Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 4: Σφάλματα περικοπής (truncation) και η σειρά Taylor Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τα σφάλματα περικοπής (truncation), τη σειρά Taylor και ζητήματα σχετικά με τη διάδοση του λάθους. 4
Περιεχόμενα ενότητας Σφάλματα περικοπής (truncation) και η σειρά Taylor. Διάδοση του λάθους. 5
Σφάλματα περικοπής (truncation) και η σειρά Taylor Συναρτήσεις τριγωνομετρικές, εκθετικές και άλλες μπορούν να προσεγγισθούν με σειρά Taylor και έτσι να υπολογισθούν ολοκληρώματα, παράγωγοι, κλπ. Κάθε συνεχής συνάρτηση μπορεί να προσεγγισθεί με πολυώνυμο και η σειρά Taylor μας δίνει τη δυνατότητα να βρούμε την τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο αν γνωρίζουμε την τιμή της και τις τιμές των παραγώγων της σε ένα άλλο σημείο. 6
Παράδειγμα 1 (1) Η συνάρτηση cos(x) για μικρά x: Αν x=0,5 cos(0,5) =1-0,125+0,0026041-0,0000217+ =0,877582465 Γι αυτή τη σειρά το λάθος (= cos(0,5) 0,877582465 1 10 7 ) είναι περίπου ίδιο με τον απορριπτόμενο όρο: 7
Παράδειγμα 1 (2) Κάθε συνεχής συνάρτηση μπορεί να προσεγγισθεί με πολυώνυμο. f(x i+1 ) f(x i ) μηδενικής τάξης προσέγγιση, ισχύει μόνο αν x i+1 x i. f(x i+1 ) f(x i ) + f (x i ) (x i+1 -x i ) πρώτης τάξης προσέγγιση, γραμμική εξίσωση ευθείας 8
n th τάξης προσέγγιση (1) (x i+1 -x i )= h βήμα (το ορίζουμε εμείς). Υπόλοιπο, R n, περιλαμβάνει όλους τους όρους από (n+1) στο άπειρο. 9
n th τάξης προσέγγιση (2) Το e δεν είναι γνωστό αλλά βρίσκεται μεταξύ x i+1 >e >x i. Χρειαζόμαστε το f n+1 (x), άρα και την f(x). Αν ξέραμε την f(x), δεν χρειαζόμασταν την σειρά Taylor. Όμως, R=O(h n+1 ) δηλ. τάξης (n+1) th και η τάξη μεγέθους του σφάλματος περικοπής είναι h n+1. Αν O(h), μειώνοντας στο μισό το βήμα, μειώνουμε στο μισό το λάθος. 10
n th τάξης προσέγγιση (3) Αν O(h 2 ), μειώνοντας στο μισό το βήμα, το λάθος μειώνεται στο ¼. Το λάθος περικοπής μειώνεται όσο προσθέτουμε όρους στην σειρά Taylor. Αν το h είναι αρκετά μικρό, τότε μόνο λίγοι όροι απαιτούνται για μια καλή προσέγγιση. 11
Παράδειγμα 2 Σχήμα 1. Παράδειγμα 2, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 12
Παράδειγμα 3 Σχήμα 2. Παράδειγμα 3, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 13
Διάδοση (propagation) του λάθους (1) Αν fl(x) είναι η παράσταση ενός δεκαδικού αριθμού x («floating point») υπολογιστή. Υπάρχει το λάθος στρογγυλοποίησης επειδή ο υπολογιστής κρατάει ορισμένα μόνο σημαντικά ψηφία. Το λάθος αυτό προσδιορίζεται από την ακρίβεια του υπολογιστή (e). 14
Διάδοση (propagation) του λάθους (2) Υποθέτουμε συνάρτηση f(x) με ανεξάρτητη μεταβλητή x. Τότε fl(x)=x είναι μια προσέγγιση του x. Μπορούμε να υπολογίσουμε τι επίδραση θα έχει αυτή η διαφορά μεταξύ x και fl(x) =x στην τιμή της συνάρτησης f(x);. 15
Διάδοση (propagation) του λάθους (3) Σχήμα 3. Διάδοση του λάθους, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 16
Παράδειγμα 4 (1) Αν έχουμε μια τιμή x=2,5 με λάθος Δx=0,01 να βρείτε τι λάθος εισάγεται στην συνάρτηση. f(x)=x 3 17
Παράδειγμα 4 (2) Αν e t, είναι το σχετικό λάθος, δηλαδή: 18
Περίπτωση 1 Περίπτωση 1: Πρόσθεση των x 1 and x 2 με αντίστοιχα λάθη e t1 and e t2 δίνει: fl(x 1 )=x 1 (1+e t1 ) fl(x 2 )=x 2 (1+e t2 ) fl(x 1 )+fl(x 2 )=e t1 x 1 +e t2 x 2 +x 1 +x 2 Οπότε το σχετικό λάθος: Αν x 1 και x 2 πολύ κοντά αλλά με αντίθετο πρόσημο, μπορεί να προκύψει μεγάλο σφάλμα άρα αποφεύγουμε να αφαιρούμε αριθμούς σχεδόν ίσους. 19
Γενικά Έχουμε τους αριθμούς fl(x 1 ), fl(x 2 ), fl(x 3 ),, fl(x n ) που είναι προσεγγίσεις των x 1, x 2, x 3,,x n και σε κάθε περίπτωση το μέγιστο πιθανό λάθος είναι E δηλ. fl(x i )-E x i fl(x i )+E E ti E Προσθέτοντας κατά μέλη: Άρα μέγιστο πιθανό λάθος του αθροίσματος είναι: 20
Περίπτωση 2 (1) Πολλαπλασιασμός των x 1 και x 2 με αντίστοιχα λάθη e t1 and e t2 δίνει: 21
Περίπτωση 2 (2) Επειδή e t1, e t2 είναι μικρά, το e t1 e t2 είναι πολύ μικρότερο του e t1 +e t2. Άρα το σφάλμα με ένα πολλαπλασιασμό θα είναι της τάξης του e t1 +e t2. e t1 e (μέγιστο όριο σφάλματος) Αν και μετά από ένα υπολογισμό το σφάλμα είναι μικρό, μετά από 100 υπολογισμούς το σφάλμα θα είναι 100e. Το σφάλμα μετά από ένα υπολογισμό είναι ανάλογο του αριθμού των πολλαπλασιασμών. 22
Παράδειγμα 5 Πίνακας 1. Παράδειγμα 5, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 23
Παράδειγμα Ροή σε κανάλι (1) Ο τύπος του Manning για την ροή σε κανάλι ορθογώνιας διατομής είναι: όπου Q=παροχή (m 3 /s), n=συντελεστής τραχύτητας, Β= πλάτος (m), H=βάθος (m) και S=κλίση. Εφαρμόζουμε την εξίσωση για ένα ρεύμα σε κανάλι πλάτους=20m και βάθους 0,3 m. Γνωρίζουμε τον συντελεστή τριβής και την κλίση με ακρίβεια (επαναληψιμότητα) 10%. Δηλαδή το n=0,03 10%(0,03)=0,03 0,003 και η κλίση S=0,0003 10%(0,0003)=0,0003 0,00003. Εφαρμόστε μιας 1 ης τάξης προσέγγιση για ανάλυση του λάθους για να εκτιμήσετε την ευαισθησία της μεταβολής της παροχής σ αυτούς τους παράγοντες. Ποια από τα δύο θα ήταν καλό να μετρηθεί με μεγαλύτερη ακρίβεια; 24
Παράδειγμα Ροή σε κανάλι (2) Λύση Η αβεβαιότητα λόγω της τραχύτητας είναι διπλάσια από αυτή λόγω της κλίσης άρα θα ήταν καλό να βελτιώσουμε αυτήν παρά την κλίση. 25
Overflow Underflow Stable algorithm Overflow: Κάθε αριθμός > από τον μέγιστο που μπορεί να παρασταθεί στον υπολογιστή overflow. Underflow (Hole): Κάθε αριθμός < από τον ελάχιστο που μπορεί να παρασταθεί στον υπολογιστή underflow. Σταθερός Αλγόριθμος (Stable Algorithm): Σε πολλούς υπολογισμούς θα γίνουν πολλά σφάλματα στρογγυλοποίησης που θα εισαχθούν στο τελικό αποτέλεσμα. Οι αλγόριθμοι που περιορίζουν αυτό το προσθετικό σφάλμα ονομάζονται σταθεροί ενώ αντίθετα ασταθείς. 26
Log error versus log step size Σχήμα 4. Log error vs log step size, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 27
Excel (1) Σχήμα 5. Γραφική παράσταση στο excel (1), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 28
Excel (2) Σχήμα 6. Γραφική παράσταση στο excel (2), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 29
Βιβλιογραφία Chapra, S. C. & Canale, R. P. (2010). Numerical methods for engineers - 6 th Edition. McGraw-Hill. 30
Τέλος Ενότητας