Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 + (4 θ)x 2 + (7 + θ)x 3 υπό τους περιορισμούς 3x 1 + x 2 + 2x 3 7, 2x 1 + x 2 + 3x 3 5 και x 1, x 2, x 3 0, με θ R. Συμβολίζουμε με x 4 και x 5 τις περιθώριες μεταβλητές των δύο περιορισμών, αντίστοιχα. Λύνοντας το πρόβλημα για θ = 0 με τη μέθοδο Simplex, καταλήγουμε στο εξής tableau (τελικό): B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 2 1 0-1 1-1 1 0 1 5-2 3 z 24 0 0 3 2 2 1. Βρείτε το εύρος τιμών του θ μέσα στο οποίο η βασική εφικτή λύση που υποδεικνύεται στο tableau παραμένει βέλτιστη. Σ αυτό το εύρος, ποια είναι η καλύτερη τιμή του θ; 2. Δοθέντος ότι το θ παίρνει τιμές στο εύρος των τιμών που υποδείξατε στο 1ο ερώτημα, βρείτε το εύρος εφικτότητας του b 1 (δεξιό μέλος του 1ου περιορισμού). 3. Δοθέντος ότι το θ παίρνει τιμές στο εύρος των τιμών που υποδείξατε στο 1ο ερώτημα, βρείτε τις δυικές τιμές των δύο περιορισμών του προβλήματος (ως συνάρτηση του θ). Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε αυτές τις πληροφορίες προκειμένου να υπολογίσετε πως θα μεταβληθεί η αντικειμενική τιμή (ως συνάρτηση του θ), εάν το δεξιό μέλος του 1ου περιορισμού ελαττωθεί κατά 1 και, ταυτόχρονα, το δεξιό μέλος του 2ου περιορισμού αυξηθεί κατά 1. 4. Διαμορφώστε το δυικό του π.γ.π. που σας δόθηκε. Στη συνέχεια, βρείτε γραφικά τη βέλτιστη λύση του για θ = 0. ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ: Η εταιρεία Comfortable Hands παράγει χειμωνιάτικα γάντια για όλη την οικογένεια: αντρικά, γυναικεία και παιδικά. Οι εργάτες της γραμμής παραγωγής στο εργοστάσιό της μπορεί να είναι εργάτες πλήρους απασχόλησης γεγονός που σημαίνει 40 ώρες εργασίας την εβδομάδα για τον καθένα εξ αυτών, ή εργάτες μερικής απασχόλησης γεγονός που σημαίνει 20 ώρες εργασίας την εβδομάδα για τον καθένα εξ αυτών. Για όλα τα γάντια, η Comfortable Hands χρησιμοποιεί ως πρώτη ύλη δέρμα αγελάδας, το οποίο προμηθεύεται από έναν εξωτερικό συνεργάτη με τον οποίο έχει υπογράψει συμβόλαιο παράδοσης 465 τετραγωνικών μέτρων δέρματος την εβδομάδα. Στον πίνακα που ακολουθεί, δίνονται οι παραγωγικές απαιτήσεις καθώς επίσης και η τιμή πώλησης για κάθε είδος γαντιού (ζευγάρι): Γάντι (ζευγάρι) Πρώτη ύλη (m 2 ) Χρόνος (λεπτά) Τιμή πώλησης ( ) Αντρικό 0.20 30 80 Γυναικείο 0.15 45 100 Παιδικό 0.10 40 60 Θεωρήστε ότι κάθε εργάτης πλήρους απασχόλησης αμείβεται με 13 την ώρα, ενώ κάθε εργάτης μερικής με 10. Λάβετε επίσης υπόψη σας ότι, σύμφωνα με την εργατική νομοθεσία, (i) ο αριθμός των εργατών πλήρους απασχόλησης δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι μικρότερος του 20, και (ii) σε κάθε εργάτη μερικής απασχόλησης πρέπει να αντιστοιχούν τουλάχιστον 2 εργάτες πλήρους απασχόλησης. Διατυπώστε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού προκειμένου να βρεθεί η γραμμή παραγωγής (: πλήθος γαντιών από κάθε είδος) αλλά και το πλήθος των εργατών (πλήρους και μερικής απασχόλησης) που πρέπει να απασχολεί στο εργοστάσιό της η Comfortable Hands σε τρόπο ώστε τα εβδομαδιαία καθαρά κέρδη της (: έσοδα έξοδα) να είναι τα περισσότερα δυνατόν. ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ: Ένα χαλυβουργείο έχει αναλάβει μία παραγγελία για ένα προϊόν, που είναι ένα ειδικό κράμα σιδήρου. Το κράμα αυτό προκύπτει αναμειγνύοντας πέντε σιδηρούχα μεταλλεύματα (πρώτες ύλες) έστω: A, B, C, D, E. Ένας τόνος παραγόμενου κράματος είναι απαραίτητο, εκτός από σίδηρο (Fe), να περιέχει και τα εξής χημικά στοιχεία σε κάποια επιθυμητά ποσοστά (προδιαγραφές κράματος): Νικέλιο (Ni) ακριβώς 5%, Μαγγάνιο (Mn) ακριβώς 4%, Χαλκός (Cu) τουλάχιστον 1% αλλά όχι παραπάνω από 2%. Επίσης, το κράμα θα περιέχει (αναπόφευκτα) και άλλα αδρανή στοιχεία τα οποία θέλουμε να περιορίζονται το πολύ μέχρι το 3% του τελικού κράματος. Ο σίδηρος (Fe), τα απαραίτητα στοιχεία Ni, Mn, Cu και τα αδρανή, προέρχονται φυσικά από τις πρώτες ύλες. Η περιεκτικότητα του παραγόμενου κράματος σε σίδηρο δεν είναι εξαρχής καθορισμένη στις προδιαγραφές, αλλά θα προκύψει (όση προκύψει) από το υπόλοιπο ποσοστό του μείγματος που παρασκευάζουμε, αφού διασφαλιστούν τα ποσοστά περιεκτικότητας των άλλων στοιχείων (Ni, Mn, Cu και αδρανή), που ήδη αναφέρθηκαν παραπάνω. Στο ακόλουθο πίνακα, φαίνονται (i) οι προδιαγραφές κράματος, (ii) για κάθε μετάλλευμα (πρώτη ύλη), η περιεκτικότητά της σε Ni, Mn, Cu και αδρανή (ως ποσοστό στον ένα τόνο πρώτης ύλης) και (iii) το κόστος κάθε τόνου πρώτης ύλης, σε χρηματικές μονάδες. 1

Περιεκτικότητα (ποσοστά) των πρώτων υλών στα διάφορα στοιχεία και προδιαγραφές του κράματος (ποσοστά) Κόστος πρώτης Πρώτη ύλη Ni Mn Cu Αδρανή ύλης /τόνο (χμ) Α 29.6% 49.3% 0.2% 0.82% 65 Β 3.4% 10.2% 0.12% 1.06% 35 C 1.12% 0.25% 1% 0.54% 34 D 0.4% 1.6% 2.5% 0.70% 29 E 56.2% 27.2% 0.4% 1.82% 70 Προδιαγραφές κράματος ακριβώς 5% ακριβώς 4% τουλάχιστον 1% και το πολύ 2% το πολύ 3% 1. Αφού διαπιστώσετε ποιο είναι το πρόβλημα του χαλυβουργείου διαμορφώστε ένα μοντέλο γ.π. που μπορεί να το επιλύσει. Ο παρακάτω πίνακας είναι η συνδυασμένη αναφορά επίλυσης από το Lindo. Μελετήστε τον πίνακα προσεκτικά, ώστε να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν. Οι απαντήσεις σας πρέπει να συνοδεύονται με δικαιολόγηση από τα κατάλληλα στοιχεία του πίνακα. LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 33.16376 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 22.121202 X2 0.067535 0.000000 X3 0.117980 0.000000 X4 0.737201 0.000000 X5 0.077284 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000-0.778358 3) 0.000000 0.314579 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 2.676600 6) 2.208006 0.000000 7) 0.000000-35.883484 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 65.000000 INFINITY 22.121202 X2 35.000000 6.083157 23.016254 X3 34.000000 INFINITY 4.626112 X4 29.000000 4.434957 INFINITY X5 70.000000 56.795414 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 5.000000 1.320509 2.218979 3 4.000000 0.751938 0.662520 4 1.000000 1.000000 INFINITY 5 2.000000 0.235991 1.000000 6 3.000000 INFINITY 2.208006 7 1.000000 1.242172 0.079737 2. Σε τι ποσοστό θα χρησιμοποιείται κάθε μετάλλευμα (πρώτη ύλη) στο κράμα; Πόσο είναι το τελικό κόστος του κράματος ανά τόνο; Ποια είναι η περιεκτικότητα του κράματος σε Ni, Mn, Cu, αδρανή και σίδηρο (Fe). 3. Κατά πόσο θα πρέπει να βελτιωθεί ο συντελεστής της μεταβλητής x 1 ώστε αυτή να συμμετέχει στη βέλτιστη λύση; Δώστε την ανάλυση ευαισθησίας που αφορά τον αντικειμενικό συντελεστή της μεταβλητής x 1. (Ερμηνεύστε με όρους της εκφώνησης του προβλήματος). 4. Το βέλτιστο κόστος ενός τόνου παραγόμενου κράματος που βρέθηκε, είναι υψηλό. Το χαλυβουργείο αναζητεί τρόπους να το μειώσει. Όμως, το κόστος των μεταλλευμάτων (πρώτων υλών) δεν μπορεί να μειωθεί περαιτέρω. Τι μπορεί να κάνει η επιχείρηση αν επιθυμεί να μειώσει το κόστος ενός τόνου κράματος κατά μία χρηματική μονάδα; ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ: H εταιρεία παιγνιδιών «ΞΠΠ AE» παράγει δύο μοντέλα από «λούτρινα» ζωάκια, ένα αρκουδάκι και μία τίγρη, τα οποία διατίθενται από καταστήματα λιανικής. Το αρκουδάκι είναι πιο ογκώδες από την τίγρη και απαιτεί δύο κιλά υλικό γεμίσματος και 6 λεπτά ραπτικής μηχανής. Η τίγρη είναι μικρότερη σε όγκο, οπότε απαιτεί ένα κιλό υλικού γεμίσματος, αλλά χρειάζεται 12 λεπτά στη ραπτομηχανή, γιατί είναι πιο πολύπλοκο το σχέδιο. Την τρέχουσα παραγωγική περίοδο, το εργαστήριο ραψίματος διαθέτει 800 κιλά υλικού γεμίσματος και 70 ώρες ραπτικής. Το περιθώριο κέρδους για τα αρκουδάκια είναι 12 και για τις τίγρεις 9 (ευρώ ανά τεμάχιο). Μάλιστα, η «ΞΠΠ» εφαρμόζει μία πολιτική παραγωγής, η οποία ορίζει ότι η συνολική παραγόμενη ποσότητα από αρκουδάκια δεν μπορεί να ξεπερνά το διπλάσιο της παραγόμενης ποσότητας τίγρεων. 1. Διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που να μπορεί να εντοπίσει το άριστο μείγμα παραγωγής για την «ΞΠΠ AE». Να περιγράψετε επιγραμματικά, αλλά με σαφήνεια, κάθε στοιχείο του. 2. Χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο επίλυσης να σκιαγραφήσετε την περιοχή των εφικτών λύσεων και στη συνέχεια να εντοπίσετε την άριστη λύση και την άριστη τιμή του μοντέλου σας. 3. Μέχρι ποιου ποσού μπορεί να αυξηθεί το μοναδιαίο κέρδος για τα αρκουδάκια χωρίς να επηρεαστεί το βέλτιστο πλάνο παραγωγής; (Εξηγήστε με σαφήνεια, χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα). 4. Ποια θα είναι η νέα εφικτή περιοχή, η νέα άριστη λύση και η νέα άριστη τιμή αν η εταιρεία καταργήσει την απαίτηση η συνολική παραγωγή από αρκουδάκια να είναι το πολύ μέχρι τη διπλάσια ποσότητα των τίγρεων; (Εξηγήστε με σαφήνεια, χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα). 5. Υποθέστε ότι η διαθεσιμότητα του υλικού γεμίσματος μειώνεται στις 600 κιλά. Σε μια τέτοια περίπτωση, τα συνολικά κέρδη θα ελαττώνονταν ή θα αυξάνονταν και πόσο; (Εξηγήστε με σαφήνεια, χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα). 2

ΘΕΜΑ 1 ο 1. Η πλήρης μορφή του τελικού Simplex tableau έχει ως ακολούθως: 10-4θ 4-θ 7+θ 0 0 B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 1 10-4θ 2 1 0-1 1-1 P 2 4-θ 1 0 1 5-2 3 z 24-9θ 0 0 3-2θ 2-2θ 2 +θ Για να είναι η x = (2, 1) βέλτιστη θα πρέπει στη γραμμή των z j c j όλα τα στοιχεία να είναι 0: 3 2θ 0 θ 3/2 2 2θ 0 θ 1-2 θ 1 2 + θ 0 θ -2 Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η z = 24 9θ ελαττώνεται καθώς το θ αυξάνει, και δεδομένου ότι το δοθέν π.γ.π. είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης, η καλύτερη επιλογή είναι η θ = -2. 2. Έστω b ˆ. 1 b1 Η περιθώρια μεταβλητή που προστέθηκε στον 1ο περιορισμό είναι η x 4, οπότε η εφικτότητα εξασφαλίζεται εάν 2 1 1 max min 2 1 2 2 Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι b 1 = 7, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι το ζητούμενο εύρος 15 εφικτότητας είναι το διάστημα 5, 2. 3. Από τη γραμμή των z j c j στο τελικό Simplex tableau, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι x 4, x 5 είναι οι περιθώριες μεταβλητές του 1ου και 2ου περιορισμού αντίστοιχα (: η αρχική βάση δημιουργήθηκε από τις στήλες P 4, P 5 ), καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι w 1 = 2-2θ και w 2 = 2+θ θα είναι οι δυικές τιμές που αντιστοιχούν στους δύο περιορισμούς του προβλήματος. H ελάττωση το b 1 κατά μία μονάδα με ταυτόχρονη αύξηση του b 2 κατά μία μονάδα, θα μας δώσει νέα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με ẑ z (2-2θ) + (2+θ) = z + 3θ, δηλαδή η αντικειμενική τιμή θα αυξηθεί κατά 3θ. 4. Δυικό του δοθέντος προβλήματος είναι το: min 7w 1 + 5w 2 κάτω από τους περιορισμούς: 3w 1 + 2w 2 (10 4θ) w 1 + w 2 (4 θ) 2w 1 + 3w 2 (7 + θ) w 1, w 2 0. Για θ = 0 η εφικτή περιοχή του προβλήματος είναι μη φραγμένη κι έχει ως κορυφές τα σημεία Α(4, 0), Β(2, 2) και Γ(0, 5). Βέλτιστη λύση είναι το σημείο Β(2, 2). 3

4

ΘΕΜΑ 2 ο Ορίζουμε να είναι M ο αριθμός των αντρικών γαντιών που πρέπει να παράγονται εβδομαδιαία, W ο αριθμός των γυναικείων γαντιών που πρέπει να παράγονται εβδομαδιαία, C ο αριθμός των παιδικών γαντιών που πρέπει να παράγονται εβδομαδιαία, F το πλήθος των εργατών «πλήρους απασχόλησης» που θα εργάζονται στην παραγωγή, PT το πλήθος των εργατών «μερικής απασχόλησης» που θα εργάζονται στην παραγωγή. Το κέρδος προκύπτει ως η διαφορά των εξόδων από τα έσοδα: καθαρό κέρδος = συνολικά έσοδα την εβδομάδα συνολικά έξοδα την εβδομάδα = [80M + 100W + 60C] [13(40)F + 10(20)PT] και κατά συνέπεια, η αντικειμενική συνάρτηση του αναζητούμενου γραμμικού μοντέλου έχει ως εξής: maximize Z = (80M + 100W + 60C 520F - 200PT) Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, η Comfortable Hands, εκτός των περιορισμών της μη αρνητικότητας των μεταβλητών, αντιμετωπίζει άλλους τέσσερις περιορισμούς που αφορούν i) την εβδομαδιαία διαθέσιμη ποσότητα δέρματος: 0.20M + 0.15W + 0.10C 465 ii) τον εβδομαδιαίο διαθέσιμο χρόνο στη γραμμή παραγωγής (μετρούμενο σε πρώτα λεπτά): 30M + 45W + 40C 40(60)F + 20(60)PT iii) iv) το πλήθος των εργατών «πλήρους απασχόλησης» που πρέπει εργάζονται στην παραγωγή: F 20 την υποχρεωτική αναλογία μεταξύ εργατών «πλήρους» και «μερικής απασχόλησης»: F 2PT 5

ΘΕΜΑ 3 ο 1. Το χαλυβουργείο ενδιαφέρεται να προσδιορίσει ποια ποσότητα από την κάθε μία από τις πρώτες ύλες που έχει στη διάθεσή του πρέπει να χρησιμοποιήσει προκειμένου να κατασκευάσει το κράμα με τις ζητούμενες προδιαγραφές. Έτσι, θεωρώντας ως 100% τη ζητούμενη παραγωγή του ενός τόνου κράματος, ορίζουμε να είναι x i το ποσοστό με το οποίο ο ένας τόνος της i πρώτης ύλης (i = 1 = A, i = 2 = B, ) θα συμμετάσχει στην παραγωγή του. Τότε, το ενδιαφέρον στρέφεται στην ελαχιστοποίηση του κόστους παραγωγής: minimize 65x 1 + 35x 2 + 34x 3 + 29x 4 + 70x 5 με την προϋπόθεση των ζητούμενων προδιαγραφών i) το Νικέλιο (Ni) πρέπει να είναι ακριβώς 5%: 29.6x 1 + 3.4x 2 + 1.12x 3 + 0.4x 4 + 56.2x 5 = 5.00 ii) το Μαγγάνιο (Mn) πρέπει να είναι ακριβώς 4%: 49.3x 1 + 10.2x 2 + 0.25x 3 + 1.6x 4 + 27.2x 5 = 4.00 iii) ο Χαλκός (Cu) πρέπει να είναι τουλάχιστον 1%: 0.2x 1 + 0.12x 2 + x 3 + 2.5x 4 + 0.4x 5 1.00 iv) ο Χαλκός (Cu) πρέπει να είναι το πολύ 2%: 0.2x 1 + 0.12x 2 + x 3 + 2.5x 4 + 0.4x 5 2.00 v) τα αδρανή πρέπει να είναι το πολύ 3%: 0.82x 1 + 1.06x 2 + 0.54x 3 + 0.7x 4 + 1.82x 5 3.00 Επιπλέον vi) το άθροισμα των ποσοστών να είναι 1 (100%): vii) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1.00 όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές: x i 0 i = 1, 2,, 5 2. Η βέλτιστη λύση είναι η x 1 = 0, x 2 = 0.0675, x 3 = 0.1180, x 4 = 0.7372, x 5 = 0.0773. Συνεπώς το ποσοστό του μεταλλεύματος (πρώτης ύλης) Α θα είναι 0%, του Β 6.75%, του C 11.80%, του D 73.72% και του Ε 7.73%. Το τελικό κόστος του ενός τόνου διαμορφώνεται στις 33.1638 χμ ενώ η περιεκτικότητα του κράματος σε Ni είναι 5%, σε Mn 4%, σε Cu 2% και σε αδρανή υλικά σε 0.792%. Συνεπώς η περιεκτικότητα σε σίδερο (Fe) θα είναι 100% - 5% - 4% - 2% - 0.792% = 88.208%. 3. Η μεταβλητή x 1 αναφέρεται στην πρώτη ύλη Α που κοστίζει 65 χμ ο τόνος και δεν είναι βασική. Το κόστος ευκαιρίας είναι 22.1212 χμ, δηλαδή, για να συμφέρει να χρησιμοποιηθεί πρέπει να μειωθεί τουλάχιστον κατά 22.12 και να γίνει το πολύ 42.87 χμ, τιμή που βλέπουμε και ως αριστερό άκρο του εύρους αριστότητας του c 1. Το δεξιό άκρο του εύρους αριστότητας είναι +, δηλαδή όσο και να αυξηθεί το κόστος της πρώτης ύλης Α, δεν θα αλλάξει η βέλτιστη λύση που βρέθηκε. 4. Το μόνο που μπορεί να κάνει είναι να ασχοληθεί με τους περιορισμούς των προδιαγραφών: 6

το Ni (1ος περιορισμός) έχει περιεκτικότητα 5, δυική τιμή -0.7784 και κάτω όριο 2.7810. Άρα, εάν μειώσει την απαίτηση κατά 1.2846 και γίνει ακριβώς 3.71% θα κερδίσει 1 χμ. ο 2ος περιορισμός αναφέρεται στο Mn. Εδώ είναι 4% με δυική τιμή 0.3146 και δεξιό άκρο 4.7519. Δεν επαρκεί. ο 3ος περιορισμός είναι χαλαρός (μη δεσμευτικός περιορισμός). ο 4ος περιορισμός είναι το άνω όριο του Cu. Με δυική τιμή 2.6766 και δεξιό άκρο 2.23 πάλι δεν επαρκεί. ο 5ος περιορισμός είναι τα αδρανή και είναι χαλαρός (μη δεσμευτικός περιορισμός). 7

ΘΕΜΑ 4 ο 1. Φανερά, η «ΞΠΠ ΑΕ» ενδιαφέρεται να προσδιορίσει το πλήθος από αρκουδάκια και τίγρεις που πρέπει να κατασκευάσει μέσα στις συγκεκριμένες διαθεσιμότητες των παραγωγικών της συντελεστών σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος που θα προκύψει από την εν συνεχεία πώλησή τους στα καταστήματα λιανικής. Συμβολίζουμε με x 1 τα αρκουδάκια και με x 2 τις τίγρεις που πρέπει να κατασκευαστούν. Τότε το συνολικό κέρδος ανέρχεται σε (12x 1 + 9x 2 ). Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν από τη διαθέσιμη ποσότητα (κιλά) του υλικού γεμίσματος: 2x 1 + x 2 800 από το διαθέσιμο χρόνο (πρώτα λεπτά) ραπτικής: 6x 1 + 12x 2 70(60) = 4200 από την πολιτική παραγωγής: x 1 2x 2 1. σε συνδυασμό με τη συνθήκη της μη αρνητικότητας των μεταβλητών: x 1, x 2 0 2. Η εφικτή περιοχή του προβλήματος είναι το κυρτό πολύγωνο ΑΒΓΔ του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(0, 0), Β(320, 160), Γ(300, 200) και Δ(0, 350). Άριστη λύση είναι το σημείο Γ που αντιστοιχεί σε τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z = 5400. Το βέλτιστο πλάνο παραγωγής που ορίζει ότι πρέπει να παραχθούν 300 αρκουδάκια και 200 τίγρεις, γεγονός που δίνει (τα υψηλότερα δυνατόν) κέρδη 5,400. 8

3. Η ανάλυση ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή c 1 (κέρδος από ένα τεμάχιο αρκουδάκι) οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η κορυφή Γ θα είναι βέλτιστη λύση για το πρόβλημα όσο ισχύει κλίση της ευθείας κλίση της ευθείας Ζ κλίση της ευθείας που δίνει 2 c 6 1 c 12 1 1 2 2 c 2 0.5 c Από την ανωτέρω σχέση, για c 2 = 9, προσδιορίζεται ως εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 1 το [4.5, 18]. Κατά συνέπεια, το κέρδος από κάθε αρκουδάκι μπορεί να αυξηθεί μέχρι 18 και το σημείο Γ να παραμείνει η βέλτιστη λύση. Για c 1 = 18, το πρόβλημα αποκτά τις άπειρες (βέλτιστες) λύσεις που προσδιορίζουν τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ. 4. Ο περιορισμός δεν συμμετέχει στη διαμόρφωση της βέλτιστης λύσης (χαλαρός). Η διαγραφή του θα αφήσει ανεπηρέαστη τόσο τη βέλτιστη λύση, όσο και τη βέλτιστη τιμή. 5. Η απάντηση προϋποθέτει τη γνώση της δυϊκής τιμής που αντιστοιχεί στον 1ο περιορισμό. Από τη γραφική επίλυση του προβλήματος, παρατηρούμε ότι άνω όριο στην παράλληλη κίνηση του b 1 που ελέγχουμε είναι το σημείο Ε(350, 175) και κάτω το σημείο Δ(0, 350). Τότε: Ε: 2 350 + 1 175 = b 1 b 1 = 875 Δ: 2 0 + 1 350 = b 1 b 1 = 350 κι επομένως, το εύρος εφικτότητας του b 1 είναι το διάστημα [350, 875]. Οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στα σημεία E, Γ ισούνται με Ε: z = 12 350 + 9 175 = 5,775 Δ: z = 12 0 + 9 350 = 3,150 Τότε, η κλίση της ευθείας, που παριστά το ρυθμό μεταβολής της αντικειμενικής συνάρτησης z σε σχέση με τη μεταβολή στη διαθέσιμη ποσότητα υλικού γεμίσματος (δυική τιμή του 1ου περιορισμού), είναι ίση με 5,775-3.150 κλιση= 5 875-350 Κατά συνέπεια, για κάθε λιγότερο κιλό από το υλικό γεμίσματος που είναι διαθέσιμο (χωρίς όμως η διαθεσιμότητα να είναι χαμηλότερη των 350 κιλών) το συνολικό κέδρος ελαττώνεται κατά 5. Έτσι για διαθεσιμότητα 600 κιλών τα συνολικά κέρδη θα ελαττώνονταν κατά 200 5 = 1,000 ευρώ. 9