει κλασµατική µορφή, δηλαδή ότα 8 5 85 300 π.χ: 4=,,5=, 8,5=, 3,03= 10 99 Θυµίζουµε ότι κάθε ρητός µπορεί α γραφεί είτε ως δεκαδικός είτε ως περιοδικός δεκαδικός και ατίστροφα. Κάθε ρητός αριθµός παριστάεται (απεικοίζεται) µε έα σηµείο πάω σε µια ευθεία που λέγεται άξοας. -4-3 - -1 0 1 3 4 Ο παραπάω άξοας µπορεί α οοµαστεί και άξοας χ χ. Α έα τυχαίο σηµείο Α του άξοα χ χ ατιστοιχίζεται σε έα αριθµό α, τότε ο αριθµός α λέγεται τετµηµέη του σηµείου α. Ο ηµιάξοας Οχ οοµάζεται θετικός ηµιάξοας και ο Οχ αρητικός ηµιάξοας. Απόλυτη Τιµή εός αριθµού α καλούµε τη απόσταση του α από τη αρχή Ο. Η απόλυτη τιµή είαι πάτα θετικός αριθµός Συµβολίζεται µε α Βρίσκω τη απόλυτη τιµή εός αριθµού παραλείποτας το πρόσηµο. π.χ + 5 = 5 και 5 = 5 Η απόλυτη τιµή του 0 είαι το 0, δηλαδή 0 = 0. ύο αριθµοί που έχου τη ίδια απόλυτη τιµή και διαφέρου στο πρόσηµο καλούται ατίθετοι αριθµοί. Βρίσκω το ατίθετο εός αριθµού αλλάζοτας το πρόσηµο του αριθµού. π.χ -5 και ο 5 Ο ατίθετος του 0 είαι το 0. Ο ατίθετος του χ είαι ο χ και ισχύει: x = x. Σελίδα --
Μεταξύ δύο αριθµώ µεγαλύτερος είαι εκείος που βρίσκεται δεξιότερα στο άξοα. Με τη βοήθεια του άξοα διαπιστώουµε τα εξής : Από δύο αριθµούς µεγαλύτερος είαι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα πάω στο άξοα Έτσι κάθε θετικός αριθµός είαι µεγαλύτερος από κάθε αρητικό (αφού οι θετικοί βρίσκοται δεξιότερα στο άξοα) Από δύο θετικούς αριθµούς µεγαλύτερος είαι αυτός που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή π.χ +7 > +3 αφού + 7 = 7> + 3 = 3. Από δύο αρητικούς αριθµούς µεγαλύτερος είαι αυτός που έχει τη µικρότερη απόλυτη τιµή π.χ -3 > -4 αφού 3 = 3< 4 = 4. Το µηδέ είαι µεγαλύτερο από κάθε αρητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό (αυτό φαίεται και από το καόα 1 µε τη βοήθεια του άξοα) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. + 3 = 3. = 3. Α a = 0, τότε είαι α = 0 4. Α x = 5, τότε χ = 5 ή χ = -5 5. 7 > + 5 6. 3< 0 7. ( 5) = 5 8. ( + 3) = 3 Σελίδα -3-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: i) 7 + + 3 ii) 3+ 5+ 1 + 4 5 1 0 iii) + 6 4 35 1 5 iv) + 3 + 5 7. Να βρείτε τις τιµές του χ ότα: 5 i) x = 5 ii) x = iii) x = 0 3 3. Να συγκρίεται τους αριθµούς: i) 5...0 1 ii)0... + 5 iii) + 5... + iv)... 3 v)4... 5 vi) + 7... 7 vii) 3... + 1 viii) 4... 3 4. Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς κατά αύξουσα σειρά. i) 3, + 5, 5, 0,, 1 1 5 5 ii), 1,,, 3 3 4 5. Α δύο σηµεία έχου τετµηµέες ατίθετους αριθµούς και απέχου 10 µοάδες, α βρείτε τις τετµηµέες τους. 6. Να βρείτε όλους τους ακέραιους που έχου απόλυτη τιµή: i) µικρότερη του 5 ii) µικρότερη ή ίση του 3 Σελίδα -4-
0.. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α προσθέσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) αρκεί α προσθέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο που επικρατεί. π.χ: + 3+ 4=+ 7 και 3 4= 7 Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο) αρκεί α αφαιρέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο του µεγαλύτερου αριθµού. π.χ: + 3 4= 1 και 3+ 4=+ 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α+β=β+α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α+ ( β+γ ) = ( α+β ) +γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α+ 0=α (iv) Ιδιότητα Ατιθέτου: α+ ( α ) = 0 Σελίδα -5-
ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α προσθέσουµε δύο κλάσµατα διακρίουµε τις εξής δύο Περιπτώσεις: (i) Ότα τα κλάσµατα είαι οµώυµα (δηλαδή έχου τους ίδιους παροοµαστές), ισχύει: α β α±β ± =, γ 0 γ γ γ (ii) Ότα τα κλάσµατα είαι ετερώυµα (δηλαδή έχου διαφορετικούς παροοµαστές), βρίσκω το Ε.Κ.Π τω παροοµαστώ, τα µετατρέπω σε οµώυµα (µε τη γωστή σε όλους µας διαδικασία µε τα καπελάκια) και εφαρµόζω τη παραπάω διαδικασία, δηλαδή: α γ αδ βγ αδ±βγ ± = ± =, β, δ 0 β δ βδ βδ βδ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Το άθροισµα δυο ετερόσηµω αριθµώ είαι θετικός αριθµός. Α το άθροισµα οµόσηµω ρητώ είαι θετικός αριθµός, τότε οι ρητοί είαι θετικοί 3. Α το άθροισµα ετερόσηµω αριθµώ είαι αρητικός, τότε µεγαλύτερη απόλυτη τιµή έχει ο αρητικός 4. Α το άθροισµα ετερόσηµω ρητώ είαι αρητικός αριθµός, τότε οι ρητοί είαι αρητικοί 5. Α α+ β = 0, τότε οι α και β είαι ατίθετοι Σελίδα -6-
0..3 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΟΛΛΩΝ ΠΡΟΣΘΕΤΕΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α προσθέσουµε έα άθροισµα µε περισσότερους από δύο προσθετέους, εργαζόµαστε ως εξής : 1. Προσθέτουµε τους δύο πρώτους αριθµούς,στο άθροισµα τους προσθέτουµε το τρίτο στο έο άθροισµα το τέταρτο κτλ µέχρι α εξατλήσουµε όλους τους προσθετέους Παράδειγµα (-5)+(+7)+(-3)+(+1)+(-7)= [Προσθέτω αά δυάδες!!!] (+)+(-3)+(+1)+(-7)= (-1)+(+1) +(-7) = (+0)+(-7)= -7 ή. ιαγράφουµε τους ατίθετους α υπάρχου,κατόπι προσθέτουµε ξεχωριστά όλους τους θετικούς και όλους τους αρητικούς και τέλος προσθέτουµε τα δύο αθροίσµατα Παράδειγµα (-5)+(+7)+(+4)+(-3)+(+1)+(-7)= [ ιαγραφή Ατίθετω όρω] (-5) + (+4) + (-3) + (+1) = (-5)+(-3) + (+4)+(+1)= [Χωρισµός θετικώ και αρητικώ] (-8) + (+5)= [Πρόσθεση θετικώ και αρητικώ] -3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: ( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) )5+( + 8) + ( 3) + ( ) + ( + 5) + ( 7) i) 3 7 3 ii Σελίδα -7-
0..4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Για α βρούµε τη διαφορά (αφαίρεση) α-β, προσθέτουµε στο α το ατίθετο του β, δηλαδή α β = α + (-β) π.χ (+6) - (+5) = (+6) + (-5) = +1 (-5) - (-4) = (-5) + (+4) = -1 (-3) - (+1) = (-3) + (-1) = -4 (+) - (-7) = (+) + (+7) =+9 (-1) - (-) = (-1) +? =? (+7) - (+9) =? =? Ο α οοµάζεται µειωτέος και ο β αφαιρετέος. Για τις εξισώσεις έχουµε: x+ α = β ή x= β α α x= β ή x= α β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) ii + ( ) + ( ) ( + ) ) 1, + ( ) ( 3, 4) ( 1 ) iv) 7+ 5 + 10 6 ( ) + ( ) ( + ) ( ) vi + ( ) ( ) ( ) + i)5 8 6 3 ) 6 3 7 5 iii v) 3 7 6 ) 9 0 10 14 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) i) x+ 3 = 5 ii) x+ 7= 4 iii) x 3= 10 iv)5 x= 7 ( ) v)13 x= 18 vi) x + 3 = 7 Σελίδα -8-
0..5 ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α απαλείψουµε παρεθέσεις ακολουθούµε τη εξής διαδικασία. Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (+), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της όπως είαι. π.χ + ( 5 3 + 9 ) = + 5 3 + 9 Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (-), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της µε ατίθετα πρόσηµα. π.χ ( 13-5 + 9-7 + 3 ) = -13 + 5 9 + 7 3 Ότα µπροστά από µια παρέθεση δε υπάρχει πρόσηµο παραλείπουµε απλώς τη παρέθεση. π.χ (α + β + γ - δ) = α + β + γ δ Ότα τώρα µια παράσταση περιέχει και παρεθέσεις και αγκύλες, η απαλοιφή γίεται από το εσωτερικό της παράστασης προς το εξωτερικό (δηλαδή από µέσα προς τα έξω το πιάσαµε το υποοούµεο ) οπότε η αγκύλη θα γίεται παρέθεση. Για όσους τους φαίεται Chinese ας δούε το επόµεο παραδειγµατάκι π.χ ( x ) ( x ) 3 + 1 = = 3 1 = βγαλαµε τη µεσα παρεθεση και εγιε η αγκυλη παρεθεση = 3+ x+ 1 = κααµε απαλοιφη της παρεθεσης = x 4 κααµε πραξεις µεταξυ τω αριθµω Σελίδα -9-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τη τιµή τω παραστάσεω, αφού πρώτα απαλείψετε τις παρεθέσεις και τις αγκύλες. ( + ) ( ) + ( ) ii ( + ) + ( + ) ) 6 ( 3) + ( 7+ 8 3) ( 5+ 3 ) iv)1+ 5 ( 6+ ) + ( + ) ( + ) vi + ( ) ( ) i) 3 5 3 7 8 )1 3 5 1 5 7 iii v) 7 3 5 7 5 3 ) 5 3 6. Α x= 1+ ( 3 5) και 5 ( 7 3) παράστασης A= 5 ( x 3) + ( 1 y). y= +, α υπολογίσετε τη τιµή της 3. Α x= 5 ( 3) ( 5+ 8) 1 και y= 1 + ( 7 10) παράστασης A= + ( x 3) ( y 1)., α υπολογίσετε τη τιµή της 4. Να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης A= 3 a ( β x) ( y a) ( β 1) ότα x+ y= 6. 5. Α a b=, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: A= 3+ + a 5 γ + b γ. ( ) ( ) 6. Α a b= 3, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: A= 3 ( a+ 5) 7 ( b 3). 7. Να θέσετε τους δύο τελευταίους όρους της παράστασης A= x+ 5 y µέσα σε παρέθεση, η οποία α έχει µπροστά: i) + ii) - 8. Στις παρακάτω παραστάσεις α βάλετε το ο και το 3 ο όρο σε παρέθεση που α έχει µπροστά και τους δύο τελευταίους όρους σε παρέθεση που α έχει µπροστά +. i) A= 3 x+ 5+ y ii) B= 5+ 7 x y+ Σελίδα -10-
0..6 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ ύο αριθµοί λέγοται ατίστροφοι ότα έχου γιόµεο ίσο µε τη µοάδα, δηλαδή α α,β ατίστροφοι, τότε ισχύει: α β = 1. π.χ το 5 και το 1 5 είαι ατίστροφοι διότι 1 5 = 1. Το 0 έχει ατίστροφο??? 5 Από το παραπάω ορισµό προκύπτει ότι οι ατίστροφοι αριθµοί είαι πάτα οµόσηµοι. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α πολλαπλασιάσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (+). π.χ: ( + 3) ( + 4) =+ 1 και ( ) ( ) 3 4 =+ 1 Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο)πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (-). π.χ: ( + 3) ( 4) = 1 και ( ) ( ) 3 + 4 = 1 Γεικά όσο ααφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού έχουµε: ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) Σελίδα -11-
α 0= 0 α 1=α ΙΣΧΥΟΥΝ: α α=α προσοχη: αλλο το α+α= α Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α β=β α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ( β γ ) = ( α β) γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α 1=α (iv) Ιδιότητα Ατιστρόφου: 1 α = 1, α 0 α (v) α 0= 0 και 0 = 0, α 0 α ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα δε µας εδιαφέρει α είαι οµώυµα. Άπλα πολ\ζουµε τους αριθµητές και τους παροοµαστές µεταξύ τους. ηλαδή θα ισχύει: α γ αγ =, β, δ 0 β δ βδ κλάσµα. β αβ ή α =, γ 0 γ γ α έχουµε α πολλ\σουµε αριθµό µε Ι ΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Επιµεριστική Ιδιότητα: α( β±γ ) =αβ±αγ ή αβ±αγ=α( β±γ ) (ii) ιπλή Επιµεριστική Ιδιότητα: ( α+β)( γ+δ ) =αγ+αδ+βγ+βδ Σελίδα -1-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Το πρόσηµο του γιοµέου δύο αρητικώ ρητώ είαι -. Το πρόσηµο του γιοµέου δύο ετερόσηµω αριθµώ είαι - 3. Οι ατίστροφοι αριθµοί είαι ετερόσηµοι 4. Α α β = 5, τότε οι αριθµοί α και β είαι πάτοτε θετικοί 5. Α α β = 3, τότε οι αριθµοί α και β είαι ετερόσηµοι 0..7 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΛΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α υπολογίσουµε έα γιόµεο πολλώ παραγότω διαφόρω του µηδεός, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω παραγότω και στο γιόµεο βάζουµε: Το πρόσηµο (+), α το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι άρτιο Το πρόσηµο (-), α το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι περιττό 0, α έστω και έας από τους παράγοτες είαι µηδέ. Σελίδα -13-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γιόµεα. ( + ) ( + ) ( ) ii ( ) ( + ) ( ) )( ) ( + 3) ( 5) ( 1 ) iv) ( 5) ( + 1) ( ) ( 6) ( 4) i) 3 4 ) 6 3 iii 1 3 4 5 v) 4 ( 1) ( + ) ( 3 ) vi) 3 4 5 6. Να κάετε τις πράξεις: ( ) ii ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) iv ( + ) + ( ) i)1 3+ 8 5 ) 3 7 3 17 8 iii) 5 3 3 4 7 3 )1 3 4 5 7 8 3. Α α =, β = 3 και γ = 1, α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: i) Α= 3α β + 5 γ ii) Β= αβ βγ + γ ( α β) ( β γ) iii) Γ= γ αβγ + β iv) = 3 4. Α x= α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i) Α= x+ 1 x+ x+ 3 x+ 013 ii) Β= x x+ 1 3x 10 iii) Γ= x 3 x x+ 1 x+ 1 5. Α οι αριθµοί α, β είαι ατίθετοι και οι x, y ατίστροφοι, α υπολογίσετε τη A= a 5 β x 3 y + 3x. τιµή της παράστασης ( ) ( ) Σελίδα -14-
0..8 ΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Το πηλίκο της διαίρεσης α : β ή α, λέγεται λόγος του α προς το β και β ορίζεται ως η µοαδική λύση της εξίσωσης x a α =. β β = ή x ( β 0) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α διαιρέσουµε δύο ακέραιους αριθµούς, διαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους και στο πηλίκο βάζουµε: Το πρόσηµο (+), α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι Το πρόσηµο (-), α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι. Γεικά όσο ααφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού έχουµε: + : + = + ( ) ( ) ( ) ( ) :( ) = ( + ) ( + ) :( ) = ( ) ( ) :( + ) = ( ) ΠΡΟΣΟΧΗ: ιαίρεση µε διαιρέτη το 0 ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΙΣΧΥΟΥΝ: α : 0= ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ 0 : α= 0 α :1=α α : α= 1 Για α διαιρέσουµε δύο αριθµούς, αρκεί α πολλαπλασιάσουµε το διαιρετέο µε 1 το ατίστροφο του διαιρέτη. ηλαδή: α : β=α. Προφαώς β 0, δηλαδή β β ΟΧΙ 0 Σελίδα -15-
Για α διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, αρκεί α ατιστρέψω τους όρους του δεύτερου κλάσµατος και α κάω πολλαπλασιασµό. ηλαδή θα ισχύει: α γ α δ αδ : = =, β, γ, δ 0 β δ β γ βγ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Το πηλίκο δύο αρητικώ αριθµώ είαι αρητικός αριθµός α. Α α < 0 και β > 0, τότε 0 β < 3. Α 1 < 0, τότε και α < 0 α 4. Η εξίσωση α x β( a 0) = έχει µοαδική λύση τη x Σελίδα -16- β = α
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις i)3x= 6 ii) x= 5 iii) 6x= 18 3 5 10 iv)5 x= v) x= vi) x= 3 5 3 3. Να κάετε τις πράξεις: 3 5 3 1 i)1 + ii) + 1 3 4 3 5 7 3+ ( 4) 6 3 5 iii) + + iv) 1 : 3 6 3 3 3. Να κάετε τις πράξεις: 1 3 3 i)1 3 + ( 5 ) : ii) 1 1 5 5 3 3 5 3 5 5 7 1 1 iii)1 + ( 4 ) iv) : 3+ 3 1 5 6 + 1 1 5 ( 3) + 5 7 7 ( 1) ( 3) ( 4) v)1 3 5 ( ) ( 3 ) : vi) : 1 3 5 14 4. Να κάετε τις πράξεις: 5 5 3 1 1 + 1 1 i) 3 ii) iii) 3 3 3 7 5 ( ) ( ) 4 5 5. Α α = 1 και β =, α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: 3 3 6 α i) Α= α+ β ii) Β= αβ iii) Γ= β 1 6. Α α =, β = και γ = 5, α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω 3 παραστάσεω: α γ i) Α= 1 α β+ β : α+ γ ii) Β= 1 γ β 1 αγ γ iii) Γ= α β : γ β iv) = α β α β α 3 7. Α = α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: β α+ β α β α + 3β 3α β i) Α= ii) Β= iii) Γ= iv) = β α 5β α Σελίδα -17- ( )
0..9--0..10 ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΦΥΣΙΚΟ ΚΑΙ ΑΚΕΡΑΙΟ ΟΡΙΣΜΟΙ Α ο α είαι πραγµατικός αριθµός και ο φυσικός µε > 1, ορίζουµε ότι α Εκθετης =α α α... α βαση παραγοτες Η δύαµη a διαβάζεται ιοστή δύαµη του α. Η δύαµη Η δύαµη a λέγεται και τετράγωο του α ή α στο τετράγωο. 3 a λέγεται και κύβος του α ή α στο κύβο. Ορίζουµε τα εξής : 0 α = 1, 1 α =α και 1 α = µε α 0. α ΠΡΟΣΟΧΗ: X X X 3 = X αλλά X+ X+ X= 3X Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ιδιότητες που στηρίζοται στη ίδια βάση: i) µ +µ α α =α ii) α µ µ =α α Ιδιότητες που στηρίζοται στο ίδιο εκθέτη : i) ( ) α β = α β ii) α β α = β Σελίδα -18-
Μία άσχετη (όχι για άσχετους..!!) ( ) µ α =α µ Με τη βοήθεια του ορισµού µε α, β 0 1 α = µε α 0 προκύπτει και η α α β β = α Επίσης ισχύου: ( ) α =α, οπου αρτιος ( α ) = α, οπου περιττος 1 10 = 10 10 = 100 3 10 = 1000... και 1 10 = 0,1 10 = 0, 01 3 10 0, 001... = 10 = 100...000 µηδεικα 10 = 0,00...01 µηδεικα ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Σελίδα -19-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Α α < 0 και άρτιος, τότε α < 0. µ µ α α = α α β = α β 3. ( ) 4. α α = β β 5. ( α ) µ α µ = 6. ( ) 5 5 + 7 = 7 7. ( ) 13 = 13 8. ( ) 5 5 7 = 7 9. ( ) 7 7 5 = 5 10. ( 1) 100 = 1 11. 3 = 9 1. ( ) 8 8 3 = 3 13. ( ) 7 7 5 = 5 14. 3 1 3 = 15. ( 35) 0 = 1 16. 17. 18. 3 3 17 13 = 13 17 5 = 5 3 1 3 1 = 3 3 1 = 3 10 = 0, 01 1 3 = 3 19. ( ) 3 3 0. 1. Σελίδα -0- Σ Σ Σ Λ Λ Λ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ 1. Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα µε το πρόσηµο της κάθε παράστασης. Παράσταση ( + 7) 9 ( 5) 11 ( 3) 1 4 3 ( 5) 8 ( 7) 3 Πρόσηµο. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κεά, ώστε α προκύψου αληθείς προτάσεις. µ ( α ) 0 ) =... ) =..., 0 i v a a ( α β) ii) =... vi) a =... =..., α 0 µ α α iii) =... vii)..., α, β 0 = α β α α iv) =... viii) =..., α, β 0 β β 1 3. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κεά µε έα από τα σύµβολα < ή >. ( + ) ( ) ( ) ( ) 5 8 3 301 i)...0 ii) 3...0 iii) 7...0 iv) 1...0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: ( + ) + ( ) + ( ) ii ( ) ( ) 3 3 3 i) 5 ) 7 6 4 ( ) ( ) iv ( ) + ( ) ( ) 7 6 3 4 iii)5 4 3 1 ) 1 5 3. Να κάετε τις πράξεις: 3 ( ) 4 7 14 3 3 1 3 + 3 ( ) + ii + 10 5 7 i) ) 3. Να υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: 3 1 1 1 3 i)1 + + ( ) ii) 3 ( 3) + 1 1 1 3 1 4 ( ) + iv ( ) 3 3 3 iii)3 ) 1 Σελίδα -1-
4. Να κάετε τις πράξεις: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σελίδα -- ( ) ( ) 5 7 4 7 18 5 3 3 6 3 i) ( ) ii) 3 7 4 5 3 3 6 5 ( ) 5 4 3 4 3 4 6 8 10 6 8 10 iii) + iv) + 3 4 5 3 4 5 ( ) ( ) 5 4 3 4 3 4 5. Να κάετε τις πράξεις: 13 3 1 1 i) ( 7 3 ) 1 ii)5 ( 1 3 ) 1+ 3 3 3 6 5 7 1 1 iii) ( 1 ) iv) 1 3 ( ) + 31 3 6. Α χ = - α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: 3 4 3 A= x x 3x 1 B= 3x + 5x 3x+ 1 3 7. Α x= α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: 3 3 A= x x x+ 1 B= 8x 4x 4x 1 1 8. Α x= α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: 3 3 3 A= x x 1 B= 7x 3x x+ 1 9. Α α = -, β = -3 και γ = -1, α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: 3 3 A= α β γ B= 3α β 3γ Γ= + = 4 6 3 γ αβ βα β αγ 10. Α α = - και β = -3, α επαληθεύσετε τη ισότητα: ( ) 3 3 3 α β = α 3α β + 3αβ β 11. Να βρείτε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: x x 1 x x 3 x 4 A= + + + + ότα χ = x x B= x + x ότα x = -3 x+ 1 x+ Γ= 3 x + 6 ότα χ = - ( ) x 3y x y+ 1 5 y+ = + 3 ότα χ = -5 και y = -1 1 1. Α x=, y=, z= α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: 3 x x xy A= +. y z 13. Α aβ =, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: A 53 α β 3 3 = 5a β.
0..11 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατά απόλυτη τιµή αριθµούς, είαι βολικό α τους γράφουµε µε τυποποιηµέη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή: α 10 µε 1 α 10 και ακέραιο. π.χ 500000000=,5 10 0,00000000035= 3,5 10 9 10 Από θετικούς αριθµούς µε τυποποιηµέη µορφή µεγαλύτερος είαι εκείος που έχει το µεγαλύτερο εκθέτη στο 10. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε σε τυποποιηµέη µορφή τους αριθµούς: i)30.000.000 ii)5600000 iii)43000000 iv)0, 0000 v)0, 00000034 vi)0, 000000000735 Σελίδα -3-
0..1 ΕΚΑ ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Α έας ρητός είαι ακέραιος, τότε προφαώς γράφεται ως δεκαδικός. Α έας ρητός είαι κλάσµα της µορφής α β (µε α αάγωγο), τότε διακρίουµε β τις εξής δύο περιπτώσεις: Α ο παροοµαστής του κλάσµατος γράφεται ως γιόµεο δυάµεω του κ και του 5, δηλαδή β = 5, τότε ο ρητός α γράφεται ως δεκαδικός. β 37 37 π.χ = = 1,85 0 5 Α ο παροοµαστής του κλάσµατος δε γράφεται ως γιόµεο δυάµεω του και του 5, τότε ο ρητός α δε γράφεται ως δεκαδικός. Στη περίπτωση β αυτή έχουµε τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθµούς όπου επααλαµβάεται έας αριθµός η πλήθος αριθµώ. π.χ 1 0,33333... 3 = ή 0,3 και ο αριθµός 163 = 1,6464646464... ή 1,64 ακόµα και 99 ο αριθµός 91,0681818181... 41 = ή,0681. Το πλήθος τω επααλαµβαόµεω δεκαδικώ ψηφίω κάθε περιοδικού αριθµού οοµάζεται περίοδος. Κάθε ρητός αριθµός µπορεί α γραφτεί ως δεκαδικός ή ως περιοδικός δεκαδικός αριθµός. Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθµός µπορεί α γραφτεί ως ρητός µε κλασµατική µορφή. Το σύολο τω ρητώ αριθµώ αποτελείται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς αριθµούς. Σελίδα -4-
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α µετατρέψουµε έα περιοδικό δεκαδικό αριθµό σε κλάσµα ακολουθούµε τη παρακάτω διαδικασία. i) Θέτουµε το περιοδικό αριθµό α ίσο µε χ, δηλαδή χ = α (1). ii) Α ο χ είαι µικτός, πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης (1) µε τη κατάλληλη δύαµη του 10 ώστε ο µικτός α γίει απλός περιοδικός. iii) Α ο χ είαι απλός περιοδικός, πολλαπλασιάζουµε τα δύο µέλη της (1) µε µια δύαµη του 10 που έχει εκθέτη όσα τα ψηφία της περιόδου. iv) Γράφουµε το ο µέλος ως άθροισµα εός φυσικού και εός άλλου που εκφράζεται µε τη βοήθεια του χ. v) Λύουµε τη εξίσωση που προκύπτει. vi) Ας δούµε µερικά παραδείγµατα γιατί ούτε εγώ κατάλαβα (Σωστός??) Π.χ Να γραφού σε κλασµατική µορφή οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθµοί. α) 0,7 β) 1,53 Έστω χ = 0,7 Έστω χ = 1,53 x= 0,7777... 10x= 7,777... 10x= 7+ 0,7777... 10x= 7+ x 10x x= 7 9x= 7 x= 7 9 x= 1,535353... 100x= 153,5353... 100x= 153+ 0,5353... ( x ) 100x= 153+ 1 100x= 153+ x 1 100x x= 153 1 99x= 15 x= 15 99 Άρα 7 0,7= Άρα 9 15 1,53= 99 Πολλές φορές σε ασκήσεις ατικαθιστούµε τους δεκαδικούς περιοδικούς µε περίοδο το 9 στο πλησιέστερο δεκαδικό. Π.χ i)1,9 = ii)0, 79= 0,8 iii)5, 469= 5, 47 Σελίδα -5-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε σε δεκαδικοί µορφή τους ρητούς: 7 15 17 5 30 91 i) ii) iii) iv) v) vi) 10 8 0 3 11 44. Να βρείτε τη κλασµατική µορφή τω αριθµώ: i)3, ii) 5, 4 iii)0,047 iv)1,5 v)3, 6 vi)9,73 vii)1, 75 3. Να βρείτε µια άλλη δεκαδική µορφή για τους αριθµούς: i)0,9 ii)1, 9 iii ),309 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιοι αριθµοί λέγοται ρητοί.. Τι λέγεται απόλυτη τιµή εός αριθµού χ. 3. Ποιοι αριθµοί λέγοται ατίθετοι. 4. Πώς συγκρίουµε τους ρητούς αριθµούς. 5. Πώς προσθέτουµε οµόσηµους και πώς ετερόσηµους αριθµούς. 6. Ποιες ιδιότητες της πρόσθεσης γωρίζεται. 7. Πώς προσθέτουµε περισσότερους από δύο ρητούς. 8. Πώς γίεται η αφαίρεση δύο ρητώ. 9. Τι είαι το αλγεβρικό άθροισµα ρητώ αριθµώ. 10. Πώς απαλείφουµε τις παρεθέσεις από µια παράσταση. 11. Πώς πολλαπλασιάζουµε οµόσηµους και πώς ετερόσηµους αριθµούς. 1. Ποίες είαι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού. 13. Πότε δύο ρητοί λέγοται ατίστροφοι. 14. Ποιο καόα εφαρµόζουµε για α υπολογίσουµε το γιόµεο πολλώ παραγότω. 15. Πώς διαιρούµε δύο οµόσηµους και πώς δύο ετερόσηµους αριθµούς. 16. Τι οοµάζουµε λόγο του αριθµού α προς το β. 17. Τι οοµάζουµε ιοστή δύαµη εός ρητού α, για φυσικό µεγαλύτερο του 1. 18. Ποιες είαι οι ιδιότητες τω δυάµεω. 19. Πώς ορίζεται η δύαµη ρητού α 0, µε εκθέτη αρητικό ακέραιο και πώς ορίζεται µε εκθέτη µηδέ. 0. Ποιοι αριθµοί λέγοται περιοδικοί δεκαδικοί. 1. Πώς γράφουµε έα αριθµό σε τυποποιηµέη µορφή. Σελίδα -6-