Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης με τη Μέθοδο Πεπερασμένων Διαφορών

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ, ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης με τη Μέθοδο Πεπερασμένων Διαφορών Διπλωματική εργασία Πεπόνης Δημήτριος - 00500198 Επιβλέπων: Ι. Τίγκελης, Αναπλ. Καθηγητής Αθήνα 011

Πρόλογος Πρόλογος Το παρόν κείμενο αποτελεί τη διπλωματική εργασία για την απόκτηση πτυχίου Φυσικών Επιστημών. Στο πλαίσιο του εφαρμοσμένου ηλεκτρομαγνητισμού γίνεται προσπάθεια αριθμητικής επίλυσης της κυματικής εξίσωσης. Σκοπός του κειμένου είναι να αποτελέσει ένα πρώτο εγχειρίδιο της αριθμητικής επίλυσης της κυματικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών, παρουσιάζοντας τόσο ένα σύντομο θεωρητικό υπόβαθρο όσο και τους αντίστοιχους αριθμητικούς κώδικες για την επίλυση προβλημάτων της κυματικής εξίσωσης στο πεδίο του χώρου και του χρόνου. Θα ήθελα σε αυτό το σημείο να ευχαριστήσω τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Ιωάννη Τίγκελη, που μου έδωσε το έναυσμα να ασχοληθώ με τον εφαρμοσμένο ηλεκτρομαγνητισμό και την τεχνολογία μικροκυμάτων. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω το μεταδιδακτορικό ερευνητή, δρ. Γεώργιο Λάτσα, ο οποίος με βοήθησε ουσιαστικά και έμπρακτα να ολοκληρώσω την παρούσα εργασία. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα μέλη της ομάδας μικροκυματικών και οπτικών εφαρμογών για τις πολύτιμες συμβουλές τους, καθώς και όλους εκείνους όσους με βοήθησαν και με στήριξαν κατά τη διάρκεια της εργασίας. Αθήνα, Απρίλιος 011 Δ.Β. Πεπόνης

Περιεχόμενα Περιεχόμενα Πρόλογος... Περιεχόμενα... 3 Εισαγωγή... 5 Κεφάλαιο 1... 7 Εξίσωση Helmholtz... 7 1.1 Ορισμός εξίσωσης... 7 1. Λύση εξίσωσης Helmholtz για εγκάρσια μαγνητικά (TM) κύματα... 9 1.3 Χαρακτηριστικά διάδοσης... 11 1.4 Λύση Helmholtz για εγκάρσια ηλεκτρικά κύματα (TE)... 13 1.5 Ιδιότητες ρυθμών ΤΕ... 14 1.6 Χαρακτηριστικά ρυθμού TE 10... 15 1.7 Ισχύς και ενέργεια... 16 Κεφάλαιο... 18 Αριθμητική επίλυση εξίσωσης Helmholtz... 18.1 Βασικές αρχές... 18. Ορισμός προβλήματος... 18. Κατασκευή εξίσωσης προς επίλυση... 19.3 Περαιτέρω μαθηματική ανάλυση... 0 Κεφάλαιο 3... Πεπερασμένες διαφορές στο πεδίο του χρόνου... 3.1 Εισαγωγή... 3. Μαθηματική ανάλυση... 3.4 Σταθερότητα και ακρίβεια... 9 Κεφάλαιο 4... 33 Αλγόριθμος του Yee... 33 4.1 Βασικές αρχές... 33 4. Μαθηματική ανάλυση... 34 4.3 Σχέση κελιού Yee με νόμο Gauss... 37 4.3 Μη-ορθογώνια συστήματα... 39 4.4 Συμπεράσματα... 4 Κεφάλαιο 5... 43 3

Αριθμητικός κώδικας Cochlea... 43 5.1 Εισαγωγή-Προδιαγραφές... 43 5. Λειτουργία αριθμητικού κώδικα... 43 5.3 Ανάπτυξη σε περιβάλλον Matlab... 45 5.4 Ανάπτυξη σε περιβάλλον C Numerical Recipes... 47 5.4 Ανάπτυξη σε περιβάλλον C Lapackpp... 50 5. Αποτελέσματα - Συμπεράσματα... 53 Κεφάλαιο 6... 60 Αριθμητικός κώδικας timecochlea... 60 6.1 Εισαγωγή-Προδιαγραφές... 60 6. Ανάπτυξη αλγορίθμου... 6 6.3 Αποτελέσματα - Συμπεράσματα... 67 Κεφάλαιο 7... 94 Συμπεράσματα Μελλοντική εργασία... 94 7.1 Συμπεράσματα... 94 7. Μελλοντική εργασία... 95 Παράρτημα... 97 Διάσπαση Ίδιάζουσας Τιμής... 97 Βιβλιογραφία... 99 4

Εισαγωγή Εισαγωγή Τα μικροκύματα καθώς και τα κύματα χιλιοστομέτρου (millimeter waves) αποτελούν την πλέον διαδεδομένη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας με πλήθος εφαρμογών, όπως μεταφορά πληροφορίας αλλά και ως πηγές ενέργειας. Το πεδίο μελέτης των μικροκυμάτων είναι ευρύ, περιλαμβάνοντας τόσο τη θεωρητική μελέτη τους όσο ακόμα και τα αμιγώς τεχνικά θέματα που σχετίζονται με την τεχνολογία μικροκυμάτων. Ιδιαίτερη μνεία αξίζει να γίνει στη μελέτη των βιολογικών επιπτώσεων στο ανθρώπινο σώμα που έχει αυτού του είδους η ακτινοβολία. Τα τελευταία χρόνια γίνεται ιδιαίτερη προσπάθεια στη διεύρυνση του φάσματος εφαρμογών των μικροκυμάτων. Πλέον χρησιμοποιούνται εκτός από τις παραδοσιακές εφαρμογές τους (λ.χ. ραντάρ) σε πιο εξειδικευμένες εφαρμογές, όπως η θέρμανση υλικών. Λόγω της πολυπλοκότητας που παρουσιάζουν τέτοιου είδους εφαρμογές, γίνεται ιδιαίτερη έρευνα σήμερα στην ανάπτυξη αποτελεσματικότερων και βελτιωμένων μεθόδων μελέτης όλων αυτών των εφαρμογών. Η πολυπλοκότητα των ίδιων των μαθηματικών εργαλείων καθώς και των τεχνικών προβλημάτων που παρουσιάζονται έχουν αποτελέσει το έναυσμα για την ανάπτυξη νέων εργαλείων, ικανότερων να αντιμετωπίσουν όσο το δυνατό μεγαλύτερο πλήθος εφαρμογών, χωρίς να ανεβάζουν το κόστος σε χρήμα και χρόνο. Εξαιτίας της μέχρι πρόσφατα έλλειψης ισχυρών υπολογιστικών εργαλείων, η μελέτη όλων των εφαρμογών γίνονταν στο πεδίο της συχνότητας, κάνοντας παράλληλα αρκετές απλουστεύσεις και παραδοχές στα προβλήματα που είχαμε να αντιμετωπίσουμε. Το γεγονός αυτό είχε σαν άμεση συνέπεια τα αποτελέσματα να μην ανταποκρίνονταν στην πραγματική φύση των προβλημάτων. Αυτό οδηγεί στην επανεξέταση του τρόπου επίλυσης και με τη βοήθεια πλέον ισχυρών υπολογιστικών εργαλείων είμαστε έτοιμοι να λύσουμε τα προβλήματα αυτά «ως έχουν». Η λύση ακούει στο όνομα πεδίο του χρόνου. Η απευθείας απεικόνιση και επίλυση των προβλημάτων στο πεδίο του χρόνου απαλλάσσει από τις απλουστεύσεις που αναφέραμε, οδηγώντας σε πιο ακριβή αποτελέσματα. Επιπλέον καθιστά τη λύση ανεξάρτητη εφαρμογής, αφού πλέον ρόλο παίζουν μόνο η γεωμετρία του προβλήματος και η τυχόν διέγερση. Παρά τα αρκετά θετικά η μέθοδος αυτή παρουσιάζει αρκετές απαιτήσεις υπολογιστικών πόρων. Έτσι το ενδιαφέρον στρέφεται πλέον στη βελτιστοποίηση των μεθόδων αυτών με σκοπό την κατανάλωση λιγότερων πόρων και παράλληλα την αύξηση της ταχύτητας υπολογισμών. Στην παρούσα εργασία αναλύουμε τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών τόσο στο πεδίο του χώρου, για την επίλυση της δισδιάστατης εξίσωσης Helmholtz (χωρίς τον όρο πηγής), όσο και στο πεδίο του χρόνου με σκοπό την επίλυση της κυματικής εξίσωσης ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ορθογώνια γεωμετρία. 5

Εισαγωγή Στο Πρώτο Κεφάλαιο αναλύονται βασικές αρχές ηλεκτρομαγνητισμού και των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε κυματοδηγό ορθογωνικής διατομής. Στο Δεύτερο Κεφάλαιο δίνεται μια σύντομη εισαγωγή στις πεπερασμένες διαφορές και στο αντίστοιχο μαθηματικό υπόβαθρο. Στο Τρίτο Κεφάλαιο γίνεται μια εκτενέστερη μελέτη των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου. Στο Τέταρτο Κεφάλαιο εξετάζουμε σε μεγαλύτερο βάθος τον αλγόριθμο του Υee, βάση του οποίου λειτουργεί ο αριθμητικός κώδικας timecochlea. Στο Πέμπτο Κεφάλαιο αναφερόμαστε στην ανάπτυξη του αριθμητικού κώδικα για την επίλυση της δισδιάστατης εξίσωσης Helmholtz. Στο Έκτο Κεφάλαιο γίνεται ανάλυση του αριθμητικού κώδικα timecochlea, που αποτελεί μια άμεση υλοποίηση του αλγορίθμου του Υee, και παράλληλα παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα καθώς και ο σχολιασμός τους. Στο Έβδομο Κεφάλαιο γίνεται μια περίληψη της συνολικής μελέτης των πεπερασμένων διαφορών και επίσης μια αναφορά σε μελλοντική εργασία. Τέλος, στο Παράρτημα παρουσιάζουμε μια σύντομη αναφορά στη μέθοδο αποσύνθεσης ιδιάζουσας τιμής, που χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη του κώδικα Cochlea. 6

Κεφάλαιο 1 Κεφάλαιο 1 Εξίσωση Helmholtz 1.1 Ορισμός εξίσωσης Οποιοδήποτε ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο μπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο τεσσάρων εξισώσεων εξαρτημένων μεταξύ τους. Οι λύσεις των εξισώσεων αυτών εκφράζουν τις κατανομές του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο χώρο καθώς και την εξέλιξή τους στο χρόνο. Οι τέσσερις αυτές εξισώσεις στη γενική διαφορική τους μορφή είναι: ρ E = E 0 νόμος του Gauss H = 0 νόμος του Ampere H E = νόμος του Faraday t E H = µ 0J + µε 0 0 νόμος του Ampere t (1.1.1) Θεωρούμε τώρα αρμονική εξάρτηση από το χρόνο της μορφής exp( jω t), οπότε οι παραπάνω σχέσεις μετασχηματίζονται ως εξής: E =0 (1.1.) H =0 (1.1.3) E= jωµ H (1.1.4) H = jωε E (1.1.5) θεωρώντας παράλληλα ότι βρισκόμαστε σε περιοχές όπου δεν υπάρχουν πηγές. Επιπλέον επιλέγεται ως διεύθυνση διάδοσης ο άξονας z, οπότε η εξάρτηση των πεδίων από τη συντεταγμένη z θα είναι της μορφής exp( ± γ z) και συνεπώς τα πεδία γράφονται: ( ) ( ) E xyz,, = e xy, exp( ±γ z) (1.1.6) ( ) ( ) H xyz,, = h xy, exp( ±γ z) (1.1.7) όπου h και e είναι τα προς εύρεση πεδία, ενώ γ η σταθερά διάδοσης του κύματος. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στις εξισώσεις Maxwell, παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων που συνδέει τις χωρικές παραγώγους των διάφορων συνιστωσών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου: 7

Κεφάλαιο 1 ez y ez x e x hz y hz x h x + γ e = jωµ h y + γ e = jωµ h x e y y x = y x y x = y x z x jωµ h + γ h = jωε e + γ h = jωε e h y jωε e y z (1.1.8) ενώ οι κυματικές εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται είναι: ( ω εµ ) ( ω εµ ) + E( xyz,, ) = 0 + H( xyz,, ) = 0 (1.1.9) Λαμβάνοντας υπόψη την εξάρτηση ως προς z, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται: όπου ( xy, k εµ ) ( xy, k εµ ) + e( xy, ) = 0 + h( xy, ) = 0 (1.1.10) k = ω εµ + γ (1.1.11) Τα κύματα, που διαδίδονται σε ένα κυματοδηγό ορθογωνικής διατομής, μπορούν να διακριθούν σε εγκάρσια ηλεκτρικά (ΤΕ) και εγκάρσια μαγνητικά (ΤΜ). Όταν λέμε εγκάρσια ηλεκτρικά (αντ. μαγνητικά) εννοούμε κύματα, τα οποία έχουν συνιστώσα του ηλεκτρικού (αντ. του μαγνητικού) πεδίου μόνο κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετήσουμε τα κύματα ΤΜ, δηλαδή κύματα των οποίων το αξονικό μαγνητικό πεδίο είναι μηδέν (h z = 0). Τότε η κυματική εξίσωση για την αξονική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου απλοποιείται στην x y + + k e(, ) 0 z xy = (1.1.1) Η παραπάνω εξίσωση καλείται εξίσωση Helmholtz και περιγράφει τη σχέση εξάρτησης των δεύτερων χωρικών παραγώγων της τρίτης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου από το γινόμενό της με μια σταθερά διάδοσης (σταθερά k ). 8

Κεφάλαιο 1 1. Λύση εξίσωσης Helmholtz για εγκάρσια μαγνητικά (TM) κύματα Εφαρμόζοντας τον κανόνα των χωριζόμενων μεταβλητών θα έχουμε για τη z- συνιστώσα την εξής σχέση 1 η οποία προκύπτει θεωρώντας ότι X"( x) Y"( y) + = k (1..1) X( x) Y( y) e( x, y) = X( xy ) ( y) (1..) z Προκειμένου να ικανοποιείται η εξίσωση (1..1) θα πρέπει καθένα ξεχωριστά πηλίκο να ισούται με μια σταθερά (ανεξάρτητη απο τις χωρικές μεταβλητές x και y), δηλαδή k + k = k (1..3) x y Έτσι από την (1..1) προκύπτει ότι έχουμε ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, οι λύσεις των οποίων είναι: X( x) = acos( kx) + asi( kx), Y( y) = bcos( ky) + bsi( ky) (1..4) 1 x x 1 y y και η z-συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι e( xy, ) = abcos( kx)cos( ky) + absi( kx)si( ky) + z 1 1 x y x y + abcos( kx)si ky) + bacos( ky)si( kx) 1 1 x y 1 y x (1..5) Στα τοιχώματα του κυματοδηγού το εφαπτομενικό πεδίο πρέπει να είναι μηδέν. Έτσι θα έχουμε: e(0, y) = e( ay, ) = 0, 0 < y< b z z e ( x,0) = e ( x, b) = 0, 0< x< a z z (1..6) Αντικαθιστώντας τις συνθήκες (1..6) στην (1..4) θα έχουμε: ab cos( k y) + ab si( k y) = 0 1 1 y 1 abcos( kx) + basi( kx) = 0 1 1 x 1 x y (1..7) Για x = α και y = b θα έχουμε τελικά si( ka) = 0, si( kb) = 0 (1..8) x y 1 Εισαγωγή στα μικροκύματα, Ν. Ουζούνογλου, σελίδες 10-10 9

Κεφάλαιο 1 που ικανοποιούνται μόνο όταν ka= mπ, m= 0,1,..., kb= π, = 0,1,... (1..9) x Αντικαθιστώντας τις παραπάνω ισότητες στη σχέση (1..3) θα έχουμε τελικά y mπ π k = + a b (1..10) όπου α και b είναι η οριζόντια και κάθετη διάσταση της διατομής του κυματοδηγού, αντίστοιχα. Οι αριθμοί m και ορίζουν τους ρυθμούς (τρόπους) διάδοσης, όπου για κάθε ζεύγος m και έχουμε και διαφορετικό ρυθμό. H σχέση (1..10) μαζί με την (1.1.11) δίνουν όπου m (( ) ) 1/ m γ = γ = ω ω εµ (1..11) ω m mπ π = + a b 1 εµ (1..1) ονομάζεται συχνότητα αποκοπής και ορίζει την ελάχιστη συχνότητα (λειτουργίας) πάνω από οποία ο ρυθμός ΤΜ m διαδίδεται στον κυματοδηγό. Με βάση τις σχέσεις (1.1.8) υπολογίζουμε και τις υπόλοιπες συνιστώσες του πεδίου: γ E e = Esi( kx)si( ky), e = kcos( kx)si( ky), 0 z 0 x y x x x y k γ E e = k si( kx)cos( ky), h = 0, 0 y y x y z k jωε E jωε E h = k si( kx)cos( ky), h = k cos( kx)si( ky) 0 0 x y x y y x x y k k (1..13) όπου Ε 0 είναι μια σταθερά, η οποία συνδέεται με την ισχύ που μεταφέρει ο ρυθμός. Ο παράγοντας διάδοσης γ του κύματος εύκολα προκύπτει να είναι γ ω εµ ω ω m = j 1 ( m / ) (1..14) Λόγω της αρμονικής εξάρτησης και με βάση τις σχέσεις (1..13) και (1..10) θα έχουμε: Ρυθμός διάδοσης: Συγκεκριμένος τρόπος διάδοσης ηλεκτρομαγνητικού κύματος όπου ισχύουν για όλα τα σημεία του μέσου συγκεκριμένα χαρακτηριστικά διάδοσης. 10

Κεφάλαιο 1 mπ π Ez( xyz,, ) = E0 si x si y exp( jβmz) a b (1..15) που ορίζει κύμα διαδιδόμενο στη θετική κατεύθυνση παράλληλα στον άξονα των z. Χρησιμοποιώντας τη σχέση του Euler στην παραπάνω έκφραση προκύπτει ότι το αξονικό (πραγματικό) ηλεκτρικό πεδίο δίνεται από τη σχέση: mπ π Ez( xyz,, ) = E0 si x si y cos( ωt βmz) a b (1..16) Αντίστοιχες εκφράσεις μπορούν να βρεθούν και για τις υπόλοιπες συνιστώσες του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. 1.3 Χαρακτηριστικά διάδοσης Από τη σχέση (1..14) προκύπτει ότι η σταθερά διάδοσης β m του κύματος δίνεται από τη σχέση: β ω εµ 1 ( ω / ω) m = m (1.3.1) και διαιρώντας την κυκλική συχνότητα ω με τη σταθερά διάδοσης προκύπτει η σχέση για τη φασική ταχύτητα u p : u p ω ωm = = c 1 β m ω 1/ (1.3.) ενώ αντίστοιχα παραγωγίζοντας ως προς την ίδια ποσότητα β m θα έχουμε : u g dω ωm = = c 1 dβ m ω 1/ (1.3.3) όπου u g είναι η ομαδική ταχύτητα. Με τον όρο ομαδική ταχύτητα u g αναφερόμαστε στην ταχύτητα με την οποία διαδίδεται η ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, ενώ η φασική ταχύτητα αναφέρεται στην ταχύτητα διάδοσης ενός εκ των συνιστωσών στην περίπτωση ενός σύνθετου σήματος. Μπορούμε να συνδυάσουμε τη σχέση που δίνει το κυματάριθμο συναρτήσει των συχνοτήτων αποκοπής. Θα έχουμε ότι: k και να υπολογίσουμε τον k = ω β c (1.3.4) και 11

Κεφάλαιο 1 m k = ω c (1.3.5) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει 1 π β = ω ωcutoff = f fcutoff c c (1.3.6) Την τελευταία σχέση μπορούμε να τη γράψουμε και σαν f(β), οπότε θα έχουμε f βc = fm + π (1.3.7) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται και σχέση διασποράς και δίνει για δεδομένη συχνότητα αποκοπής, την εξάρτηση της συχνότητας από τον αξονικό κυματάριθμο β. Για ορθογώνιο κυματοδηγό η γραφική παράσταση για διάφορες συχνότητες αποκοπής δίνεται στο Σχήμα 1. f Σχήμα 1: Τυπική μορφή σχέσης διασποράς ορθογώνιου κυματοδηγού β Αν θέσουμε f m = 0 παίρνουμε την ευθεία του φωτός, ενώ για υψηλότερη συχνότητα αποκοπής η συνάρτηση ανεβαίνει πιο πάνω στον άξονα των y. Με βάση τη σχέση (1.3.7) και δεδομένου ότι c= λ f, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος κύματος μέσα στον κυματοδηγό 1

Κεφάλαιο 1 λ = g λ 1 0 f m f (1.3.8) όπου λ 0 είναι το μήκος κύματος στο κενό και f m η συχνότητα αποκοπής σε Hz του ρυθμού (m,). Για ω < ω m η σταθερά φάσης γίνεται πραγματικός αριθμός και ισχύει η σχέση (1..11), με αποτέλεσμα ο ρυθμός να μην διαδίδεται αλλά να εξασθενεί κατά μήκος του κυματοδηγού. Τότε η z-συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από τη σχέση: (,,, ) a mz mπ π Ez x y zt = Ee 0 si x si y cos t a b ( ω ) (1.3.9) όπου a m π fm = γ m = 1 λ 0 f 1/ (1.3.10) είναι ο συντελεστής απόσβεσης πλάτους του κύματος, που όπως παρατηρούμε είναι σε άμεση εξάρτηση από τις συχνότητες λειτουργίας ω και αποκοπής ω m. Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει πως ένας ρυθμός με συχνότητα αποκοπής f m εξασθενεί με ρυθμό a m [σε μονάδες Neper ανά μονάδα μήκους]. Θα εξετάσουμε τώρα τη σειρά εμφάνισης των ρυθμών. Για m = 0 και = 0 πολύ εύκολα παρατηρούμε πως η e z συνιστώσα μηδενίζεται, και άρα το κύμα δεν διαδίδεται. Τα ίδια ισχύουν και για τους ρυθμούς TM 0, και TM m,0. Έτσι ο πρώτος ρυθμός που διαδίδεται είναι ο ΤΜ 1,1 με συχνότητα αποκοπής f 11 c 1 1 = + a b (1.3.11) 1.4 Λύση Helmholtz για εγκάρσια ηλεκτρικά κύματα (TE) Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση έχει την ίδια ακριβώς μορφή με την αντίστοιχη εξίσωση για κύματα TM, μόνο που αυτή την φορά το αξονικό μαγνητικό πεδίο είναι μη μηδενικό και η κυματική εξίσωση που ικανοποιεί είναι: x y + + k h(, ) 0 z xy = (1.4.1) Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία του χωρισμού των μεταβλητών όπως και πριν έχουμε τη γενική λύση: 13

Κεφάλαιο 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h( xy, ) = abcos kxcos ky + absi kxsi ky z 1 1 x y x y + abcos kxsi ky + bacos kysi kx 1 x y 1 y x (1.4.) Γνωρίζουμε ότι στους ρυθμούς ΤE η συνιστώσα e z = 0 επομένως από τις (1.1.8) προκύπτει ότι e x jωµ hx jωµ hx =, e y = h x h y γ γ h = e, h = e jωµ jωµ x y y x (1.4.3) Για την ικανοποίηση των οριακών συνθηκών θα πρέπει να ισχύουν hz y hz = = 0 y y= 0 y= b (1.4.4) hz x hz = = 0 x x= 0 x= a (1.4.5) οπότε οι εκφράσεις των πεδίων θα είναι: γ h = H cos kxcos ky, h = Hksi kxcos ky, ( ) ( ) ( ) ( ) z 0 x y x 0 x x y k γ h = Hk cos kxsi ky, e = 0, ( ) ( ) y 0 y x y z k jωµ jωµ e = Hk cos kxsi ky, e = Hksi kxcos ky ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 y x y y 0 x x y k k (1.4.6) με kx = mπ / α, ky = π / b, k = kx + ky (1.4.7) 1.5 Ιδιότητες ρυθμών ΤΕ Για m = = 0 παρατηρούμε πως όλες οι συνιστώσες του πεδίου μηδενίζονται και επομένως ο ρυθμός TE 00 δεν μπορεί να υπάρξει. Όσον αφορά τις συχνότητες αποκοπής, τη σταθερά φάσης, το μήκος κύματος καθώς και της φασικής και της ομαδικής ταχύτητας, οι σχέσεις είναι οι ίδιες που περιγράφουν και τα ΤΜ κύματα. Αξίζει να μελετήσουμε τους ρυθμούς TE 01 και TE 10, των οποίων οι συχνότητες αποκοπής δίνονται από τις σχέσεις 14

Κεφάλαιο 1 f = c c, f a = b (1.5.1) 10 01 Για b < a θα ισχύει f < f (1.5.) 10 01 και έτσι ο ρυθμός TE 10 θα είναι ο επικρατέστερος ρυθμός, αφού εμφανίζει τη μικρότερη συχνότητα αποκοπής. Επισημαίνεται ότι για μικρότερες συχνότητες δεν έχουμε κυματοδήγηση. Το γεγονός αυτό επιτρέπει να βρούμε την ελάχιστη διάσταση που απαιτείται ώστε να έχουμε κυματοδήγηση και η οποία δίνεται από τη σχέση αφού f>f 10. c a > (1.5.3) f 1.6 Χαρακτηριστικά ρυθμού TE 10 Αξίζει να μελετήσουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του ρυθμού TE 10. Από τις σχέσεις (1.4.6) για k = π / a και k = 0 προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις x y π jβ10z a π jβ10z Hz( xz, ) = H0 cos x e, Hx( xz, ) = jβ10 H 0 si x e, a π a H( xz, ) = 0, E( xz, ) = 0, E( xz, ) = 0 y z x jωµ π Ey ( xz, ) = a H 0 si x e π a jβ10z (1.6.1) με f10 10 = 1 β ω εµ f (1.6.) Το ηλεκτρικό πεδίο του ρυθμού έχει μια μόνο μη μηδενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου, την E y. Ο λόγος των πεδίων E z /Η x έχει διαστάσεις εμπέδησης (Ohm) και παρατηρείται ότι είναι σταθερός (ανεξάρτητος των διαστάσεων του κυματοδηγού) και ίσος με: E ωµ µ / ε = = = Z y H x β10 1 f10 / f ( ) TE 10 (1.6.3) Το παραπάνω μέγεθος καλείται και κυματική αντίσταση του ρυθμού. 15

Κεφάλαιο 1 1.7 Ισχύς και ενέργεια Μέσω του διανύσματος Poytig μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την πυκνότητα ισχύος που μεταφέρεται. Ορίζουμε σαν διάνυσμα Poytig το άνυσμα εκείνο που δείχνει τη ροή της ηλεκτρομαγνητικής ισχύος στο στοιχειώδες εμβαδό δs, και δίνεται από τη σχέση (, t) = (, t) (, t) Pr Er Hr (1.6.4) και αποτελεί την πυκνότητα της ισχύος που διαπερνά κάθετα την επιφάνεια δs στη διεύθυνση του διανύσματος P. Γράφουμε τα πεδία στη μιγαδική τους μορφή ώστε να υπολογίσουμε το εξωτερικό γινόμενο. Για ημιτονικής μορφής χρονική μεταβολή έχουμε jωt, t = Re{ e r } Re{ e ( r) } ( ) jωt ( ) P r E E (1.6.5) και επιπλέον στη γενικότερη μορφή τους τα μέτρα των πεδίων είναι: ( ) ( ) jϕ ( r ) ( ) ( ) jϕ ( r) e h Er = ere, Hr = hr e (1.6.6) όπου φ e και φ h είναι οι φάσεις του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα. Επομένως με βάση τον τύπο του Euler έχουμε: ( ω ϕe ) ω ϕh( ) Pr (, t) = er ( ) hr ( ) cos t+ ( r) cos( t+ r ) (1.6.7) Σημαντικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η μέση χρονική τιμή της πυκνότητας ισχύος 1 T 1 P( r, t) = lim (, t) dt = ( ) ( ) cos ( ϕe ϕh) T T P r T e r h r (1.6.8) από την οποία προκύπτει η z-συνιστώσα του διανύσματος Poytig 1 * ωµβ10α π x P ˆ z = P z = EH y x = H 0 si (1.6.9) π a Η ολική μεταφερόμενη ισχύς προκύπτει από την ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης στα όρια των διαστάσεων του κυματοδηγού και η οποία για το ρυθμό ΤΕ 10 δίνεται από τη σχέση: Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση ωµβ a P = P dxdy = H tot a b 10 ab z 0 (1.6.10) π 4 0 0 16

Κεφάλαιο 1 J = ˆ H (1.6.11) s μπορούμε να υπολογίσουμε την επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος, η οποία για y = 0 και y = b είναι: j 10z a e H β π π J ˆ ˆ 0 β10 j si x cos x s =± z + x π α α (1.6.1) ενώ στα τοιχώματα x = 0 και x = b έχουμε: ˆ jβ10z Js = e y H0 (1.6.13) 17

Κεφάλαιο Κεφάλαιο Αριθμητική επίλυση εξίσωσης Helmholtz.1 Βασικές αρχές Βασικός σκοπός είναι η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Helmholtz για τους ρυθμούς TM, η οποία είναι x y + + k e(, ) 0 z xy = (.1.1) Ακολουθούμε τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην αναγωγή του διαφορικού προβλήματος σε αλγεβρικό σύστημα μέσω της αντικατάστασης των μερικών παραγώγων με πηλίκα πεπερασμένων διαφορών. Η αντικατάσταση αυτή πραγματοποιείται λαμβάνοντας υπόψη όλες τις οριακές συνθήκες μιας δεδομένης γεωμετρίας. Η επίλυση του προβλήματος αλγεβρικά γίνεται χωρίζοντας το πεδίο ορισμού σε κελιά. Σε κάθε τέτοιο κελί η διαφορική εξίσωση έχει πλέον μετατραπεί σε αλγεβρική και επομένως στο σύνολο των κελιών έχουμε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε εξίσωση δύο μεταβλητών, x και y, όποτε θα ήταν συνετό να χωρίσουμε το πεδίο των x και y σε μικρότερα κελιά, διαστάσεων ΔΧ και ΔΥ, αντίστοιχα. Έτσι, έχουμε καταφέρει να μετατρέψουμε το χωρικό πεδίο σε ένα πλέγμα διαστάσεων M N κελιών, ώστε M και N να είναι ο ακέραιος αριθμός των οποίων το γινόμενο με τα ΔΧ και ΔΥ θα δώσει τις ολικές διαστάσεις X και Y.. Ορισμός προβλήματος Καλούμαστε να λύσουμε την εγκάρσια ταλάντωση της z-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου σε μια τομή του κυματοδηγού διαστάσεων a (cm) b (cm), έχοντας παγώσει το χρόνο. Οπότε το πρόβλημα ανάγεται στη δισδιάστατη εξίσωση Helmholtz της σχέσης (.1.1). Η παράγωγος της z-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου e z γράφεται: ez ez( + 1) ez( ) = x X (..1) Η τελευταία σχέση λέει ότι η παράγωγος είναι η διαφορά της συνάρτησης στο σημείο +1 μείον την τιμή της συνάρτησης στο σημείο προς το χωρικό διάστημα ΔΧ. Εδώ αξίζει να σημειώσουμε πως η μέθοδος που ακολουθούμε ονομάζεται και άμεση 18

Κεφάλαιο (explicit) μέθοδος leapfrog 3, καθώς καλούμαστε να μετατρέψουμε απευθείας τη διαφορική εξίσωση σε σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, αγνοώντας οποιαδήποτε ιδιότητα που μπορεί να έχει η συνάρτηση e z. Χρησιμοποιούμε την κλιμακούμενη μέθοδο leapfrog, λαμβάνοντας τιμές μόνο στα άκρα των κελιών και όχι στη μέση του πλέγματος (half-mesh), ώστε τελικά να έχουμε τη σχέση (..1). Αντίστοιχα, για τη y- συνιστώσα έχουμε: ez ez( m+ 1) ez( m) = y Y (..) Κατ αντιστοιχία, θα υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγωγο που χρειάζεται. Η δεύτερη παράγωγος είναι η διαφορά της πρώτης παραγώγου στο σημείο +1 μείον την πρώτη παράγωγο στο σημείο προς τη χωρική απόσταση ΔX. Θα έχουμε λοιπόν: e ( + ) e ( + 1) e ( + 1) e ( ) z z z z ez = X X x X ez( + ) ez( + 1) + ez( ) = X (..3) και αντίστοιχα για την παράγωγο ως προς y θα είναι: e ( m+ ) e ( m+ 1) e ( m+ 1) e ( m) z z z z ez = Y Y x Y ez( m+ ) ez( m+ 1) + ez( m) = Y (..4) Παρατηρούμε μια άμεση εξάρτηση των τιμών της συνάρτησης στα σημεία + και +1 με την τιμή στο σημείο. Αυτό το γεγονός οδηγεί στο συμπέρασμα πως για να υπολογίσουμε το πεδίο σε ένα σημείο θα χρειαστούμε το πεδίο στα δύο προηγούμενα κατά σειρά σημεία.. Κατασκευή εξίσωσης προς επίλυση Συνδυάζοντας τις (..3), (..4) και (.1.1), και λαμβάνοντας υπόψη πως το πεδίο e z είναι συνάρτηση τόσο του x όσο και του y, έχουμε τον εξής μετασχηματισμό ως προς m και και έτσι η πλήρης εξίσωση για ένα σημείο (, m) θα είναι: e( xy, ) e( m, ) (..5) z z 3 Numerical recipes for C, d editio, chapter 19, σελ 850-851 Numerical techiques for electromagetism, M Sadiku, chapter 3 19

Κεφάλαιο ez( +, m) ez( + 1, m) + ez(, m) X ez( m, + ) ez( m, + 1) + ez( m, ) ke z m + + (, ) = 0 Y (..6) Η παραπάνω εξίσωση πρέπει να λυθεί για κάθε < N και m < M ταυτόχρονα. Για ευκολία ορίζουμε τις ποσότητες 1 1 g, g X = Y = 1 (..7) οπότε η (..6) γίνεται g e ( +, m) g e ( + 1, m) g e (, m+ 1) 1 z 1 z z ( ) + ge( m, + ) + g+ g + h e( m, ) = 0 z 1 z (..8) Παρατηρούμε πως από την (..1) (που αποτελεί μια διαφορική εξίσωση) καταλήξαμε στην (..8) (μια αλγεβρική εξίσωση) με αγνώστους το ηλεκτρικό πεδίο e z στα σημεία, +1, +, m, m+1, m+. Προφανώς, για τη λύση αυτής της εξίσωσης χρειαζόμαστε το κατάλληλο σύστημα εξισώσεων, που προκύπτει εφαρμόζοντας αναδρομικά την παραπάνω σχέση για κάθε και m μέσα στο πλέγμα..3 Περαιτέρω μαθηματική ανάλυση Παρατηρούμε ότι στην εξίσωση (..) για την έκφραση της παραγώγου χρησιμοποιούμε τις τιμές στα σημεία m+1 και m. Εύλογα τίθεται το ερώτημα με ποιο κριτήριο επιλέγουμε αυτά τα σημεία του πλέγματος. Ο λόγος είναι καθαρά υπολογιστικός, καθότι η συγκεκριμένη επιλογή βοηθά πολύ πιο εύκολα να μεταφέρουμε αυτή τη διαφορά σε διαφορά στοιχείων πίνακα ενός υπολογιστικού αλγορίθμου. Θα ήταν το ίδιο σωστό να χρησιμοποιούσαμε και διαφορές που να ήταν μετατοπισμένες κατά ένα κελί, όπως m-1 ή ακόμα και m+3. Με αυτό τον τρόπο γίνεται πιο εύκολα κατανοητή η έννοια της πεπερασμένης διαφοράς για τη λύση του προβλήματος. Τη διαφορά της σχέσης (..) μπορούμε να την πάρουμε από το πολυώνυμο Taylor της πρώτης παραγώγου μιας τυχούσας συνάρτησης f(x). Θα έχουμε λοιπόν 4 : ( ) ( ) ( x ) f ' + = + + () (.3.1) 1! 0 f x0 h f x0 h O Από την παραπάνω σχέση και λύνοντας ως προς '( ) f x έχουμε 0 4 Numerical recipes for C, d editio, chapter 19, σελ 834-836 0

Κεφάλαιο f ( x ) ' 0 ( + ) ( ) ( ) f x h f x O 0 0 = (.3.) h h Παρατηρούμε λοιπόν πως η πεπερασμένη διαφορά που βρήκαμε στην προηγούμενη ενότητα αντιστοιχεί στον πρώτο όρο του πολυωνύμου Taylor μείον τον όρο που αντιστοιχεί στους όρους δευτέρης τάξης. Επομένως, στο όριο που ο όρος δεύτερης τάξης είναι μικρός η παράγωγος από το ανάπτυγμα Taylor αντιστοιχεί στην πεπερασμένη διαφορά. Μένει τώρα να εξετάσουμε κατά πόσο η πεπερασμένη διαφορά συγκλίνει στην πραγματική παράγωγο και αν δεν συμβαίνει αυτό με ποιους τρόπους μπορούμε να υπολογίσουμε το σφάλμα σύγκλισης. Δύο ειδών σφάλματα ακρίβειας παρουσιάζονται στη μέθοδο: το σφάλμα στρογγυλοποίησης και το σφάλμα διακριτοποίησης. Το σφάλμα στρογγυλοποίησης παρουσιάζεται, όταν ο υπολογιστής καλείται να υπολογίσει μεγάλους αριθμούς και τους στρογγυλοποιεί με μια ακρίβεια που εξαρτάται από το μηχάνημα. Το σφάλμα διακριτοποίησης αποτελεί φυσικό επακόλουθο της μεθόδου. Αναφέρεται στην προσέγγιση της διαφοράς στο πραγματικό όριο που ο παράγοντας διακριτοποίησης τείνει στο μηδέν. Επειδή όμως η διαφορά είναι διακριτή, ο παράγοντας αυτός δεν θα είναι ποτέ μηδέν, με αποτέλεσμα ποτέ η διαφορά να μην αντιστοιχεί στην πραγματική τιμή της παραγώγου. Αυτό όμως το γεγονός δεν απαγορεύει για ορισμένες εφαρμογές να θεωρήσουμε ότι οι δύο τιμές αυτές ταυτίζονται σε ένα συγκεκριμένο όριο που θέτει η ίδια η εφαρμογή (όπως για παράδειγμα στην επίλυση της εξίσωσης Helmholtz). Το κυριότερο θέμα που καλούμαστε να εξετάσουμε δεν είναι τόσο τα προβλήματα ακριβείας, αλλά τα προβλήματα σύγκλισης. Και λέγοντας σύγκλιση εννοούμε το πόσο γρήγορα και πόσο κοντά συγκλίνουν τα αριθμητικά αποτελέσματα σε αυτά που προκύπτουν από την αναλυτική μέθοδο. Δύο μέθοδοι υπάρχουν για την ανάλυση της σύγκλισης των αποτελεσμάτων: η μέθοδος vo Neuma και η μέθοδος Lax. Και οι δύο μέθοδοι θα μελετηθούν διεξοδικά στο επόμενο κεφάλαιο. 1

Κεφάλαιο 3 Κεφάλαιο 3 Πεπερασμένες διαφορές στο πεδίο του χρόνου 3.1 Εισαγωγή Έχοντας επιλύσει την εξίσωση Helmholtz αριθμητικά χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές στο πεδίο του χώρου είμαστε έτοιμοι να περάσουμε στη λύση της πλήρους κυματικής εξίσωσης. Αυτή τη φορά θα χρειαστούμε μια περαιτέρω ανάλυση, που θα περιλαμβάνει και το χρόνο. Συνεπώς η λύση θα γίνει αριθμητικά στο πεδίο του χώρου και του χρόνου, στη διεθνή βιβλιογραφία γνωστό ως Fiite Differece Time Domai (FDTD). Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου εντοπίζονται στο γεγονός ότι χειριζόμαστε την κυματική εξίσωση «ως έχει», χωρίς να κάνουμε οποιαδήποτε παραδοχή ή να τη μελετούμε σε συγκεκριμένο συχνοτικό φάσμα. Αντίθετα, είναι εύκολο να μελετήσουμε ένα εύρος συχνοτήτων εξετάζοντας την εξίσωση στο πεδίο του χρόνου. Επιπλέον, τα μεταβατικά φαινόμενα υπολογίζονται ευκολότερα χάρη στο γεγονός ότι αντιμετωπίζουμε τη διέγερση σαν μια απλή χρονική συνάρτηση. Τέλος, ευκολότερη είναι και η μελέτη μη γραμμικών φαινομένων για τους ίδιους λόγους που εξηγήσαμε παραπάνω: δεν χρειάζονται να γίνουν παραδοχές και απλοποιήσεις καθώς η εξίσωση λύνεται «ως έχει». Παρά τα αρκετά πλεονεκτήματα που παρουσιάζει η ανάλυση FDTD, σημαντικό μειονέκτημα της μεθόδου είναι ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για λύση ενός προβλήματος καθώς και η χαμηλή απόδοση (ακρίβεια) στον υπολογισμό ιδιορυθμών και ιδιοτιμών. 3. Μαθηματική ανάλυση Βασική ιδέα πίσω από τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου είναι η διακριτοποίηση των όποιων παραγώγων εμφανίζονται στην κυματική εξίσωση. Ιδιαίτερα στην κυματική εξίσωση για ηλεκτρομαγνητικά κύματα εκμεταλλευόμαστε τις εξισώσεις Maxwell με σκοπό την ανάπτυξη ενός ευέλικτου σχήματος. Οι μέθοδοι διακριτοποίησης είναι: Ευθεία πεπερασμένη διαφορά (Forward Fiite Differece) ( ) f i+ 1 fi df x dx X (3..1) Όπισθεν πεπερασμένη διαφορά (Backward Fiite Differece)

Κεφάλαιο 3 ( ) fi fi X df x dx 1 (3..) Πεπερασμένη διαφορά στο μέσο (Cetral Fiite Differece) df ( x) dx f f X i+ 1 i 1 (3..3) Βάσει του πολυωνύμου Taylor μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την τάξη της ακρίβειας κάθε προσέγγισης από τις παραπάνω. Για την ευθεία προσέγγιση έχουμε: dfi 1 d fi i i+ 1 i f( x + X) = f = f + x + x +... dx dx dfi fi+ 1 fi = + O( x) dx x (3..4) για την όπισθεν προσέγγιση έχουμε: dfi 1 d fi i i 1 i f( x X) = f = f x + x +... dx dx dfi fi fi 1 = + O( x) dx x (3..5) ενώ για την προσέγγιση μέσου μπορούμε να αφαιρέσουμε από τη σχέση (3..4) τη (3..5) ώστε να προκύψει τελικά: dfi fi+ 1 fi 1 = + O dx x ( x ) (3..6) Παρατηρούμε ότι χρησιμοποιώντας προσέγγιση μέσου καταφέρνουμε να έχουμε ακρίβεια ης τάξης. Αυτό και μόνο το γεγονός επιβάλει να χρησιμοποιήσουμε αυτή την προσέγγιση για την περαιτέρω ανάλυση της πλήρους κυματικής εξίσωσης. Οι παραπάνω εξισώσεις περιγράφονται απλούστερα στο Σχήμα. Σχήμα : Προσέγγιση καμπύλης με σύνολο ευθυγράμμων τμημάτων 3

Κεφάλαιο 3 Οι πλήρεις κυματικές εξισώσεις που καλούμαστε να επιλύσουμε είναι οι: E B c 0 E = 0, c 0 B = 0 t t (3..7) Παρατηρούμε πως πλέον, στις τρεις διαστάσεις, έχουμε τον τελεστή της λαπλασιανής. Καλούμαστε λοιπόν να εκφράσουμε τον τελεστή χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες έχουμε: f f f x y z f = + + (3..8) ενώ χρησιμοποιώντας προσέγγιση μέσου για τις δεύτερες παραγώγους f fi 1 fi + fi+ 1 = + O X x x ( ) (3..9) όμοια με τη σχέση (..3). Εύλογα ο αναγνώστης αναρωτιέται γιατί χρησιμοποιούμε διαφορετικούς δείκτες. Στην ανάλυση στο πεδίο του χρόνου είναι αρκετά βολικό, για τη μετέπειτα ανάπτυξη του αλγορίθμου, να γίνεται χρήση των δεικτών που θα χρησιμοποιηθούν ως δείκτες (idices) στο ανάλογο πρόγραμμα. Πλέον η λαπλασιανή, συνδυάζοντας τις σχέσεις (3..8) και (3..9) μπορεί να γραφεί στη μορφή πεπερασμένων διαφορών: f f f + f i 1, jk, i, jk, i+ 1, jk, x f f + f + y i, j 1, k i, j, k i, j+ 1, k f f + f + z i, jk, 1 i, jk, i, jk, + 1 (3..10) και σχηματικά θα έχουμε : Σχήμα 3: Θέση σημείων στον χώρο 4

Κεφάλαιο 3 Το συγκεκριμένο σχήμα χρειάζεται, διότι αυτός είναι ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε τις βασικές μεθοδολογίες διακριτοποίησης ως προς την παράγωγο. Σε αυτό το σημείο κρίνεται σκόπιμο να αναφέρουμε τις δύο βασικές κατηγορίες που χωρίζονται όλες οι μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών. Αυτές είναι οι άμεσοι μέθοδοι και οι έμμεσοι μέθοδοι. Ξεκινώντας από τις άμεσες μεθόδους, αυτές χαρακτηρίζονται από τη δυνατότητα να υπολογίζουν τη λύση f(, rt+ t) απευθείας από τους όρους της f(,) rt. Το παραπάνω μπορούμε να το δούμε και γραφικά στο παρακάτω υπολογιστικό κελί (computatioal molecule), όπου με κύκλο συμβολίζουμε την άγνωστη ποσότητα και με τετράγωνο τη γνωστή (Σχήμα 4). Σχήμα 4: Στοιχειώδες υπολογιστικό κελί Αντίθετα, οι έμμεσες μέθοδοι χρησιμοποιούν τόσο το επόμενο σημείο όσο και το προηγούμενο για να υπολογίσουν μια τιμή σε ένα σημείο του πλέγματος. Θα μελετήσουμε όλους τους δυνατούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να υλοποιήσουμε τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Η διαφορά των μεθόδων έγκειται στον τρόπο που εκφράζεται ο τελεστής της παραγώγου με πεπερασμένες διαφορές. Οι μέθοδοι διαφοροποιούνται επίσης και στο αν είναι έμμεσοι ή άμεσοι. Θα εξετάσουμε Φ 1 Φ την παραβολική διαφορική εξίσωση =. t k x 1. Μέθοδος πρώτης τάξης (Euler) Πρόκειται για άμεση μέθοδο, η οποία είναι σταθερή για r t k( x) η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στην: = / 0.5 και Φ Φ Φ Φ +Φ t k x j+ 1 j j j j i i i+ 1 i i 1 = και το αντίστοιχο υπολογιστικό κελί θα είναι: ( ) (3..11) 5

Κεφάλαιο 3 Σχήμα 5: Υπολογιστικό κελί Euler. Μέθοδος Crak Nicholso Στην παρούσα έμμεση μέθοδο η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στην Φ Φ Φ Φ +Φ Φ Φ +Φ t k x k x j+ 1 j j+ 1 j+ 1 j+ 1 j j j i i i+ 1 i i 1 i+ 1 i i 1 = + ( ) ( ) (3..1) ενώ το υπολογιστικό κελί είναι: Σχήμα 6: Υπολογιστικό κελί Crak Nicholso Παρατηρούμε ότι αυτή η μέθοδος είναι συνδυασμός της μεθόδου Euler για ευθεία και όπισθεν παραγώγιση, έτσι ώστε να προκύψει η κεντρική παραγώγιση. Επίσης, συγκλίνει στη δεύτερη τάξη ως προς το χρόνο, ενώ ως άμεση χρησιμοποιεί τις προηγούμενες υπολογισμένες τιμές για να υπολογίσει τις επόμενες. 3. Μέθοδος Leapfrog Πρόκειται για έμμεση μέθοδο, καθώς χρησιμοποιούμε την προηγούμενη αλλά και την επόμενη τιμή για να υπολογίσουμε την τρέχουσα. Μαθηματικά; η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στην εξής αλγεβρική: Φ Φ Φ Φ +Φ t k x j+ 1 j j j j i i i+ 1 i i 1 = ( ) (3..13) ενώ το υπολογιστικό κελί είναι: 6

Κεφάλαιο 3 Σχήμα 7: Υπολογιστικό κελί Leapfrog Να υπενθυμίσουμε πως στα υπολογιστικά κελιά με κύκλο συμβολίζουμε την τιμή προς υπολογισμό και με τετράγωνο τις τιμές που χρησιμοποιούμε για να την υπολογίσουμε. 4. Μέθοδος Dufort Frakel Πρόκειται για άμεση μέθοδο, υπό συνθήκη σταθερή, που βασίζεται και αυτή στις προηγούμενες μόνο τιμές. Η σχέση που δίνει την παραβολική εξίσωση είναι: Φ Φ Φ Φ Φ +Φ t k x j+ 1 j j j 1 j 1 j i i i+ 1 i i i 1 = ( ) (3..14) ενώ το αντίστοιχο υπολογιστικό κελί θα είναι : Σχήμα 8: Υπολογιστικό κελί Dufort-Frakel Μετά από αυτή τη σύντομη εισαγωγή μπορούμε να μελετήσουμε την κυματική εξίσωση, η οποία αποτελεί διαφορική δεύτερης τάξης υπερβολικού τύπου. Στη γενική της μορφή η κυματική εξίσωση γράφεται: u Φ Φ = x t (3..15) 7

Κεφάλαιο 3 με u συμβολίζουμε την ταχύτητα του κύματος. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί ορίζοντας ως αναλογία κύματος 5 την ποσότητα: u t r = x (3..16) ως εξής: u Φ Φ +Φ Φ Φ +Φ j j j j+ 1 j j 1 i+ 1 i i 1 i i i = ( x) ( t) (3..17) Οι δείκτες i και j αφορούν, αντίστοιχα, τη χωρική και τη χρονική διαμέριση (διακριτοποίηση). Η (3..17) μπορεί επίσης να γραφτεί ως: ( r) Φ j+ 1 1 j j j j 1 i = Φ i + r Φ i+ 1+Φi 1 Φi (3..18) Για την παραπάνω σχέση παρατηρούμε εύκολα ότι πρόκειται μια άμεση μέθοδο, καθώς για τον υπολογισμό της τρέχουσας τιμής χρειάζονται μόνο οι προηγούμενες. Να σημειωθεί πως στις υπερβολικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, δεν υπάρχει έμμεση μέθοδος, καθώς οδηγεί σε ατέρμονες επαναλήψεις ιδίων τιμών, και μόνο ύστερα από απλοποιήσεις και παραδοχές στο αρχικό πρόβλημα μπορεί να εφαρμοστεί. Επιστρέφοντας στην εξίσωση (3..18) έχουμε τα υπολογιστικά κελιά (για r < 1 και r = 1) που φαίνονται στα παρακάτω διαγράμματα: r < 1 r = 1 Λόγω του άμεσου τρόπου, χρειαζόμαστε πάντα να έχουμε υπολογισμένη την προηγούμενη τιμή. Επομένως για να ξεκινήσει η μέθοδος χρειαζόμαστε αρχικές j τιμές. Αυτές υπεισέρχονται στο πρόβλημα ως Φ 0 και αντίστοιχα. 0 Φ i, για το χώρο και το χρόνο, 5 Αναλογία κύματος: ελεύθερη μετάφραση του aspect ratio 8

Κεφάλαιο 3 3.4 Σταθερότητα και ακρίβεια Όπως κάθε αριθμητική μέθοδος 6, έτσι και οι παραπάνω περιέχουν σφάλματα που δυστυχώς δεν μπορούμε να αποφύγουμε, μπορούμε όμως να τα περιορίσουμε. Όπως είδαμε και στην παράγραφο.3 τα σφάλματα μπορούν να ομαδοποιηθούν στα εξής: Σφάλματα αποκοπής ή διακριτοποίησης Σφάλματα προσεγγίσεων Σφάλματα μοντελοποίησης Τα δύο πρώτα είδη σφαλμάτων τα αναλύσαμε στην παράγραφο.3, οπότε περνώντας στο πεδίο του χρόνου, η φύση τους παραμένει η ίδια. Από την άλλη, τα σφάλματα μοντελοποίησης συμβαίνουν καθώς στην επίλυση φυσικών προβλημάτων καλούμαστε να κάνουμε διάφορες παραδοχές και απλοποιήσεις, όπως επίσης και γιατί αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα έκφρασης άπειρων σειρών με πεπερασμένα στοιχεία. Θα φέρουμε για παράδειγμα την απλή γκαουσιανή καμπύλη. Καλούμαστε μια συνάρτηση που εκφράζεται με άπειρη σειρά (εκθετικό) να την εκφράσουμε με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Έχει αποδειχτεί ότι μειώνοντας το μέγεθος του πλέγματος πάνω στο οποίο εφαρμόζουμε τις πεπερασμένες διαφορές, αυξάνεται η ακρίβεια, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει πως μειώνοντας συνέχεια το πλέγμα θα έχουμε και αντίστοιχη αύξηση της ακρίβειας. Αντίθετα, μειώνοντας το πλέγμα αυξάνεται το σφάλμα προσεγγίσεων, αλλά μειώνεται το σφάλμα αποκοπής. Σχηματικά, τα δύο αυτά γεγονότα μπορούν να απεικονισθούν στην παρακάτω γραφική παράσταση (Σχήμα 9), που δείχνει το σφάλμα συναρτήσει του μεγέθους του πλέγματος. Παρατηρούμε πως το μικρότερο συνολικά σφάλμα επιτυγχάνεται σε ένα μέτριο πλέγμα, ώστε να έχουν ελαχιστοποιηθεί τα επιμέρους σφάλματα διακριτοποίησης και προσεγγίσεων. Σχήμα 9: Σχέση σφάλματος-μεγέθους πλέγματος 6 Numerical recipes for C, d editio, chapter 19, σελίδες 836-846 Numerical techiques for electromagetism, M Sadiku, chapter 4 9

Κεφάλαιο 3 Ερχόμενοι τώρα στη σταθερότητα των μεθόδων, αυτή μπορεί να μελετηθεί με δύο μεθόδους: Τη μέθοδο vo Neuma και τη μέθοδο Lax. Μέθοδος vo Neuma Στη μέθοδο αυτή θεωρούμε πως οι ανεξάρτητες λύσεις u j είναι της μορφής 7 u = ξ e (3..19) ikj x j όπου στην παραπάνω σχέση k είναι ο κυματάριθμος του κύματος, ενώ ξ ξ( k ) = μια μιγαδική συνάρτηση του k. Το σημείο κλειδί σε αυτή την ανάλυση είναι ότι η εξάρτηση από το χρόνο κάθε μοναδικής ανεξάρτητης λύσης δεν είναι τίποτε άλλο από διαδοχικές ακέραιες δυνάμεις του μιγαδικού αριθμού ξ. Αποδεικνύεται δε ότι εάν ξ ( k ) 1 για κάποιο k, τότε η λύση είναι ασταθής. Για να υπολογίσουμε το ξ(k) θεωρούμε ότι η κυματική εξίσωση μπορεί να γραφεί στη μορφή: με F( u) u = v t ( ) F u t (3..0) είναι το διάνυσμα της διατηρούμενης ροής, που στην περίπτωση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι το άνυσμα Poytig S = E H. Διακριτοποιώντας την προηγούμενη σχέση θα έχουμε: + 1 uj u j uj+ 1 u j 1 = v t x (3..1) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται και πεπερασμένη διαφορά μέσου χώρου (Forward Time Ceter Space). Σύμφωνα με τη σχέση (3..0) και αντικαθιστώντας την (3..19) διαιρώντας παράλληλα με ξ θα έχουμε: 8 v t ξ ( k) = 1 i si k x x (3..) Παρατηρούμε ότι το μέτρο του ξ για κάθε k είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. Οπότε η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών είναι υπό συνθήκη ασταθής. Καταλήξαμε ότι με τη μέθοδο vo Neuma, η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών, στην έκφρασή της με κεντρικές διαφορές, είναι υπό συνθήκη ασταθής. Δεν 7 Να σημειωθεί πως σε αυτή την ανάλυση χρησιμοποιούμε τον δείκτη j υποδεικνύοντας τον χώρο και τον δείκτη υποδεικνύοντας τον χρόνο 8 Ο παράγοντας ξ αναφέρεται στη βιβλιογραφία συχνά ως ενισχυτικός παράγοντας (amplificatio factor) 30

Κεφάλαιο 3 μπορέσαμε να βρούμε τι είδους αστάθεια παρουσιάζεται, όμως έδωσε ένα πρώτο δείγμα (αλλά και μέτρο) της αστάθειας αυτής. Μέθοδος Lax Η μέθοδος αυτή βασίζεται σε μια πολύ απλή παραδοχή: η τιμή της ποσότητας μπορεί να αντικατασταθεί από τη μέση τιμή της δηλαδή Με την παραπάνω αντικατάσταση η σχέση (3..1) γίνεται: u j 1 uj ( uj+ 1 uj 1) (3..3) 1 v t uj = uj u uj u x ( + 1 1) ( + 1 1) Από τη μέθοδο vo Neuma αντικαθιστούμε τη σχέση για το (3..4) ώσπου τελικά προκύπτει: v t ξ = cos k x i si k x x (3..4) u j που έχουμε στην (3..5) Απαιτούμε τώρα ξ 1 (3..6) ώστε να επιτύχουμε σταθερότητα. Αυτό οδηγεί στη σχέση: v t 1 x (3..7) που αποτελεί το κριτήριο σταθερότητας Courat Friedrichs ή απλούστερα τη συνθήκη Courat. Με αυτό το κριτήριο εύκολα υπολογίζουμε τη διαμέριση του χρόνου ή του χώρου, ώστε να επιτύχουμε σταθερότητα. Διαισθητικά η παραπάνω σχέση λέει πως για να υπολογίσουμε την ποσότητα 1 u + j θα πρέπει να έχουμε πληροφορία από τα σημεία j- 1 και j+1. Λόγω της κυματικής φύσης, η πληροφορία ταξιδεύει με ταχύτητα v. Επομένως, για να «προλάβει» να φτάσει η πληροφορία θα πρέπει να τηρείται το παραπάνω κριτήριο της σχέσης (3..7). Ξαναγράφοντας τη σχέση (3..4) έχουμε: + 1 uj u j uj+ 1 u j 1 1 uj+ 1 uj + u j 1 = v + t x t (3..8) 31

Κεφάλαιο 3 Παρατηρούμε πως η παραπάνω σχέση είναι ίδια με την (3..1) συν έναν επιπλέον όρο, 1 uj+ 1 uj + u j 1 τον. Άμεσα συμπεραίνουμε πως πρόκειται για την έκφραση t πεπερασμένων διαφορών μέσου (FTCS scheme) της εξίσωσης: ( x) u u = v + u t x t (3..9) Ο όρος της λαπλασιανής, που εμφανίζεται, αποτελεί τον όρο διάχυσης. Και στην προκειμένη περίπτωση, ένα είδος αριθμητικής διάχυσης. Έτσι η μέθοδος Lax λέγεται ότι έχει αριθμητική αστάθεια. Αυτό μπορούμε να το δούμε και στον ενισχυτικό παράγοντα ξ. Αν u t = x, τότε ξ < 1, και άρα το πλάτος του κύματος μειώνεται με λανθάνοντα τρόπο. Παρατηρήσαμε δύο διαφορετικές μεθόδους ώστε να μπορέσουμε να βγάλουμε ασφαλή συμπεράσματα για το σφάλμα των πεπερασμένων διαφορών. Ουσιαστικά, η πρώτη μέθοδος αποτελεί οδηγό για τη δεύτερη, δίνοντας ουσιαστικά ένα μέτρο για το κατά πόσο θα έχουμε αστάθεια στους υπολογισμούς. Πλέον είμαστε εφοδιασμένοι με τα απαραίτητα μαθηματικά βοηθήματα ώστε να αναλύσουμε την κυματική εξίσωση χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές. 3

Κεφάλαιο 4 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμος του Yee 4.1 Βασικές αρχές Κινητήρια ιδέα πίσω από την ανάπτυξη του αλγορίθμου αποτελεί η δυνατότητα να μπορούμε να υπολογίσουμε ταυτόχρονα, τόσο το μαγνητικό, όσο και το ηλεκτρικό πεδίο στο χρόνο και στο χώρο. Αυτό πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις πεπλεγμένες εξισώσεις Maxwell στροβιλισμού και όχι λύνοντας την κυματική εξίσωση για ένα από τα δύο πεδία ξεχωριστά (ηλεκτρικό ή μαγνητικό). Αυτό το γεγονός προσφέρει αρκετά πλεονεκτήματα, αφού δεν χρειάζεται να γίνουν προσεγγίσεις και απλοποιήσεις, καθώς το σύστημα είναι ευκολότερα προσαρμόσιμο σε διάφορες γεωμετρίες. Επιπλέον, οι μαγνητικές και ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού, στο οποίο γίνεται η προσομοίωση, συμπεριλαμβάνονται σε έναν ευθύ τρόπο υπολογισμού, λύνοντας το πρόβλημα ως έχει. O αλγόριθμος εκμεταλλεύεται τη φυσική της διάδοσης του κύματος, καθώς για τη δημιουργία ηλεκτρικού πεδίου απαιτείται μαγνητικό και αντίστροφα. Δηλαδή η αλλαγή του ηλεκτρικού πεδίου στο χρόνο σχετίζεται με το στροβιλισμό του μαγνητικού πεδίου στο χώρο και αντίστροφα. Σχηματικά μπορούμε να δούμε αυτό στο Σχήμα 10, που δείχνει τη χρονική εξέλιξη των πεδίων 9 : Σχήμα 10: Διαδοχικά βήματα αλγορίθμου Yee 9 Computatioal electrodyamics, A. Taflove, Chapter 3 33

Κεφάλαιο 4 Με βάση τα παραπάνω δεδομένα, είναι δυνατός ο υπολογισμός των πεδίων ακολουθιακά (sequetial), καθώς αυτός βασίζεται μόνο σε μια τοπική κατανομή των πεδίων. Ακολούθως θα δούμε πως αυτή η τοπική κατανομή οδηγεί στην κατασκευή του κελιού του Yee (Yee Cell). 4. Μαθηματική ανάλυση Ξεκινούμε εισάγοντας στις εξισώσεις του Maxwell και όρους απωλειών και διαγωγιμότητας. Έχοντας γνωστές τις σχέσεις (1.1.)-(1.1.5) εισάγουμε επιπλέον τους παρακάτω όρους J = J + σe, M = M + σ * H (4..1) source όπου σ είναι η ηλεκτρική αγωγιμότητα και σ* οι ισοδύναμες μαγνητικές απώλειες. Συνεπώς έχουμε το πλήρες σύστημα εξισώσεων: source E= 0, H = 0 H E E=, H = µ 0J+ µε 0 0 t t J = J + σ E, M = M + s * H source source (4..) το οποίο αντικαθιστώντας τις σχέσεις (4..) μπορεί να γραφεί ως εξής: H 1 1 = E ( Msource + σ * H ) t µ µ E 1 1 = H ( Jsource + σ E ) t ε ε (4..3) Αναλύουμε τα εξωτερικά γινόμενα, όπου αυτά εμφανίζονται, και έτσι έχουμε τις παρακάτω εξισώσεις: H 1 E x y Ez = x t µ z y + H y 1 Ez Ex = t µ x z + H z 1 E E x y = z t µ y x + ( Msource σ * Hx ) ( Msource σ * H ) y y ( Msource σ * Hz ) (4..4) και 34

Κεφάλαιο 4 E 1 x H H z y = x t ε y z + Ey 1 H x H z = t ε z x + Ez 1 H y H x = z t ε z x + ( Jsource σ Ex ) ( Jsource σ E ) y y ( Jsource σ Ez ) (4..5) Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν το πλήρες σύστημα διαφορικών εξισώσεων που καλούμαστε να λύσουμε. H μέθοδος που χρησιμοποιούμε είναι η leapfrog, που περιγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Η συγκεκριμένη μέθοδος χρησιμοποιείται καθώς κάνει χρήση μόνο των τιμών στα κελιά πίσω και παραπλεύρως εκείνου που θέλουμε να μελετήσουμε. Η φυσική της συγκεκριμένης τεχνικής διαφαίνεται τόσο από τις εξισώσεις του Maxwell όσο και στον ορισμό των παραγώγων μέσω πεπερασμένων διαφορών. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε μισά σημεία πλέγματος (half mesh poits) και στην πλήρη τους μορφή οι εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών είναι: 10 + 1/ 1/ H (,, ) (,, ) 1 y(,, 1/ ) y(,, 1/ ) x i jk H E i jk E i jk x i jk + = t µ i, jk, z Ez( i, j+ 1/, k) Ez( i, j 1/, k) y ( Msource (, i jk, ) σ * (, i jkh, ) x (, i jk, ) + H (, i jk, ) H (, i jk, ) E( i+ 1/, jk, ) E( i 1/, jk, ) + 1/ 1/ y y 1 z z = t µ i, jk, x x Ex( i, jk, + 1/ ) Ex( i, jk, 1/ ) z ( Msource (, i jk, ) σ * (, i jkh, ) (,, ) y y i jk + + 1/ 1/ Hz (, i jk, ) Hz (, i jk, ) 1 Ex( i, j+ 1/, k) Ex( i, j 1/, k) = t µ i, jk, y Ey( i+ 1/, jk, ) Ey( i 1/, jk, ) x ( Msource (, i jk, ) σ * (, i jkh, ) z (, i jk, ) + z (4..6) (4..7) (4..8) ενώ για τις διαφορές του ηλεκτρικού πεδίου έχουμε: 10 Numerical techiques i electromagetism, M. Sadiku, Chapter 3 35

Κεφάλαιο 4 + 1/ 1/ E (,, ) (,, ) 1 y(,, 1/ ) y(,, 1/ ) x i jk E H i jk H i jk x i jk + = t εi, jk, z Hz( i, j+ 1/, k) Hz( i, j 1/, k) + y ( Jsource (, i jk, ) σ (, i jke, ) x (, i jk, ) + E (, i jk, ) E (, i jk, ) H ( i+ 1/, jk, ) H ( i 1/, jk, ) + 1/ 1/ y y 1 z z = t εi, jk, x x Hx( i, jk, + 1/ ) Hx( i, jk, 1/ ) + z ( Jsource (, i jk, ) σ (, i jkh, ) (,, ) y y i jk + + 1/ 1/ Ez (, i jk, ) Ez (, i jk, ) 1 Hx( i, j+ 1/, k) Hx( i, j 1/, k) = t εi, jk, y Hy( i+ 1/, jk, ) Hy( i 1/, jk, ) + x ( Jsource (, i jk, ) σ (, i jke, ) z (, i jk, ) + z (4..9) (4..10) (4..11) Οι εξισώσεις (4..6)-(4..11) αποτελούν ένα πλήρες σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, που δίνουν τις τιμές των πεδίων E και H σε όλο το πλέγμα, στην πιο σύνθετη δυνατή μορφή τους περιλαμβάνοντας όρους απωλειών ( σσ, *) και πηγών ( J, M ). Οι τιμές αυτές όπως παρατηρούμε δύναται να αλλάξουν, καθώς εξαρτώνται τόσο από το χρόνο (παράμετρος ) όσο και από το χώρο (δείκτες i, j, k). Αναφερόμενοι στο πλέγμα, εννοούμε τη διακριτοποίηση που έχουμε κάνει στο χώρο, πάνω στο οποίο λύνεται το εκάστοτε σύστημα εξισώσεων. Στην περίπτωση του αλγορίθμου του Yee τα πράγματα είναι πιο σαφή. Ορίζουμε ένα θεμελιώδες κελί, στο οποίο φαίνονται οι συνιστώσες των πεδίων Ε και Η καθώς και η κατεύθυνσή τους. Το κελί αυτό έχει την εξής ιδιότητα: για να υπολογίσουμε τα πεδία σε μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή χρειαζόμαστε μόνο τις τιμές τους που βρίσκονται μέσα στο κελί. Επομένως, η εξίσωση αποκτά τοπικό χαρακτήρα, αφού περιορίζεται μέσα σε αυτό. Για τη λύση ενός πλήρους προβλήματος το κελί ολισθαίνει στο χώρο, ενώ οι τιμές του αλλάζουν στο χρόνο σύμφωνα με το παραπάνω σύστημα. Μπορούμε έτσι να προσεγγίσουμε οποιαδήποτε γεωμετρία με ένα κατάλληλα διαμορφωμένο σύνολο τέτοιων κελιών. Στο Σχήμα 11 φαίνεται η γενικευμένη μορφή του κελιού του Yee, στο οποίο φαίνεται ξεκάθαρα η ακολουθιακή (sequetial) σχέση των συνιστωσών του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. source source 36

Κεφάλαιο 4 Σχήμα 11: Κελί του Yee 4.3 Σχέση κελιού Yee με νόμο Gauss 11 Σημαντικό χαρακτηριστικό της ανάλυσης Yee είναι η ελεύθερη αποκλίσεων φύση της, που με λίγα λόγια σημαίνει ότι ( ) ( ) D tds= D t= 0 ds= 0 (4.3.1) Yee Cell Yee Cell Η απόδειξη έρχεται μέσα από την παράγωγο του ολοκληρώματος. Θα έχουμε έτσι t D Yee Cell ( ) tds= = ε 0 ( Ex( i, j+ 1/, k+ 1/) Ex( i 1, j+ 1/, k+ 1/) ) y z t 1ος όρος + ε 0 ( Ey( i 1/, j+ 1, k+ 1/) Ey( i 1/, j, k+ 1/) ) x z t ος όρος + ε 0 ( Ez ( i 1/, j+ 1/, k+ 1) Ez ( i 1/, j+ 1/, k) ) x y t 3ος όρος (4.3.) 11 Numerical techiques i electromagetism, M. Sadiku, Chapter 3 37

Κεφάλαιο 4 Με βάση τις σχέσεις (4..6)-(4..11) και θεωρώντας απουσία πηγών στο μέσο διάδοσης (οπότε απαλείφονται οι όροι σ, σ*, J και Μ) θα έχουμε αναλυτικά: για τον πρώτο όρο: (, + 1, + 1/ ) (,, + 1/) Hz i j k Hz i j k y (, 1/, 1 ) (, 1/, ) Hy i j+ k+ Hy i j+ k z ( 1, + 1, + 1 / ) ( 1,, + 1 / ) Hz i j k Hz i j k y ( 1, 1 /, 1) ( 1, 1 /, ) Hy i j+ k+ Hy i j+ k z (4.3.3) για το δεύτερο όρο ( 1 /, + 1, + 1) ( 1 /, + 1, ) Hx i j k Hx i j k z (, 1, 1 / ) ( 1, 1, 1 / ) Hz i j+ k+ Hy i j+ k+ x ( 1/,, + 1) ( 1/,, ) Hx i jk Hx i jk z (,, 1/) ( 1,, 1/) Hz i jk+ Hy i jk+ x (4.3.4) ενώ για τον τρίτο όρο (, + 1/, + 1) ( 1, + 1/, + 1) Hy i j k Hy i j k x ( 1/, 1, 1) ( 1/,, 1) Hx i j+ k+ Hx i j k+ y (, + 1/, ) ( 1/, + 1/, ) Hy i j k Hy i j k x ( 1/, 1, ) ( 1/,, ) Hx i j+ k Hy i j k y (4.3.5) t D S=. Προσθέτοντας τις σχέσεις (4.3.3)-(4.3.5) παρατηρούμε πως τελικά ( td ) 0 Yee Cell Θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες διαπιστώνουμε ότι η χρονική παράγωγος της 38

Κεφάλαιο 4 ηλεκτρικής ροής απαλείφεται από τις εξισώσεις του Yee και έτσι η ροή παραμένει για πάντα μηδέν, όσο και η αρχική τιμή της. Επομένως, οι εξισώσεις του Yee αποδείξαμε ότι ικανοποιούν το νόμο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο απουσία φορτίων. 4.3 Μη-ορθογώνια συστήματα Όπως είδαμε στις προηγούμενες παραγράφους η ανάλυση του αλγορίθμου του Yee πραγματοποιείται λαμβάνοντας ορθογώνια κελιά και αναφερόμενοι σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Αυτό είναι βολικό μόνο όταν η ίδια η γεωμετρία του προβλήματος το επιβάλλει. Για κυλινδρικές ή και σφαιρικές γεωμετρίες έχουμε αλλαγή του αλγορίθμου, βασιζόμενοι όμως στο ίδιο μοτίβο, με διαφορές κέντρου (σχήμα Leapfrog). Για τον περιορισμό του σφάλματος που παρουσιάζεται στην ταχύτητα φάσης, έχουν προταθεί πλέγματα εξαγωνικής μορφής. Το πλέγμα θεωρούμε ότι αποτελείται από ένα σύνολο ισόπλευρων εξαγώνων, καθένα με μήκος ακμής ΔS, ενώ κάθε εξάγωνο αποτελείται από έξι ισόπλευρα τρίγωνα. Ενώνοντας τα κέντρα των εξαγώνων παρατηρούμε ότι έχουμε και δευτερεύον πλέγμα. Χαρακτηριστικά γράφουμε τη χρονική παράγωγο της x- συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου: ( i j) i, j ( ( 1/, 0.5 3) z( 1/, 0.5 3) Hx, 3 = Ez i j+ + E i+ j+ t µ 6 S z ( 1/, 0.5 3) z( 1/, 0.5 3)) E i j E i+ j (4.4.1) ενώ για τη y-συνιστώσα θα έχουμε ( i j) i, j ( Hy, 1 = Ez i+ 1, j Ez i 1, j + Ez i+ 1 /, j+ 0.5 3 t µ 6 S ( ) ( ) ( ) z z ( 1/, 0.5 3) z( 1/, 0.5 3) E i j+ + E i+ j ( 1/, 0.5 3)) E i j (4.4.) Όπως παρατηρούμε, εμφανίζονται διαφορετικές συντεταγμένες πλέγματος, που οφείλονται στη μετατροπή των χαρακτηριστικών του εξαγώνου (πλευρά, διαγώνιος) σε στοιχεία ορθογωνίου. Με λίγα λόγια, δεδομένου της πλευράς του εξαγώνου, βρίσκουμε τα υπόλοιπα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του ειδικά διαμορφωμένου αυτού κελιού. Παρακάτω δίνουμε τη μορφή του εξαγωνικού πλέγματος καθώς και του δευτερεύοντός του (Σχήμα 1). 39

Κεφάλαιο 4 Σχήμα 1: Στοιχειώδες εξαγωνικό κελί με την αντιστοιχία των καρτεσιανών συντεταγμένων Η χρησιμότητα των εξαγωνικών πλεγμάτων έγκειται στο γεγονός της ευκολίας επίλυσης προβλημάτων κυλινδρικής συμμετρίας. Το ορθογώνιο πλέγμα παρουσιάζει σφάλματα όσο πλησιάζουμε στην κυκλική επιφάνεια του κυματοδηγού, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται κενά ή ακόμα να εμφανίζονται και προβλήματα προσαρμογής του ορθογωνίου πλέγματος σε αυτή τη γεωμετρία. Το εξαγωνικό πλέγμα αντίθετα προσαρμόζεται ευκολότερα στις καμπύλες επιφάνειες καθιστώντας το ιδανικότερο για τέτοιου είδους προβλήματα. Η παραπάνω ανάλυση αποτελεί ουσιαστικά μια παραλλαγή του καρτεσιανού πλέγματος. Ουσιαστικά, λύνει τις εξισώσεις του Maxwell σε διαφορετικό πλέγμα, καρτεσιανής μορφής όμως πάλι. Για τις λύσεις των εξισώσεων σε αμιγώς κυλινδρικές συντεταγμένες θα πρέπει να αναπροσαρμόσουμε το πλέγμα, ώστε να ανταποκρίνεται σε διαφορές κυλινδρικών στοιχείων αυτή την φορά. Τότε το στοιχειώδες κελί θα είναι της μορφής του Σχήματος 13. Σχήμα 13:Στοιχειώδες κελί- κυλινδρικές συντεταγμένες 40