Міністэрства адукацыі Рэспублікі Беларусь Установа адукацыі Беларускі дзяржаўны педагагічны ўніверсітэт імя Максіма Танка І. М. Гуло, Э. У. Шалік, А. К. Ражко Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай Вучэбна-метадычны дапаможнік Мінск 0
УДК ББК Г Друкуецца па рашэнні рэдакцыйна-ведавецкага савета БДПУ Рэцэнзенты: кафедры тэорыі функцый Беларускага дзяржаўнага універсітэта; кандыдат фізіка-матэматычных навук, дацэнт кафедры фізікі і вышэйшай матэматыкі Міжнароднага дзяржаўнага экалагічнага універсітэта імя А. Д. Сахарава, М. У. Шчукін. Гуло, І.М. Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай:вучэб.-метад. дапам. / І. М. Гуло, Э. У. Шалік, А. К. Ражко. Мінск: БДПУ, 0. 9 с. ISBN У дапоможніку змешчаны канспект лекцый па раздзеле «Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі адной зменнай», тэарэтычныя і практычныя заданні. Частка матэрыялаў аформлены ў выглядзе модуляў. Даюцца адказы на заданні для самакантролю. Прыведзены прыблізныя варыянты кантрольных работ з узорам развязання нулявога варыянта. Адрасуецца студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных ВНУ. І. М. Гуло, Э. У. Шалік, А. К. Ражко, 0 ISBN БДПУ, 0
Вучэбнае выданне Гуло Ірына Мікалаеўна Шалік Эла Уладзіміраўна Ражко Алена Канстанцінаўна Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай Рэдактар Вучэбна-метадычны дапаможнік Тыраж Заказ
ПРАДМОВА Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнік напісаны для студэнтаў матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў і складаецца з дзвюх частак. Яго змест адпавядае тыпавой праграме матэматычнага аналізу, зацверджанай Вучэбна-метадычным аб яднаннем ВНУ Рэспублікі Беларусь па педагагічнай адукацыі. Першая частка гэта канспект лекцый па раздзеле «Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі адной зменнай». Праца над канспектам лекцый павінна праводзіцца з выкарыстаннем матэрыяла другой часткі метадычных рэкамендацый. Тэарэтычны і практычны матэрыял другой часткі аформлены ў выглядзе модуляў, што дазваляе сцісла і кампактна забяспечыць самастойную працу студэнтаў. Модуль з яўляецца індывідуальнай праграмай, у якой пералічаны мэты, прыведзены план дзеяння, змяшчаецца неабходная інфармацыя і ўказанні па вывучэнні матэрыяла, выкананні самакантролю, самааналізу і самаацэнкі. Увогуле праграма курса Матэматычны аналіз складаецца з сямі блокаў: Уводзіны ў аналіз, Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай, Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай, Шэрагі, Асноўныя структуры матэматычнага аналізу, Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных, Інтэгральнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных. У вучэбна-метадычным дапаможніку змешчаны блок «Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі адной зменнай». Блок складаецца з наступных частак: Уваход у блок, М-0. Уводзіны ў блок, М-. Вытворная і дыферэнцавальнасць сапраўднай функцыі адной сапраўднай зменнай, М-. Асноўныя тэарэмы дыферэнцавальнага злічэння сапраўднай функцыі адной сапраўднай зменнай і інш., завяршаецца спецыяльнымі модулямі М-Р. Рэзюмэ абагульненне, М-К. Выніковы кантроль па блоку. Ва Уваходзе ў блок указана, якія заданні трэба выканаць і на якія
пытанні трэба адказаць, каб пачаць вывучэнне блоку. Частка М-0. Уводзіны ў блок змяшчае інфармацыю аб курсе матэматычнага аналізу ўвогуле і характарыстыку значэння блоку Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай у сістэме курса. Змест кожнага модуля падзелены на кампаненты вучэбныя элементы ВЭ-, ВЭ- і інш.. У кожным вучэбным элеменце асветлены асноўныя праблемы, вядучыя ідэі, вызначаны мэты. Спецыяльныя элементы Уваход у модуль, ВЭ-0. Уводзіны ў модуль, ВЭ-Р. Абагульненне, ВЭ-К. Выніковы кантроль па модулі забяспечваюць завершанасць і этапнасць у навучанні, дазваляюць здзейсніць самакантроль па атрыманых ведах, уменнях і навыках. Наяўнасць самакантролю па кожным вучэбным элеменце дазваляе ацаніць свае веды. Праверыць правільнасць выкананых заданняў можна па адказах, якія прыведзены ў канцы дапаможніка. Дадатак вучэбна-метадычнага дапаможніка змяшчае чатыры прыблізныя варыянты кантрольных работ, узор развязання нулявога варыянта і прыкладны пералік пытанняў да экзамену. Матэрыял лічыцца засвоеным, калі студэнт пройдзе выніковы кантроль па кожным модулі, паспяхова выканае кантрольную работу і здасць экзамен па дадзеным раздзеле. У дапаможніку выкарыстаны распаўсюджаныя сімвалы матэматычнай логікі і лагічныя аператары,,,,,. Для зручнасці карыстання чытача тэкст, якім распачынаецца і завяршаецца доказ тэарэм, паказаны значкамі і адпаведна. Прапанаваная структура вучэбна-метадычнага дапаможніка прадугледжвае мэтапалаганне вывучаемай тэмы і з яўляецца адным з варыянтаў арганізацыі самастойнай работы студэнтаў. Спадзяемся, што ўсё гэта дапаможа навучэнцам самастойна авалодаць матэрыялам, атрымаць глыбокія і трывалыя веды па раздзеле «Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі адной зменнай». 4
ЧАСТКА Канспект лекцый. Паняцце вытворнай функцыі. Механічны і геаметрычны сэнсы вытворнай. Азначэнне вытворнай Няхай функцыя вызначана на адкрытым мностве Х і няхай 0 Х. Нададзім аргументу 0 прырост х 0 назавём яго прыростам аргумента так, што пункт 0 Х, 0. Рознасць 0 0 0 называецца прыростам функцыі у пункце 0, адпаведным прыросту аргумента, ці коратка - прырост функцыі у пункце 0. Разгледзім стасунак 0 0 0. Азначэнне. Вытворнай функцыі у пункце 0 называецца ліміт стасунку прыросту функцыі да прыросту аргумента, калі прырост аргумента імкнецца да нуля, і абазначаецца Такім чынам, 0 lim 0 0 lim 0 ' 0, y' 0. 0 0 lim 0 0 Калі ў пункце х 0 ' з'яўляецца сапраўдным лікам, то гавораць, што функцыя мае канцавую вытворную ў пункце х 0. Калі lim 0 бясконцую вытворную ў пункце 0. 0 або,, то гавораць, што функцыя мае Функцыя, якая мае канцавую вытворную ў пункце х 0, называецца 0. дыферэнцавальнай у гэтым пункце. 5
Знаходжанне вытворнай функцыі будзем называць дыферэнцаваннем. Поруч з паняццем вытворнай існуюць паняцці аднабаковых вытворных. Азначэнне. 0 lim і 00 0 lim называюцца адпаведна левай і 0 0 правай вытворнай функцыі і абазначаюцца ' 0 ' 0 0 i ' 0 ' 0 0. З тэарэмы пра ўмову існавання ліміта функцыі на мове аднабаковых лімітаў і азначэнняў і вынікае наступная Тэарэма.. Для таго, каб функцыя мела вытворную ў пункце х 0, неабходна і дастаткова, каб яна мела левую і правую вытворныя ў гэтым пункце і яны былі роўныя: ' 0 0 ' 0 0. Заўвага. Няхай функцыя дыферэнцавальная ў любым пункце 0 інтэрвала a, b, і кожнаму a, b адпавядае адзіны лік '. У гэтым выпадку функцыю ' са значэннямі ' a, b называюць вытворнай функцыі на iнтэрвале a, b. Заўвага. Функцыя называецца дыферэнцавальнай на інтэрвале a, b, калі яна дыферэнцавальная ў кожным пункце інтэрвала a, b. Функцыя называецца дыферэнцавальнай на адрэзку [a, b], калі яна дыферэнцавальная ў кожным пункце інтэрвала a, b і мае аднабаковыя канцавыя вытворныя 'b 0 і 'а 0. Прыклад. Карыстаючыся азначэннем вытворнай, знайсці вытворную функцыі R. Дзеля гэтага выканаем наступнае:. Зафіксуем лік х і нададзім аргументу прырост.. Вылічым прырост у пункце х: х.. Складзём стасунак:. 6
4.Вылічым lim 0 lim 0 ' ' R. Выснова. Функцыя, якая даследуецца, дыферэнцавальная на прамежку,, і яе вытворная '.. Механічны сэнс вытворнай Няхай матэрыяльны пункт рухаецца прамалінейна па законе st, дзе st становішча пункта на восі ў момант часу t, і няхай за час t 0 ён пройдзе шлях st 0. Тады за час t t t 0 яго шлях азначаны роўнасцю: st 0 t st 0 st 0. Сярэдняя хуткасць v змянення шляху вылічаецца па формуле: v cяр. s 0 t t s 0 t s t s 0 t s 0 t. t t t Відавочна, што значэнне v сяр. будзе тым бліжэйшае да істотнага значэння, чым меншае t. s Азначэнне. Ліміт стасунку 0 t, калі t 0, называецца імгненнай t хуткасцю пункта або хуткасцю пункта ў момант часу t 0 : s t 0 v t0 s' t0 lim. t 0 t З апошняй роўнасці вынікае, што імгненная хуткасць матэрыяльнага пункта ў момант часе t ёсць вытворная шляху па часу ў пункце t. Заўвага. Функцыі могуць быць рознай прыроды, напрыклад: плошча, аб ём, адлегласць. Менавіта таму механічны сэнс вытворнай можна сфармуляваць наступным чынам: вытворная функцыі у момант часу t ёсць імгненная хуткасць змянення функцыі ў момант часу t. Прыклад. Адзін бок прамавугольніка мае сталую велічыню a 0 см, а другі зменную, якая нарастае са сталай хуткасцю 4см/сек. З якой хуткасцю 7
павялічваюцца дыяганаль прамавугольніка і яго плошча ў той момант, калі b0см? У гэтым прыкладзе функцыямі аргумента t з яўляюцца дыяганаль і плошча прамавугольніка: с сt, s st. Даўжыня боку b таксама залежыць ад часу t і змяняецца са сталай хуткасцю v 4см/сек: b vt b 4t t b/v 0/4 сек 5/ сек момант часу, на працягу якога трэба вызначыць хуткасць змянення функцый ct i st. Знойдзем хуткасць, з якой павялічваюцца ct i st. З тэарэмы Піфагора c a b вынікае, што c t a b t c t 00 6t c t 6t 6t 00 v імгн. 5/ c'5/,8 см/сек хуткасць, з якой расце дыяганаль прамавугольніка. Плошча прамавугольніка sab st0 4t st 40t s't 40 v імгн. 5/ s'5/ 40 cм /сек хуткасць змянення плошчы.. Геаметрычны сэнс вытворнай Няхай функцыя непарыўная на мностве Х, а пункты х 0 i х 0 належаць мноству Х. Тады пункты М 0 0, 0 i M 0, х 0 належаць графіку функцыі. Прамую М 0 М называюць сечнай графіка функцыі. Відавочна, што калі мы зафіксуем пункт М 0 і будзем змяняць, то сечная будзе як бы паварочвацца вакол пункта М 0 і прыме становішча датычнай М 0 Т. Абазначым праз ϕ вугал нахілу сечнай М 0 М да дадатнага напрамку восі Ох, а праз ϕ 0 вугал нахілу датычнай М 0 Т да гэтага напрамку. З М 0 АМ 0 знойдзем tgϕ рыс.. Калі 0, то 8
0 tg ϕ 0 lim tgϕ lim ' 0. Вядома, што tgϕ 0 k дат.. Таму tgϕ 0 ' 0 0 0. Рыс. Тэарэма. Калі функцыя дыферэнцавальная ў пункце х 0, то графік функцыі мае датычную ў пункце М 0 х 0, 0, вуглавы каэфіцыент якой роўны ' 0. Азначэнне 4. Датычнай да графіка функцыі y у пункце М 0 х 0, 0 называецца прамая, вуглавы каэфіцыент якой роўны ' 0. Геаметрычны сэнс вытворнай: вытворная функцыі у пункце х 0 роўная вуглавому каэфіцыенту датычнай да графіка функцыі ў пункце М 0 o, o або тангенсу вугла нахілу датычнай у пункце М 0 0, 0 да дадатнага напрамку восі Ох. 4. Раўнанне датычнай да графіка функцыі З аналітычнай геаметрыі вядома раўнанне прамой, якая праходзіць праз пункт М 0 х 0, 0 у дадзеным напрамку: y 0 k 0. Карыстаючыся геаметрычным сэнсам вытворнай, можна сцвярджаць, што вуглавы каэфіцыент датычнай k tgϕ 0 ' 0, таму раўнанне датычнай да графіка функцыі y у пункце М 0 0, 0 мае выгляд: 9
y 0 ' 0 0. Азначэнне 5. Няхай М 0 Т датычная да графіка функцыі у пункце М 0 0, 0. Нармаллю называецца прамая М 0 N, якая проходзіць праз пункт М 0, перпендыкулярная датычнай М 0 Т. Паколькі вуглавыя каэфіцыенты ўзаемна перпендыкулярных прамых k і k задавальняюць умове k /k, то раўнанне нармалі мае выгляд: y 0 0. ' Формула атрымана з формулы з улікам умовы. Прыклад. Напісаць раўнанні датычнай і нармалі да графіка функцыі у пункце М 0,4. ' ' 4 i па формулах і маем адпаведна: y4 4 раўнанне датычнай, y 4 4 раўнанне нармалі. Для ўвядзення новых азначэнняў нам спатрэбяцца некаторыя азначэнні з папярэдніх глаў матэматычнага аналізу. Менавіта азначэнні, дадзеныя для параўнання бясконца малых функцый. Азначэнне 6. Функцыя называецца бясконца малой б.м. больш высокага парадку маласці ў пункце 0, чым б.м. функцыя g, калі мае месца роўнасць lim 0. Гэта запісваецца формулай оg, 0 o g прамаўляецца: «ёсць «о» малое ад g, калі 0». Азначэнне 7. Функцыі і g называюцца бясконца малымі аднаго парадку маласці ў пункце 0, калі мае месца роўнасць lim A 0. Гэта o g запісваецца формулай Оg, 0 прамаўляецца: «ёсць «о» вялікае ад g, калі 0». 0 0
Азначэнне 8. Функцыя, азначаная на мностве Х R, называецца дыферэнцавальнай у пункце х о Х, калі існуе такая лінейная адносна прыросту аргумента 0 функцыя А, што прырост функцыі 0 0 мае выгляд: х 0 A - х 0 o 0, калі 0, X, або ў эквівалентнай форме 0 A α, α 0, калі 0. 4 Раздзелім абедзве часткі роўнасці 4 на і пяройдзем да ліміту, калі 0: lim 0 lim 0 0 A A Па азначэнню вытворнай A. Роўнасць 4 прыме выгляд: 0 α. 5 0 α, α 0, калі 0. 6 0 Разгледзім азначэнне датычнай з другога пункта гледжання. Няхай функцыя азначана на прамежку Х, х 0 фiксаваны пункт мноства Х. Падбяром сталую с 0 так, каб яна лепей за iншых астатнiх канстант характарызавала паводзіны функцыі ў наваколлі пункта х 0, гэта значыць, каб рознасць c 0, калі 0, X, была бясконца малой у параўнанні з любой ненулявой сталай: c 0 о, калі 0, X lim c. Калі o функцыя непарыўная ў пункце х 0, то lim с 0 0. o Паспрабуем падабраць функцыю c 0 c х-х 0 так, каб мець роўнасць c 0 c х х 0 o х х 0, калі 0, X. 7 Гэты выраз раўназначы ўмове дыферэнцавальнасці функцыі ў пункце х 0 4. Пяройдзем да ліміту, калі 0 і знойдзем с : Такім чынам, мы даказалі тэарэму. c 0 lim 0. o 0 o o
Тэарэма. Непарыўная ў пункце 0 X Функцыя дапускае лінейнае прыбліжэнне 7 у тым і толькі ў тым выпадку, калі яна дыферэнцавальная ў пункце 0. Функцыя ϕ c 0 c х-х 0 8, дзе с 0 0, с 0, з яўляецца адзінай функцыяй, якая задавальняе ўмове 7. Такім чынам, функцыя ϕ 0 0 х х 0 9 дастаўляе найлепшае лінейнае набліжэнне функцыі у наваколлі пункта х 0 у тым сэнсе, што для любой іншай функцыі выгляду 7 ψ А В х х 0 рознасць ψ o х х 0, калі 0, X. Графікам функцыі 9 з яўляецца прамая, раўнанне якой мае выгляд: y 0 ' 0 0 0. Яна праходзіць праз пункт 0, 0 і мае вуглавы каэфіцыент k ' 0. Менавіта гэта прамая дастаўляе найлепшае дапушчальнае лінейнае набліжэнне функцыі y або яе графіка ў наваколлі пункта 0, 0. Менавіта таму мае месца яшчэ адно азначэнне датычнай да графіка функцыі у пункце 0, 0. Азначэнне 9. Калі функцыя азначана на мностве Х і дыферэнцавальная ў пункце х 0 X, то прамая, якая задаецца раўнаннем 0, называецца датычнай да графіка функцыі ў пункце 0, 0. Заўвага 6. Калі функцыя непарыўная ў пункце х 0 i ' 0, то графік функцыі мае вертыкальную датычную 0 у пункце М 0 0, 0, якая будзе перпендыкулярная восі Ох. Інакш кажучы, калі аднабаковыя вытворныя ў пункце х 0 бясконцыя і розныя па знаку, то існуе адзіная датычная да крывой, перпендыкулярная восі Ох.
Рыс. Заўвага 7. Калі вытворная ў пункце 0 не існуе, але аднабаковыя вытворныя існуюць, прычым ' 0 0 ' 0 0, то да крывой y можна правесці дзве аднабаковыя датычныя, якія ўтвараюць паміж сабою пэўны вугал ϕ. Прыклад 4. y. Прыклад 4. y -. Рыс.. Сувязь паміж дыферэнцавальнасцю і непарыўнасцю функцыі ў пункце Тэарэма. Функцыя дыферэнцавальная ў пункце х 0, тады і толькі тады, калі яе прырост у гэтым пункце можна ўявіць у выглядзе: 0 ' 0 α, α 0, калі 0. Для доказу карыстаемся крытэрыем існавання ліміту функцыi:
lim 0 A A α, дзе α 0, калі α 0, х0. Разгледзім ліміт 0 lim. Згодна з крытэрыем існавання ліміту ён існуе і 0 роўны канцавому ліку тады і толькі тады, калі ' 0 0 ' 0 α, дзе α 0, 0. Адсюль 0 ' 0 α. З умовы тэарэмы вынікае, што існуе канцавы 0 ліміт lim ' 0. 0 Тэарэма. Калі функцыя дыферэнцавальная ў пункце х, то яна непарыўная ў гэтым пункце. Функцыя дыферэнцавальная ў пункце х. Па тэарэме яе прырост можна запісаць у выглядзе і таму: lim 0 lim ' α 0. 0 Апошняе азначае, што функцыя непарыўная ў пункце х на падставе азначэння непарыўнасці функцыі ў пункце на мове прыростаў. Заўвага. Адваротнае сцверджанне ўвогуле памылковае, таму што існуюць функцыі непарыўныя ў пункце, але недыферэнцавальныя ў ім. Напрыклад, функцыя непарыўная ў пункце х 0, паколькі для аднабаковых лімітаў праўдзівая роўнасць: lim 00 lim 00 lim 0 0 lim 0 0 0 0. Вылічым аднабаковыя вытворныя ў гэтым пункце: 0 '0 0 lim lim, 00 00 0 '0 0 lim lim. 0 0 0 0 Паколькі '0 0 '0 0, то адсюль вынікае, што ў пункцe х 0 функцыя 4
х не мае вытворнай, гэта значыць, яна з яўляецца недыферэнцавальнай у гэтым пункце.. Правілы вылічэння вытворных Тэарэма. Калі кожная з функцый u i v дыферэнцавальная ў Du Dv, то будуць таксама дыферэнцавальныя сума, здабытак і дзель гэтых функцый для дзелі v 0, і маюць месца роўнасці: u v' u' v', u v' u'v uv', u u' v uv'. v v Докажам для здабытку. Абазначым y u v. Калі атрымлівае прырост х у пункце х, то і функцыі y, u, v атрымліваюць адпаведна прыросты y, u, v. Вядома, што для прыросту адвольнай функцыі маем. У адпаведнасці з гэтым знойдзем y uv u v u v u u v v uv uv u v v u u v uv u v v u u v. y v u u Тады u v v y' uv' v lim u o u lim v o y lim o 0 u v lim u lim v lim v 0 u' v uv'. o o Выснова. Калі існуе u' і с любы сапраўдны лік, то існуе і с u' c u'. Сталы множнік можна выносіць за знак вытворнай. Доказ формул і зрабіць самастойна. 5
4. Вылічэнне вытворных некаторых асноўных элементарных функцый Тэарэма. Няхай с R, тады функцыя y c сталая, дыферэнцавальная ў кожным пункце R i ' 0. Зафіксуем х і нададзім яму прырост, тады c c 0 ' 0. Тэарэма. Функцыя дыферэнцавальная ў любым пункце R i '. de ' lim lim. o 0 Тэарэма. Функцыя a, дзе a > 0, R, дыферэнцавальная ў любым пункце R i a ' a la. ' a a a a a ' lim lim a la. Тут скарысталіся 0 0 вядомым лімітам a Выснова. e ' e. lim l a. 0 Тэарэма 4. Функцыя log a, 0 < a, дыферэнцавальная ў кожным пункце 0, loga '. l a log log a a loga log a ' lim lim 0 0 6
lim log a lim log l 0 0 a loga лімітам lim. 0 l a Выснова. l' х. a Тэарэма 5. Функцыі si, cos, tg, ctg. Тут скарысталіся вядомым дыферэнцавальныя ў кожным пункце іх абсягаў вызначэння і маюць месца роўнасці: si ' cos ; cos ' si ; tg ' cos ; ctg ' si Дакажам, што выконваецца роўнасць :. 4 si cos si si si ' lim lim 0 0 si cos si lim lim lim сos. 0 0 0 Аналагічна самастойна даказаць роўнасць. Роўнасці i 4 можна даказаць, карыстаючыся тэарэмай аб вытворнай дзелі і азначэннямі функцый tg, ctg. 7
5. Дыферэнцаванне складанай і адваротнай функцый. Дыферэнцаванне складанай функцыі Тэарэма аб дыферэнцаванні складанай функцыі. Няхай h g кампазіцыя функцый i g, азначаная на прамежку Х; функцыя g u дыферэнцавальная ў пункце х 0, а функцыя u дыферэнцавальная ў пункце u 0 g 0, тады функцыя h g дыферэнцавальная ў пункце х 0, і мае месца роўнасць h' 0 'u 0 g' 0. Нададзім зменнай х у пункце х 0 Х прырост 0 так, што 0 X. Менавіта тады u i атрымаюць прыросты u i у адпаведных пунктах х 0 і u 0. Па тэарэме hu 0 можна запісаць у выглядзе: hu 0 g 0 'u 0 u α u u, α u 0, u 0, 0. h u u lim lim ' u0 lim α u ' u0 g' 0. 0 0 0 Формулу прасцей запісаць у выглядзе: ' ' u u' 'u u'. Заўвага. Сімвал ' u азначае вытворную функцыі u па аргументу u, а не па аргументу х. Заўвага. Тэарэма і правілы дыферэнцавання складанай функцыі пераносяцца і на кампазіцыю трох і больш функцый. Напрыклад, калі h u v, то h' ' u u' v v'. Выкарыстаем тэарэму для атрымання формулы вытворнай ступеневай функцыі. Тэарэма. Функцыя h α, α R, > 0 дыферэнцавальная ў кожным пункце х 0,, прычым h' α ' α α. Разгледзім функцыю h α e αl як кампазіцыю функцый g, дзе u e u, g α l. 8
u u α h' e ' α l ' e e α α α α l α α Заўвага. Функцыя h g дзе і g непарыўныяныя функцыі, >0 называецца ступенева-паказнікавай. Вытворную гэтай функцыі можна знайсці з дапамогай тэарэм і, калі лічыць h g e gl. У вынику атрымоўваецца формула для h' якая выражае cуму вытворных ступеневай і паказнікавай функцый h' g g' l g ' g.. Для вылічэння вытворнай ступенева-паказнікавай функцыі выкарыстоўваюць таксама лагарыфмічную вытворную. Няхай функцыя у дадтная і дыферэнцавальная ў дадзеным пункце. Тады ў гэтым пункце выконваецца роўнасць ly l. Будзем лічыць функцыю l, як складаную функцыю зменнай. Пры гэтым яе вытворная будзе роўная y l y' l ', яна называецца лагарыфмічнай вытворнай функцыі y у у дадзеным пункце. Лагарыфмічная вытворная выкарыстоўваецца для вылічэння вытворных некаторых функцый. Вылічым вытворную ступенева-паказнікавай функцыі у g з дапамогай лагарыфмічнай вытворнай. Так як l y g l, то y g l ' g l g. y З гэтай роўнасці, з улікам, што у g, атрымаем наступную формулу для вытворнай дадзенай функцыі y g g l g.. Дыферэнцаванне адваротнай функцыі Тэарэма аб дыферэнцаванні адваротнай функцыі. 9
Няхай функцыя y строга манатонная i непарыўная ў сваім абсягу вызначэння D, які з яўляецца прамежкам. У пункце х 0 D функцыя мае вытворную, прычым 0 0. Тады ў пункце y 0 0 адваротная функцыя y мае вытворную, якая вылічваецца па формуле y 0 0. 4 Адзначым, што адваротная функцыя функцыі з яўляецца непарыўнай і строга манатоннай на прамежку Е D. Разгледзім складаную функцыю h. Па ўласцівасці ўзаемна адваротных функцый h х х у адвольным пункце х D. Па тэарэме аб дыферэнцаванні складанай функцыі знойдзем u u h 0 0 0 дзе u 0 y 0 0, х 0 D, а функцыя u. З другога боку h' ' у адвольным х 0 D. Адсюль вынікае, што y0. ' 0 Тэарэма 4. Функцыі arcsi i arccos дыферэнцавальныя ў кожным пункце ;, прычым arcsi ' 5,, arccos ' Функцыі y arcsi i siy узаемна адваротныя і вызначаны адпаведна на прамежках ; і π ;π. Функцыя siу мае вытворную siy' cosy 0 у кожным пункце y π ;π. Паводле формулы 4 вынікае: arcsi ' si y' cos y si y si arcsi Аналагічна даказваецца формула 6. 6. 0
Тэарэма 5. Функцыі arctg i arcctg дыференцавальныя ў кожным пункце лікавай прамой, прычым: arctg', 7 і arcctg'. 8 Функцыі y arctg i tgy узаемна адваротныя і вызначаны адпаведна на мноствах R і π ;π. Функцыя tgу мае вытворную пункце y π ;π. Па формуле 4 маем: tgy' у кожным cos y arctg' tg ' y tg y tg arctg. cos y Аналагічна даказваецца формула 8..Табліца вытворных Даказаныя ў 4 5 тэарэмы дазваляюць скласці наступную табліцу для вылічэння вытворных: y h, h g; u, u g y u u' h' y' u' y u α y' α u α u' y a u y' a u l a u' y e u y' e u u' y log a u y' y l u y' u ' u l a u ' u
y si u y' cos u u' y cos u y' si u u' y tg u u ' y' cos u y ctg u u ' y' si u y arcsi u y' u u' y arccos u y' u u' y arctg u y' u' u y arcctg u y' u' u 6. Дыферэнцыял функцыі. Азначэнне дыферэнцыяла Няхай функцыя дыферэнцавальная ў пункце 0 тады па т. яе прырост мае выгляд: 0 α, α 0, калі 0. 0 Азначэнне. Функцыя х называецца дыферэнцыялам функцыі у 0 пункце 0 і абазначаецца d 0 ' 0. Заўважым, што дыферэнцыял функцыі супадае з, паколькі 0. Таму дамовіліся замест пісаць d, тады дыферэнцыял у формуле можна запісаць так: d 0 ' 0 d.
Формула прыме канчатковы выгляд: 0 d 0 α, α 0, калі 0. 4 З формулы вынікае, што d 0 d 0 0 lim lim ' 0 ' 0 0 ' 0 cost. Калі ' 0 0, то d i бясконца малыя функцыі аднаго парадку маласці, калі 0. У гэтым выпадку гавораць, што дыферэнцыял функцыя, лінейная адносна прыросту. Такім чынам, з роўнасці 4 робім выснову, што дыферэнцыял функцыі галоўная частка прыросту функцыі, лінейная адносна прыросту аргумента. Заўвага. Дыферэнцыял функцыі ў пункце 0 азначаецца адназначна, 0 паколькі з адзінасці ліміту lim lim A A 0 0 α вынікае адзінасць ліку ' 0 А. Заўвага. З формулы атрымліваецца формула для абазначэння d вытворнай функцыі у пункце 0 : 0 0 чытаецца: «дэ эф па дэ ікс». d Заўвага. Раней мы дамовіліся знаходжанне вытворных называць дыферэнцаваннем функцыі. Дыферэнцаваннем таксама будзем называць знаходжанне дыферэнцыяла.. Дыферэнцыял кампазіцыі функцый. Інварыянтнасць нязменнасць формы дыферэнцыяла першага парадку Няхай функцыя зменнай u, дыферэнцавальная ў пункце u 0 : du 0 'u 0 du. 5 Няхай маем кампазіцыю функцый h g u, дзе g u функцыя дыферэнцавальная ў пункце х 0, і u 0 u 0. Тады будзе дыферэнцавальная і кампазіцыя функцый, пры гэтым
g' 0 'u 0 u' 0, d g 0 'u 0 u' 0 d 'u 0 du. 6 Правыя часткі роўнасцей 5 і 6 аднолькавыя. Відавочна, што формула для вылічэння першага дыферэнцыяла кампазіцыі функцый такая ж, як і для функцыі, якая не з яўляецца кампазіцыяй. У гэтым і заключаецца інварыянтнасць формы першага дыферэнцыяла. Аднак паміж формуламі 5 і 6 ёсць істотная розніца. У формуле 5 du прырост аргумента u, у 6 дыферэнцыял функцыі u у пункце 0. Заўвага 4. Ніжэй будзе паказана, што дыферэнцыялы другога і больш парадкаў не маюць такой уласцівасці. Прыклад. Вылічыць дыферэнцыял функцыі si двума спосабамі па формулах і. d si 'd cos d; h g, дзе u siu, u g. dh siu' d cosu 'd cos d.. Уласцівасці і табліца дыферэнцыялаў Тэарэма. Калі функцыі і g дыферэнцавальныя ў пункце 0, то. dg 0 d 0 dg 0. d g 0 d 0 g 0 0 dg 0. d g 0 d 0 g 0 g 0 0 dg Доказ з дапамогай формулы і тэарэмы. Выкарыстоўваючы табліцу вытворных і ўласцівасць інварыянтнасці формы дыферэнцыяла, можна скласці табліцу дыферэнцыялаў 0 d c0, c cost d e u e u du 4
d u α α u α du d log a u du u l a d a u a u l a du d l u du u d si u cos u du d arcsi u du u d cos u si u du d arccos u du u d tgu du u cos d ctgu si du u d arctg u u du d arcctg u u du 4. Геаметрычны і механічны сэнсы дыферэнцыяла Няхай функцыя дыферэнцавальная ў пункце х 0, тады графік функцыі мае невертыкальную датычную ў пункце М 0 0, 0. Нададзім х прырост. У MAT: AT tgϕ ' 0 d 0. Адсюль вынікае геаметрычны сэнс дыферэнцыяла функцыі: дыферэнцыял функцыі у пункце х 0 роўны прыросту ардынаты датычнай да графіка функцыі ў пункце M 0 0, 0, адпаведнаму прыросту аргумента рыс. 4. Гэты прырост дадатны, калі функцыя нарастае ϕ 0;90, і адмоўны, калі функцыя спадае ϕ 90 ;80. 5
Рыс. 4 Няхай st закон прамалінейнага руху матэрыяльнага пункта, тады dst о s't о dt vt о dt Адсюль вынікае фізічны сэнс дыферэнцыяла: дыферэнцыял функцыі s у пункце t о роўны адлегласці, якую прайшоў бы пункт з хуткасцю vt о за прамежак часу t. 5. Выкарыстанне дыферэнцыяла ў прыблізных вылічэннях Няхай функцыя дыферэнцавальная ў пункце х 0. Нададзім аргументу прырост, тады х х 0. Па формуле.4 d α, α 0, калі 0. Вядома, што 0 0 0 0. 7 З формул 4 і 5 вынікае роўнасць 0 0 d 0 α. Калі адкінуць бясконца малы здабытак α, то атрымаем 0 0 d 0 0 d 0 0 d 0 або 0 0 d 0. 8 Апошнюю формулу і выкарыстоўваюць у прыблізных вылічэннях значэння функцыі. Прыклад. Вылічыць,98. 6
Разгледзім функцыю, тады лік,98-0,0 х 0, а х d,98 0,0. Яе вытворная ' l ' 0 ' 4l, 4; а дыферэнцыял d 'd d 4l 0,0 0,08l. Такім чынам,,98 4 0,08 0,7,944. 0 0, дзе 7. Вытворныя і дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў. Вытворныя вышэйшых парадкаў Няхай функцыя мае канцавую вытворную ў любым пункце прамежка a, b, тады кожнаму a, b адпавядае адзіны лік '. Гэта значыць, што на прамежку a, b вызначана функцыя са значэннямі y '. Гэту функцыю называюць вытворнай -га парадку функцыі на прамежку a, b. Калі функцыя ' у сваю чаргу дыферэнцавальная ў кожным пункце прамежка a, b, то функцыю са значэннямі y '' называюць вытворнай -га парадку функцыі на прамежку a, b і абазначаюць y. Аналагічна d d азначаюцца вытворныя -га ''' або, або 4 d 4 d d d, 4-га IV або 4, або і г. д. парадкаў. Дапусцім, што на прамежку a, b існуе вытворная -га парадку, якая ў сваю чаргу дыферэнцавальная ў кожным пункце прамежка, тады вытворную гэтай функцыі на a, b называюць вытворнай -га парадку функцыі на прамежку a, b і абазначаюць ' d d Прыклад. si функцыя дыферэнцавальная R: ' si' cos si π ; '' '' si si π ; ''' cos si π ; 7.
- ' si π. Заўвага. Тэрмін функцыя разоў дыферэнцавальная ў пункце х азначае наступнае: функцыя мае вытворную -га парадку ў наваколлі пункта х і вытворную -га парадку ў пункце х. Механічны сэнс вытворнай -га парадку. Няхай матэрыяльны пункт рухаецца прамалінейна па законе s st. Вядома, што імгненная хуткасць яго ў момант часу t : vt s't. Зафіксуем нашу ўвагу на функцыі vt, нададзім t прырост t і пабудуем стасунак v t t v t t руху матэрыяльнага пункта ад часу t да часу t t. Тады гэта сярэдняе паскарэнне ω сяр. v t t v t s' t t s' t lim ω сяр. lim lim t 0 t 0 t t 0 t s't's''tωt паскарэнне руху ў момант часу t. Такім чынам, паскарэнне руху ў момант часу t ёсць другая вытворная шляху ў момант часу t. Прыклад. Знайсці паскарэнне, якое атрымае пункт у момант t cек, калі ён рухаецца прамалінейна па законе s t t. Знойдзем вытворную -га парадку функцыі s: s't 4t,ωt s''t 4. Цела рухаецца са сталым паскарэннем ωt 4м/сек i ω 4 м/сек.. Формула Лейбніца Няхай функцыі і g вызначаны на адным прамежку X D D g і разоў дыферэнцавальная на гэтым прамежку. Тады можна сцвярджаць, што існуе ая вытворная іх здабытку, якую знаходзяць па формуле дзе k k g C g, k C біномныя каэфіцыенты, вытворная парадку 0 ёсць сама функцыя. k 0 8 k
Доказ правядзем з дапамогай метада матэматычнай індукцыі. g' ' gg', з другога боку па формуле 0 0 0 0 g C g C g C g k k k k ' ' '!!! ' 0! 0!! g g g g Няхай мае месца для m, г. зн.... 0 0 0 g C g C g C g m m m m m m m m Дакажам для m:... 0 0 g C g C g g m m m m m m " ' ' 0 0 g C g g C g C m m m m m m m m '... ' g g C g m m m m m Згрупуем складнікі з вытворнымі аднолькавых парадкаў... " ' 0 0 g C C g C C g C m m m m m m m m ' g C g C C m m m m m m m m. Заўважым, што.!!!!!!!!!!!!!!!!!!! i m i m i m C i m i m i m i m m i m i i i m m i m i m i i m m i m i m i m i m C C Відавочна, што 0 0 m m m m m m C C C C, значыць мае месца і для m. Па тэарэме аб матэматычнай індукцыі роўнасць выконваецца для адвольнага натуральнага.. Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў Няхай функцыя дыферэнцавальная на інтэрвале a, b. Будзем лічыць прырост аргумента ў кожным пункце інтэрвала cost. Тады дыферэнцыял функцыі d ' з яўляецца функцыяй зменнай х на інтэрвале a, b. Калі 9
будзе вядома, што d дыферэнцавальная на інтэрвале a, b функцыя, то будзе мець месца роўнасць dd ' ' '' ''d. Дыферэнцыял ад дыферэнцыяла функцыі у пункце х называецца дыферэнцыялам -га парадку функцыі у пункце х другім дыферэнцыялам і абазначаецца d d. Такім чынам d ''d. Аналагічна азначаюцца дыферэнцыялы -га, 4-га і іншых парадкаў. Калі функцыя разоў дыферэнцавальная ў пункце х, то d dd - d. Прыклад. Знайсці d функцыі si. d cosd d 4sid d 8cosd. Дакажам, што дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў не ўласціва інварыянтнасць формы на прыкладзе дыферэнцыяла -га парадку. Калі y u, то d u ''udu. Няхай h u, тады ў сувязі з інварыянтнасцю формы першага дыферэнцыяла маем: dh 'udu. Знойдзем d h ddh d 'udu тут пад знакам дыферэнцыяла стаіцьздабытак -х функцый ад х. Таму d h ''udu du 'ud u ''udu 'ud u. 4 Параўнаўшы правыя часткі роўнасцей і 4, бачым, што формула для вылічэння другога дыферэнцыяла кампазіцыі функцый h адрозніваецца ад формулы вылічэння другога дыферэнцыяла функцыі u. Выснова: другі дыферэнцыял не мае ўласцівасці інварыянтнасці. 8. Дыферэнцаванне функцый, зададзеных параметрычна. Вектарназначная функцыя. Паняцце плоскай жарданавай крывой Няхай на адрэзку [α, β] зададзены функцыі ϕ i ψ. Кожнаму пункту t [α, β] паставілі ў адпаведнасць пункт плоскасці R з каардынатамі і y, якія знаходзяцца па формулах ϕ t, y ψt, або радыус-вектар з каардынатамі і y. Атрыманае 0
такім чынам адлюстраванне F адрэзка [ α, β ] R называецца вектарназначнай функцыяй і абазначаецца у Ft ϕ t, ψ t. Функцыі ϕ i ψ называюць кампанентамі каардынатамі вектарназначнай функцыі F. Падобна таму, як уводзяцца арыфметычныя аперацыі над сапраўднымі функцыямі сапраўднай зменнай, можна ўвесці гэтыя аперацыі над вектарназначнымі функцыямі. Напрыклад, сумай F t ϕ t;ψ t i F t ϕ t;ψ t называецца функцыя F F t ϕ ϕ t; ψ ψ t. Такім чынам, аперацыя складання ўводзіцца пакаардынантна пакампанентна. Вектарназначная функцыя Ft з яўляецца непарыўнай у пункце t на мностве, калі ў гэтым пункце на мностве будуць непарыўнымі яе кампаненты ϕ і ψ. Вектарназначная функцыя Ft будзе дыферэнцавальнай у пункце t на мностве, калі ў гэтым пункце на мностве дыферэнцавальныя яе кампаненты ϕ і ψ. Вытворная функцыі Ft у пункце t абазначаецца F t і знаодзіцца па формуле: F t ϕ 't; ψ 't. Напрыклад, Ft cost; e t, t [0,π]. Функцыя непарыўная і дыферэнцавальная на адрэзку [0, π], прычым F t sit ; e t. Азначэнне. Плоскай жарданавай крывой называецца мноства пунктаў, y плоскасці, каардынаты якіх знаходзяцца з сiстэмы раўнанняў: дзе ϕ і ψ непарыўныя на адрэзку [α, β] функцыі. ϕ t, t [α, β], y ψ t Незалежная зменная ў формуле называецца параметрам жарданавай крывой, а раўнанні параметрычнымі раўнаннямі жарданавай крывой.
Калі разгледзець параметр t як час рухання матэрыяльнага пункта, каардынаты якога знаходзяцца па формулах, то жарданава крывая след гэтага матэрыяльнага пункта, які ён пакінуў на плоскасці. Прыклад. Няхай дадзена сістэма a bt, t,. y a bt, Крывая, зададзеная раўнаннямі сістэмы, з яўляецца жарданавай крывой. Выключым з раўнанняў сістэмы параметр t, атрымаем лінейную функцыю a a y b a b a, графікам якой з яўляецца прамая лінія. Такім чынам, прамая жарданава крывая. a b y Прыклад. Няхай дадзена сістэма acost, t [0;π], a 0, b 0 4 y bsit, Выключым з раўнанняў сістэмы параметр t і атрымаем раўнанне эліпса сістэмы 4.. Такім чынам, эліпс жарданава крывая, якая зададзена раўнаннямі acost, Крывая, зададзеная раўнаннямі сістэмы t [0; π], а 0, y asit, з яўляецца акружнасцю радыуса а з цэнтрам у пункце О0;0: y a. Такім чынам, акружнасць з яўляецца жарданавай крывой. Прыклад. Графік адвольнай непарыўнай на адрэзку [a, b] функцыі y з яўляецца жарданавай крывой. Сапраўды, яго можна задаць з дапамогай раўнанняў, калі прыняць t, а y t, t [a, b]. Прыклад 4. Няхай у палярнай сістэме каардынат дадзена крывая Γ, якая зададзена раўнаннем
rϕ, 5 дзе непарыўная на [α;β] функцыя. Дакажам, што Γ з'яўляецца жарданавай крывой. Нагадаем, што на плоскасці палярная сістэма каардынат задаецца палярнай воссю прамень Оr і адзінкавым адрэзкам. Адвольны пункт плоскасці М у палярнай сістэме каардынат мае каардынаты ϕ, r, дзе ϕ вугал, які адкладываем ад восі Оr супраць стрэлкі гадзінніка, калі ϕ дадатны, і па гадзіннікавай стрэлцы, калі вугал ϕ адмоўны. Разгледзім дэкартавую прамавугольную сістэму каардынат, у якой вось Ох супадае з палярнай воссю Оr, вось Oy накіравана ўверх рыс. 5. Адвольны пункт М крывой Γ, якая зададзена раўнаннем 5, у палярнай сістэме каардынат мае каррдынаты ϕ, r, а ў дэкартавай сістэме каардынат яго каардынаты будуць х;у. Заўважым, што гэтыя каардынаты звязаны паміж сабою наступнымі формуламі r cosϕ, y r siϕ. Рыс. 5 Паколькі rϕ, то адтрымліваем y ϕcosϕ, ϕsiϕ, ϕ [α;β], дзе непарыўная на [α;β]; cos ϕ, si ϕ непарыўныя, тады будуць непарыўнымі функцыі, якія задаюць х і у. Такім чынам, Γ жарданава крывая, а раўнанне 5 называецца палярным раўнаннем гэтай крывой.
Прыклад 5. У палярнай сістэме каардынат пабудаваць крывыя Жардана, якія зададзены раўнаннямі: а rr; б rr cos ϕ; в rr si ϕ. Рыс. 6 Прыклад 6. Разгледзім крывую, якая называецца цыклоідай і задаецца сістэмай раўнанняў r t sit, Гэтую крывую апісвае пункт М акружнасці y r cost. радыуса r, якая каціцца па восі Ох рыс. 7. Рыс. 7 Прыклад 7. Разгледзім крывую, якая называецца астроідай і задаецца сістэмай раўнанняў Rcos y Rsi t, Гэтую крывую апісвае пункт М акружнасці t. радыуса r, якая каціцца ўнутры акружнасці радыуса R4r рыс. 8. 4
Рыс. 8 Прыклад 8. Разгледзім крывую, якая называецца кардыёідай і задаецца сістэмай раўнанняў acost cost, Гэтую крывую апісвае пункт М y asit cost. акружнасці радыуса а, якая каціцца звонку нерухомай акружнасці такога ж радыуса рыс. 9. Рыс. 9. Дыферэнцаванне функцый, зададзеных параметрычна Няхай функцыя не зададзена непасрэдна, як y, але вядома залежнасць і у ад некаторай трэцяй дапаможнай зменнай t параметр. У гэтым выпадку гавораць, што функцыя зададзена параметрычна раўнаннямі ϕ t, t [α, β], y ψ t 5
дзе ϕ i ψ вядомыя непарыўныя функцыі на адрэзку [α, β]. Дапусцім, што функцыя ϕ абарачальная обратимая, то з першага раўнання сістэмы маем t ϕ. Падставім значэнне t у другое раўнанне сістэмы і атрымаем функцыю якая адпавядае параметрычным раўнанням сістэмы. Прыклад 9. Няхай дадзена сістэма ψϕ ψϕ, 6 t, t [;] 7 y t, З першага раўнання сістэмы 7 вынікае, што t log. Падставім атрыманую формулу ў другое раўнанне сістэмы, атрымаем log функцыю, якая адпавядае параметрычным раўнанням сістэмы 7. На практыцы бываюць выпадкі, калі функцыю нельга яўна выразіць з раўнанняў сістэмы. Менавіта тады для даследавання функцыі трэба ўмець знаходзіць вытворную функцыі, зададзенай параметрычна формуламі сістэмы. Няхай функцыі ϕ і ψ дыферэнцавальныя на адрэзку [α, β] і ϕ 't 0 t [α,β], тады вытворную функцыі 6 атрымаем, карыстаючыся вытворнымі складанай і адваротнай функцый: дзе ϕt. ψ ' t ' ψ ' ϕ ϕ ' ψ ' t ϕ ' ϕ' t ψ ' t ', 8 ϕ' t Для знаходжання другой вытворнай запішам першую вытворную ў ϕ t ψ ' t параметрычным выглядзе:, t [α,β], ψ t. Менавіта тады, калі y ψ t ϕ' t ψ t дыферэнцавальная на адрэзку [α, β] функцыя, то па формуле 8 маем: 6
" ψ ' t ϕ' t ψ " t ϕ' t ψ ' t ϕ" t 9 ϕ' t і г. д. для вытворных парадка вышэй другога. Прыклад 0. Знайсці другую вытворную функцыі, зададзеную параметрычна сістэмай 7. Знойдзем: ϕ 't t l, ψ't, падставім іх у формулу 8 і атрымаем ψ ' t ' ϕ' t, дзе t. t l Запішам першую вытворную ў параметрычным выглядзе: t, t [,]. Знойдзем ψ y 't / t, ϕ't t l, падставім іх у t l формулу 8 і атрымаем, дзе t. l " t 9. Тэарэмы аб сярэднім значэнні дыферэнцавальных функцый Тэарэма Ферма. Калі функцыя вызначана на некаторым прамежку Х і ва ўнутраным пункце х 0 Χ дыферэнцавальная і прымае найбольшае найменшае значэнне, тады ' 0 0. Няхай у пункце х 0 функцыя прымае найбольшае значэнне на прамежку X. Гэта значыць, што Χ 0 0 0. 0 0 Разгледзім ' 0 0 lim 0 < 0; 00 0 0 0 lim 0 > 0. 0 0 ' 0 7
Такім чынам, ' 0 0 0, ' 0 0 0. Адсюль вынікае, што магчымы два выпадкі: ' 0 0 або не існуе. Паколькі па ўмове дыферэнцавальная ў пункце х 0 Χ, тады ' 0 0. Аналагічна даказваецца тэарэма для выпадку найменшага значэння функцыі. Заўвага геаметрычны сэнс тэарэмы Ферма. Калі функцыя задавальняе тэарэме Ферма, то датычная да графіка функцыі ў пункце х 0, 0 паралельна восі 0х рыс. 0. Рыс. 0 Заўвага. Тэарэма Ферма можа быць выкарыстана для знаходжання найбольшых і найменшых значэнняў непарыўнай на адрэзку функцыі. Паводле другой тэарэмы Вейерштраса, функцыя непарыўная на адрэзку [a,b], прымае на гэтым адрэзку свае найбольшае і найменшае значэнні. Гэтыя значэнні могуць быць у тых пунктах інтэрвала a, b, дзе вытворная роўна 0 у адпаведнасці з тэарэмай Ферма або там, дзе яна не існуе, а таксама на канцах адрэзка. Адсюль і вынікае правіла Ферма: знайсці крытычныя пункты тыя, дзе ' 0 або ' не існуе, якія належаць адрэзку [a, b]; вылічыць значэнні функцыі ў гэтых пунктах і на канцах адрэзка; выбраць сярод іх найбольшае М і найменшае m значэнні функцыі. 8
Прыклад. Знайсці найбольшае і найменшае значэнні функцыі на адрэзку [0,5; 5]. Функцыя непарыўная на адрэзку, дыферэнцавальная на інтэрвале, таму па правіле Ферма: знойдзем крытычныя пункты: ' 6 6, ' 0 6 6 0 6 0 0,, але пункт 0 [0,5; 5]; вылічымзначэнні функцыі ў пунктах, 0,5, 5:, 0,5 0,5, 5 75; запішам найбольшае M 75 5 і найменшае m значэнні функцыі. Тэарэма Роля. Няхай функцыя непарыўная на адрэзку [a, b], дыферэнцавальная на інтэрвале a, b і на канцах інтэрвала a b, то існуе пункт с a,b такі, што 'c 0. Паколькі функцыя непарыўная на адрэзку [a, b], то, паводле другой тэарэмы Вейерштраса, на адрэзку [a,b] яна прымае свае найменшае m і найбольшае M значэнні. Магчымы выпадкі: m M m M cost ' 0 a,b. m M. Найбольшае або найменшае значэнні функцыя прымае ў пункце с a, b паколькі a b і па тэарэме Ферма 'c 0. Заўвага геаметрычны сэнс тэарэмы Роля. Калі функцыя задавальняе ўмовам тэарэмы Роля, то існуе, прынамсі, адзіны пункт с, c на графіку функцыі такі, што датычная ў ім паралельная восі 0х рыс.. 9
Рыс. Тэарэма Лагранжа. Няхай функцыя непарыўная на адрэзку [a, b], дыферэнцавальная на інтэрвале a, b, то існуе пункт с a, b такі, што b a b a ' c Увядзём дапаможную функцыю F λ, дзе λ некаторы сапраўдны лік. Для функцыі F выконваюцца наступныя ўмовы: F непарыўная на адрэзку [a, b] як здабытак і рознасць функцый і λ; F дыферэнцавальная на інтэрвале a, b як рознасць дыферэнцавальных функцый і λ. Возьмем лік λ так, каб Fa Fb, гэта значыць a λa b λb b a λ. Такім чынам, функцыя F задавальняе ўмовам тэарэмы Роля, і b a таму існуе такі пункт с a,b, што F 'c 'c λ 0 λ 'c Заўвага 4 геаметрычны сэнс тэарэмы Лагранжа. Паколькі b a tgϕ k, то левая частка роўнасці вуглавы каэфіцыент хорды, b a якая злучае пункты Аа; a i Bb; b. Калі функцыя задавальняе ўмовам тэарэмы Лагранжа, то на графіку функцыі знойдуцца пункты, датычныя ў якіх да графіка функцыі паралельныя хордзе АВ рыс. 40
Рыс. Заўвага 5. Формула называецца формулай Лагранжа і часцей яна запісваецца ў выглядзе b a 'cb a. Заўвага 6. Тэарэма Роля з яўляецца частковым выпадкам тэарэмы Лагранжа, калі хорда паралельная восі Ох, а гэта значыць, калі b a. Тэарэма 4 Кашы. Калі функцыі i g непарыўныя на адрэзку [a, b], дыферэнцавальныя на інтэрвале a, b i g' 0 a, b, то існуе пункт с a, b такі, што мае месца роўнасць b a ' c. g b g a g' c Увядзём дапаможную функцыю F λg, дзе λ некаторы сапраўдны лік. Для функцыі F выконваюцца ўмовы: F непарыўная на адрэзку [a, b]; F дыферэнцавальная на інтэрвале a, b. Возьмем лік λ так, каб FaFb. Тады маем, што a λga b λgb. З b a апошняй роўнасці выразім λ. g b g a 4
Такім чынам, функцыя F задавальняе ўмовам тэарэмы Роля, і таму існуе ' c пункт с a, b такі, што F 'c 0. Адсюль 'c λg'c 0, тады λ. g' c Заўвага 7. Тэарэма Лагранжа частковы выпадак тэарэмы Кашы, калі лічыць g. Тэарэма 5 Дарбу. Калі функцыя дыферэнцавальныя на інтэрвале a, b, і існуюць аднабаковыя вытворныя 'a0 A і 'b 0 B, то для адвольнага пункта C, які змяшчаецца паміж А і В, знойдзецца пункт с a, b такі, што мае месца роўнасць 'cc. 0. Правіла Лапіталя-Бярнулі раскрыцця нявызначанасцей пры вылічэнні лімітаў. Выкарыстанне правіла Лапіталя-Бярнулі для раскрыцця нявызначанасцей выгляду 0 i 0 Тэарэма. Няхай функцыі i g непарыўныя і дыферэнцавальныя ў наваколлі пункта 0 : U 0,δ 0 δ, 0 δ акрамя, магчыма, пункта 0, g' 0, пры гэтым: lim 0, lim g 0 lim, lim g ; 0 0 0 ' lim A канцавы або бясконцы. 0 g' 0 Тады lim g 0 ' A, i lim lim A. 0 g 0 g' Доказ прывядзем для выпадку, калі lim 0 0, lim 0 g 0. Паколькі функцыі i g непарыўныя ў адвольных адрэзках наваколля U 0,δ, прычым 0 g 0 0, і дыферэнцавальныя ўнутры гэтых адрэзкаў, то 4
яны задавальняюць тэарэме Кашы. Тады мае месца формула, ' ' 0 0 c g c g g g дзе c [ 0,] U 0,δ або c [, 0 ] U 0,δ. Пяройдзем у апошняй роўнасці да ліміту: ' ' lim lim 0 0 c g c g. ' ' lim lim 0 0 A g c g c c Выпадак, калі, lim, lim 0 0 прымем без доказу. Прыклад. Вылічыць. lim a e e a a. lim lim 0 0 lim a a a a a a e e a e e a e e Тэарэма. Няхай функцыі i g непарыўныя на інтэрвалах a,,,a,, і дыферэнцавальныя ў кожным пункце гэтых інтэрвалаў, і g' 0. Калі i g бясконца вялікія або бясконца малыя, калі, і існуе A g ' ' lim, то будзе існаваць і А g lim. Тэарэму прымем без доказу. Прыклад. Вылічыць. lim e 0. lim lim lim e e e Прыклад. Вылічыць lim l. lim l lim l lim 4
Заўвага. Калі вытворныя ', '', i g', g'', задавальняюць умовам тэарэм і, то правілам Лапіталя-Бярнулі можна карыстацца некалькі разоў. si Прыклад 4. Вылічыць lim. 0 si 0 si cos 0 cos lim lim lim lim 0 0 0 0 0 0 si 0 si cos lim lim lim 0 6 0 0 6 0 6 Заўвага. Патрэбна заўжды памятаць, што правіла Лапіталя мае месца толькі ў выпадку, калі існуе ліміт стасунку вытворных. si cos Так, напрыклад, lim не будзе роўны lim, таму што cos si апошні ліміт не існуе. Гэты ліміт можна вылічыць з дапамогай тэарэм аб лімітах:. 6 si lim х. cos х. Выкарыстанне правіла Лапіталя-Бярнулі для раскрыцця 0 0 нявызначанасцей выгляду:, 0, 0,, Раскрыццё нявызначанасці выгляду. Прыклад 5. Вылічыць lim ctg. 0 cos si 0 lim ctg lim 0 0 si 0 cos si cos 0 si cos lim lim 0. 0 si cos 0 0 cos cos si Раскрыццё нявызначанасці выгляду 0 44
0 g lim g lim або lim. a a 0 a g Прыклад 6. Вылічыць l lim 0 0 lim. 0 0 l l 0 lim lim 0. 0 0 0 0 0 0 Раскрыццё нявызначанасцей выгляду: 0,, дапамогай лагарыфмічнай тоеснасці паказнікавай функцыі. Прыклад 7. Вылічыць lim 0 si lim si 0 g lim si l 0 si l 0 0 lim e e. 0 Знойдзем ліміт паказніка: l lim si 0 l 0 lim 0 si Канчаткова: lim e. 0 si 0 g l можна зрабіць з e і ўласцівасцей. lim 0 cos si si lim 0. 0 cos. Умовы сталасці і манатоннасці функцыі на прамежку Тэарэма. Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя, дыферэнцавальная на інтэрвале a, b. Функцыя сталая на адрэзку [a, b] тады і толькі тады, калі ' 0 a, b. Неабходнасць. Дадзена: c cost. Даказаць: ' 0 a, b. Доказ з дапамогай азначэння вытворнай. 45
Дастатковасць. Дадзена: ' 0 a, b. Даказаць: c cost. Разгледзім, a, b і пакажам, што. Паколькі на адрэзку [, ] функцыя задавальняе тэарэме Лагранжа, то існуе пункт с [, ] такі, што 'c. Па ўмове 'c 0 0, [a, b] c cost. Тэарэма. Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя, дыферэнцавальная на інтэрвале a, b. Для таго каб была ненарастальнай неспадальнай на адрэзку [a, b], неабходна і дастаткова, каб ' 0 ' 0 a, b. Прымем без доказу. Тэарэма. Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя, дыферэнцавальная на інтэрвале a, b. Для таго каб была спадальнай нарастальнай на aдрэзку [a, b], дастаткова, каб ' > 0 ' < 0 a, b. Доказ тэарэмы правядзем для выпадку, калі ' > 0 a, b. Дакажам, што, a, b такіх, што >, мае месца няроўнасць >. Паколькі на адрэзку [, ] функцыя задавальняе тэарэме Лагранжа, то існуе пункт с [, ] такі, што 'c > 0 > 0 >. Аналагічна даказваецца тэарэма для ўмовы ' < 0. Заўвага. Тэарэма не з яўляецца неабходнай умовай нарастання спадання функцыі, паколькі строга манатонная функцыя ў асобных пунктах можа мець вытворную роўную нулю. Напрыклад, функцыя нарастае на мностве R, але ў пункце х 0 '0 0. 46
. Экстрэмумы функцыі. Лакальныя экстрэмумы Азначэнне. Няхай функцыя вызначана на інтэрвале a, b. Пункт 0 a,b называецца пунктам лакальнага мінімуму mi максімуму ma функцыі, калі існуе наваколле U 0, δ 0 δ, 0 δ a, b такое, што o U 0, δ выконваецца няроўнасць 0 0. Азначэнне. Няхай функцыя вызначана на інтэрвале a, b. Пункт 0 a,b называецца пунктам строгага лакальнага мінімуму максімуму функцыі, калі існуе наваколле U 0, δ a, b такое, што няроўнасць > 0 < 0. o U 0, δ выконваецца Пункты лакальнага максімуму і мінімуму функцыі называюцца пунктамі лакальнага экстрэмуму, а значэнні функцыі ў гэтых пунктах, адпаведна, лакальнымі максімумам i мінімумам. З рысунка відаць, што пункт строгага лакальнага максімуму мінімуму, а пункты інтэрвала c,b пункты лакальнага максімуму;,, лакальныя экстрэмумы. Рыс. Тэарэма. Неабходная ўмова экстрэмуму. Калі функцыя дыферэнцавальная на інтэрвале a, b i 0 a, b пункт лакальнага экстрэмуму функцыі, то ' 0 0. 47
Дадзена: дыферэнцавальная х a, b, 0 a, b пункт лакальнага экстрэмуму функцыі. Даказаць: ' 0 0 З азначэнняў і вынікае, што існуе такое наваколле пункта х 0, у якім функцыя будзе прымаць сваё найменшае х 0 п. лакальнага мінімуму або найбольшае х 0 п. лакальнага максімуму. Тады па тэарэме Ферма значэнне ' 0 0. Заўвага. Роўнасць ' 0 0 з яўляецца неабходнай умовай існавання экстрэмуму, але не дастатковай. Прыклад., ' 0 0, але х 0 не з яўляецца пунктам экстрэмуму, паколькі ' 0 R і таму не мае экстрэмумаў. Заўвага. Калі недыферэнцавальная ў пункце х 0, то х 0 можа быць, а можа і не быць пунктам экстрэмуму. Прыклад. Для функцыі пункт х 0 пункт мінімуму, але ў гэтым пункце вытворная не існуе. Прыклад. Для функцыі у пункце х 0 існуе бясконцая вытворная, такім чынам, яна не з яўляецца дыферэнцавальнай, але ' > 0 0 функцыя нарастае на мностве R і таму не мае экстрэмумаў. Прыклад 4. Для функцыі у пункце х 0 існуе бясконцая вытворная: ', але пункт х 0 пункт лакальнага мінімуму. Азначэнне. Пункты, у якіх вытворная функцыі роўна 0, называюцца стацыянарнымі пунктамі. 48
Азначэнне 4. Пункты, у якіх вытворная функцыі роўна 0 або,або ўвогуле не існуе, будзем называць крытычнымі пунктамі І роду. Выснова. З заўвагі і Т. вынікае, што неабходнай ўмовай экстрэмуму функцыі ў пункце х 0 з яўляецца роўнасць яе вытворнай 0, або недыферэнцавальнасць функцыі ў гэтым пункце. Тэарэма І дастатковая ўмова экстрэмуму. Няхай функцыя дыферэнцавальная на інтэрвале a, b, за выключэннем, можа быць, пункта 0 a, b; непарыўная ў пункце 0. Калі U 0,δ a,b, такое, што 0 δ ; 0 ' > 0, а 0 ; 0 δ ' < 0, то х 0 пункт лакальнага максімуму функцыі ; 0 δ ; 0 ' < 0, а 0 ; 0 δ ' > 0, то х 0 пункт лакальнага мінімуму функцыі. Дакажам п.. Па ўмове тэарэмы 0 δ ; 0 ' > 0, тады па Т. функцыя нарастае на інтэрвале 0 δ ; 0, г. зн. < 0 выконваецца няроўнасць < 0, а паколькі 0 ; 0 δ ' < 0, то па Т. функцыя спадае на інтэрвале 0 ; 0 δ, г. зн. > 0 выконваецца няроўнасць < 0. Такім чынам для пункта х 0 U 0,δ a,b U 0, δ выконваецца няроўнасць < 0. Таму па А. х 0 пункт лакальнага максімуму. Аналагічна даказваецца п.. Заўвага. Тэарэму можна сфармуляваць наступным чынам: калі пры пераходзе праз пункт х 0 злева направа вытворная мяняе знак з " " на "", то х 0 пункт лакальнага максімуму, а калі з "" на " ", х 0 пункт лакальнага мінімуму. Заўвага 4. Калі пры пераходзе праз пункт х 0 знак вытворнай не змяняецца, то ў пункце х 0 няма экстрэмуму. Прыклад 5. Даследаваць на экстрэмум функцыю. o 49
D R. Вытворная роўна '. Знойдзем крытычныя пункты: ' 0 0 ± ; у пункце х 0 '0. Такім чынам, пункты х 0,± крытычныя пункты І роду. Гэтыя пункты падзяляюць D на прамежкі манатоннасці функцыі. Азначым знакі вытворнай на кожным з прамежкаў. Пры пераходзе праз пункт х вытворная змяняе свой знак з " " на " ", а праз пункт х з " " на " ", праз пункт х 0 знак вытворнай не змяняецца. Такім чынам, х п. лакальнага максімуму, п. лакальнага мінімуму; mi, ma. Тэарэма ІІ дастатковая ўмова экстрэмуму. Няхай функцыя вызначана на a, b, двойчы дыферэнцавальная ў пункце 0 a, b i ' 0 0, тады: калі " 0 > 0, то 0 пункт лакальнага мінімуму; калі " 0 < 0, то 0 пункт лакальнага максімуму. Доказ для п.. Няхай " 0 < 0. Па азначэнні: ' 0 ' 0 ' 0 ' " 0 lim lim lim < 0. 0 o o На падставе тэарэмы аб захаванні знака функцыі, якая мае ліміт калі lim < 0, то U 0, δ такое,што U 0, δ < 0, мае месца 0 ' няроўнасць < 0 у наваколлі пункта 0. Калі < 0, то ' > 0; калі > 0, то 0 ' < 0. Па Т. х 0 пункт лакальнага максімуму. Аналагічна даказваецца п. тэарэмы. Прыклад 6. Даследаваць на экстрэмум функцыю /4 4 /. D R. Знойдзем стацыянарныя пункты : 50 0
' 0 0, ± стацыянарныя пункты. Знойдзем другую вытворную ", а потым яе значэнні ў стацыянарных пунктах: "0 < 0 0 пункт лакальнага максімуму, ma 0 0; " " > 0 ± пункты лакальнага мінімуму, mi " /4.. Абсалютны экстрэмум Азначэнне 5. Няхай функцыя вызначана на прамежку Х і прымае найбольшае і найменшае значэнні на гэтым прамежку адпаведна ў пунктах х і х, тады пункт х называецца пунктам абсалютнага максімуму функцыі на прамежку Х, а пункт пунктам абсалютнага мінімуму функцыі на прамежку Х. Значэнні функцыі у гэтых пунктах называюцца адпаведна абсалютнымі максімуму i мінімуму функцыі на прамежку Х або найбольшым і найменшым значэннямі функцыі на прамежку Х. Калі функцыя непарыўная на [a, b], то адпаведна другой тэарэме Вейерштраса яна мае абсалютны мінімуму i максімуму на гэтым адрэзку, якія знаходзяцца па правіле Ферма. Заўвага 4. Падчас развязання задач узнікае сітуацыя, калі абсалютныя экстрэмумы функцыі прыходзіцца шукаць на прамежку, які не з яўляецца адрэзкам. У такіх выпадках будзем карыстацца наступнай тэарэмай. Тэарэма 4. Калі функцыя непарыўная на прамежку Х і мае адзіны пункт экстрэмуму х 0 Х, то, калі 0 пункт лакальнага максімуму мінімуму, то ў ім функцыя прымае найбольшае найменшае значэнне 0 на прамежку Х. Дакажам тэарэму для выпадку, калі 0 пункт лакальнага максімуму, метадам супрацьлеглага дапушчэння. Няхай х Х, х х 0 у якім функцыя прымае найбольшае значэнне, г. зн. Х <. Разгледзім адрэзак з канцамі 5