Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου σκοπεύει να τις διαθέσει σε πολύ χαμηλές τιμές. Συγκεκριμένα εξετάζει μια ενέργεια προώθησης των πωλήσεων των νέων συλλογών όπου οι τιμές των βιβλίων είναι τόσο χαμηλές ώστε : το βιβλιοπωλείο χάνει 3 ευρώ σε κάθε λογοτεχνικό βιβλίο και 2 ευρώ σε κάθε βιβλίο τέχνης που πωλείται στην προώθηση. Η διεύθυνση σχεδιάζει να πουλήσει τουλάχιστον 210 βιβλία συνολικά, ενώ στο κατάστημα μπορούν να διατεθούν μέχρι 900 μονάδες χώρου επίδειξης για την ενέργεια αυτή. Ο διευθυντής γνωρίζει ότι κάθε λογοτεχνικό βιβλίο απαιτεί 3 μονάδες χώρου επίδειξης, ενώ τα βιβλία τέχνης απαιτούν 2 μονάδες αντίστοιχα. (i) Να διαμορφωθεί το μαθηματικό μοντέλο που προσδιορίζει πόσα λογοτεχνικά βιβλία και πόσα βιβλία τέχνης θα πρέπει να παραγγείλει το βιβλιοπωλείο ώστε να χάσει το μικρότερο δυνατό ποσό σε αυτήν την προώθηση πωλήσεων. Να εξηγηθούν με σαφήνεια τα στοιχεία του μοντέλου. Λύση: (i) Πρόκειται για ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης κόστους. Επομένως η αντικειμενική συνάρτηση είναι min z = 3 x 1 + 2 x 2 όπου x 1 είναι ο αριθμός των λογοτεχνικών βιβλίων που παραγγέλλονται x 2 είναι ο αριθμός των βιβλίων τέχνης που παραγγέλλονται Οι περιορισμοί που προκύπτουν είναι οι παρακάτω 1 ος (αφορά τις πωλήσεις βιβλίων) : x 1 + x 2 210 2 ος (αφορά το χώρο επίδειξης) : 3 x 1 + 2 x 2 900 Τέλος υπάρχει και ο περιορισμός μη αρνητικότητας, x 1, x 2 0 (ΙΙ) Να χρησιμοποιηθεί η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού για να βρεθεί η άριστη λύση και η άριστη τιμή του μοντέλου. Να διατυπωθούν τα αποτελέσματα με βάση τα στοιχεία της εκφώνησης του προβλήματος.

Για τη γραφική επίλυση του γραμμικού περιορισμού απαιτείται οι παραπάνω περιορισμοί να απεικονιστούν σε διάγραμμα. Για να σχηματίσουμε τις αντίστοιχες ευθείες θα πρέπει πρώτα να βρούμε τα σημεία τομής τους με τους άξονες. Έτσι έχουμε Για τον 1 ο περιορισμό : x 1 + x 2 = 210 Αν x 1 = 0 τότε ΜΑΧ x 2 = 210 και Αν x 2 = 0 τότε ΜΑΧ x 1 = 210 Χ2 450 Β 210 Α Δ 210 Γ 300 Χ1 Για το 2 ο περιορισμό : 3x 1 + 2x 2 = 900 Αν x 1 = 0 τότε 2 x 2 = 900 ΜΑΧ x 2 = 450 και Αν x 2 = 0 τότε 3 x 1 = 900 ΜΑΧ x 1 = 300 Άρα ο περιορισμός 2 (χώρος επίδειξης) τέμνει τον κάθετο άξονα στο σημείο (0,450) και τον οριζόντιο στο σημείο (300,0) Γραφικά όλα τα παραπάνω απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα

Η βέλτιστη λύση, δηλαδή η ελαχιστοποίηση του ποσού της ζημιάς βρίσκεται σε μια από τις κορυφές Α Β Γ Δ. Το σχήμα που εσωκλείεται από τις τέσσερις αυτές κορυφές είναι το μόνο τμήμα του συνολικού διαγράμματος στο οποίο ικανοποιούνται και οι τέσσερις περιορισμοί γι αυτό και ονομάζεται εφικτή περιοχή. Πρέπει λοιπόν να βρούμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου και να τις αντικαταστήσουμε στην αντικειμενική συνάρτηση z = 3x 1 + 2x 2 Έτσι η κορυφή Α είναι το σημείο που ο 1 ος περιορισμός (x 1 + x 2 = 210) τέμνει τον κάθετο άξονα. Έτσι x 1 = 0 και x 2 = 210. Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Α είναι z 3x 2x z 3*0 +2 * 210 z 420 A Η κορυφή Β είναι το σημείο που ο 2 ος περιορισμός (3x 1 + 2x 2 = 900) τέμνει τον κάθετο άξονα. Έτσι x 1 = 0 και x 2 = 450. Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Β είναι z 3x 2x z 3*0 +2 * 450 z 900 B Η κορυφή Γ είναι το σημείο που ο 2 ος περιορισμός (3x 1 + 2x 2 = 900) τέμνει τον οριζόντιο άξονα. Έτσι x 1 = 300 και x 2 = 0. Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Γ είναι z 3x 2x z 3*300 + 2 * 0 z 900 Η κορυφή Δ είναι το σημείο που ο 1 ος περιορισμός (x 1 + x 2 = 210) τέμνει τον οριζόντιο άξονα. Έτσι x 1 = 210 και x 2 = 0. Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Δ είναι z 3x 2x z 3* 210 + 2 * 0 z 630 Καταλήγοντας συμπεραίνουμε ότι η βέλτιστη λύση βρίσκεται στην κορυφή Α με x 1 = 0 και x 2 = 210. Δηλαδή το βιβλιοπωλείο πρέπει να πουλήσει 210 βιβλία τέχνης για να ελαχιστοποιήσει τη ζημιά. A B

Άσκηση 2: Μια οικογένεια διαθέτει 410 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης στην περιοχή της Μακεδονίας στην οποία καλλιεργεί καπνό και ρύζι, αλλά ο τοπικός Αγροτικός Συνεταιρισμός περιορίζει το πλήθος των στρεμμάτων που μπορούν να καλλιεργηθούν με ρύζι το πολύ στα 100. Κάθε στρέμμα που καλλιεργείται με καπνό κοστίζει (σπορά, καλλιέργεια, συγκομιδή, κ.λ.π.) κατά μέσο όρο 105 χρηματικές μονάδες, και κάθε στρέμμα ρυζιού 210 χρηματικές μονάδες. Για την τρέχουσα χρονιά, υπάρχει διαθέσιμο ένα κεφάλαιο της τάξης των 52.500 χρηματικών μονάδων, και η εκτίμηση ότι το κάθε στρέμμα καπνού θα αφήσει κατά μέσο όρο καθαρό κέρδος 300 χρηματικών μονάδων, ενώ, το κάθε στρέμμα ρυζιού 520 χρηματικών μονάδων. α) Διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού το οποίο να οδηγεί στην εύρεση του βέλτιστου σχεδίου καλλιέργειας. Εξηγήστε με σαφήνεια τα στοιχεία του. Λύση α) Σύμφωνα με την περιγραφή του προβλήματος, ζητούμενο είναι η εύρεση του αριθμού των στρεμμάτων που πρέπει να καλλιεργηθούν από το κάθε είδος, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό καθαρό κέρδος, χωρίς να παραβιάζονται τα διαθέσιμα στρέμματα καλλιεργήσιμης γης, η οδηγία του τοπικού αγροτικού συνεταιρισμού και ο περιορισμός του κόστους. Για να διατυπώσουμε το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος, θα πρέπει αρχικά να ορίσουμε συμβολικά τις μεταβλητές απόφασης και στη συνέχεια να καταγράψουμε, ως συναρτήσεις των μεταβλητών, το στόχο και τους περιορισμούς. Μεταβλητές. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, μεταβλητές απόφασης είναι ο αριθμός των στρεμμάτων x 1 που θα καλλιεργηθούν με καπνό, x 2 που θα καλλιεργηθούν με ρύζι. Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). Επειδή το καθαρό κέρδος από κάθε στρέμμα καπνού είναι 300 χρηματικές μονάδες, το κέρδος από την καλλιέργεια των x 1 στρεμμάτων ανέρχεται σε 300x 1. Όμοια, το κέρδος από την καλλιέργεια των x 2 στρεμμάτων ρυζιού ανέρχεται σε 520x 2. Συμβολίζοντας με Z το συνολικό κέρδος, στόχος του μοντέλου είναι η εύρεση εκείνων των τιμών x 1, x 2 οι οποίες επιτυγχάνουν να το μεγιστοποιήσουν, δηλαδή: Οι περιορισμοί που προκύπτουν είναι max Z = 300 x 1 + 520 x 2 x 1 + x 2 410 (στρέμματα καλλιεργήσιμης έκτασης) 105 x 1 + 210 x 2 52.500 (διαθέσιμο κεφάλαιο) x 2 100 (καλλιέργεια ρυζιού) x 1, x 2 0 (μη αρνητικότητα)

β) Μετά την επίλυση του μοντέλου από το solver του Excel, δημιουργήθηκε η αναφορά ευαισθησίας (sensitivity) που φαίνεται στην κατωτέρω εικόνα. Με βάση τα στοιχεία που περιέχει, απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν. i) Πόση έκταση πρέπει να καλλιεργηθεί από κάθε είδος και πόσο είναι το συνολικό καθαρό κέρδος; Θα μείνει έκταση ακαλλιέργητη και πόση; Θα καλλιεργηθούν όλα τα επιτρεπόμενα εκτάρια ρυζιού; Θα εξαντληθεί ο προϋπολογισμός; β) i) Όπως βλέπουμε από την άριστη λύση που δίνει το Excel, πρέπει να καλλιεργηθούν 320 στρέμματα με καπνό και 90 (σύνολο 410) στρέμματα με ρύζι (στήλη τελική τιμή). Δηλαδή ο πρώτος περιορισμός που αφορά την καλλιεργήσιμη γη εξαντλείται αφού δεν πρόκειται να μείνει καθόλου ακαλλιέργητη γη. Επίσης και ο δεύτερος περιορισμός που αφορά το διαθέσιμο κεφάλαιο ομοίως εξαντλείται καθώς: 105 x 1 +210x 2 < 52.500 = 105 * 320 + 210 * 90 = 33.600 + 18.900 = 52.500. Το κέρδος που θα αποκομίσει η οικογένεια, δηλαδή η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, θα είναι z = 300 320 + 520 90 = 96.000 + 46.800 = 142.800 χρηματικές μονάδες.

ii) Ένας γείτονας προσπαθεί να πείσει την οικογένεια του προβλήματος να νοικιάσει τη δική του γη, έκτασης 10 στρεμμάτων, προς 100 χρηματικές μονάδες το στρέμμα. Πιστεύετε ότι πρέπει να δεχθούν; ii)όπως βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας των περιορισμών, η αύξηση της καλλιεργήσιμης γης κατά δέκα στρέμματα βρίσκεται μέσα στο επιτρεπόμενο εύρος αύξησης (στήλη επιτρεπόμενη αύξηση = 90). Η αύξηση αυτή εξασφαλίζει στην οικογένεια του παραδείγματος 80 επιπλέον χρηματικές μονάδες ανά στρέμμα (στήλη σκιώδης τιμή). Μια και το ενοίκιο ανέρχεται στις 100 χρηματικές μονάδες το στρέμμα, η οικογένεια δεν πρέπει να δεχτεί την πρόταση του γείτονα. iii) Υποθέστε ότι η οικογένεια του προβλήματος σκέφτεται να πάρει ένα δάνειο 1.000 χρηματικών μονάδων ώστε να αυξηθεί το διαθέσιμο κεφάλαιο για τις ανωτέρω καλλιέργειες. Το επιτόκιο ανέρχεται στο 8%. Τι τους συμβουλεύετε; iii)όπως βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας των περιορισμών, η αύξηση του κεφαλαίου κατά 1.000 χρηματικές μονάδες βρίσκεται μέσα στο επιτρεπόμενο εύρος αύξησης ( στήλη επιτρεπόμενη αύξηση).σύμφωνα με την ανάλυση ευαισθησίας του πρώτου περιορισμού, κάθε επιπλέον χρηματική μονάδα που γίνεται διαθέσιμη, αυξάνει το συνολικό καθαρό κέρδος κατά 2.095 χρηματικές μονάδες. Κάθε χρηματική μονάδα που δανείζεται κοστίζει μόλις 0,08 χρηματικές μονάδες, δηλαδή 80χ.μ. άρα η οικογένεια πρέπει να προχωρήσει στην προτεινόμενη δανειοδότηση. E-mail: info@onlineclassroom.gr