Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται είτε από συλλογισµό είτε από επαγωγή (Αναλυτικά Πρότερα, Βιβλίο, Κεφαλαίο 3) Η αποδάσωση προκαλεί αύξηση του συντελεστή απορροής εδοµένο Μοντέλο Συλλογισµός Deductio Αναµενόµενα δεδοµένα Ηπληµµυρική απορροή αυξάνεται µε την αποδάσωση Ηπληµµυρική απορροή αυξάνεται µε την αποδάσωση Επαγωγικό Μοντέλο Επαγωγή Iductio Παρατηρηµένα δεδοµένα Έχει παρατηρηθεί ότι σε αποδασωµένες λεκάνες αυξάνεται η πληµµυρική απορροή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ εδοµένα (γεγονότα, φαινόµενα) Συλλογισµός Deductio Επαγωγή Iductio Συλλογισµός Deductio Επαγωγή Iductio Υπόθεση (εικασία, θεωρία, µοντέλο) ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΚΗ -ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ -ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Προσέγγιση της απορροής Προσδιοριστική Στατιστική Στοχαστική Χρονική κλίµακα Χωρική κλίµακα Ικανοποιητική µοντελοποίηση Ανεπαρκής µοντελοποίηση ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδοµένου ότι: Ητύχηείναιάµεσα συνδεδεµένη µε τα υδρολογικά φαινόµενα (πληµµύρες, ξηρασίες) µε αποτέλεσµαναπεριγράφονταισεµικρό ή µεγάλο βαθµόαπότη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε µετρήσεις φυσικών µεταβλητών που η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών µεθόδων Ηλήψηαποφάσεωνγιατοσχεδιασµό και τη βέλτιστη λειτουργία των υδραυλικών έργων και των υδατικών συστηµάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό το καθεστώς αβεβαιότητας, ηοποίαµπορεί να ποσοτικοποιηθεί µε την θεωρία των πιθανοτήτων Σηµειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν µπορεί να υποκαταστήσει τις µετρήσεις των υδρολογικών µεταβλητών χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρµογή οποιασδήποτε προσέγγισης.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π ΕΙΓΜΑ (Ν < Ν Π ) ειγµατοληψία Συµπύκνωση πληροφορίας ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εµφανιστεί µια τιµή σε συγκεκριµένο διάστηµα Σε τι τιµή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα Εκτίµηση πιθανοτικών µεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυµµετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανοµής Στατιστικές δοκιµές καταλληλότητας ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.5 ) ΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ.5*(Χ.75 -Χ.5 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.5 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ 3
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ Μέση τιµή i i Τυπική απόκλιση ( i ) i s ιασπορά s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή 3 ( i ) ( 3 ) i µ Τέταρτη ροπή 4 ( i ) ( 4 ) i µ ( 3) Συντελεστής ασυµµετρίας µ Cs ( ) 3/ ( µ ) ( ) ( ) 3 ( 4) Συντελεστής κύρτωσης * µ Ck ( )*( )*( 3)* µ Μέγιστη τιµή M T. ma{,,..., } Ελάχιστη τιµή. i i ET.. mi{,,..., } Χ..Χ : Οι τιµές της µεταβλητής : Αριθµός δεδοµένων δείγµατος ( ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Παροχή (m3/s) 3 5 5 5 3 Χρόνος (έτη) Συχνότητα (%) 3 5- -5 5- -5 5-3 3-35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Απόλυτη συχνότητα ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 8 6 4 5- -5 5- -5 5-3 3-35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) 8 6 4 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ 5 5 5 3 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 4
ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιµή < Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση < Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας -Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Συντελεστής ασυµµετρίας > Τιµές µεταβλητής Συντελεστής ασυµµετρίας < Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. Μ.Τ. Τ.Α. Τ.Α. Σ.Α. Σ.Α. Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστής κύρτωσης 5 Τιµές µεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης 3 Χτυχαίαµεταβλήτη Συνάρτηση κατανοµής H πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µικρότερη ήίσητηςδεδοµένης τιµής ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ P( ) ( ) ( + ) Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µεγαλύτερη της δεδοµένης τιµής Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Περίοδος επαναφοράς Ο µέσος αριθµός χρονικών διαστηµάτων που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεων της τυχαίας µεταβλητής µε µέγεθος µεγαλύτερο ή ίσο της δεδοµένης τιµής P( ) d ( ) d T 5
ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ N Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγµατος : o αριθµός των τιµών του δείγµατος που δεν υπερβαίνουν την τιµήχ ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 (8)8/5.77% (8)7/5.88% Όµως: ()5/5% ()/5% Για αυτό: N + ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αθροιστική συχνότητα (%) 8 6 4 3 5 5 5 3 35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) -5 5- -5 5- -5 5-3 3-35 35-4 4-45 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) 3 8 6 4 4 6 8 Αθροιστική συχνότητα (%) 5 5 5 3 35 4 45 6
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 3 4 6 8 Αθροιστική πιθανότητα (%) ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρµογή 6 θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial Gamma PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV -Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική καταν οµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%.5..5. 95 9 Κανονική κατανοµή (Gauss) Kατανοµή Gumbel µεγίστων 85 8 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 5 5 5 7
ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Περίοδος επαναφοράς (έτη)... 6. 43.5 5 Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% 6%.3%.% Ετήσια παροχή (m3/s) 3-4 -3 - - 3 4 Ανηγµένη µεταβλητή Gauss.%.3% 6% 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανοµής (%) ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανοµή Σε δείγµα τιµών Χiµε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ ηπαράµετρος z(i-µ)/σ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µ, σ είγµα έχειµ, σ5 και ακολουθεί κανονική κατανοµή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιµής Χi5 z(5-)/5 Ποια είναι η τιµή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ.5 έτη -(/.5),333 84,% Πίνακας (,) z,,843 33.3% Πίνακας (,) Για -.333 z.43 Για.333 z-.43 z Τ(-,843)6 έτη z-.43 (i-)/5-.43 άρα i7.8 8
ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Τιµή αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής () (%) για τιµές της ανηγµένης µεταβλητής Ζ από -3 έως 3 () (%) 8 Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής 99.7% 6 4 95.4% 68.3% -3 - - 3 4 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 3-3 - - 9
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υ ΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Α Απόθεµα: hm 3 Μέση τιµή εισροής: hm 3 Τυπική απόκλιση εισροής:3 hm 3 Υ ΡΕΥΣΗ ΠΟΛΗΣ Μέση τιµή ζήτησης: hm 3 Τυπική απόκλιση ζήτησης: hm 3 ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΕΤΗΣΙΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΕΤΟΣ 3 4 5... Μέση τιµή ΤΑΜ. Α 94 85 65 3... 3 ΤΑΜ. Β 5 9 8 8... ΠΟΛΗ 9 7 6... Τυπική απόκλιση 3 4 ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Β Απόθεµα: hm 3 Μέση τιµή εισροής: hm 3 Τυπική απόκλιση εισροής:4 hm 3 ΑπΑ+ΑπΒ+ΕισΑ+ΕισΒ-Υδρ> ΑΣΤΟΧΙΕΣ +++5-+55 ΟΧΙ ++94+9-9+4 ΟΧΙ ++85+8--5 ΝΑΙ ++65+8-7+5 ΟΧΙ ++3+-5+ ΟΧΙ...... +++-+3 ΟΧΙ Σύνολο αστοχιών: 8 Πιθανότητα αστοχίας: 8/8% ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υ ΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ m(hm 3 ) s (hm 3 ) Q ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ Α 3 Q ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ Β 4 ΖΗΤΗΣΗ ΠΟΛΗΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΑ 3 m(hm 3 ) s (hm 3 ) P αστοχίας (%) ρ(q A,Q B ) Q Α +Q Β 7 9 ρ(q A,Q B ) Q Α +Q Β 5 3 ρ(q A,Q B )- Q Α +Q Β 7 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9
ΙΑΚΙΝ ΥΝΕΥΣΗ Η πιθανότητα R να πραγµατοποιηθεί µέσα σε έτη τιµή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ Πιθανότητα µη υπέρβασης σε ένα έτος: - (-/Τ) Πιθανότητα µη υπέρβασης σε έτη: (-/Τ) Πιθανότητα υπέρβασης σε έτη ( ιακινδύνευση): R-(-/Τ) Παράδειγµα Τ έτη έτη R-(-/).6565% Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανοµής f µ.5*( ) σ ( ) e πσ µ ( ) σ e π d ( Τ) ( Τ) ma mi ( Τ) + z ( Τ) z + α / + α / S S T T Όρια εµπιστοσύνης S T ˆ σ δ Ν Κ( T ) δ + K( T ) Z( / T ) S T ητυπικήαπόκλισητου T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής όταν το επίπεδο είναι α% σˆ ητυπικήαπόκλισητουδείγµατος N οαριθµός των παρατηρήσεων του δείγµατος
f ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Πυκνότητας Συνάρτηση Κατανοµής Πιθανότητας l µ Υ ( ) σ Υ * e πσ Y Εκτίµηση παραµέτρων (µέθοδος ροπών) l s µ Υ ( σ Υ ( ) * e s πσ Y ) Sl l( + S / l l S l / z l Χειρισµός της κατανοµής l zs + l l l S zs l l + l e Z η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c, 45 a,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f ae a( c) e a ( c ) e e Συνάρτηση Κατανοµής a ( c) l( l ) l( l( / T )) ( T ) c c a a Όρια εµπιστοσύνης ( T ) + k( T )* k ( T ).45.78 * l( l( / T )) S ( T ) + T, ( T ) ± +.396* k( T ).* k( ) S