Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2

1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Εισαγωγή... 4 4. Ορισμοί Ευστάθειας ΓΧΑ Συστήματος... 5 4.1 Πρώτος ορισμός της ευστάθειας ΓΧΑ συστήματος Κρουστική απόκριση... 5 4.1.1 Εφαρμογή του πρώτου ορισμού στην πράξη... 6 4.2 Δεύτερος ορισμός της ευστάθειας ΓΧΑ συστήματος B.I.B.O. Stability... 6 4.2.1 «Μετάφραση» του δεύτερου ορισμού σε όρους κρουστικής απόκρισης... 7 4.2.2 Εφαρμογή του δεύτερου ορισμού στην πράξη... 8 4.3 Τρίτος ορισμός της ευστάθειας ΓΧΑ συστήματος Συνάρτηση μεταφοράς... 9 4.4 Αν ένα σύστημα δεν είναι ευσταθές, τότε τι άλλο μπορεί να είναι;... 11 5. Κριτήρια Ευστάθειας ΓΧΑ Συστήματος... 13 5.1 Τα προβλήματα ελέγχου ευστάθειας μέσω απευθείας εφαρμογής των ορισμών... 13 5.1.1 Η εφαρμογή του πρώτου ορισμού... 13 5.1.2 Η εφαρμογή του δεύτερου ορισμού... 14 5.1.3 Η εφαρμογή του τρίτου ορισμού... 14 5.2 Ο ρόλος των Κριτηρίων Ευστάθειας... 15 5.3 Αλγεβρικά και γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας... 15 3

1. Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να μελετήσουμε μια σημαντική προϋπόθεση για την ομαλή λειτουργία των συστημάτων: την ευστάθεια τους. 2. Περιεχόμενα ενότητας Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε: Την έννοια της ευστάθειας και θα εξηγήσουμε γιατί είναι σημαντική η μελέτη της στη λειτουργία ενός γραμμικού συστήματος. Διαφόρους ορισμούς της ευστάθειας και εφαρμογές τους στην πράξη με παραδείγματα. Τα διάφορα κριτήρια ευστάθειας ενός γραμμικού συστήματος. 3. Εισαγωγή Η ευστάθεια (stability) αποτελεί τη βασικότερη ίσως προϋπόθεση για την ομαλή λειτουργία ενός συστήματος. Η ιδιότητα της ευστάθειας είναι χαρακτηριστικό του ίδιου του συστήματος, εξαρτάται δηλαδή από την εσωτερική δομή του συστήματος και όχι από τα σήματα εισόδου ή εξόδου. Η ευστάθεια αφορά κάθε σύστημα, γραμμικό ή μη γραμμικό, ανοιχτό ή κλειστό, στατικό ή δυναμικό, χρονομεταβλητό ή χρονικά αμετάβλητο. Αξίζει να τονιστεί ότι το μεγαλύτερο μέρος της επιστημονικής και τεχνολογικής προσπάθειας που καταβάλλεται στο χώρο των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, αφορά την εξασφάλιση ή την βελτίωση (αύξηση) της ευστάθειάς τους. Κατά κανόνα τα περισσότερα φυσικά αλλά και τεχνητά (κατασκευασμένα από τον άνθρωπο) συστήματα που παρατηρούμε εν λειτουργία γύρω μας, είναι σχεδιασμένα ώστε να είναι ευσταθή. Τυπικό παράδειγμα ευσταθούς συστήματος αποτελούν οι ηλεκτρονικοί ενισχυτές κάθε είδους. Ο κανόνας αυτός βέβαια έχει και εξαιρέσεις: κατά τη σχεδίαση ορισμένων συστημάτων προβλέπεται ελεγχόμενο ποσοστό «αστάθειας», με στόχο να επιτευχθούν ειδικές συνθήκες λειτουργίας. Εδώ τυπικό παράδειγμα αποτελούν οι ηλεκτρονικοί αρμονικοί ταλαντωτές και γενικότερα οι γεννήτριες περιοδικών κυματομορφών. Σε μία πρώτη, εντελώς ποιοτική προσέγγιση, ευσταθές είναι ένα σύστημα το οποίο, ανεξαρτήτως των σημάτων εισόδου ή / και των διαταραχών που δέχεται, συνεχίζει να παράγει την επιθυμητή έξοδο χωρίς να καταστρέφει ούτε τον εαυτό του ούτε τα συστήματα τα οποία οδηγούν οι έξοδοί του. Η διατύπωση αυτή είναι βέβαια ασαφής και συνεπώς είναι πρακτικά δύσκολο να ελεγχθεί η αλήθειά της για ένα συγκεκριμένο 4

σύστημα, αναδεικνύει όμως τον κρίσιμο ρόλο της ευστάθειας για κάθε σύστημα. Για το λόγο ακριβώς αυτό, η φύση της ευστάθειας έχει μελετηθεί αναλυτικά και υπάρχουν σήμερα συγκεκριμένοι και μαθηματικά εκφρασμένοι ορισμοί της, όλοι ισοδύναμοι μεταξύ τους, μέθοδοι διαπίστωσης και μέτρησης της ευστάθειας συστήματος (Κριτήρια Ευστάθειας), καθώς και μέθοδοι σχεδίασης ευσταθών συστημάτων ή βελτίωσης της ευστάθειας δεδομένων συστημάτων (σχεδίαση ελεγκτών ή αντισταθμιστών). Όλα αυτά αποτελούν το αντικείμενο του παρόντος κεφαλαίου, με προσανατολισμό στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, δηλαδή σε συστήματα που περιέχουν ανάδραση (feedback). 4. Ορισμοί Ευστάθειας ΓΧΑ Συστήματος 4.1 Πρώτος ορισμός της ευστάθειας ΓΧΑ συστήματος Κρουστική απόκριση Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν η κρουστική του απόκριση h(t) φθίνει κατά πλάτος με το χρόνο: lim t ht ( ) 0 (B1.1) Παράδειγμα κρουστικής απόκρισης ευσταθούς συστήματος Παράδειγμα κρουστικής απόκρισης ασταθούς συστήματος 1 ο Παράδειγμα ελέγχου ευστάθειας συστήματος με γνωστή κρουστική απόκριση Έστω ΓΧΑ σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου με κρουστική απόκριση 2t h( t) 3 e u( t) (B1.2) όπου u(t) η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (unit step). Εξετάζουμε αν η h(t) τείνει στο μηδέν καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο: 5

1 (B1.3) 2t 2t lim t h( t) limt 3 e u( t) 3limt e 3 0 2t limt e Άρα το σύστημα αυτό είναι ευσταθές με βάση τον πρώτο ορισμό της ευστάθειας. 2 ο Παράδειγμα ελέγχου ευστάθειας συστήματος με γνωστή κρουστική απόκριση Έστω ΓΧΑ σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου με κρουστική απόκριση h( t) 3cos(2 t) u( t) (B1.4) όπου u(t) η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (unit step). Εξετάζουμε αν η h(t) τείνει στο μηδέν καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο: lim h( t) lim 3cos(2 t) u( t) 3lim cos(2 t) (B1.5) t t t Το όριο στο δεξί σκέλος της (B1.5) δεν υπάρχει διότι η συνάρτηση συνημίτονο καθώς ο χρόνος t που βρίσκεται μέσα στο όρισμά της αυξάνει, ταλαντώνει μεταξύ του +1 και του -1 και δεν συγκλίνει σε συγκεκριμένη τιμή. Άρα το σύστημα αυτό δεν είναι ευσταθές με βάση τον πρώτο ορισμό της ευστάθειας. 4.1.1 Εφαρμογή του πρώτου ορισμού στην πράξη Υπενθυμίζεται ότι η κρουστική απόκριση είναι η έξοδος του συστήματος όταν στην είσοδο εισαχθεί η κρουστική συνάρτηση δ(t) (δ του Dirac), η οποία δεν είναι φραγμένη κατά πλάτος αλλά (θεωρητικώς) απειρίζεται στιγμιαία, τη στιγμή t=0. Για το λόγο αυτό δεν είναι ασφαλές να χρησιμοποιηθεί αυτός ο ορισμός της ευστάθειας προκειμένου να ελεγχθεί πειραματικά η ευστάθεια αγνώστου συστήματος, δεδομένου ότι η εφαρμογή στην είσοδο σήματος μη φραγμένου πλάτους (που ουσιαστικά ισοδυναμεί με «καρφί» (spike) τάσης) μπορεί να είναι καταστροφική για το σύστημα. 4.2 Δεύτερος ορισμός της ευστάθειας ΓΧΑ συστήματος B.I.B.O. Stability Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν για κάθε φραγμένη είσοδο x(t) παράγει φραγμένη έξοδο y(t): B, B : 0 B, B : x( t) B y( t) B (B1.6) x y x y x y Η ευστάθεια που εξασφαλίζει αυτός ο ορισμός ονομάζεται ευστάθεια Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου (Bounded Input Bounded Output, B.I.B.O. Stability). 6

Σε αντίθεση με τον πρώτο ορισμό της ευστάθειας, ο δεύτερος χρησιμοποιεί μόνο φραγμένες κατά πλάτος συναρτήσεις, αποφεύγοντας έτσι το πρόβλημα της κρουστικής συνάρτησης δ(t) που απειρίζεται στιγμιαία. Όμως για να αποφευχθεί ο έλεγχος ευστάθειας με εφαρμογή στην είσοδο μίας μη φραγμένης συνάρτησης (της δ(t)), το τίμημα είναι ότι απαιτείται τώρα να ελεγχθεί το σύστημα εφαρμόζοντας διαδοχικά στην είσοδο άπειρες σε πλήθος συναρτήσεις ( x() t Bx ) φραγμένες κατά πλάτος. 4.2.1 «Μετάφραση» του δεύτερου ορισμού σε όρους κρουστικής απόκρισης Ας εξετάσουμε τι σημαίνει ο ορισμός αυτός για την κρουστική απόκριση του συστήματος. Υπενθυμίζεται ότι σύμφωνα με τη σχέση (A.3) η έξοδος y(t) προκύπτει από τη συνέλιξη κρουστικής απόκρισης h(t) και εισόδου x(t), οπότε: y( t) h( ) x( t ) d h( ) x( t ) d B h( ) d (B1.7) x όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι η κάθε x(t) είναι φραγμένη κατά πλάτος ( x() t Bx ). Για να είναι η y(t) επίσης φραγμένη και συνεπώς το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει το ολοκλήρωμα στο δεξί σκέλος της (B1.7) να είναι ισούται με (ή να φράσσεται από) κάποιον πεπερασμένο αριθμό, έστω B h : h() d Bh (B1.8) δηλαδή η κρουστική απόκριση να είναι «απολύτως ολοκληρώσιμη», οπότε και η έξοδος θα προκύπτει φραγμένη: y() t BxBh By (B1.9) Άρα κατά το δεύτερο ορισμό, ένα σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν η κρουστική του απόκριση είναι απολύτως ολοκληρώσιμη. 1 ο Παράδειγμα ελέγχου B.I.B.O. ευστάθειας συστήματος με γνωστή κρουστική απόκριση Έστω ΓΧΑ σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου με κρουστική απόκριση 2t h( t) 3 e u( t) (B1.10) όπου u(t) η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (unit step). Εξετάζουμε αν η h(t) είναι απολύτως αθροίσιμη: 7

2t 2t 3 2t 3 2t h( t) dt 3 e u( t) dt 3 e 1 dt ( ) e d( 2 t) ( ) e 3/ 2 2 2 t0 t t t0 t0 (B1.11) Άρα το σύστημα αυτό είναι ευσταθές με βάση τον δεύτερο ορισμό (B.I.B.O. Stability). 2 ο Παράδειγμα ελέγχου B.I.B.O. ευστάθειας συστήματος με γνωστή κρουστική απόκριση Έστω ΓΧΑ σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου με κρουστική απόκριση h( t) 3cos(2 t) u( t) (B1.12) όπου u(t) η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (unit step). Εξετάζουμε αν η h(t) είναι απολύτως αθροίσιμη: 3 h( t) dt 3cos(2 t) u( t) dt 3 cos(2 t)1 dt ( ) cos(2 t) d(2 t) 2 t t t0 t0 (B1.13) Το ολοκλήρωμα στο δεξί σκέλος της (B1.13) τείνει στο άπειρο διότι καθώς ο χρόνος t αυξάνει από μηδέν προς άπειρο, η περιεχόμενη συνάρτηση cos(2 t ) σε κάθε περίοδο προσθέτει σταθερή θετική ποσότητα στο ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα, καθώς το πλήθος των ολοκληρωνόμενων περιόδων αυξάνει, το ολοκλήρωμα να απειρίζεται. Άρα το σύστημα αυτό δεν είναι ευσταθές με βάση τον δεύτερο ορισμό (B.I.B.O. Stability). 4.2.2 Εφαρμογή του δεύτερου ορισμού στην πράξη Αξίζει να σημειωθεί ότι αν η κρουστική απόκριση του συστήματος δεν είναι γνωστή σε αναλυτική μορφή (δηλαδή δεν περιγράφεται με μαθηματικό τύπο όπως συνέβαινε στο προηγούμενο παράδειγμα), η απόδειξη της ανωτέρω σχέσης (B1.13) είναι πρακτικά αδύνατη. Απομένει ο πειραματικός έλεγχος της ευστάθειας με βάση αυτό τον ορισμό, που επίσης δεν είναι πρακτικά δυνατός διότι πρέπει να ελεγχθούν μία προς μία ΟΛΕΣ οι δυνατές φραγμένες κυματομορφές εισόδου (και να παράγουν φραγμένη έξοδο) πράγμα φυσικά αδύνατον. Πρακτική αξία έχει η χρήση του ορισμού αυτού μόνο για ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟ της ευστάθειας του (άγνωστου) συστήματος, αν πειραματικά βρεθεί έστω και μία φραγμένη είσοδος που παράγει μη φραγμένη έξοδο οπότε, με βάση τον ορισμό το σύστημα δεν είναι ευσταθές. 8

4.3 Τρίτος ορισμός της ευστάθειας ΓΧΑ συστήματος Συνάρτηση μεταφοράς Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν όλοι οι πόλοι του, δηλαδή οι τιμές της μιγαδικής συχνότητας (s) που μηδενίζουν τον παρονομαστή A(s) της συνάρτησης μεταφοράς του, έστω H(s), ανήκουν στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο: p 1 p 2 pn pi i i i Bs () H ( s) : A( s) 0 s s, s,, s s j : 0, i 1,2,, N As () (B1.14) Στην ανωτέρω σχέση η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος H(s) είναι πάντα ρητή Bs () συνάρτηση της μεταβλητής (s), δηλαδή πηλίκο δύο πολυωνύμων, έστω H() s, As () διότι το σύστημα είναι ΓΧΑ. Το πολυώνυμο του παρονομαστή As (), έστω βαθμού N, ονομάζεται Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο του συστήματος και έχει N ρίζες, δηλαδή N τιμές που το μηδενίζουν. Οι τιμές αυτές υπολογίζονται λύνοντας την πολυωνυμική εξίσωση As ( ) 0, η οποία ονομάζεται Χαρακτηριστική Εξίσωση του συστήματος. Οι N ρίζες της εξίσωσης αυτής, έστω p 1, p 2,, pn s s s ονομάζονται πόλοι του συστήματος και είναι είτε πραγματικοί αριθμοί είτε αν υπάρχουν και μιγαδικοί πόλοι ζεύγη συζυγών μιγαδικών αριθμών. Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, διότι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου As () είναι πραγματικοί αριθμοί. Θεωρώντας ότι στη γενική περίπτωση ο i-οστός πόλος γράφεται ως μιγαδικός αριθμός με πραγματικό και φανταστικό μέρος, αντίστοιχα, ως s j, i 1,2,, N, αυτός ανήκει στο Αριστερό Μιγαδικό pi i i Ημιεπίπεδο αν το πραγματικό του μέρος είναι αρνητικό: i 0. Τονίζεται ότι ο τρίτος ορισμός της ευστάθειας (1) Προϋποθέτει ότι είναι γνωστή η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος σε αναλυτική μορφή, (2) Δείχνει ότι η ευστάθεια κρίνεται αποκλειστικά από τους πόλους του συστήματος και όχι από τα μηδενικά του (τις τιμές που μηδενίζουν το πολυώνυμο του αριθμητή της H(s) ), δηλαδή εξαρτάται μόνο από το πολυώνυμο του παρονομαστή της H(s), έστω A(s) και όχι από το πολυώνυμο του αριθμητή, έστω B(s), και τέλος, (3) Απαιτεί να ανήκουν όλοι οι πόλοι του συστήματος στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο για να είναι το σύστημα ευσταθές. 1 ο Παράδειγμα ελέγχου ευστάθειας συστήματος με γνωστή συνάρτηση μεταφοράς Έστω ΓΧΑ σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου με συνάρτηση μεταφοράς 9

3( s 2) Hs () 2 s 5s10 (B1.15) Υπολογίζουμε τους πόλους του συστήματος δηλαδή τις Ν=2 ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης [ s 2 5s 10 = 0 ] που είναι συζυγείς μιγαδικοί: [ s p1 = -2.50 +j 1.93, s p2 = -250 j 1.93 ]. Επειδή σ 1 = σ 2 = -2.5 < 0, διαπιστώνουμε ότι και οι δύο πόλοι βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο, οπότε το σύστημα είναι ευσταθές με βάση τον τρίτο ορισμό. 2ο Παράδειγμα ελέγχου ευστάθειας συστήματος με γνωστή συνάρτηση μεταφοράς Έστω ΓΧΑ σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου με συνάρτηση μεταφοράς Hs () 3( s 2) 3 1 20 3 2 s s s (B1.16) Υπολογίζουμε τους πόλους του συστήματος, δηλαδή τις Ν = 3 ρίζες της 3 2 χαρακτηριστικής εξίσωσης [ s 3s 1s 20 = 0 ] που είναι ένας πραγματικός και δύο συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί: [s p1 = 0.50 +j 2.18, s p2 = 0.50 j 2.18, s p3 = - 4.00 ]. Επειδή σ 1 = σ 2 = 0.50 > 0, διαπιστώνουμε ότι και οι δύο από τους συνολικά τρεις πόλους βρίσκονται στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο, οπότε το σύστημα δεν είναι ευσταθές με βάση τον τρίτο ορισμό. 3ο Παράδειγμα ελέγχου ευστάθειας συστήματος με γνωστή συνάρτηση μεταφοράς Έστω ΓΧΑ σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου με συνάρτηση μεταφοράς Hs () 3( s 2) 3 2 s 3s s (B1.17) Υπολογίζουμε τους πόλους του συστήματος, δηλαδή τις Ν = 3 ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης [ 3 2 s 3s s = 0 ] που είναι τρεις πραγματικοί αριθμοί: [s p1 = 0, s p2 = 2.61, s p3 = 0.38 ]. Επειδή σ 1 = 0 (και όχι σ 1 < 0 όπως ζητά ο ορισμός) το σύστημα δεν είναι ευσταθές με βάση τον τρίτο ορισμό, παρά το γεγονός ότι οι άλλοι δύο πόλοι s p2 = 2.61, s p3 = 0.38 έχουν σ 2 = 2.61 < 0 και σ 3 = 0.38 < 0 οπότε βρίσκονται στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. 10

4.4 Αν ένα σύστημα δεν είναι ευσταθές, τότε τι άλλο μπορεί να είναι; Ένα σύστημα που δεν είναι ευσταθές μπορεί να είναι είτε οριακά ευσταθές είτε ασταθές. Άρα η μελέτη της ευστάθειας ενός συστήματος καταλήγει να το κατατάξει σε μία από τις εξής τρεις κατηγορίες: (1) Ευσταθές (stable) (2) Οριακά ευσταθές (critically stable) (3) Ασταθές (unstable) Σύμφωνα με τον τρίτο ορισμό της ευστάθειας, που είναι και ο πρακτικότερος στην εφαρμογή, η ευστάθεια κρίνεται από τη θέση των πόλων πάνω στο μιγαδικό επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο όπου κινείται η μιγαδική συχνότητα s = σ + j ω. Ανάλογα με τη θέση των πόλων του συστήματος, αυτό κατατάσσεται ως: Ι. Ευσταθές σύστημα Όλοι οι πόλοι ανήκουν στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. Παράδειγμα: i 0, i 1,2,, N 3( s 2) Hs () 2 s 5s10 Πόλοι: s p1 = -2.50 +j 1.93 s p2 = -250 j 1.93 Μηδενικά: s z1 = 2 11

ΙΙ. Οριακά ευσταθές σύστημα Ένας τουλάχιστον πόλος βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα j ω που χωρίζει το δεξί από το αριστερό ημιεπίπεδο, και Δεν υπάρχουν πόλοι στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. Παράδειγμα: 0, i 1,2,, N j 1,2,, N : 0 i j Hs () 3( s 2) 3 2 s 3s s Πόλοι: s p1 = 0 s p2 = 2.61 s p3 = 0.38 Μηδενικά: s z1 = 2 ΙΙΙ. Ασταθές σύστημα Υπάρχει ένας τουλάχιστον πόλος στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. j 1,2,, N : j 0 12

Παράδειγμα: Hs () 3( s 2) 3 1 20 3 2 s s s Πόλοι: s p1 = 0.50 +j 2.18 s p2 = 0.50 j 2.18 s p3 = - 4.00 Μηδενικά: s z1 = 2 5. Κριτήρια Ευστάθειας ΓΧΑ Συστήματος 5.1 Τα προβλήματα ελέγχου ευστάθειας μέσω απευθείας εφαρμογής των ορισμών Τις προέκυψε από τη μελέτη των τριών διαφορετικών ορισμών τις ευστάθειας ΓΧΑ συστήματος, η απευθείας εφαρμογή τις για τον έλεγχο ευστάθειας συστήματος παρουσιάζει πρακτικά προβλήματα, εκτός από τις περιπτώσεις πολύ απλών συστημάτων ή/και συστημάτων για τα οποία είτε η συνάρτηση μεταφοράς είτε η κρουστική απόκριση είναι γνωστές σε αναλυτική μορφή (δίνονται από μαθηματικό τύπου). Ειδικότερα: 5.1.1 Η εφαρμογή του πρώτου ορισμού Ο πρώτος ορισμός χρησιμοποιεί στην είσοδο του συστήματος την κρουστική συνάρτηση δ(t) η οποία δεν είναι φραγμένη αλλά απειρίζεται στιγμιαία (τη στιγμή t=0), οπότε μόνο να προσεγγιστεί μπορεί στην πράξη. Η προσέγγιση γίνεται από ένα τετραγωνικό παλμό μεγάλου πλάτους έστω Α, και ελάχιστης χρονικής διάρκειας έστω 13

(1/Α), έτσι ώστε το περικλειόμενο «εμβαδόν» να είναι ίσο με 1. Ακόμη κι έτσι, δεν είναι ασφαλές να εφαρμοστεί αυτό το σήμα με τη μορφή «καρφιού» (spike) τάσης στην είσοδο ενός άγνωστου συστήματος, διότι το σύστημα απειλείται είτε με καταστροφή είτε με δυσλειτουργία / λειτουργία εκτός προδιαγραφών. Αν το σύστημα είναι γνωστό, δηλαδή η κρουστική του απόκριση δίνεται σε αναλυτική μορφή, είναι δυνατόν να ελεγχθεί η ευστάθεια με βάση τον 1 ο ορισμό όχι πειραματικά αλλά αναλυτικά με βάση τη σχέση Β1.1. Εντούτοις, ο υπολογισμός του ορίου που περιέχεται στη σχέση αυτή δεν είναι εύκολος παρά μόνο για πολύ απλές συναρτήσεις h(t). 5.1.2 Η εφαρμογή του δεύτερου ορισμού Ο δεύτερος ορισμός για να κατατάξει το (άγνωστο) σύστημα ως προς την ευστάθεια, θα πρέπει να δοκιμάσει στην είσοδο όλες τις δυνατές φραγμένες κατά πλάτος κυματομορφές και να ελέγχει για καθεμία αν παράγει φραγμένη έξοδο, πράγμα αδύνατον. Αν το σύστημα είναι γνωστό, δηλαδή η κρουστική του απόκριση δίνεται σε αναλυτική μορφή, είναι δυνατόν να ελεγχθεί η ευστάθεια με βάση τον 2 ο ορισμό όχι πειραματικά αλλά αναλυτικά με βάση τη σχέση Β1.8. Εντούτοις, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος που περιέχεται στη σχέση αυτή δεν είναι εύκολος παρά μόνο για πολύ απλές συναρτήσεις h(t). 5.1.3 Η εφαρμογή του τρίτου ορισμού Τέλος ο τρίτος ορισμός μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε γνωστό σύστημα, δηλαδή σε σύστημα του οποίου η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται σε αναλυτική μορφή. Το πρακτικό πρόβλημα που εμφανίζεται κατά την προσπάθεια εφαρμογής του, οφείλεται στην «αδυναμία» των σύγχρονων μαθηματικών να δώσουν σε κλειστή μορφή τις ρίζες πολυωνύμου βαθμού άνω του 2. Πράγματι, μόνο οι ρίζες πολυωνυμικής εξίσωσης 1 ου βαθμού και 2 ου βαθμού (τριώνυμο) δίνονται σε κλειστή μορφή (δηλαδή από μαθηματικό τύπο χωρίς επαναληπτική προσέγγιση). Οι ρίζες πολυωνύμων βαθμού ανώτερου του 2 μπορούν μόνο να υπολογιστούν με αριθμητική προσέγγιση μέσω επαναληπτικών μεθόδων, οι οποίες σήμερα υλοποιούνται από λογισμικό σε Η/Υ (π.χ. μέθοδος κιβωτισμού και σταδιακή παραγοντοποίηση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου). Οι επαναληπτικοί αυτοί αλγόριθμοι, εντούτοις, δεν συγκλίνουν πάντα, ειδικά αν πρόκειται για συστήματα με χαρακτηριστικά πολυώνυμα βαθμού >> 2, ή για συστήματα με πόλους που βρίσκονται πολύ κοντά ο ένας στον άλλο. Στην περίπτωση αυτή αποτυγχάνει η εφαρμογή του τρίτου ορισμού διότι δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε αριθμητικά τους πόλους, για να ελέγξουμε μετά σε ποιο μιγαδικό ημιεπίπεδο ανήκουν και να κατατάξουμε το σύστημα ως προς την ευστάθεια. 14

5.2 Ο ρόλος των Κριτηρίων Ευστάθειας Τα Κριτήρια Ευστάθειας αναπτύχθηκαν για να ξεπεραστούν τα πρακτικά προβλήματα στην εφαρμογή των ορισμών. Είναι μέθοδοι εξέτασης της ευστάθειας ενός συστήματος που αποδεικνύεται ότι είναι ισοδύναμες με τους ορισμούς και συνεπώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν εναλλακτικές με αυτούς. Αυτό σημαίνει ότι η κατάταξη του εξεταζόμενου συστήματος ως προς την ευστάθεια που επιτυγχάνεται μέσω εφαρμογής οποιουδήποτε Κριτηρίου είναι η ίδια με την κατάταξη που επιτυγχάνεται μέσω απευθείας εφαρμογής οποιουδήποτε ορισμού. Κεντρικό ρόλο στην ανάπτυξη των Κριτηρίων έπαιξε η προσπάθεια να παρακαμφθεί το δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα της εύρεσης των πόλων του συστήματος (όπως απαιτεί ο τρίτος ορισμός) δηλαδή της εύρεσης των ριζών του Χαρακτηριστικού του Πολυωνύμου. Με αυτό το στόχο αναπτύχθηκαν μια σειρά από Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας που επιτυγχάνουν να απαντήσουν στο ερώτημα πόσοι από τους πόλους βρίσκονται στο Αριστερό ή στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο, χωρίς να υπολογίσουν τους ίδιους τους πόλους! Επίσης αναπτύχθηκαν μία σειρά από Γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας, τα οποία αφορούν τις περιπτώσεις που μπορούμε να υπολογίσουμε τις ρίζες του Χαρακτηριστικού Πολυωνύμου, αλλά αυτές εξαρτώνται από μία ή περισσότερες παραμέτρους της σχεδίασης του συστήματος οι οποίες δεν έχουν λάβει ακόμη τις οριστικές τους τιμές οι οριστικές τιμές θα πρέπει να επιλεγούν ώστε να εξασφαλίζεται η ευστάθεια. 5.3 Αλγεβρικά και γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας Τα κυριότερα από τα Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας, δηλαδή τα Κριτήρια που στηρίζονται σε μαθηματικές πράξεις για τη διαπίστωση της ευστάθειας του συστήματος, είναι τα εξής: 1. Κριτήριο Routh 2. Κριτήριο Hurwitz 3. Κριτήριο Συνεχών Κλασμάτων Τα κυριότερα από τα Γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας, δηλαδή τα Κριτήρια που στηρίζονται σε χάραξη και ερμηνεία καμπυλών για τη διαπίστωση της ευστάθειας του συστήματος, είναι τα εξής: 1. Κριτήριο Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (Root Locus) 2. Κριτήριο Διαγράμματος Bode 3. Κριτήριο Διαγράμματος Nyquist 4. Κριτήριο Διαγράμματος Nichols 15

Τέλος μεγάλη πρακτική αξία έχει το Κριτήριο Liapunov που εξετάζει την ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων και το οποίο δεν θα αναπτυχθεί περαιτέρω, καθώς οι επόμενες παράγραφοι επικεντρώνουν στην ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. 16