ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"

Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων είναι n=1/, να δείξετε ότι αν αφαιρεθεί το υποστήριγµα Γ η στεφάνη σε κάποια θέση πριν η ευθεία ΑΚ γίνει οριζόντια, αρχίζει να ολισ θαίνει πάνω στο υποστήριγµα Α. Δίνεται η γωνία φ=π/6. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι µετά την αφαίρεση του υποστηρίγµατος Γ η στεφάνη σε πρώτο στάδιο στρέφεται περί το σηµείο επαφής Α µε το αριστερό υποστήριγµα χωρίς να ολισθαίνει πάνω σ αυτό και ότι κάποια στιγµή επίκειται η ολίσθησή της σε µια θέση όπου η ευθεία ΑΚ σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία θ (θ>θ. Η στεφάνη στην θέση αυτή δέχεται το βάρος της w και την δύναµη επαφής από το υποστήριγµα Α που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T " που είναι εφαπτοµενική της στεφάνης (σχ.. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της στεφάνης στην θέση αυτή τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την ακτι νική και κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση της τροχιάς του, παίρνουµε τις σχέσεις: mg"#$ - N = ma K * mg%µ$ - T & = ma ( + N = mg"#$ - mv /R T %& = mgµ$ - ma ( + *, + (1 Σχήµα 1 Σχήµα όπου a K η κεντροµόλος και a η επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου µάζας της στεφά νης. Εξάλλου αν είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της στεφάνης, ο θεµελιώ δης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει την σχέση: mgrµ" = I A # mgrµ" = ( mr + mr #

gµ" = R# a = g"µ# / ( Aκόµα, συµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου για την στεφάνη κατά την περιστροφή της από την αρχική θέση της στην θέση όπου επίκειται η ολίσθησή της, παίρνουµε την σχέση: I A / - 0 = mg( R"#$% - R"#$& mr / = mgr ("#$% - "#$& v = gr ("#$ - "#% (3 Oι σχέσεις (1 λόγω των ( και (3 γράφονται: N = mg"#$ - mgr ("#% - "#$ T & = mg(µ$ - mg(µ$ / Όµως ισχύει και η σχέση: + *, + N = mg( "#$ - "#% T & = mg(µ$ / + *, + (4 (4 T " = nn mgµ" / = nmg( #$%" - #$%& µ" = n( #$%" - #$%& µ" = #$%" - 3 / µ" + 3 = 4#$%" 4µ " + 4 3µ" + 3 = 16#$% " 0µ " + 4 3µ" - 13 = 0 (5 H (5 είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς ηµθ και έχει δύο πραγµατικές ρίζες που είναι ετερόσηµες. Δεκτή η θετική ρίζα: µ" = -4 3 + 48 + 80#13 40 = - 3 + 17 10 Επειδή 1 < - 3 + 17 < 1, θα είναι 10 6 < " < που σηµαίνει ότι η γωνία θ είναι αποδεκτή, δηλαδή η αρχική παραδοχή ότι υπάρχει θέση της στεφάνης στην οποία επίκειται η ολίσθησή της πριν η ευθεία ΑΚ γίνει οριζόντια είναι σωστή. P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m κινεί ται ώστε τα άκρα της Α και Β να ολισθαίνουν χωρίς τριβή επί δύο καθέτων επιπέδων που είναι ισοκεκλιµένα ως προς τον ορίζοντα. Εάν η ράβδος παρα µένει συνεχώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, να εκφράσετε την γωνιακή της ταχύτητα και την γωνιακή της επιτάχυνση σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η ράβδος µε την οριζόντια διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση

g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL /1 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: Η ράβδος ΑΒ εκτελεί επίπεδη κίνηση που ισοδυναµεί µε γνήσια περιστροφή αυτής περί στιγµιαίο άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο κίνησης και διέρχεται από το εκάστοτε στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ. Το Κ κάθε στιγµή προκύπτει ως τοµή των καθέτων ευθειών στα διανύσµατα των των ταχυτήτων των άκρων Α και Β της ράβδου (σχ. 3 είναι δε σηµείο που µετακινείται διαγράφωντας κυκλικό τόξο κέντρου Ο και ακτίνας ίσης µε το µήκος L της ράβδου. Επίλέγουµε ένα σηµείο της επέκτασης της ράβδου που κάθε στιγµή ταυτίζεται µε το Κ και εφαρµόζουµε για την ράβδο το γενι κευµένο θεώρηµα µεταβολής της στροφορµής, θεωρώντας την στροφορµή της ράβδου περί το Κ, οπότε θα έχουµε την σχέση: d L (K = " (K - ( m v # v K (1 Σχήµα 3 όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου και v K η ταχύτητα µετατόπισης του Κ. Όµως κάθε στιγµή τα διανύσµατα m v και v K είναι οµόρροπα µεταξύ τους, ως κάθετα στην ευθεία ΚΟ, που σηµαίναι ότι το εξωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν, οπότε η σχέση (1 παίρνει την µορφή: d L (K = " (K ( Εξάλλου η στροφορµή L (K της ράβδου περί το Κ είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορ µή του κέντρου µάζας της, συν την στροφορµή της ράβδου περί το κέντρο της, δη λαδή ισχύει η σχέση: ( v + I L (K = K m " (3 όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγµή t που την εξατάζουµε. Όµως για την ταχύτητα v ισχύει:

( v = " K οπότε η (3 γράφεται: [ ( ] + ml L (K = K m " K 1 k d# όπου dθ η γωνία στροφής της ράβδου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ και k το κάθετο επί το επίπεδο κίνησης µοναδιαίο διάνυσµα του οποίου η φορά είναι συµβατή µε την φορά κατα την οποία η γωνία θ αυξανεται (σχ. 3. Όµως ισχύει θ=π/4+φ, όπου φ η γωνία της ράβδου µε την οριζόντια διεύθυνση την χρονική στιγµή t, οπότε dθ=dφ και η σχέση (3 γράφεται: [ ( ] + ml L (K = K m " K 1 k d# To δισεξωτερικό γίνοµενο που παρουσιάζεται στην σχέση (4 υπολογίζεται µέσω της διανυσµατικής ταυτότητας: [ Km ( " K ] = m ( K#K " - m( K# " K = m K " - m( K# " K (5 Όµως τα διανύσµατα K και είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν ενώ ακόµη ισχύει K = L/ και εποµένως η (5 γράφεται: Km " [ ( K ] = ml " 4 = ml 4 k d# Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4 και (5 παίρνουµε: L (K = ml 4 k d + ml 1 k d = ml 3 k d η οποία παραγωγιζόµενη ως προς τον χρόνο t δίνει: d L (K = ml k d 3 (7 Εξάλλου η συνολική ροπή περι το Κ όλων των δυνάµεων που δέχεται η ράβδος είναι: " (K = " " F A (K + F B (K + " m ( = mg K $µ% (- ( g (K = 0 + 0 + K#m g " (K = K#m g k = - mgl$µ% k (8 διότι οι ροπές περί το Κ των δυνάµεων επαφής F A και F B που δέχεται η ράβδος από τα επίπεδα πάνω στα οποία ολισθαίνουν οι άκρες της Α και Β είναι µηδενικές, αφού οι (4 (4 (6

φορείς των δυνάµεων αυτών διέρχονται από το Κ, ενώ εύκολα διαπιστώνεται ότι η γωνία των διανυσµάτων K και m g είναι ίση µε φ. Η βασική σχέση ( λόγω των (7 και (8 παίρνει την µορφή: ml 3 k d = - mgl"µ k d = - 3g"µ L (9 H (9 παρέχει την γωνιακή επιτάχυνση (αλγεβρική τιµή της ράβδου σε συνάρτηση µε την γωνία φ. Πολαπλασιάζοντες και τα δύο µέλη της (9 µε dφ/ παίρνουµε: d d = - 3g"µ L d d " d % $ # & = - 3g(µ L d " d d % $ # & = - 3g L (µd " d % $ # & = 3g (* + + (10 L όπου λ σταθερά ολοκληρώσεως που θα προσδιορισθεί από τις αρχικές συνθήκες κινήσε ως της ράβδου. Αν δέχθούµε ότι την χρονική στιγµή t=0 είναι φ(0=φ 0 και ω(0=0, τότε από την (10 θα έχουµε: 0 = 3g L "#$ 0 + % = - 3g L "#$% 0 και η (10 γράφεται: " d % $ # & = 3g L (* - 3g L (* = 3g 0 ( L (* -(* 0 (11 H (11 επιτρέπει τον υπολογισµό της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου σε συνάρτηση µε την γωνία φ. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (4 η οµογενής λεπτή ράβδος ΑΒ έχει µήκος L και µάζα m συγκρατείται δε ώστε το άκρο της Α να εφάπτεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο, ενώ εφάπτεται και σε λείο σκαλοπάτι του οποίου το ύψος είναι τέτοιο, ώστε η κλίση της ράβδου ως προς το δάπεδο να είναι φ=π/6 η δε απόσταση Ο ίση µε L/6. Να δείξετε ότι την στιγµή t=0 που η ράβδος αφήνεται ελευθερη, τα µέτρα των δυνάµεων στήρι ξης N και Q που δέχεται η ράβδος από το έδαφος και το σκαλοπάτι αντι στοίχως, ικανοποιούν την σχέση: & Q g"#$ = m + %L ( + "#$ + N 6 * m "#$ όπου η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου κατά την εκκίνησή της και g η

επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eάν a, a O είναι οι επιταχύνσεις του κέντρου µάζας της ράβδου και του σηµείου στήριξής της Ο στο σκαλοπάτι αντιστοίχως την στιγµή t=0 που η ράβδος αφή νεται ελεύθερη, θα ισχύει η σχέση: a O = a - (O + ( "O = a + ( "O (1 όπου η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, ενώ η γωνιακή της ταχύτητα την στιγµή t=0 είναι µηδενική. Η σχέση (1 µπορεί να πάρει την µορφή:. a Ox i + a Oy j = ax i + a y j + 0 / ( "* - L#$%& 6 i + Lµ& 6 + 1 j - 3, και Σχήµα 4 Σχήµα 5 L a Ox i + a Oy j = ax i + a y j + - k " 6 [ ( i #$%& + ( k " j µ& ] L a Ox i + a Oy j = ax i + a y j + 6 a Ox i + a Oy j = $ & % ax + L"µ# 6 ( - j "#$% + i &µ% $ i + a y - L*+,# & ( % 6 ( j a Ox = a x + L"µ# / 6 ( a Oy = a y - L"#$% / 6 (3 όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως. Όµως το διάνυσµα a O έχει φορέα την ράβδο και εποµένως είναι κάθετο στον φορέα της δύναµης στήριξης Q που δέχεται η ράβδος από το σκαλοπάτι, που σηµαίνει ότι το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a O και Q είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: ( = 0 a Ox Qµ" + a Oy Q#$%" = 0 a O Q (,(3

( a x + L"µ# / 6"µ# + ( a y - L$%&# / 6$%&# = 0 (4 Εξάλλου ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα δίνει την χρονική στιγµή t=0 για την κίνηση του κέντρου µάζας της ράβδου τις σχέσεις: Qµ" = ma x & -mg + N + Q#$%" = -ma y ( όπου a = Qµ"/m x a y = g - N/m + Q#$%" / m N η κατακόρυφη δύναµη στήριξης που δέχεται η ράβδος από το έδαφος και m g το βάρος της. Η σχέση (4 λόγω των (5 γράφεται: ( Qµ"/m+#Lµ" / 6µ"+ ( g-n/m+q$%&" / m-#l$%&" / 6$%&" = 0 ( + &L ("# $ - %µ $ + N m "#$ g"#$ = Q m "# $ - %µ $ 6 & ( (5 g"#$ = Q"#$ m + %L"#$ 6 + N m "#$ & Q g"#$ = m + %L ( + "#$ + N 6 * m "#$ P.M. fysikos Oµογενής κυκλική στεφάνη ακτίνας R εφάπτεται δια της κοίλης πλευράς της µε την παράπλευρη επιφάνεια ένος σταθερού κυλίνδρου ακτίνας r<r, του οποίου ο άξονας είναι οριζόντιος. Η στεφάνη εκτρέπεται από την θέση ισορροπίας της κατά γωνία φ 0 και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη. Με την προυπόθεση ότι η στεφάνη κυλίεται επί της επιφάνειας του κυλίνδρου να βρείτε: i την διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση της στεφάνης και να δείξετε ότι η κίνηση αυτή είναι αρµονική ταλάντωση στην περίπτωση µικρής εκτροπής της στεφάνης και ii την συνθήκη που εξασφαλίζει την κύλιση της στεφάνης. Δίνεται ο συντε λεστής οριακής τριβής n µεταξύ στεφάνης και κυλίνδρου και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i H στεφάνη εκτελεί επίπεδη κίνηση σε επίπεδο που είναι κάθετο στον οριζόντιο σταθερό άξονα του κυλίνδρου. Η κίνηση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως επαλλη λία δύο κινήσεων: α µιας µεταφορικής κίνησης κατά την οποία το κέντρο µάζας της στεφάνης διαγρά φει κυκλικό τόξο κέντρου Ο και ακτίνας R-r, όπου Ο το σηµείο τοµής του άξονα του κυλίνδρου και του επιπέδου της στεφάνης και

β µιας περιστροφικής κίνησης περί άξονα που διέρχεται από το και είναι κάθετος στο επίπεδο της στεφάνης. Επειδή η στεφάνη κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στην επιφά νεια του κυλίνδρου, η ταχύτητα του σηµείου επαφής Α κυλίνδρου-στεφάνης στο σύστηµα αναφοράς του κυλίνδρου είναι µηδέν, δηλαδή κάθε στιγµή ισχύει η σχέση: v A = 0 v + ( " A = 0 (1 Σχήµα 6 όπου v η ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης και η γωνιακή της ταχύτητα περι το κέντρο. Όµως για την ταχύτητα v ισχύει και η σχέση: v = ( " O = [ " (R - r e r ] ( όπου η γωνιακή ταχύτητα του κέντρου περί το Ο και e r το µοναδιαίο ακτινικό του διάνυσµα. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1 και ( παίρνουµε: [ " (R-r e r ] + [ "(-R e r ] = 0 (R-r( " e r - R( " e r = 0 [(R - r - R ] " e r = 0 (R - r = R = (R - r / R (3 δηλαδή οι γωνιακές ταχύτητες και είναι οµόρροπες. Εξετάζοντας την στεφάνη κατά µια τυχαία στιγµή t που το µοναδιαίο διάνυσµα e r σχηµατίζει µε την κατακόρυ φη διεύθυνση γωνία φ παρατηρούµε ότι η στεφάνη δέχεται το βάρος της m g και την δύναµη επαφής από τον κύλινδρο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και την στατική τριβή T. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της στεφάνης τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση της τροχιάς του παίρνουµε την σχέση: mgµ" - T = m(dv / mgµ" -T = m(r-rd# / mgµ" -T = m(r-rd # / (4 Την ίδια στιγµή ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει για την στεφάνη την σχέση: TR = I d / TR = mr d / (3

T = mr R - r $ # & " R % d = m ( R - r d ( (5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4 και (5 παίρνουµε: mgµ" -m( R - r d # = m ( R - r d # ( R - r d + g"µ# = 0 d + g"µ# R - r ( = 0 (6 H (6 είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως που περιγράφει την κίνηση της στεφάνης και η οποία δεν λύεται αναλυτικά, αλλα µόνο µε αριθµητική µέθοδο µέσω κατάλληλου µαθηµατικού προγράµµατος που τρέχει σε ένα καλό υπολο γιστή. Στην περίπτωση που η αρχική γωνιακή εκτροπή φ 0 της στεφάνης από την θέση ισορροπίας της είναι πολύ µικρή, τότε η (6 µε ικανοποιητική προσέγγιση γράφεται: d + g" R - r ( = 0 d + " # = 0 µε = g ( R - r (7 Η (7 εκφράζει ότι στην περίπτωση µικρής εκτροπής της στεφάνης η κίνησή της είναι περίπου αρµονική στροφική ταλάντωση µε περίοδο T * που δίνεται από την σχέση: ( T * = " = R - r g (8 Σχήµα 7 ii Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της στεφάνης τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα κατά την ακτινική διεύθυνση της τροχιάς του παίρνουµε την σχέση: N - mg"#$ = m(r - r% N = m[g"#$ + (R - r% ] (9 Εξάλλου το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας της στεφάνης κατά την κίνησή της από την αρχική της θέση φ 0 στην τυχαία θέση φ δίνει: U( 0 + K( 0 = U( + K(

-mg(r - r"#$ 0 + 0 = -mg(r - r"#$ + I % / + mv / (3 mg(r - r("#$ - "#$ 0 = mr % / + m(r - r% / g(r - r("#$ - "#$ 0 = (R - r % / + (R - r% / g("#$ - "#$ 0 = (R - r% (10 H (9 λόγω της (10 γράφεται: N = m[g"#$ + g("#$ - "#$ 0 ] N = mg("#$ - "#$ 0 (11 Για να κυλίεται η στεφάνη χωρίς ολίσθηση πρέπει να ισχύει: T n N (11 T nmg("#$% - "#$% 0 (1 Όµως για το µέτρο της τριβής T, σύµφωνα µε την σχέση (5, έχουµε: T = m( R - r d (6 οπότε η (1 γράφεται: T = m( R - r gµ" ( = mgµ" R - r (13 mgµ" / # nmg($%& - $%& 0 µ" # n($%& - $%& 0 και επειδή φ φ 0, η πιο πάνω σχέση ικανοποιείται αρκεί να ισχύει: µ" 0 # n($%&" 0 - $%&" 0 µ" 0 /#$%" 0 & n "# 0 $ n P.M. fysikos Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/, της οποίας το κέντρο O βρίσκεται σε απόσταση R/ από το κέν τρο K του δίσκου. Ο δίσκος κρατείται εφαπτόµενος σε µη λείο κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε την ευθεία ΚO παράλληλη προς το επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήµα (8 και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερος. Με την προυπόθεση ότι ο δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου να βρείτε την επιτάχυνση εκκίνησης του κέντρου του Κ. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ότι η ροπή αδράνειας κυκλι κού δίσκου µάζας Μ και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του, είναι ίση µε ΜR /. ΛΥΣΗ: i Η δηµιουργία κυκλικής οπής στον δίσκο ισοδυναµεί µε µετατόπιση του κέντρου µάζας του από το γεωµετρικό του κέντρο Κ στην θέση που βρίσκεται στην προεκταση της ΟΚ προς το µέρος του Ο και απέχει από αυτό απόσταση r, η οποία σύµφωνα µε τον ορισµό του κέντρου µάζας υπολογίζεται από την σχέση:

( M - m 0 r = m R 0 + M0 r = Rm 0 (M - m 0 (1 όπου m 0 η µάζα που αφαιρέθηκε από τον δίσκο µε την δηµιουργία της οπής. Η µάζα αυτή υπολογίζεται µε βάση το γεγονός ότι η µάζα Μ του δίσκου χωρίς την οπή αντι στοιχεί σε εµβαδόν πr, ενώ η µάζα m 0 αντιστοιχεί σε εµβαδόν πr /4, οπότε θα έχουµε: M m 0 = R R /4 m 0 = M 4 ( Σχήµα 8 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1 και ( παίρνουµε: r = RM/4 (M - M/4 = R 6 Την στιγµή που ο δίσκος αφήνεται ελευθερος δέχεται το βάρος του m g και την δύνα µη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή για τον δίσκο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: " ( =I # N(K + TR + mg0 = I " NR / 6 + TR = I (4 όπου η γωνιακή επιτάχυνση εκκίνησης του δίσκου και Ι η ροπή αδράνειάς του ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του. Εξάλ λου την ίδια στιγµή ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για το κέντρο µάζας του δίσκου τις σχέσεις: mg x - T = ma x " mg y - N = ma y # T = ma x - mgµ" & N = ma y - mg#$%" ( όπου a x, a y οι συνιστώσες της επιτάχυνσης εκκίνησης a του κέντρου µάζας του δίσκου κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων x και y αντιστοίχως. Όµως η (3 (5

επιτάχυνση a συνδέεται µε την αντίστοιχη επιτάχυνση a K του γεωµετρικού κέντρου Κ του δίσκου µέσω της σχέσεως: ( = a = a K - K + " K ( (6 a K + " K όπου η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι µηδενική κατά την εκκίνησή του. Εάν i, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x και y αντιστοίχως και k το µονα διαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης του δίσκου, η σχέση (6 γράφεται: ( a x a x i + a y j = ak i + k " R i / 6 i + a y j = ak i + R k " i ( / 6 a x i + a y j = ak i + R j / 6 a x i + a y j = ak i + a K j / 6 (7 όπου λόγω της κυλίσεως του δίσκου τέθηκε a K =ω R. Aπό την (7 προκύπει a x =a K και a y =a K /6, οπότε οι σχέσεις (5 γράφονται: T = ma K - mgµ" N = ma K /6 - mg#$%" oι οποίες συνδυαζόµενες µε την (3 δίνουν: & ( ( ma K /6 - mg"#$ R / 6 + ( ma K - mg%µ$ R = I & m( a K /6 - g"#$ R / 6 + m( a K - g%µ$ R = I & 3M 4 % a K & 6 - g"#$ ( * R 6 + 3M ( 4 a K - g+µ$ R = I, (8 Όµως η ροπή άδράνειας Ι του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο (Δ µάζας Α είναι ίση µε την αντίστοιχη ροπή αδράνειας Ι του συµπαγούς δίσκου µάζας Μ αν από αυτήν αφαιρέσουµε την αντίστοιχη ροπή αδράνειας Ι (Ο της µάζας Μ/4 αν αυτή κάλυπτε την οπή, δηλαδή ισχύει: I = I ( - I (O (9 Εξάλλου το θεώρηµα του Steiner επιτρέπει να γράψουµε τις σχέσεις: και ( I = MR + Mr = MR + M " R % $ # 6& I (O = 1 M 4 R$ # & " % + M 4 r + R $ # & " % = 19MR 36 = MR 3 + M 4 R 6 + R $ # & " % (10 I (O = MR 3 + MR 9 = 41MR 88 (11

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (9, (10 και (11 παίρνουµε: I = 19MR 36-41MR 88 = 111MR 88 (1 Η (8 λόγω της (1 γράφεται: 3M 4 % a K & 6 - g"#$ ( * R 6 + 3M ( 4 a - g+µ$ K R = 111MR, 88 3 4 % a K & 6 - g"#$ ( * + 3 4 a - g+µ$ K ( = 111R, 88 % 36 a K & 6 - g"#$ ( * + 16 a K - g+µ$ ( =111a K 6a K - 36g"#$ + 16a K - 16g%µ$ =111a K a K = 36g ("#$ + 6%µ$ /111 P.M. fysikos