ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ / Λ, ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η Μηχανική, εκτός απο θεωρητικός, είναι και εφηρµοσµένος κλάδος της Φυσικής. Αποτελεί την ραχοκοκαλιά της σύγχρονης Μηχανολογίας και διαιρείται σε τρείς ενότητες: Την Στατική (µελετάει τις δυνάµεις και την ισορροπία των σωµάτων) Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα) Την υναµική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων σε συνδιασµό µε τις δυνάµεις που ενεργούν πάνω τους) 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Τα φυσικά µεγέθη ανάλογα µε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους, διακρίνονται σε: Εποµένως, απαιτείται για: Μονόµετρα ιανυσµατικά Τανυστικά (ορίζονται µε το µέτρο τους) (ορίζονται µε το µέτρο τους (ορίζονται µε το µέτρο τους, την κατεύθυνση και και την κατεύθυνση) την χωρική οµοιογένεια συµπεριφοράς του µέσου) Τα µονόµετρα Ανάλυση Τα διανυσµατικά ιανυσµατική ανάλυση Τα τανυστικά Τανυστική ανάλυση Για το επίπεδο της µελέτης µας της Μηχανικής θα µελετήσουµε τα δυο πρώτα χαρακτηριστικά. Το τρίτο (τα τανυστικά µεγέθη) ξεφεύγει απο τα εισαγωγικά όρια του µαθήµατος και δεν θα µελετηθεί 2
ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Τα µονόµετρα µεγέθη χαρακτηρίζονται µόνο απο το µέτρο τους. ηλαδή: Μέτρο φυσικού µεγέθους = (αριθ/κή τιµή) (µονάδα µετρήσεως) πχ πίεση: p = 2,3 Pa θερµοκρασία: θ = 15 ο C ροπή αδράνειας: I = 0,26 kg m 2 κτλ Χρησιµοποιούµε απλή άλγεβρα [πχ ( + 25 o C) + ( 5 o C) = + 20 o C ] Χρησιµοποιούµε ανάλυση (παραγώγους και ολοκληρώµατα) πχ Η παροχή νερού (Q) δίνεται απο την σχέση: Q= dv dt το έργο που παράγει ενα έµβολο µηχανής απο την θέση 1 στην θέση 2 είναι: W 2 = 1 p dv 3
ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Τα διανυσµατικά µεγέθη χαρακτηρίζονται απο το µέτρο τους και την κατεύθυνση, σε αντίθεση µε τα µονόµετρα 4
Ένα διανυσµατικό µέγεθος παριστάνεται µε ένα βέλος, το µήκος του οποίου είναι ανάλογο του µέτρου του. 5
Ένα απο τα δυο βασικά διανυσµατικά µεγέθη σε όλη την Μηχανική είναι η µετατόπιση. Το άλλο είναι η δύναµη. Πρέπει να τονιστεί ότι η απόσταση είναι µονόµετρο µέγεθος, ενώ η µετατόπιση είναι διανυσµατικό. 6
Πράξεις µε διανύσµατα ΠΡΟΣΘΕΣΗ Η πράξη της πρόσθεσης στα διανύσµατα προέρχεται απο µια βασική ιδιότητα της µετατόπισης, η οποία φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 7
Η πρόσθεση δύο διανυσµάτων E και D φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 8
ΑΦΑΙΡΕΣΗ Η πράξη της αφαίρεσης δυο διανυσµάτων ανάγεται στην πρόσθεση, σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα: 9
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ο πολ/σµός διανυσµάτων έχει τρείς µορφές: 1) Πολ/σµός διανύσµατος επί πραγµατικό αριθµό 2) Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων, και 3) Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1] Πολ/σµός διανύσµατος επί πραγµατικό αριθµό 10
2] Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Εστω δύο διανύσµατα A και B 11
3] Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Εστω δύο διανύσµατα A και B A B= ( AB sin α ) n n 12
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Όταν θέλουµε να γράψουµε γεωµετρικά σχήµατα µε µορφή εξισώσεων, χρησιµοποιούµε άξονες συντεταγµένων. Υπάρχουν πολλών ειδών άξονες. Εµείς εδώ θα χρησιµοποιήσουµε µόνο ορθογώνιους άξονες ή Καρτεσιανούς άξονες 13
Στα κατωτέρω σχήµατα φαίνεται: 1) η ανάλυση του διάνυσµατος θέσεως ( ) και 2) η ανάλυση ενός τυχαίου διανύσµατος ( A ) σε δυο και τρείς διαστάσεις αντίστοιχα: r 14
Παραδείγµατα γραφής ανάλυσης διανυσµάτων 15
Οι Καρτεσιανές συνιστώσες ενός διανύσµατος είναι: 16
Στην περίπτωση (β), αν θεωρίσουµε την γενική µορφή της γωνίας (θ) τότε έχουµε: 17
i, j, k Τα µοναδιαία διανύσµατα ( ) 18
Πρόσθεση µε άξονες: 19
Το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων. Έστω δυο διανύσµατα ( A ) και ( B ): 20
Εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων. Έστω δυο διανύσµατα ( A ) και ( B ): 21
Άξονες σε κλίση και αυθαίρετες κατευθύνσεις 22