ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ ) A. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν ) > στο α, ) και ) < στο,β), τότε να αποδείξετε ότι το ) είναι τοπικό μέγιστο της. Μονάδες 7 A. Πότε δύο συναρτήσεις, g λέγονται ίσες; Μονάδες A. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση :[α,β], παράγουσα της β α αν G είναι μια στο [α,β], τότε το t)dt = Gα) Gβ). β) Αν οι συναρτήσεις,g έχουν όριο στο και ισχύει ) g) κοντά στο, τότε ) g). γ) Κάθε συνάρτηση, για την οποία ισχύει ) = για κάθε α, ),β), είναι σταθερή στο α, ),β). δ) Μια συνάρτηση είναι -, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y = ) έχει ακριβώς μια λύση ως προς. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Αν η είναι συνεχής στο [α,β], τότε η παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση ) =,. + B. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της. Μονάδες 6 B. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Μονάδες 9 B. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. Μονάδες 7 B. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Γ. Να λύσετε την εξίσωση =,. Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : σχέση ) = ) για κάθε Μονάδες που ικανοποιούν την και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 8 Γ. Αν ) =,, να αποδειχθεί ότι η είναι κυρτή. Μονάδες Γ. Αν είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση: όταν [, + ). ημ + ) ημ ) = +) ) Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι: π ) ) = )+ ) ημ d = π και ) ) = ημ ) + = ) + για κάθε. Δ. Να δείξετε ότι π ) = π μονάδες ) και ) = μονάδες ). Μονάδες 7 Δ. α) Να δείξετε ότι η δεν παρουσιάζει ακρότατα στο. μονάδες ) β) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. μονάδες ) Δ. Να βρείτε το ημ + συν ) + Μονάδες 6. Μονάδες 6 Δ. Να δείξετε ότι π ln ) < d < π. Μονάδες 6 ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις ) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη σχολικου βιβλίου σελίδα 6 Α. Ορισμός σχολικό βιβλίο σελίδα Α. Ορισμός σχολικό βιβλίο σελίδα 6-7 Α. α)λαθοσ σελ. β) ΣΩΣΤΟ σελ. 66 γ) ΛΑΘΟΣ σελ. 5 δ) ΣΩΣΤΟ σελ. 5 ε) ΣΩΣΤΟ σελ.95 ΘΕΜΑ Β )= B. ) - + O.E Στο, η < η γνησίως φθίνουσα στο Και η συνεχής στο,, Στο,+ ) η > και η συνεχής στο [,+ ) Η γνησίως αύξουσα στο [, ), το,) ολικό ελάχιστο
B. 6 ) 8 ) ) ¼ ¼ B. H επειδή είναι συωεχής στο πεδίο ορισμού της δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. λ= ) y=+ β= ) ) άρα η ε: y= οριζόντια ασύμπτωτη Ομοίως στο ) ] 8 [ ] 8 [
Β. ΘΕΜΑ Γ Γ. Θεωρώ g, R g g + - + + + g ) - + g) Ο.Ε. Και R g g Με το «=» να ισχύει για =. Γ. ), R
, R,, Γ. Η είναι παραγωγίσιμη στο R Με R, Πρόσημο άρα Θεωρώ φ)= φ, R φ)= άρα R ά ) ) Άρα στο R και επειδή είναι συνεχής στο οπότε η κυρτή στο R.
Γ., Θεωρώ τη συνάρτηση Άρα η εξίσωση γράφεται ), R, αφού η είναι κυρτή στο R, άρα η είναι Έχω γνησίως αύξουσα. Με Άρα η κ είναι -. Επομένως μοναδική ρίζα στο, ΘΕΜΑ Δ Δ. d d d d d d ) υπόθεση) συνεχής στο ) Άρα : παραγωγίσιμη) υπόθεση Δ. Α) Έστω R υπόθεσης και προκύπτει:, θέση για ακρότατο, άρα ). Παραγωγίζω τη σχέση της
Θέτω όπου =, άρα, R Λόγω της ), έχω από την τελευταία, άρα =. Έτσι :, άτοπο αφού από Δ, έχω Β) παραγωγίζοντας τη σχέση της υπόθεσης έχω Έστω R, με. Θέτω στην προηγούμενη ισότητα και προκύπτει.. Άρα, άτοπο από Δ. Άρα, έχω, R και συνεχής. Επομένως η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Με Δ. Έχω σε περιοχή του, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο R. Από Δ. Β γνησίως αύξουσα και συνεχής. Άρα R,, άρα Άρα Άρα
Ομοίως Άρα Άρα Άρα Δ. Από Δ έχω και γνησίως αύξουσα άρα >, έχω που ζητείται θέτω ln u, u u, άρα d du. Στη σχέση u και με =, έχω, άρα u=. Με, έχω u, άρα u=π Άρα ζητούμενο u u du u Δηλαδή u du Με από Δ και >, έχω Επίσης, άρα, άρα udu d d d., με το ίσο να ισχύει μόνο για =π. Άρα d d