7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγού τη εξέχουσα θέση της, είαι βασικά δύο: ) Πολλές τυχαίες μεταβλητές περιγράφοται ικαοποιητικά από τη καοική καταομή ή περιγράφοται από καταομές που μπορού α προσεγγισθού από τη καοική καταομή. ) Οι ιδιότητες της καοικής καταομής αξιοποιούται στη Στατιστική Συμπερασματολογία. Ουσιαστικά, η καοική καταομή αποτελεί το θεμέλιο της Στατιστικής Συμπερασματολογίας. Στο Β Μέρος, θα έχουμε τη ευκαιρία α διαπιστώσουμε πόσο σηματική είαι η καοική καταομή στη Στατιστική Συμπερασματολογία. Προς το παρό, ας σταθούμε λίγο περισσότερο στο πρώτο από τους παραπάω λόγους. Ας προσπαθήσουμε, δηλαδή, α εξηγήσουμε γιατί η καοική καταομή βρίσκει εφαρμογή σε πολλά στοχαστικά φαιόμεα και πειράματα. Το «μυστικό» που εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογώ της καοικής καταομής, βρίσκεται σε έα εκπληκτικά ισχυρό θεωρητικό αποτέλεσμα της Θεωρίας Πιθαοτήτω το οποίο επιβεβαιώεται και πειραματικά. Πρόκειται για το Κετρικό Οριακό Θεώρημα (Central Lmt Theorem) τις βάσεις του οποίου έθεσα δύο μεγάλοι Μαθηματικοί. Ο Abraham De Movre το 733 και, έα αιώα περίπου αργότερα, το 8, ο Laplace. Σε αυτό το σημείο, δε θα διατυπώσουμε αυστηρά, ούτε θα αποδείξουμε, το Κετρικό Οριακό Θεώρημα. Θα προσπαθήσουμε α εξηγήσουμε μόο το όημα και τη σημασία του. Αργότερα, θα δώσουμε μια πληρέστερη διατύπωση. Σύμφωα με το Κετρικό Οριακό Θεώρημα, το άθροισμα και επομέως - η μέση τιμή, μεγάλου αριθμού αεξάρτητω παρατηρήσεω, ακολουθεί κατά προσέγγιση καοική καταομή, αεξαρτήτως από το ποια καταομή ακολουθού οι παρατηρήσεις. Πώς, όμως, αυτό το αποτέλεσμα ερμηεύει τη μεγάλη εφαρμοσιμότητα της καοικής καταομής; Είαι απλό. Σε πολλά φαιόμεα και πειράματα, οι τιμές διαφόρω χαρακτηριστικώ (μεταβλητώ), είαι αποτέλεσμα αθροιστικής επίδρασης πολλώ αεξάρτητω αιτίω-παραγότω καέα από τα οποία δε υπερισχύει τω άλλω. Για παράδειγμα, ο χρόος ααμοής σε μια ουρά, είαι αποτέλεσμα πολλώ παραγότω, όπως, η ημέρα της εβδομάδας, η ώρα της ημέρας, η αποτελεσματικότητα του υπαλλήλου, το είδος της συαλλαγής που διεκπεραιώεται, κ.ά. Επίσης, το βάρος τω ζώω μιας κτηοτροφικής μοάδας, οφείλεται σύμφωα με τους ειδικούς, σε πληθώρα παραγότω όπως, η ατομικότητα του ζώου, η φυλή, το γέος, οι συθήκες διατροφής, οι συθήκες εσταυλισμού, κ.ά. Καθέας από τους παράγοτες αυτούς επιφέρει έα θετικό ή αρητικό αποτέλεσμα και όλοι μαζί αθροιστικά συτελού στη διαμόρφωση του τελικού αποτελέσματος. Τέτοια χαρακτηριστικά (μεταβλητές), εμφαίζοται σε πολλά φαιόμεα και πειράματα. Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα λεει ότι αυτά ακριβώς τα χαρακτηριστικά περιγράφοται ικαοποιητικά από τη καοική καταομή. Επιπλέο, το Κετρικό Οριακό Θεώρημα συδέει τη καοική καταομή με οποιαδήποτε άλλη καταομή (αφού δε προϋποθέτει α ακολουθού οι παρατηρήσεις καοική καταομή), γεγοός το οποίο, απατάει, επίσης, στο ερώτημα, γιατί η καοική καταομή βρίσκει εφαρμογή σε μεγάλο πλήθος φαιομέω και πειραμάτω. Πρέπει α τοίσουμε ότι για α αποδειχθεί ότι έα συγκεκριμέο χαρακτηριστικό (μεταβλητή) προσεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καοική καταομή, πρέπει α Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 90

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα γίου μετρήσεις που α επαληθεύου έα τέτοιο συμπέρασμα. Μια από τις πρώτες εφαρμογές της καοικής καταομής, έγιε το 809 από το μεγάλο Γερμαό Μαθηματικό Carl F. Gauss ο οποίος διαπίστωσε ότι τα σφάλματα που γίοται σε αστροομικές παρατηρήσεις μπορού α περιγραφού ικαοποιητικά από τη καοική καταομή. Στη συέχεια, διαπιστώθηκε επίσης, ότι τα τυχαία σφάλματα (όχι τα συστηματικά) που εμφαίζοται σε διάφορες μετρήσεις ακολουθού με ικαοποιητική προσέγγιση καοική καταομή. Για το λόγο αυτό, η καοική καταομή οομάζεται και καταομή τω σφαλμάτω (law of errors). Επίσης, είαι γωστή ως καταομή του Gauss (Gaussan dstrbuton), για τη μεγάλη συεισφορά του Gauss στη αάδειξη τω ιδιοτήτω και της σημασίας της. Καοική καταομή οομάσθηκε στις αρχές του 0 ου αιώα από το Pearson. Όμως, για το πώς και από ποιό εισήχθη η καοική καταομή, θα ααφερθούμε αργότερα ότα μιλήσουμε πιο ααλυτικά για το Κετρικό Οριακό Θεώρημα. Τέλος, ως πρόσθετη σχετική πληροφορία, ααφέρουμε ότι στο γερμαικό χαρτοόμισμα τω δέκα μάρκω υπήρχα, φωτογραφία του Gauss, η καοική καμπύλη και ο μαθηματικός τύπος της!! Η συάρτηση πυκότητας της καοικής καταομής δίεται από το τύπο 3, ( x μ ) σ f ( x) e, < x < + σ π σ η τυπική απόκλιση και μ (, + ) η μέση τιμή της καταομής. όπου, > 0 Η γραφική της παράσταση (Σχήμα 7...) είαι γωστή ως καοική καμπύλη και έχει κωδωοειδή μορφή. Σχήμα 7.. Παρατηρείστε ότι στο τύπο της συάρτησης πυκότητας της καοικής καταομής, εμφαίζοται δύο πολύ «διάσημοι» άρρητοι αριθμοί: ο π 3, 4 και ο e, 7. 7.. Ιδιότητες της καοικής καμπύλης Η καοική καμπύλη είαι συμμετρική και οι «ουρές» της πλησιάζου το οριζότιο άξοα ομαλά (ασυμπτωτικά). Η μέση τιμή και η διάμεσος ταυτίζοται. Επίσης, η κορυφή ταυτίζεται με τη μέση τιμή και τη διάμεσο. Έτσι, η περιοχή που παρουσιάζει τη μεγαλύτερη πυκότητα, βρίσκεται και αυτή στο μέσο της καταομής. Δηλαδή, ότα οι τιμές μιας μεταβλητής είαι καοικά καταεμημέες, τότε γύρω από τη μέση τιμή τους υπάρχου σχετικά πολλές τιμές εώ μακριά από τη μέση τιμή βρίσκοται σχετικά λίγες τιμές. Για παράδειγμα, α το ύψος τω ελλήω, ηλικίας 8 έως 5 ετώ, είαι Θυμηθείτε το Σχόλιο 5.4. (β) και επίσης δείτε το Σχόλιο 7.. στη συέχεια. Εδεικτική της ααγώρισης της σημασίας της καοικής καταομής και του έργου του Gauss 3 Αυτός ο τύπος υπήρχε στο χαρτοόμισμα τω δέκα μάρκω!! Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 9

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα καοικά καταεμημέο, με μέση τιμή 70cm και τυπική απόκλιση 5cm (δες Σχήμα 7..), τότε μεταξύ 70cm και 75cm βρίσκοται περισσότερα άτομα από όσα βρίσκοται μεταξύ 80cm και 85cm. Επίσης, πολύ λίγα άτομα έχου ύψος μεγαλύτερο από 85cm ή μικρότερο από 55cm. Σχήμα 7.. Παρατηρείστε (δες Σχήμα 7..3) ότι η καμπύλη της συάρτησης πυκότητας της καοικής καταομής, στη θέση x μ παρουσιάζει μέγιστη τιμή, ίση με 0.399 σ π σ και στις θέσεις x μ σ και x μ + σ παρουσιάζει σημεία καμπής. Σχήμα 7..3 Ερώτηση: Α μια καοική καταομή έχει, για παράδειγμα, τυπική απόκλιση σ 0. 5 τότε η συάρτηση πυκότητας της έχει μέγιστη τιμή ίση με 0.399 0.399 f ( μ).596. Είαι άραγε λογικό αυτό; Δηλαδή, μπορεί σ π σ 0.5 αυτή η τιμή α είαι μεγαλύτερη του ; Είαι φαερό, ότι η συάρτηση πυκότητας της καοικής καταομής δε ορίζει μια συγκεκριμέη καοική καμπύλη αλλά μια οικογέεια καοικώ καμπύλω. Έτσι, για διαφορετικές τιμές τω παραμέτρω μ και σ παίρουμε διαφορετικές καοικές καμπύλες. Για παράδειγμα, οι καταομές στο Σχήμα 7..4 είαι όλες καοικές καταομές. Στο (α) έχου ίδια μέση τιμή και διαφορετικές τυπικές αποκλίσεις εώ στο (β) έχου ίδιες τυπικές αποκλίσεις και διαφορετικές μέσες τιμές. (α) Σχήμα 7..4 (β) Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 9

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Είαι φαερό, ότι αλλαγή της μέσης τιμής προκαλεί μόο μετατόπιση της καοικής καμπύλης σε μια έα θέση. Όμως αλλαγή της τυπικής απόκλισης, προκαλεί αλλαγή στη καοική καμπύλη (χωρίς, φυσικά α αλλάζει η κωδωοειδής μορφή της). Για παράδειγμα, όσο μικρότερη είαι η τυπική απόκλιση, τόσο ψηλότερη και τόσο πιο στεή είαι η καοική καμπύλη, δηλαδή, τόσο μικρότερο είαι το διάστημα στο οποίο, πρακτικά, εκτείεται η καταομή. Επισημαίουμε ότι οι παράμετροι μ και σ χαρακτηρίζου τη καοική καταομή, δηλαδή, μπορούμε α τη προσδιορίσουμε πλήρως α γωρίζουμε μόο τη μέση τιμή της, μ και τη τυπική απόκλισή της, σ. Η καοική καταομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ (δηλαδή διακύμαση σ ) συμβολίζεται με N ( μ, σ ). Tο εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη καμπύλη της συάρτησης πυκότητας και το άξοα τω τιμώ μιας συεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ είαι, όπως γωρίζουμε. ίσο με και εκφράζει τη πιθαότητα η Χ α πάρει κάποια τιμή μεταξύ και +. Αάλογα, το εμβαδό του σκιαγραφημέου χωρίου Α στο Σχήμα 7..5, εκφράζει τη πιθαότητα η Χ α πάρει κάποια τιμή μεταξύ τω τιμώ α και β, δηλαδή, A P( α X β ). Σχήμα 7..5 το εμβαδό του σκιαγραφημέου χωρίου Β στο Σχήμα 7..6, εκφράζει τη πιθαότητα η Χ α πάρει κάποια τιμή μικρότερη ή ίση του α, δηλαδή, B P( X α). Σχήμα 7..6 το εμβαδό του σκιαγραφημέου χωρίου Γ στο Σχήμα 7..7, εκφράζει τη πιθαότητα η Χ α πάρει κάποια τιμή μεγαλύτερη ή ίση του α, δηλαδή, Γ P( X a). Σχήμα 7..7 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 93

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.. Η τυποποιημέη καοική καταομή Η καοική καταομή που έχει μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση (άρα και διακύμαση ), συμβολίζεται με N (0,) και οομάζεται τυποποιημέη (ή τυπική) καοική καταομή (standard normal dstrbuton). Η τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί τη τυποποιημέη καοική καταομή, έχει επικρατήσει α συμβολίζεται με Ζ, η συάρτηση πυκότητάς της με ϕ (z) και η συάρτηση καταομής της με Φ (z). Προφαώς ϕ ( z) e π z, < z < + και η γραφική της παράσταση (Σχήμα 7..8) παρουσιάζει, σύμφωα με τις ιδιότητες της καοικής καμπύλης, μέγιστη τιμή (ίση με π 0. 399 ) στη θέση x 0 και σημεία καμπής στις θέσεις x και x. Σχήμα 7..8 Στο Σχήμα 7..9 φαίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης καταομής, t z ( e Φ z) P( Z z) π της Ζ. Παρατηρείστε ότι έχει σιγμοειδή μορφή. dt, < z < +, Σχήμα 7..9 7..3 Υπολογισμός πιθαοτήτω Ο υπολογισμός πιθαοτήτω συεχούς τυχαίας μεταβλητής αάγεται, όπως γωρίζουμε, στο υπολογισμό εμβαδώ επίπεδω χωρίω κάτω από τη γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητάς της και επομέως στο υπολογισμό κατάλληλω ολοκληρωμάτω. Δυστυχώς, καμία από τις γωστές τεχικές ολοκλήρωσης δε μας επιτρέπει το ααλυτικό υπολογισμό του κατάλληλου, κατά περίπτωση, ορισμέου ολοκληρώματος της συάρτησης πυκότητας της καοικής καταομής. Στη πράξη, για α υπολογίσουμε πιθαότητες μιας τυχαίας μεταβλητής Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 94

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα που ακολουθεί καοική καταομή N ( μ, σ ), χρησιμοποιούμε το πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής N (0,). Ο πίακας της τυποποιημέης καοικής καταομής (Παράρτημα-Ι) μας δίει τις τιμές Φ ( z) P ( Z z) της συάρτησης καταομής της τυποποιημέης καοικής καταομής, δηλαδή, το εμβαδό του σκιαγραφημέου χωρίου στο Σχήμα 7..0, για όλα τα z από 0 έως 3.59 (συήθως έως 3.49 ή 3.09) με βήμα 0.0. Σχήμα 7..0 Από τη συμμετρία της καοικής καμπύλης, εύκολα προκύπτει (Σχήμα 7..) ότι Φ ( z) Φ( z), δηλαδή, P ( Z z) Φ( z) Φ( z). Σχήμα 7.. Η ιδιότητα αυτή εξηγεί γιατί ο πίακας της τυποποιημέης καοικής καταομής δίει τιμές της Φ (z) μόο για μη αρητικά z. Εύκολα, επίσης, προκύπτει ότι: P ( α Z β ) Φ( β ) Φ( α) P ( α Z α) Φ( α) Φ( α ) Φ( α) P ( Z > a) P( Z α) Φ( α). Είαι φαερό, ότι μπορούμε πλέο, α υπολογίσουμε οποιαδήποτε πιθαότητα για τη Ζ με βάση μόο τις τιμές Φ (z) του πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. P ( Z 0) Φ(0) 0.5 P ( Z.37) Φ(.37) 0.947 P ( Z >.37) P( Z.37) Φ(.37) 0.947 0.0853 P ( Z.55) Φ(.55) Φ(.55) 0.9394 0.606 P (.55 Z.) Φ(.) Φ(.55) Φ(.) [ Φ(.55)] Φ(.) + Φ(.55) 0.98 + 0.9394 0.95 P ( Z ) Φ() 0.843 0.686 68.3% P ( Z ) Φ() 0.977 0.9544 95.5% P ( 3 Z 3) Φ(3) 0.9987 0.9974 99.7% Ερώτηση: Μπορείτε α εξηγήσετε γιατί ο πίακας της τυποποιημέης καοικής καταομής δίει τιμές της Φ (z) μόο μέχρι z 3. 59 (ή μόο μέχρι 3.49 ή 3.09); Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 95

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε με βάση το πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής, α υπολογίζουμε πιθαότητες για οποιαδήποτε καοική τυχαία μεταβλητή N ( μ, σ ). Πρόταση 7..: Α η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί μια καοική καταομή N ( μ, σ ) τότε η τυχαία μεταβλητή μ Z X σ ακολουθεί τη τυποποιημέη καοική N (0,). Αξιοποιώτας αυτό το αποτέλεσμα, μπορούμε πλέο α υπολογίσουμε πιθαότητες για οποιαδήποτε καοική τ.μ. Ας δούμε για παράδειγμα, πώς για οποιαδήποτε καοική τυχαία μεταβλητή X ~ N( μ, σ ) μπορούμε α υπολογίσουμε τη πιθαότητα P ( α X β ). Προφαώς είαι α μ X μ β μ P ( α X β ) P ( ) σ σ σ και επειδή X μ Z ~ N(0,) σ έχουμε α μ X μ β μ α μ β μ P ( α X β ) P ( ) P ( Z ) σ σ σ σ σ β μ α μ Φ ( ) Φ( ). σ σ Ασφαλώς, μπορούμε πλέο α υπολογίσουμε μέσω της Ζ και οποιαδήποτε άλλη πιθαότητα για τη Χ. Για παράδειγμα X μ β μ β μ β μ P ( X β ) P ( ) P ( Z ) Φ( ). σ σ σ σ Έτσι, α X ~ N(.5,. ), τότε για τη πιθαότητα P ( 3 X 4) έχουμε 3.5 X.5 4.5 P (3 X 4) P ( ) P(0.4 Z.5)... Φ(.5) Φ(0.4) 0.8944 0.668 0.36. Δείτε στο Σχήμα 7.. το χωρίο κάτω από τη N (.5,. ) που ατιστοιχεί στη πιθαότητα P ( 3 X 4) και το χωρίο κάτω από τη N (0,) που ατιστοιχεί στη πιθαότητα P ( 0.4 Z.5). Τα δύο χωρία είαι εμφαώς ισεμβαδικά. Αυτό εξάλλου μας διαβεβαιώει η Πρόταση 7... Σχήμα 7.. Παράδειγμα 7.: Έχει παρατηρηθεί ότι ο χρόος που χρειάζεται έα ασθεοφόρο για α φθάσει από έα κέτρο υγείας, στο πλησιέστερο περιφερειακό οσοκομείο, Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 96

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα ακολουθεί κατά προσέγγιση καοική καταομή με μέση τιμή μ 7 mn και τυπική απόκλιση σ 3 mn. Να βρεθεί η πιθαότητα, ο χρόος που θα χρειασθεί το ασθεοφόρο για α φθάσει στο περιφερειακό οσοκομείο α είαι α) το πολύ 5 mn β) περισσότερο από mn και γ) τουλάχιστο 3 mn και το πολύ mn. X 7 X 7 Απάτηση: α) P ( X 5) P( ) P( Z 0.67) Φ( 0.67) 3 3 Φ(0.67) 0.7486 0.5. X 7 7 β) P ( X > ) P( > ) P( Z >.67) P( Z.67) 3 3 Φ(.67) 0.955 0.0475. 3 7 X 7 7 γ) P ( 3 X ) P ( ) P(.33 Z.33) 3 3 3 Φ(.33) 0.908 0.864. Παράδειγμα 7.: Στη Περιγραφική Στατιστική, όπως θα δούμε στη συέχεια, χρησιμοποιείται έας καόας, γωστός ως εμπειρικός καόας (emprcal rule) γιατί πολύ συχά επαληθεύεται εμπειρικά σε διάφορα πειράματα και φαιόμεα, σύμφωα με το οποίο, α η καταομή εός δείγματος τιμώ μιας τυχαίας μεταβλητής είαι καοική, τότε το ποσοστό τω τιμώ του δείγματος που απέχει από τη μέση τιμή του, λιγότερο α) από μια τυπική απόκλιση είαι περίπου 68% β) από δύο τυπικές αποκλίσεις είαι περίπου 95% και γ) από τρεις τυπικές αποκλίσεις είαι περίπου 99.7%. Ας αποδείξουμε αυτό το καόα και μάλιστα, σε γεικότερη μορφή: α μια τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί μια καοική καταομή, τότε το ποσοστό τω τιμώ της που απέχου από τη μέση τιμή της λιγότερο από k τυπικές αποκλίσεις είαι ίσο με Φ( k ). Απάτηση: Α X ~ N( μ, σ ), πρέπει α δείξουμε ότι P( μ kσ X μ + kσ ) Φ( k). Πράγματι X μ P( μ kσ X μ + kσ ) P( kσ X μ + kσ ) P( k + k) σ P( k Z + k) Φ( k). Έτσι, για k,, 3, έχουμε P ( μ σ X μ + σ ) Φ() 0.686 68.3% P ( μ σ X μ + σ ) Φ() 0.9544 95.5% P ( μ 3σ X μ + 3σ ) Φ(3) 0.9974 99.7% Σχήμα 7..3 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 97

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σχόλιο 7..: Ίσως σας έχει δημιουργηθεί το εξής ερώτημα: Πώς είαι δυατό τυχαίες μεταβλητές που παίρου μόο θετικές τιμές ή πεπερασμέου πλήθους τιμές, όπως μεταβλητές που εκφράζου μήκη, χρόους ζωής, χροική διάρκεια φαιομέω κτλ., α περιγράφοται από τη καοική καταομή η οποία θεωρητικά παίρει άπειρου πλήθους τιμές και μάλιστα από το μέχρι το + ; Για παράδειγμα, η πιθαότητα P ( X > α) έχει κάποια τιμή όσο μεγάλο και α είαι το α. Α όμως Χ είαι το ύψος του αθρώπου και έχει διαπιστωθεί ότι προσεγγίζεται από τη καοική καταομή, τότε αυτό σημαίει ότι με βάση το μoτέλο μας (τη καοική καταομή) θα υπήρχε έα ποσοστό αθρώπω, έστω πολύ μικρό, με ύψος Χ>0 μέτρα!!! Επίσης, η πιθαότητα P ( X < 0) έχει κάποια τιμή. Δηλαδή, θα υπήρχε έα ποσοστό αθρώπω, έστω πολύ μικρό, με αρητικό ύψος!!! Τι μπορεί α συμβαίει; Μια πρώτη εξήγηση είαι η εξής. Οι πιθαότητες αυτές είαι πολύ μικρές και στη πράξη θεωρούται μηδέ. Για παράδειγμα, η πιθαότητα α είαι αρητικός ο χρόος που θα χρειασθεί το ασθεοφόρο για α φθάσει στο περιφερειακό οσοκομείο (Παράδειγμα 7.) είαι X 7 0 7 P ( X < 0) P( < ) P( Z < 5.7) Φ( 5.7) Φ(5.7) 3 3 η οποία πρακτικά είαι μηδέ. Όμως, αυτή η εξήγηση δε φαίεται ικαοποιητική, αφού μπορεί οι πιθαότητες αυτές πρακτικά α είαι μηδέ, αλλά θεωρητικά δε είαι μηδέ και επομέως το θεωρητικό μοτέλο φαίεται «προβληματικό». Η απάτηση είαι η εξής: Πρέπει α διακρίουμε τη καοική καταομή αυτή καθαυτή, από τα τυχαία φαιόμεα που προσεγγίζοται ικαοποιητικά από τη καοική καταομή. Η καοική καταομή δε είαι «όμος της φύσης». Είαι, απλά, έα μοτέλο το οποίο ορίζεται με μια μαθηματική συάρτηση. Τίποτε περισσότερο και τίποτε λιγότερο. Η καοική καταομή δηλαδή, δε εκφράζει-περιγράφει απολύτως και εξ ορισμού το τυχαίο φαιόμεο που μας εδιαφέρει. Το πόσο «καλά» το εκφράζει, δηλαδή, το πόσο μας βοηθάει α το καταοήσουμε, είαι πρόβλημα δικό μας και της Στατιστικής, όχι της καοικής καταομής! Ας δούμε έα διαφορετικό παράδειγμα. Παράδειγμα 7.3: Οι υποψήφιοι για εγγραφή σε έα Μεταπτυχιακό Τμήμα Παεπιστημίου, υποβάλλοται σε έα τεστ. Το τεστ έχει σχεδιασθεί έτσι ώστε οι βαθμοί τω υποψηφίω στο τεστ α καταέμοται καοικά με μέση τιμή 300 και τυπική απόκλιση 60. α) Α η πολιτική του Παεπιστημίου είαι α δέχεται ως φοιτητές το 5% τω υποψηφίω με το μεγαλύτερο βαθμό στο τεστ, ποιος είαι ο μικρότερος βαθμός που επιτρέπει τη εισαγωγή στο Μεταπτυχιακό Τμήμα; β) Τι βαθμό πρέπει α έχει γράψει έας υποψήφιος στο τεστ για α κατατάσσεται στο 0% τω υποψηφίω με το μικρότερο βαθμό στο τεστ; Απάτηση: Έστω Χ η βαθμολογία εός υποψηφίου στο τεστ. Δίεται ότι, X ~ N(300, 60 ). α) Ζητάμε εκείη τη τιμή x της Χ για τη οποία P ( X x) 0.5 ( Σχήμα 7..4). Σχήμα 7..4 Έτσι, έχουμε X 300 x 300 x 300 P ( X x) 0.5 P( ) 0.5 P( Z ) 0. 5 60 60 60 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 98

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα x 300 x 300 x 300 P ( Z < ) 0.5 P( Z < ) 0.5 P( Z < ) 0. 85 60 60 60 300 Φ( x ) 0.85. 60 Κάοτας «ατίστροφη ααζήτηση» στο πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής, παρατηρούμε ότι η πιθαότητα 0.85 δε βρίσκεται στο πίακα, όμως οι πλησιέστερες σε αυτή τιμές είαι οι 0.8485 και 0.8508 οι οποίες ατιστοιχού στις τιμές z. 03 και z. 04 οπότε ή επιλέγουμε μια από αυτές τις δύο τιμές ή κάουμε παρεμβολή και βρίσκουμε z (.03 +.04). 035. Έτσι, έχουμε x 300.035 x 36.. 60 Άρα, η ζητούμεη βαθμολογία είαι 36.. Δηλαδή, για α αήκει έας υποψήφιος στο 5% τω υποψηφίω με το μεγαλύτερο βαθμό στο τεστ, πρέπει α πάρει βαθμό τουλάχιστο ίσο με 36.. β) Έστω x εκείη η τιμή της Χ για τη οποία ισχύει P ( X x) 0. 0 (Σχήμα 7..5). Σχήμα 7..5 Έχουμε X 300 x 300 x 300 P ( X x) 0.0 P( ) 0.0 P( Z ) 0. 0 60 60 60 x 300 x 300 300 x Φ( ) 0.0 Φ( ) 0.0 Φ( ) 0.90. 60 60 60 Έτσι, με «ατίστροφη ααζήτηση» στο πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής, βρίσκουμε z (.8 +.9). 85 και επομέως 300 x.85 x.9. 60 Άρα, για α κατατάσσεται έας υποψήφιος στο 0% τω υποψηφίω με το μικρότερο βαθμό στο τεστ, πρέπει α έχει πάρει βαθμό μικρότερο από.9. Σημείωση 7..: Είαι προφαές ότι με τη προηγούμεη μέθοδο υπολογίζουμε ποσοστημόρια της καταομής. Η τιμή z της Z ~ N(0,) για τη οποία ισχύει P ( Z > z) α, 0 < α < οομάζεται άω α -ποσοστιαίο σημείο της τυποποιημέης καοικής καταομής και συμβολίζεται με z α. Δηλαδή, P ( Z > zα ) α. Προφαώς, λόγω συμμετρίας της καταομής, z α zα (δες Σχήμα 7..6). Σχήμα 7..6 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 99

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Άσκηση 7.: Δείξτε ότι α) z. 33 και β) z. 33. 0.0 0.99 Απάτηση: α) Από το ορισμό του z α, για α 0. 0, έχουμε P ( Z > z0.0) 0.0 P( Z z0.0) 0.0 Φ( z0.0) 0.0 Φ( z0. 0) 0.99 και επομέως με «ατίστροφη ααζήτηση» στο πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής παίρουμε, z 0.0. 33. β) Από το ορισμό του άω α -ποσοστιαίου σημείου z α, για α 0. 99, έχουμε P( Z > z0.99 ) 0.99 P( Z z0.99 ) 0.99 Φ( z0.99 ) 0.99 Φ( z0. 99 ) 0.99 και επομέως με «ατίστροφη ααζήτηση» στο πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής παίρουμε, z 0.99.33 z0. 99. 33. (Ασφαλώς, μπορούσαμε α χρησιμοποιήσουμε τη σχέση z α zα, και άμεσα α πάρουμε z z z. 33). 0.99 0.0 0.0 Παράδειγμα 7.4: Μια αυτόματη μηχαή συσκευασίας τροφίμω έχει προγραμματισθεί α συσκευάζει δημητριακά σε συσκευασίες τω.5kg. Έχει παρατηρηθεί ότι η ποσότητα δημητριακώ αά συσκευασία ακολουθεί καοική καταομή με μέση τιμή μ. 5 kg και τυπική απόκλιση σ 0. kg. α) Τι ποσοστό τω συσκευασιώ περιέχει ποσότητα που υπερβαίει τα.6kg; β) Σε τι ποσότητα πρέπει α ρυθμισθεί η μηχαή έτσι ώστε μόο στο 0.00 τω περιπτώσεω η ποσότητα δημητριακώ στη συσκευασία α υπερβαίει τα.6kg; Απάτηση: Έστω Χ η ποσότητα που περιέχεται αά συσκευασία. α) Γωρίζουμε ότι X ~ N(.5, 0. ) και επομέως εύκολα υπολογίζεται το ποσοστό συσκευασιώ που υπερβαίου τα.6kg (για εξάσκηση, επαληθεύστε ότι P ( X >.6) 0.587 ). β) Έστω X ~ N( μ, 0. ). Πρέπει α προσδιορισθεί η μέση τιμή μ ώστε P ( X >.6) 0.00 (δες και Σχήμα 7..7).. Σχήμα 7..7 Έχουμε X μ.6 μ P( X.6) 0.00 P( X.6) 0.999 P( ) 0.999 0. 0..6 μ.6 μ P( Z ) 0.999 Φ( ) 0.999. 0. 0. Άρα (.6 μ ) 0. 3.09 μ. 9, δηλαδή, η μηχαή πρέπει α ρυθμισθεί στα.9kg. Συχά, σε πρακτικά προβλήματα, εδιαφέρου πιθαότητες κάποιας τυχαίας μεταβλητής η οποία εκφράζει το άθροισμα άλλω αεξάρτητω τυχαίω μεταβλητώ που η κάθε μια ακολουθεί καοική καταομή. Ας δούμε έα τέτοιο πρόβλημα και πώς ατιμετωπίζεται. Παράδειγμα 7.5: Στα ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας δίεται τροφή τρεις φορές τη ημέρα. Η ποσότητα θερμίδω που παίρου κάθε φορά είαι καοική τυχαία μεταβλητή. Το διαιτολόγιο έχει ρυθμισθεί έτσι, ώστε τη πρώτη φορά που δίεται τροφή Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 00

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα η μέση ποσότητα θερμίδω που παίρου α είαι μ 500 cal με τυπική απόκλιση σ 50cal, τη δεύτερη α είαι μ 700 cal με σ 00 cal και τη τρίτη α είαι μ 3 800cal με σ 3 00cal. Α οι ποσότητες θερμίδω που παίρου τα ζώα τις τρεις φορές είαι αεξάρτητες μεταξύ τους, ποια είαι η πιθαότητα η συολική ημερήσια ποσότητα θερμίδω που παίρει έα τυχαία επιλεγμέο ζώο της μοάδας α είαι μεταξύ 975cal και 305cal. Απάτηση: Έστω X, X, X 3 η ποσότητα θερμίδω που παίρει το ζώο τη η, τη η και τη 3 η φορά ατίστοιχα (ημερησίως). Γωρίζουμε ότι το διαιτολόγιο έχει ρυθμισθεί έτσι ώστε: X ~ N(500, 50 ), X ~ N(700, 00 ) και X 3 ~ N(800, 00 ). Η συολική ημερήσια ποσότητα θερμίδω S 3 που παίρει το ζώο, προφαώς εκφράζεται από το άθροισμα X + X + X 3, δηλαδή, S X + X +. 3 X 3 Είαι προφαές ότι για α απατήσουμε στο ερώτημα που τίθεται (και σε άλλα παρόμοια) πρέπει α γωρίζουμε τη καταομή της S. 3 Γι αυτή τη καταομή, μας πληροφορεί η ακόλουθη πρόταση (δίεται χωρίς απόδειξη). Πρόταση 7..: Α X, X,..., X αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με X ~ N( μ, σ ),,,...,, τότε S X ~ N( μ + μ +... + μ, σ + σ +... + σ ). Α X ~ N( μ, σ ),,,...,, τότε S X ~ N( μ, σ ). Γεικότερα, α X, X,..., X αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με X ~ N( μ, σ ),,,..., και α, α, K, α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε α X + β ~ N( αμ + α μ +... + α μ + β, α σ + α σ +... + α σ ). Επειδή οι X, X, X 3 είαι αεξάρτητες, από τη παραπάω πρόταση έχουμε ότι S 3 ~ N(500 + 700 + 800, 50 + 00 + 00 ) ή S 3 ~ N(3000, 5500). Άρα για τη ζητούμεη πιθαότητα έχουμε: 975 3000 S3 3000 305 3000 P(975 < S3 < 305) P( < < ) 5500 5500 5500 P ( 0. < Z < 0.) Φ(0.) 0.733. Από τη προηγούμεη πρόταση εύκολα προκύπτει η ακόλουθη. Πρόταση 7..3: Α X, X,..., X αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με X ~ N( μ, σ ) για κάθε,,...,, τότε, X σ X ~ N( μ, ). Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Παράδειγμα 7.5 (συέχεια): Ποια είαι η πιθαότητα, η μέση ποσότητα θερμίδω που παίρει ημερησίως έα τυχαία επιλεγμέο ζώο σε έα χρόο (365 ημέρες) α είαι μεταξύ 975cal και 305cal. Απάτηση: Έστω S η συολική ποσότητα θερμίδω που παίρει το ζώο τη ημέρα, S,,...,365. Επειδή, S ~ N(3000, 5500) θα έχουμε 5500 S ~ N(3000, ) 365 365 975 3000 S 3000 305 3000 και επομέως, P (975 < S < 305) P( < < ) 5500 365 5500 365 5500 365 P (.08 < Z <.08) Φ(.08) 0.964. Σημείωση7..: Η καταομή von Mses. Στις κυκλικές μεταβλητές, δηλαδή, στις μεταβλητές που μετρώται σε κυκλική κλίμακα, η πλέο χρησιμοποιούμεη καταομή είαι η καταομή von Mses. Η καταομή von Mses, έχει αάλογα χαρακτηριστικά με τη καοική καταομή (και ατίστοιχα μεγάλη χρησιμότητα), γι αυτό στη βιβλιογραφία συατάται και ως κυκλική καοική καταομή (crcular normal). Α η καταομή μιας τυχαίας κυκλικής μεταβλητής, για παράδειγμα, μιας τυχαίας μεταβλητής κατεύθυσης Θ, περιγράφεται από τη καταομή von Mses, τότε, η συάρτηση πυκότητας της Θ δίεται από το τύπο: kσυ ( ϑ μ ) f ( ϑ) e π I 0 ( k) όπου: μ η μέση κατεύθυση (με τιμές σε διάστημα πλάτους π όπως και η Θ), k παράμετρος που παίρει μη αρητικές τιμές ( κ 0 ) και εκφράζει τη συγκέτρωση π τω τιμώ της Θ γύρω από τη μέση κατεύθυση και κ e k cos Ι ϑ 0 ( ) dϑ π (τιμή της 0 συάρτησης Bessel). 365 Για μεγάλα k, η καταομή von Mses προσεγγίζει τη καοική καταομή με μ θ και σ (όσο αυξάεται το k, τόσο αυξάεται και η πιθαότητα α πάρει η k μεταβλητή Θ, τιμή κοτά στη μέση κατεύθυση). Για μικρά k, δηλαδή ότα το k πλησιάζει στο 0, η καταομή von Mses προσεγγίζει τη ομοιόμορφη καταομή (σε διάστημα πλάτους π), δηλαδή, στη περίπτωση αυτή, για κάθε κατεύθυση ϑ, η πιθαότητα α πάρει η μεταβλητή Θ τιμή κοτά στη ϑ είαι για όλα τα ϑ ίδια 4. 4 ή και αλλιώς, η πιθαότητα α πάρει η Θ τιμή σε έα διάστημα είαι αάλογη του πλάτους του διαστήματος. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα (Central Lmt Theorem) Στη προηγούμεη εότητα δώσαμε τη γεική ιδέα για το πώς το Κετρικό Οριακό Θεώρημα (Κ.Ο.Θ.) εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής της καοικής καταομής και πώς συδέει οποιαδήποτε καταομή με τη καοική καταομή. Επίσης, στο 5 ο Κεφάλαιο (Εότητα 5.5) εξηγήσαμε ότι λέγοτας «από έα πληθυσμό παίρουμε έα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εοούμε αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X, X,..., X που ακολουθού τη ίδια καταομή. Ας δούμε τώρα μια πληρέστερη διατύπωσή του Κ.Ο.Θ. Κετρικό Οριακό Θεώρημα: Α X..., ακολουθού τη ίδια καταομή και για κάθε Var X ), τότε για μεγάλα (θεωρητικά ( σ, X, X αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που,, K,, E ( X ) μ και X σ X ~ N( μ, ). ), κατά προσέγγιση έχουμε Έτσι, α από έα πληθυσμό (δηλαδή, από τη καταομή τω τιμώ μιας τ.μ.) που έχει μέση τιμή μ και διακύμαση σ, επιλέξουμε τυχαία δείγματα μεγέθους και υπολογίσουμε τους μέσους τους, το Κ.Ο.Θ. μας διαβεβαιώει ότι για μεγάλα (θεωρητικά ), η καταομή αυτώ τω μέσω (τω δειγματικώ) είαι κατά προσέγγιση καοική με μέση τιμή επίσης μ και διακύμαση σ. Δείτε, για παράδειγμα, στο Σχήμα 7..(α) τις καταομές τεσσάρω πληθυσμώ και στο Σχήμα 7..(β) τις ατίστοιχες καταομές τω δειγματικώ μέσω για 4. Δείτε επίσης στο Σχήμα 7..(γ) τις καταομές τω δειγματικώ μέσω για 5. (α) (β) (γ) Σχήμα 7.. Όσο πιο μεγάλο είαι το μέγεθος τω δειγμάτω, τόσο καλύτερη είαι η προσέγγιση της καταομής τω δειγματικώ μέσω από τη καοική καταομή (δες και τη Παρατήρηση 7.. στη συέχεια). Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 03

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Ας δούμε όμως, με έα συγκεκριμέο παράδειγμα, τι σημαίου τα παραπάω στη πράξη. Παράδειγμα 7.6: Μας είαι γωστό, ότι τα μήλα μιας δεδροκαλλιέργειας έχου μέσο βάρος μ 50gr με τυπική απόκλιση σ 0gr. Η παραγωγή της καλλιέργειας συσκευάζεται σε κιβώτια και προωθείται στη αγορά. Σε κάθε κιβώτιο τοποθετούται 400 μήλα (τυχαία επιλεγμέα). Μπορούμε α υπολογίσουμε ποιο ποσοστό (κατά προσέγγιση) τω κιβωτίω περιέχει μήλα με μέσο βάρος: α) μεγαλύτερο τω 5.5gr και β) μικρότερο τω 49gr; Απάτηση: Τα μήλα κάθε κιβωτίου είαι έα τυχαίο δείγμα μεγέθους 400 από το πληθυσμό τω μήλω της παραγωγής. Η μορφή της καταομής τω βαρώ τω μήλω δε μας είαι γωστή. Μπορεί α είαι οποιαδήποτε. Για τη άγωστη αυτή καταομή γωρίζουμε μόο τη μέση τιμή της μ 50gr και τη τυπική απόκλισή της σ 0 gr. Μπορούμε με αυτά τα δεδομέα α απατήσουμε στα ερωτήματα που θέσαμε; Η απάτηση είαι αι και ας δούμε πώς. Τα ερωτήματά μας μπορού α επααδιατυπωθού ως εξής: Ποιο ποσοστό (κατά προσέγγιση) τω δειγματικώ μέσω α) είαι μεγαλύτερο τω 5.5gr και β) είαι μικρότερο τω 49gr. Είαι φαερό ότι για α μπορέσουμε α απατήσουμε στα ερωτήματα που θέσαμε (και σε άλλα παρόμοια) πρέπει α γωρίζουμε τη καταομή τω δειγματικώ μέσω. Το Κ.Ο.Θ. μας βεβαιώει ότι, παρότι δε γωρίζουμε τη καταομή τω βαρώ τω μήλω, ετούτοις, γωρίζουμε τη καταομή τω δειγματικώ μέσω αφού τα δείγματά μας έχου μέγεθος αρκετά μεγάλο (400). Δηλαδή, αρκεί μόο, το ότι γωρίζουμε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση της καταομής τω βαρώ τω μήλω. Έτσι, α συμβολίσουμε με Χ τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το βάρος εός τυχαία επιλεγμέου μήλου της καλλιέργειας, και με X τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τους δειγματικούς μέσους, το Κ.Ο.Θ. μας βεβαιώει ότι η X ακολουθεί κατά προσέγγιση καοική καταομή με μέση τιμή μ μ 50 gr και διακύμαση X 0 σ σ X 0.5gr. Αφού, πλέο, γωρίζουμε ότι X ~ N(50, 0.5 ), η 400 απάτηση στα ερωτήματά μας είαι πολύ απλή. Ζητάμε τις πιθαότητες: P ( X > 5.5) και P ( X < 49). Έτσι έχουμε: 5.5 50 α) P( X > 5.5) P( X 5.5) P( Z ) Φ(.5) 0. 006. Άρα, 0.5 το ποσοστό τω κιβωτίω που περιέχου μήλα με μέσο βάρος μεγαλύτερο τω 5.5gr είαι κατά προσέγγιση 0.6%. 49 50 β) P ( X < 49) P( Z < ) Φ( ) Φ() 0. 08. Άρα, το ποσοστό τω 0.5 κιβωτίω που περιέχου μήλα με μέσο βάρος μικρότερο τω 49gr είαι κατά προσέγγιση.8%. Μια ισοδύαμη διατύπωση του Κ.Ο.Θ. είαι η ακόλουθη. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 04

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Κετρικό Οριακό Θεώρημα: Α X, X,..., X ακολουθού τη ίδια καταομή και για κάθε ( σ Var X ), τότε για μεγάλα (θεωρητικά S αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που,, K,, E ( X ) μ και X ~ N( μ, σ ). ), κατά προσέγγιση έχουμε Ας δούμε έα παράδειγμα. Παράδειγμα 7.7: Η ποσότητα ραδιεέργειας που δέχεται κάθε ημέρα έας ερευητής είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ 0. μοάδες και τυπική απόκλιση σ 0. 0 μοάδες. Ποια είαι η πιθαότητα το συολικό ποσό ραδιεέργειας που θα δεχθεί ο ερευητής σε 00 ημέρες α ξεπεράει τις 0.0 μοάδες. Απάτηση: Έστω X η ποσότητα ραδιεέργειας που δέχεται ο ερευητής τη ημέρα (,,..., 00 ). Η καταομή της X,,,..., 00 δε είαι γωστή. Είαι γωστή μόο η μέση τιμή και η τυπική απόκλισή της (0. και 0.0 ατίστοιχα). Η συολική ποσότητα ραδιεέργειας που θα δεχθεί ο ερευητής στις 00 ημέρες είαι S 00 X + X +... + X 00 και επειδή το n είαι αρκετά μεγάλο, από το Κ.Ο.Θ. (κατά προσέγγιση) έχουμε ότι S 00 ~ N(00 0., 00 0.0 ) ή S 00 ~ N(0, 0. ). Άρα η ζητούμεη πιθαότητα είαι: 0.0 0 P ( S 00 > 0.0) P( Z > ) P( Z > 0.) Φ(0.) 0.407. 0. Παρατήρηση 7..: Όπως ήδη ααφέραμε, όσο πιο μεγάλο είαι το μέγεθος τω δειγμάτω, τόσο καλύτερη (ακριβέστερη) είαι η προσέγγιση της καταομής τω δειγματικώ μέσω από τη καοική καταομή. Πρακτικά, όμως, πόσο μεγάλο πρέπει α είαι το ; Σαφής απάτηση στο ερώτημα αυτό δε υπάρχει. Γεικά, το πόσο μεγάλο πρέπει α είαι το, εξαρτάται από τη καταομή του πληθυσμού. Για παράδειγμα, α η καταομή του πληθυσμού είαι λοξή (ασύμμετρη) απαιτείται μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος από αυτό που απαιτείται α είαι περίπου συμμετρική. Γεικά, το μέγεθος του δείγματος πρέπει α είαι τουλάχιστο 30, δηλαδή, 30. Όμως, όπως φαίεται και στα Σχήματα 7.., υπάρχου περιπτώσεις όπου καλές προσεγγίσεις παίρουμε και για μικρότερα. Για διερεύηση τω παραπάω, μπορείτε α πειραματιστείτε με το λογισμικό προσομοίωσης του Κ.Ο.Θ. που υπάρχει στη διεύθυση www.aua.gr/gpapadopoulos στη επιλογή «Σημειώσεις παραδόσεω». Τέλος, επισημαίουμε τη περίπτωση όπου ο πληθυσμός από το οποίο γίεται η δειγματοληψία είαι καοικός. Στη περίπτωση αυτή, όπως ήδη έχουμε ααφέρει (Πρόταση 7.. και Πρόταση 7..3), αποδεικύεται θεωρητικά ότι η καταομή τω δειγματικώ μέσω (και της S ), είαι καοική καταομή αεξάρτητα από το πόσο μεγάλο είαι το. Ας δούμε έα παράδειγμα. Παράδειγμα 7.8: Οι ακαθάριστες εβδομαδιαίες εισπράξεις μιας κτηοτροφικής μοάδας από τη πώληση του γάλακτος που παράγει είαι καοική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 00 και τυπική απόκλιση 30. Ποια είαι η πιθαότητα τις επόμεες δύο εβδομάδες οι συολικές ακαθάριστες εισπράξεις της μοάδας από τη πώληση του γάλακτος που παράγει α ξεπερού τις 5000 ; Απάτηση: Έστω X οι ακαθάριστες εισπράξεις από τη πώληση του γάλακτος τη πρώτη εβδομάδα και X οι ακαθάριστες εισπράξεις από τη πώληση του γάλακτος τη δεύτερη εβδομάδα. Δίεται ότι X ~ N(.00, 30 ) και X ~ N(.00, 30 ). Οι συολικές εισπράξεις στις δύο εβδομάδες είαι S X + X. Με τη υπόθεση ότι οι Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 05

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα εισπράξεις από εβδομάδα σε εβδομάδα είαι αεξάρτητες μεταξύ τους έχουμε ότι S ~ N(4400, 30 ). Η ζητούμεη πιθαότητα είαι: 5000 4000 P ( S > 5000) P( Z > ) P( Z >.84) Φ(.84) 0.039. 30 7.. Καοική προσέγγιση της Διωυμικής Καταομής Έα σηματικό αποτέλεσμα της Θεωρίας Πιθαοτήτω, γωστό ως οριακό θεώρημα τω De Movre-Laplace, μας λέει ότι: Οριακό θεώρημα De Movre-Laplace: Για μεγάλα (θεωρητικά ), η διωυμική καταομή μπορεί α προσεγγισθεί από μια καοική καταομή με ίδια μέση τιμή και ίδια διακύμαση. Δηλαδή, α X ~ B(, p) τότε, για μεγάλες τιμές του, η καταομή της Χ προσεγγίζεται από τη N ( μ, σ ) με μ p και σ p( p). Το αποτέλεσμα αυτό, μπορεί εύκολα α προκύψει ως ειδική περίπτωση του Κ.Ο.Θ 5. Όμως, δε προέκυψε έτσι. Ατιθέτως, αποδεικύοτάς το, ο Abraham De Movre το 733 για p 0. 5 και, εκατό περίπου χρόια αργότερα, το 8, ο Laplace για κάθε p (0, ), έθεσα τις βάσεις για τη διατύπωση και απόδειξη του Κ.Ο.Θ. Δηλαδή, η πορεία ήτα ατίστροφη. Πρώτα αποδείχθηκε το οριακό θεώρημα τω De Movre- Laplace, και πολύ αργότερα διατυπώθηκε και αποδείχθηκε το Κ.Ο.Θ. από το Ρώσο μαθηματικό Lyapunov τη περίοδο 90-90 (είχα προηγηθεί και άλλες γεικεύσεις του οριακού θεωρήματος τω De Movre-Laplace από τους Chebysev και Markov). Μάλιστα, το οριακό θεώρημα τω De Movre-Laplace προέκυψε όπως και το οριακό θεώρημα Posson - από τη αάγκη ατιμετώπισης τω δυσκολιώ που παρουσιάζοται στο υπολογισμό πιθαοτήτω της διωυμικής καταομής. Έτσι «γεήθηκε» και η καοική καταομή (όπως και η καταομή Posson από το οριακό θεώρημα Posson). Δηλαδή, οι δυσκολίες της διωυμικής «γέησα» δύο διάσημες καταομές! Πρι δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής, σε πρακτικά προβλήματα, της καοικής προσέγγισης της διωυμικής καταομής, ας δούμε πάλι το ερώτημα: πόσο μεγάλο πρέπει α είαι το για α μπορεί, πρακτικά, α χρησιμοποιηθεί καοική προσέγγιση της διωυμικής καταομής. Το πόσο μεγάλο πρέπει α είαι το, εξαρτάται από τη τιμή της παραμέτρου p. Α, για παράδειγμα, p 0. 5 ή κοτά στο 0. 5, τότε και για όχι πολύ μεγάλες τιμές του παίρουμε εξαιρετικές προσεγγίσεις της διωυμικής. Ατίθετα, α το p είαι πολύ μικρό ή πολύ μεγάλο, για καλή προσέγγιση, απαιτούται πολύ μεγαλύτερες τιμές του. Έας πρακτικός, γεικός, καόας είαι ο εξής: Για α πάρουμε, μέσω του οριακού θεωρήματος De Movre-Laplace, καλές προσεγγίσεις της διωυμικής καταομής αρκεί p 5 και ( p) 5. Επίσης, στη βιβλιογραφία συατάται και ο καόας ότι: αρκεί, p( p) 0. Στα Σχήματα 7.. δίεται η συάρτηση πιθαότητας της διωυμικής καταομής με p 0.5 (σταθερό) και 8,6, 30 καθώς και η συάρτηση πυκότητας της καοικής καταομής με τη ατίστοιχη μέση τιμή και διακύμαση, δηλαδή, με μ p και σ p( p). Παρατηρείστε ότι όσο μεγαλύτερο γίεται το τόσο πιο καλή και η προσέγγιση. 5 Θυμηθείτε ότι η διωυμική καταομή ορίζεται ως άθροισμα αεξάρτητω δίτιμω τυχαίω μεταβλητώ. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 06

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σχήμα 7.. Δείτε επίσης πάλι το Σχήμα 6.. και παρατηρείστε τη μορφή της διωυμικής καταομής για p 0. 5. Παράδειγμα 7.9: Ο ιδαικός αριθμός πρωτοετώ φοιτητώ σε έα παεπιστήμιο είαι 50. Το παεπιστήμιο, γωρίζοτας από προηγούμεη εμπειρία ότι από τους φοιτητές που κάει δεκτούς για εγγραφή, μόο το 30% παρακολουθεί τα μαθήματα, εφαρμόζει τη εξής πολιτική: κάει δεκτούς 450 φοιτητές. Ποια είαι η πιθαότητα (κατά προσέγγιση), από τους 450 πρωτοετείς φοιτητές, α παρακολουθού τελικά τα μαθήματα περισσότεροι από 50. Απάτηση: Α Χ ο αριθμός τω πρωτοετώ φοιτητώ (από τους 450) που παρακολουθού τα μαθήματα, τότε προφαώς X ~ B(, p) με 450 και p 0. 3, δηλαδή, X ~ B(450, 3). Επειδή, το είαι μεγάλο και p 450 0.3 35 5 και ( p) 450 0.7 35 5, η Χ προσεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καοική με μ p 450 0.3 35 και σ p( p) 450 0.3 0.7 94. 5 δηλαδή από τη N (35, 94.5). Άρα, για τη ζητούμεη πιθαότητα έχουμε: X 35 5 35 P( X 5) P( ) P( Z.64) Φ(.64) 0.0505. 94.5 94.5 Όπως ήδη έχουμε ααφέρει στο εισαγωγικό κεφάλαιο ( ο Κεφάλαιο), έα κρίσιμο θέμα στη στατιστική προσέγγιση προβλημάτω είαι το μέγεθος του δείγματος που επιλέγουμε. Τα δύο παραδείγματα που ακολουθού δίοται για α πάρουμε μια πρώτη ιδέα για το πώς μπορούμε α εφαρμόσουμε αποτελέσματα της θεωρίας πιθαοτήτω για το καθορισμό του κατάλληλου μεγέθους δείγματος. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 07

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Παράδειγμα 7.0: Προκειμέου α εκτιμήσουμε το ποσοστό p τω ατόμω εός πληθυσμού που έχου μια συγκεκριμέη ιδιότητα (π.χ. καπίζου, πάσχου από μια ασθέεια, είαι άεργοι, ψηφίζου έα συγκεκριμέο κόμμα κτλ.) χρησιμοποιούμε έα δείγμα μεγέθους. Πόσο πρέπει α είαι το έτσι ώστε το ποσοστό τω ατόμω του δείγματος που έχου τη ιδιότητα, α διαφέρει, κατ απόλυτη τιμή, από το (άγωστο) πραγματικό ποσοστό p λιγότερο από % με πιθαότητα τουλάχιστο 95%. Απάτηση: Ας συμβολίσουμε με Χ το αριθμό τω ατόμω του δείγματος που έχου τη συγκεκριμέη ιδιότητα. Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη διωυμική καταομή 6 με παραμέτρους και p, δηλαδή, X ~ B(, p). Προφαώς, το ποσοστό τω ατόμω X του δείγματος που έχου τη συγκεκριμέη ιδιότητα είαι. Σύμφωα με τις απαιτήσεις που θέτει το πρόβλημα πρέπει: X X P p < 0.0 0.95 ή P 0.0< p < 0.0 0. 95 ή P ( 0.0 < X p < 0.0 ) 0.95 ή P ( p 0.0 < X < p + 0.0 ) 0. 95. Χρησιμοποιώτας τη καοική προσέγγιση της διωυμικής έχουμε: ( p 0.0 ) p X p ( p + 0.0 ) p P( p 0.0 < X < p + 0.0 ) P < < p( p) p( p) p( p) 0.0 Φ. ( ) p p Άρα, σύμφωα με τις απαιτήσεις που θέτει το πρόβλημα, πρέπει 0.0 Φ 0.95 ( ) p p ή ισοδύαμα 0.0 Φ 0.975 ( ) p p και επομέως 0.0.96 ή 3846 p( p). p( p) Επειδή το πραγματικό ποσοστό στο πληθυσμό, p, είαι άγωστο, για α εξασφαλίσουμε για κάθε τιμή του p τη ισχύ της τελευταίας αισότητας πρέπει α βρούμε τη μέγιστη τιμή του p( p). Αυτή είαι 4 (γιατί;) 7 άρα πρέπει 3846, δηλαδή, το δείγμα πρέπει α έχει μέγεθος τουλάχιστο 9604. 4 Παράδειγμα 7.: Έας αστροόμος θέλει α μετρήσει (σε έτη φωτός) τη απόσταση μεταξύ του αστεροσκοπείου που εργάζεται και εός άστρου. Παρότι εφαρμόζει μια ααγωρισμέη μέθοδο μέτρησης, γωρίζει ότι κάθε φορά που μετράει τη απόσταση δε παίρει τη πραγματική τιμή της αλλά μόο μια εκτίμησή της (αυτό συμβαίει για διάφορους λόγους, όπως αλλαγές στις ατμοσφαιρικές συθήκες, κ.ά.). Γι αυτό σχεδιάζει α κάει έα αριθμό μετρήσεω, α υπολογίσει τη μέση τιμή τους και α τη χρησιμοποιήσει ως εκτιμήτρια της άγωστης πραγματικής απόστασης d. Α οι 6 Στις περιπτώσεις αυτές, το μέγεθος του δείγματος είαι μικρό σε σχέση με το μέγεθος του πληθυσμού και επομέως μπορούμε α υποθέσουμε ότι η δειγματοληψία γίεται με επαάθεση. 7 Πρόκειται για τη εύρεση ακρότατης τιμής συάρτησης του p. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 08

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα μετρήσεις, X, X,..., X, είαι αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθού τη ίδια (άγωστη) καταομή με μέση τιμή d (τη άγωστη πραγματική απόσταση) και διακύμαση 4 έτη φωτός, πόσες μετρήσεις πρέπει α κάει ο αστροόμος ώστε η μέση τιμή τους α διαφέρει, κατ απόλυτη τιμή, από τη άγωστη πραγματική απόσταση d, λιγότερο από 0.5 έτη φωτός με πιθαότητα 95%. Απάτηση: Για μεγάλες τιμές του, από το Κ.Ο.Θ. έχουμε ότι κατά προσέγγιση, X 4 X ~ N( d, ). Σύμφωα με τις απαιτήσεις που θέτει το πρόβλημα πρέπει: P X d < 0.5 0.95 P( 0.5 < X d < 0.5) 0. 95 ( ) P( 0.5 + d < X < 0.5 + d) 0.95 0.5 0.5 P( < Z < ) 0.95 Φ( 4) 0.95 Φ( 4) 0.975 και επομέως,.96 6. 46. Άρα ο αστροόμος πρέπει α πάρει 6 4 μετρήσεις. 7.. Καοική προσέγγιση της Καταομής Posson Με εφαρμογή του Κ.Ο.Θ., αποδεικύεται ότι και η καταομή Posson μπορεί α προσεγγισθεί ικαοποιητικά από τη καοική καταομή. Πιο συγκεκριμέα, α Χ είαι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί τη καταομή Posson με παράμετρο λ, τότε η καταομή της Χ προσεγγίζεται, για μεγάλες τιμές του λ (στη πράξη για λ > 0 ), από τη N ( μ, σ ) με μ λ και σ λ. Ας δούμε έα παράδειγμα. Παράδειγμα 7.: Σε μια αγροτική καλλιέργεια κηπευτικώ, έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός τω φυτώ που δε ααπτύσσοται (ξεραίοται) είαι τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί καταομή Posson με μέση τιμή λ 00 φυτά/καλλιεργητική περίοδο. Ποια είαι η πιθαότητα σε μια καλλιεργητική περίοδο ο αριθμός τω φυτώ που δε θα ααπτυχθού α είαι τουλάχιστο 0. Απάτηση: Επειδή η τιμή του λ είαι μεγάλη, η καταομή της Χ προσεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καοική με μ λ 00 και σ λ 00, δηλαδή, από τη N (00, 00). Άρα, για τη ζητούμεη πιθαότητα έχουμε: X 00 0 00 P ( X 0) P( ) P( Z ) Φ() 0.08. 00 00 7..3 Διόρθωση συέχειας Τόσο στη περίπτωση της καοικής προσέγγισης της διωυμικής καταομής όσο και στη περίπτωση της καοικής προσέγγισης της καταομής Posson, γίεται προσέγγιση διακριτής καταομής από συεχή. Της περιπτώσεις αυτές (που γίεται προσέγγιση διακριτής καταομής από συεχή), καλό είαι α εσωματώεται στο προσεγγιστικό τύπο η λεγόμεη διόρθωση συέχειας. Έτσι, ότα, για παράδειγμα, η διωυμική X ~ B(, p) προσεγγίζεται από τη N( p, p( p) ) οι πιθαότητες P( a X b), P( X b) και P( X a) με διόρθωση συέχειας υπολογίζοται ως εξής: Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 09

P( a X b) P( a 0.5 X b + 0.5) Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 0.5 0.5 0.5 0.5 a p X p b + p b + p a p P Φ Φ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p p p p p 0.5 0.5 ( ) ( 0.5) X p b + p b + p P X b P X b + P Φ. ( ) ( ) ( ) p p p p p p 0.5 0.5 ( ) ( 0.5) X p a p a p P X a P X a P Φ. ( ) ( ) ( ) p p p p p p Χρησιμοποιώτας στο Παράδειγμα 7.9 τη διόρθωση συέχειας έχουμε X 35 50.5 35 P ( X 5) P( X 5 0.5) P( > ) P( Z >.59) 0.0559. 94.5 94.5 Ομοίως, χρησιμοποιώτας στο Παράδειγμα 7. τη διόρθωση συέχειας έχουμε: X 00 9.5 00 P ( X 0) P( X 0 0.5) P( ) P( Z.95) 0.056. 00 00 Τέλος, σημειώουμε ότι χρησιμοποιώτας τη διόρθωση συέχειας, μπορούμε α υπολογίζουμε και της πιθαότητες P ( X a), a 0,,... μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ, μέσω της καοικής καταομής, ως εξής: P ( X a) P( a 0.5 X a + 0.5)... Σχόλιο 7..: Το πόσο σηματικό είαι το γεγοός ότι το Κ.Ο.Θ. της πληροφορεί για τη καταομή της X και της S, θα φαεί και στη συέχεια ότα ααφερθούμε σε ζητήματα Στατιστικής Συμπερασματολογίας (π.χ. Διαστήματα Εμπιστοσύης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεω). Για προβληματισμό Σε πολλά μουσεία επιστημώ, μεταξύ τω διαφόρω εκθεμάτω (κατασκευώμοτέλω), υπάρχει και η μηχαή του Galton 8. 8 Ο Sr Galton (8-9) ήτα Άγγλος αθρωπολόγος ο οποίος, σε συεργασία με το Karl Pearson, χρησιμοποίησε τη καοική καταομή για τη μελέτη και τη ερμηεία αθρωπομετρικώ δεδομέω. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Ο τρόπος λειτουργίας της, φαίεται καλύτερα στο επόμεο σκίτσο. Μπορείτε α εξηγήσετε τι προσομοιώει η μηχαή του Galton; Υπόδειξη: Μπορείτε α βρείτε, μέσω του Internet, Java applets τα οποία προσομοιώου τη μηχαή του Galton σε υπολογιστικό περιβάλλο. Η παρακάτω εικόα είαι έα στιγμιότυπο από έα τέτοιο πρόγραμμα. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.3 Οι καταομές χ, t και F Σε αυτή τη εότητα παρουσιάζουμε συοπτικά τρεις συεχείς καταομές οι οποίες, όπως και η καοική καταομή, είαι πολύ χρήσιμες στη Στατιστική Συμπερασματολογία. Είαι αξιοσημείωτο, ότι και οι τρεις έχου ως αφετηρία τη καοική καταομή 9. Πρόκειται για τη καταομή χ (διαβάζεται χι τετράγωο), τη καταομή t και τη καταομή F. Γιατί οι τρεις αυτές καταομές, είαι χρήσιμες στη Στατιστική Συμπερασματολογία, θα γίει εύκολα καταοητό ότα στα επόμεα μιλήσουμε για τις στατιστικές συαρτήσεις (δειγματοσυαρτήσεις) και το ρόλο τους στις συμπερασματικές στατιστικές διαδικασίες. Παρατηρείστε στο ορισμό αυτώ τω καταομώ που δίουμε στη συέχεια, ότι πρόκειται για καταομές συαρτήσεω αεξάρτητω τυχαίω μεταβλητώ και θυμηθείτε ότι ότα λέμε τυχαίο δείγμα μεγέθους από έα πληθυσμό εοούμε αεξάρτητες και ισόομες τυχαίες μεταβλητές X X,..., X,. Τη καταομή χ εισήγαγε ο F. R. Helmert το 876, τη καταομή t το 908 ο W. L. Gosset και τη καταομή F ο G.W Snedecor (το 934) ο οποίος της έδωσε το όομα F προς τιμή του διακεκριμέου στατιστικού (και γεετιστή) R. A. Fsher, γι αυτό στη βιβλιογραφία συατάται και ως καταομή Fsher, ως καταομή Snedecor ή ως καταομή Snedecor-Fsher. Σημειώουμε επίσης, ότι η καταομή t είαι γωστή και ως καταομή Student, ψευδώυμο με το οποίο ο Gosset δημοσίευε τα άρθρα του. Για τη προέλευση (γέηση) της καταομής t, κάποιες επιπλέο πληροφορίες δίουμε στο 0 ο Κεφάλαιο. Στη συέχεια, για κάθε μια από αυτές της τρεις καταομές, δίουμε μόο το ορισμό της, τη γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητάς της, τη μέση τιμή της, τη διακύμαση της και τα άω α -ποσοστιαία σημεία της, δηλαδή, μόο τις ελάχιστες πληροφορίες που είαι απαραίτητες για α καταοήσουμε και α μπορούμε α εφαρμόζουμε σωστά βασικές μεθόδους της Στατιστικής Συμπερασματολογίας. χ 7.3. Η καταομή Α Z, Z,..., Z είαι αεξάρτητες τυποποιημέες καοικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, α Z ~ N(0, ),,,...,, τότε η καταομή της τυχαίας μεταβλητής X Z + Z +... + Z οομάζεται καταομή χι-τετράγωο με βαθμούς ελευθερίας (ch-square dstrbuton) και συμβολίζεται με χ. Είαι προφαές ότι πρόκειται για οικογέεια καταομώ. Για κάθε τιμή του παίρουμε και μια άλλη καταομή χι-τετράγωο. Είαι επίσης προφαές ότι μια τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί μια χ καταομή δε παίρει αρητικές τιμές. Στο Σχήμα 7.3. φαίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας της X Z + Z +... + Z ~ χ για διάφορες τιμές του. 9 Ασφαλώς, δε μας κάει ετύπωση! Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σχήμα 7.3. Αποδεικύεται ότι η μέση τιμή της χ είαι ίση με και η διασπορά της είαι ίση με. Δηλαδή, α X χ τότε E (X ) και Var ( X ). ~ Παρατηρείστε στο παραπάω σχήμα ότι όσο το αυξάεται τόσο η γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας της χ γίεται πιο συμμετρική. Για > 30, προσεγγίζεται πολύ ικαοποιητικά από τη καοική N (, ). Όπως θα διαπιστώσουμε στα επόμεα, στη Στατιστική Συμπερασματολογία μάς είαι χρήσιμα τα άω α -ποσοστιαία σημεία της χ τα οποία έχει επικρατήσει α συμβολίζοται με χ ;α ή με χ ( α). Όπως φαίεται και στο Σχήμα 7.3., α μια τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη καταομή χ, δηλαδή α X ~ χ, τότε το χ ;α είαι εκείη η τιμή της Χ για τη οποία ισχύει P ( X > ) α, ή ισοδύαμα, P ( X ) α. χ ; α χ ; α Σχήμα 7.3. Για διευκόλυσή μας, έχου δημιουργηθεί πίακες που μας δίου τα χ ;α για διάφορες τιμές του α και του. Έτσι, από το πίακα που υπάρχει στο Παράρτημα Ι παίρουμε, για παράδειγμα, χ 9. 488, χ 5. 086 και χ 0. 989. 4 ;0.05 5 ;0.0 7 ;0.995 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.3. Η καταομή t ή καταομή Student Έστω Ζ μια τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί τη τυποποιημέη καοική καταομή, δηλαδή Z ~ N(0, ), και S μια τυχαία μεταβλητή αεξάρτητη από τη Ζ η οποία ακολουθεί τη καταομή χ, δηλαδή S ~ χ. Τότε, η καταομή της τυχαίας μεταβλητής, Z T S οομάζεται καταομή t ή καταομή Student με βαθμούς ελευθερίας (tdstrbuton ή Student s dstrbuton) και συμβολίζεται με t. Είαι προφαές ότι πρόκειται για οικογέεια καταομώ. Για κάθε τιμή του παίρουμε και μια άλλη καταομή t. Είαι επίσης προφαές ότι μια τυχαία μεταβλητή T που ακολουθεί μια t καταομή παίρει τιμές από έως + όπως η καοική καταομή. Στο Σχήμα 7.3.3 φαίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας της T ~ t για και για 0. Επίσης φαίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας της Z ~ N(0, ). Σχήμα 7.3.3 Παρατηρείστε στο Σχήμα 7.3.3 ότι η γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας της T ~ t έχει κωδωοειδή μορφή και είαι συμμετρική ως προς το κατακόρυφο άξοα στο 0, όπως η Z ~ N(0, ), όμως έχει πιο «παχιές» ουρές (είαι πιο πεπλατυσμέη). Όσο το αυξάεται η t προσεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καοική N ( 0, ( ) ). Για > 30, προσεγγίζεται πολύ καλά από τη τυποποιημέη καοική N (0, ). Αποδεικύεται ότι η μέση τιμή της t είαι ίση με 0 (για > ) και η διακύμασή της, για >, είαι ίση με ( ). Δηλαδή, α T ~ t τότε E ( T) 0 (για > ) και Var ( T ) (για > ). Για τη καταομή t υπάρχου πίακες που δίου για διάφορες τιμές του α και του, τα άω α -ποσοστιαία σημεία της, τα οποία συμβολίζοται με t ή με t (α ). Όπως φαίεται και στο Σχήμα 7.3.4, α μια τυχαία μεταβλητή Τ ακολουθεί τη καταομή t, δηλαδή α T ~ t, τότε το t ; α είαι εκείη η τιμή της Τ για τη οποία ισχύει P T > t ) α, ή ισοδύαμα, P T t ) α. ( ; α ( ; α ; α Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σχήμα 7.3.4 Όπως στη καοική καταομή, λόγω συμμετρίας της γραφικής παράστασης της συάρτησης πυκότητας της t, προφαώς ισχύει ότι: t ; α t ; a (δες Σχήμα 7.3.5). Σχήμα 7.3.5 Έτσι, για παράδειγμα, α μας εδιαφέρει το ποσοστιαίο σημείο t 8;0. 90, παρότι αυτό δε δίεται στο πίακα που υπάρχει στο Παράρτημα Ι, η τιμή του προκύπτει από τη σχέση t t. 397 αφού από το πίακα έχουμε ότι t. 397. 8;0.90 8;0.0 8 ;0.0 Άσκηση 7.: Χρησιμοποιείστε το πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής για α επαληθεύσετε ότι η τελευταία γραμμή του πίακα της καταομής t δίει της τιμές τω ατίστοιχω άω α -ποσοστιαίω σημείω της τυποποιημέης καοικής καταομής, δηλαδή, τα ατίστοιχα z α. Γιατί συμβαίει αυτό; 7.3.3 Η καταομή F Έστω S και S m δύο αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές οι οποίες ακολουθού τις καταομές χ και χ m ατίστοιχα. Τότε, η καταομή της τυχαίας μεταβλητής S m S F S m m S m οομάζεται καταομή F με και m βαθμούς ελευθερίας (F-dstrbuton) και συμβολίζεται με F, m. Όπως και για της καταομές χ και t, πρόκειται για οικογέεια καταομώ. Για κάθε τιμή του και κάθε τιμή του m παίρουμε μια άλλη F, m καταομή. Επίσης, είαι φαερό ότι μια τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί μια F, m καταομή δε παίρει αρητικές τιμές. Στο Σχήμα 7.3.6 φαίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας της F, m για διάφορες τιμές τω και m. Παρατηρείστε ότι όσο αυξάοται οι βαθμοί ελευθερίας και m τόσο η (θετική) ασυμμετρία της γραφικής παράστασης της συάρτησης πυκότητας της F, m μειώεται. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5

Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σχήμα 7.3.6 Αποδεικύεται ότι η μέση τιμή και η διακύμαση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ που ακολουθεί τη καταομή ~ F ) είαι ατίστοιχα F, m ( X, m m E ( X ) (για m > ) και m Παρατηρείστε ότι η μέση τιμή της m του παραομαστή. m ( + m ) Var( X ) ( m ) ( m 4) (για m > 4 ). F, m εξαρτάται μόο από της βαθμούς ελευθερίας Όπως για τις καταομές χ και t που παρουσιάσαμε προηγουμέως, έτσι και για τη καταομή F με και m βαθμούς ελευθερίας έχου δημιουργηθεί πίακες που δίου για διάφορες τιμές του α, του και του m, τα άω α -ποσοστιαία σημεία της, τα οποία συμβολίζοται με F,m; α ή με F, m ( α). Όπως φαίεται και στο Σχήμα 7.3.7(α), α μια τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη καταομή F, m, δηλαδή α X ~ F, m, τότε το F,m; α είαι εκείη η τιμή της Χ για τη οποία ισχύει P X > F ) α, ή ισοδύαμα, P X ) α. (,m; α ( F,m ; α Έτσι, από το πίακα που υπάρχει στο Παράρτημα Ι παίρουμε, για παράδειγμα, F 4.8, F 4. 06 και F 3.. 6,6;0.05 0,6;0.05 6,0;0.05 Τέλος, ααφέρουμε ότι εύκολα 0 (δες Σχήμα 7.3.7(β)) μπορεί α αποδειχθεί ότι, F F, m ; α m, ; α. (α) Σχήμα 7.3.7 (β) Έτσι, α για παράδειγμα, θέλουμε τη τιμή F 6,0;0. 95, εώ αυτή δε δίεται από τους πίακες που συήθως υπάρχου στα βιβλία Πιθαοτήτω και Στατιστικής, μπορούμε α τη υπολογίσουμε με βάση τη προηγούμεη σχέση ως εξής: F F F 4.06 0.46. 6,0;0.95 6,0; 0.05 0,6;0. 05 0 Α X ~ F τότε, m X ~ F. Άρα, m, P ( X F, m; α ) α P( X F, m; α ) α και επομέως από το ορισμό τω άω α -ποσοστιαίω σημείω προκύπτει η ζητούμεη σχέση (αφού X ~ F ). m, Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/ Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6