Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις 5 0.900 X 1.645σ 1 στις 10 0.950 X 1.960σ 1 στις 0 0.990 X.576σ 1 στις 100 0.999 X 3.91σ 1 στις 1000 Με σκοπό τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης, για το μέσο μιας ομάδας παρατηρήσεων από τα αντίστοιχα διαστήματα, για μια απλή παρατήρηση, το δεύτερο διαιρείται με. Διάστημα εμπιστοσύνης μέσου Διάστημα εμπιστοσύνης απλής παρατήρησης (4.77) Έτσι, η προσδοκία ότι ο μέσος μιας ομάδας παρατηρήσεων δε θα διαφέρει περισσότερο από ένα συγκεκριμένο ποσό από το θεωρητικό μέσο ενός άπειρου συνόλου παρατηρήσεων, μπορεί επίσης να εκφραστεί με όρους ενός διαστήματος εμπιστοσύνης και ενός επιπέδου εμπιστοσύνης.
4.46 Σφάλματα Μετρήσεων Πίνακας 4.5 Διαστήματα εμπιστοσύνης (όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι μικρός) Αριθμός βαθμών ελευθερί ας 1 Αριθμό ς παρατ ηρήσε ων Επίπεδο εμπιστοσύνης 0.5 0.9 0.95 0.99 X 1.00s X 6.31s X 1.71s X 63.66s 3 X 0.8s X.9s X 4.3s X 9.9s 3 4 X 0.77s X.35s X 3.18s X 5.84s 4 5 X 0.74s X.13s X.78s X 4.60s 5 6 X 0.73s X.0s X.57s X 4.03s 6 7 X 0.7s X 1.94s X.45s X 3.71s 7 8 X 0.71s X 1.90s X.37s X 3.50s 8 9 9 10 10 11 15 16 Διάστημα εμπιστοσύνης X 0.71s X 1.86s X 0.70s X 1.83s X 0.70s X 1.81s X 0.69s X 1.75s X.31s X 3.36s X.6s X 3.5s X.3s X 3.17s X.13s X.95s
Σφάλματα Μετρήσεων 4.47 Παράδειγμα 4.15 Οι παρακάτω 10 παρατηρήσεις καταγράφθηκαν κατά τη μέτρηση τάσης: 41.7, 4.0, 41.8, 4.0, 4.1, 41.9, 4.0, 41.9, 4.5 και 41.8V. Να βρεθούν (α) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη παρατήρηση για επίπεδο εμπιστοσύνης0.5, 0.9, 0.95 και 0.99 και (β) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το σύνολο των παρατηρήσεων για τους προαναφερθέντες βαθμούς εμπιστοσύνης. Συμβουλευτείτε το πίνακα για τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Απάντηση. Αυτό το παράδειγμα είναι μια προέκταση του παραδείγματος 4.15. (α) Τυπική απόκλιση d s 1 0. V Επομένως, τα επίπεδα εμπιστοσύνης και τα αντίστοιχα διαστήματα (γύρω από το μέσο) για μια μεμονωμένη παρατήρηση δίνονται στον παρακάτω πίνακα. (χρησιμοποιήθηκε ο Πίνακας 4.5) Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης 0.5 0.9 0.95 0.99 0.7 s 1.83 s.6 s 0.15V 0.40V 0.50V 3.5 s 0.7V (β) Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου, υπολογίζονται διαιρώντας τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μεμονωμένες καταγραφές με τον όρο. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου που αντιστοιχούν σε διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης είναι: Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης 0.5 0.9 0.95 0.99 0.05 0.13 0.17 0.4 Σχολιασμός. Επομένως η μέση τιμή που υπολογίστηκε από τις 10
4.48 Σφάλματα Μετρήσεων παρατηρήσεις θα αναμένεται με πιθανότητα 50% να είναι εντός του 0.05V από τη μέση τιμή ενός άπειρου αριθμού παρατηρήσεων. Σε ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99, οι παρατηρηθείσες και οι θεωρητικές τιμές διαφέρουν λιγότερο από 0.4V. 4.15 Απόρριψη Δεδομένων Στα περισσότερα από τα πειράματα, ο παρατηρητής βρίσκει ότι κάποια από τα δεδομένα είναι αισθητώς διαφορετικά από την πλειοψηφία των δεδομένων. Αν αυτά τα δεδομένα λήφθηκαν κάτω από μη φυσιολογικές συνθήκες και ο παρατηρητής είναι σίγουρος για την λανθασμένη φύση τους, αυτά τα δεδομένα μπορούν να παραληφθούν άμεσα. Όμως ο παρατηρητής δε μπορεί να απορρίψει δεδομένα απλά επειδή είναι διαφορετικά από τα υπόλοιπα, πρέπει να βασιστεί σε συγκεκριμένες μαθηματικές μεθόδους για να απορρίψει τα πειραματικά δεδομένα. Υπάρχουν πολλές διαθέσιμες μέθοδοι για να αξιολογηθεί αν τα δεδομένα πρέπει να συμπεριληφθούν ή να απορριφθούν. Οι τρεις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι: Το κριτήριο του Chauveet, Η χρήση διαστημάτων εμπιστοσύνης και Τα όρια στο 3. Αυτές οι μέθοδοι αναλύονται παρακάτω. 4.15.1 Το Κριτήριο του Chauveet Έστω, ότι παρατηρήσεις έχουν γίνει για τη μέτρηση ενός μεγέθους. Θεωρείται ότι οι παρατηρήσεις είναι αρκετές ώστε τα δεδομένα να ακολουθούν μια κανονική κατανομή. Αυτή η κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογισθεί η πιθανότητα για μια δεδομένη καταγραφή να αποκλίνει κατά ένα συγκεκριμένο ποσό από το μέσο. Το κριτήριο του Chauveet ορίζει ότι μια καταγραφή μπορεί να απορριφθεί αν η πιθανότητα να ληφθεί η συγκεκριμένη απόκλιση από το μέσο είναι μικρότερη από 1. Ο Πίνακας 4.6 δίνει τιμές για το λόγο της απόκλισης προς τη τυπική απόκλιση για διάφορες τιμές του ανάλογα με το κριτήριο.
Σφάλματα Μετρήσεων 4.49 Πίνακας 4.6 Το κριτήριο του Chauveet για την απόρριψη δεδομένων. Λόγος μέγιστης αποδεκτής απόκλισης Αριθμός καταγραφών προς τυπική απόκλιση, d max 1.15 3 1.38 4 1.54 5 1.65 6 1.73 7 1.80 10 1.96 15.13 5.33 50.57 100.81 300 3.14 500 3.9 1000 3.48 Όταν εφαρμόζεται το κριτήριο του Chauveet, ώστε να αποκλειστούν κάποια ύποπτα δεδομένα, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται, πρώτα, χρησιμοποιώντας όλα τα δεδομένα. Οι αποκλίσεις των μεμονωμένων καταγραφών, έπειτα, συγκρίνονται με την τυπική απόκλιση. Αν ο λόγος της απόκλισης μιας καταγραφής από την τυπική απόκλιση υπερβαίνει τα όρια που δίνονται στον Πίνακα 4.6, αυτή η καταγραφή απορρίπτεται. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται ξανά, αφού αφαιρεθεί η απορριφθείσα καταγραφή από τα δεδομένα.
4.50 Σφάλματα Μετρήσεων 4.15. Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Ένα κριτήριο που χρησιμοποιείται για τον αποκλεισμό δεδομένων, είναι όταν η απόκλιση μιας καταγραφής από το μέσο υπερβαίνει τέσσερις φορές το πιθανό σφάλμα μιας μεμονωμένης καταγραφής. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, την απόρριψη των δεδομένων που βρίσκονται εκτός του διαστήματος εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη καταγραφή με επίπεδο εμπιστοσύνης 0.993. Ένα καλύτερο κριτήριο το οποίο δεν περιλαμβάνει τον υπολογισμό του πιθανού σφάλματος, όταν το σύνολο των δεδομένων είναι μικρό και η τυπική απόκλιση δεν είναι επακριβώς γνωστή, είναι να απορριφθεί μια καταγραφή η οποία βρίσκεται εκτός του διαστήματος που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99 για μια μεμονωμένη παρατήρηση (βλ. Πίνακα 4.4 και 4.5). Σε αυτή τη βάση, λιγότερες από 1 καταγραφές στις 100 θα είναι εκτός του εύρους αυτού. Μια ακόμα καλύτερη μέθοδος είναι να χρησιμοποιηθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης που να αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.95, έτσι ώστε να ελεγχθεί πιο διεξοδικά η διαδικασία μέτρησης που έχει υιοθετηθεί. 4.15.3 Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Ορίων ±3σ Η πιθανότητα μια καταγραφή να είναι εντός των ορίων 3 από τη μέση τιμή είναι 0.9974, η οποία είναι αρκετά υψηλή και έτσι κάθε καταγραφή που είναι εκτός αυτών των ορίων θα απορριφθεί. Παράδειγμα 4.16 Ένα εργαστηριακό πείραμα εκτελείται για να μετρηθεί η ρευστότητα ενός δείγματος λαδιού. Μια σειρά από πειράματα δίνει τις 3 3 3 3 3 τιμές 5.3010, 5.7310, 6.7710, 5.610, 4.3310, 3 3 3 3 3 5.4510, 6.0910, 5.6410, 5.8110 και 5.7510 m s. Μπορεί να απορριφθεί κάποια τιμή με τη χρήση του κριτηρίου Chauveet; Ο λόγος της μέγιστης απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1.96. Απάντηση. Τα αποτελέσματα μπορούν να παρουσιαστούν στον παρακάτω πίνακα
Σφάλματα Μετρήσεων 4.51 Α/Α 1 3 4 5 6 7 8 9 10 x i d i = xi - X 3 5.3010 0.31310 3 5.7310 0.11710 3 6.7710 1.15710 3 5.610 0.35310 3 4.3310 1.8310 3 5.4510 0.16310 3 6.0910 0.47710 3 5.6410 0.0710 3 5.8110 0.19710 3 5.7510 0.13710 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 d i d s 9 98.010 0.50 9 13.710 0.19 9 133910 1.85 9 1510 0.56 9 164910.05 9 6.610 0.6 9 810 0.76 9 0.7910 0.04 9 38.910 0.31 9 38.710 0. Μέση τιμή ρευστότητας: x i 56.1310 3 x 3 i 56.1310 d 353710 9 i 3 X 10 5.61310 m s Τυπική απόκλιση: d 9 i 353710 3 s 0.6710 m s 1 (101) Έχει ορισθεί ότι για 10 καταγραφές ο λόγος της απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1.96 και έτσι η καταγραφή 5, 3 δηλαδή η τιμή 4.3310 πρέπει να απορριφθεί. 4.16 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Υποθετικά έχουμε ένα σύνολο καταγραφών x1, x,, x. Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεών τους από μια μέση τιμή X m είναι: S ( x X ) i1 Υποθέτοντας ότι πρέπει να ελαχιστοποιηθεί το S ως προς τη μέση τιμή X m έχουμε: S xi Xm 0 Xm i1 i m
4.5 Σφάλματα Μετρήσεων ή X m 1 xi i1 Αλλά 1 xi i1 X, οπότε Xm X Επομένως, η μέση τιμή η οποία ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων είναι ο αριθμητικός μέσος. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Άλλη μια εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων δίνεται παρακάτω. Υποθέστε ότι δύο μεταβλητές x και y μετρώνται σε ένα εύρος τιμών. Θέλουμε να εξάγουμε μια απλή αναλυτική έκφραση της y ως συνάρτηση της x. Ο απλούστερος τύπος συνάρτησης είναι ο γραμμικός και, επομένως, γίνεται προσπάθεια να βρεθεί η καλύτερη γραμμική συνάρτηση που να συνδέει τα x και y. Έστω, ότι η γραμμική συνάρτηση είναι y xb. Τώρα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα, S y ( x b ) i1 i Αυτό γίνεται παίρνοντας παράγωγα του S ως προς a και b και θέτοντάς τα ίσα με το μηδέν. Έτσι προκύπτει ότι b a x y i b x a x x y i i i i i i Λύνοντας τις παραπάνω εξισώσεις, έχουμε xiyi xi( yi) x x b i i xi xi y ( x ) x y ( x ) i i i i i (4.78) (4.79) Οι τυπικές αποκλίσεις των a και b, μπορούν να υπολογιστούν ως sa s y (4.80) x x i i
Σφάλματα Μετρήσεων 4.53 s b xi i x x 1 s y ( xi b yi) Η τυπική απόκλιση του x είναι s x 1 yi b s y xi a a i s y (4.81) (4.8) (4.83) Παράδειγμα 4.17 Τα ακόλουθα δεδομένα αναμένεται να ακλουθούν μια γραμμική σχέση της μορφής y xb. Δώστε την καλύτερη γραμμική σχέση σε συμφωνία με την ανάλυση των ελαχίστων τετραγώνων. Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση των δεδομένων από το αποτέλεσμα. x 0.9.3 3.3 4.5 5.7 6.7 y 1.1 1.6.6 3. 4.0 5.0 Απάντηση. Η λύση είναι της μορφής yx b. Οι διάφορες ποσότητες υπολογίζονται όπως παρακάτω: x i y i i i x y x 0.9 1.1 0.99 0.81.3 1.6 3.68 5.9 3.3.6 8.58 10.89 4.5 3. 14.40 0.5 5.7 4.0.80 3.49 6.7 5.0 33.50 44.89 x i y i xy i i 83.95 i 114.6 i Ο αριθμός των καταγραφών είναι 6. Από τις εξισώσεις (4.78) και (4.79) προκύπτει ότι 6 83.95 3.4 17.5 0.67 6114.6 3.4
4.54 Σφάλματα Μετρήσεων Επομένως, η επιθυμητή σχέση είναι b 17.5 114.6 83.95 3.4 0.96 6114.6 3.4 y 0.67x 0.96 Το Σχήμα 4.7 δείχνει τη γραφική παράσταση της σχέσης και τα πραγματικά πειραματικά δεδομένα. Ας βρούμε την τυπική απόκλιση του y : x i y i αx i +b i i αx +b-y αx +b-y 0.9 1.1 0.901 0.199 0.0396.3 1.6 1.84 0.4 0.0586 3.3.6.514 0.0860 0.0074 4.5 3. 3.30 0.100 0.0144 5.7 4.0 4.16 0.0159 6.7 5.0 4.798 0.00 0.0408 xi b y i 0.1766 i i Η τυπική απόκλιση του y υπολογίζεται ως εξής 1 0.1766 sy ( xi b yi) 0.1716 6 Από την εξίσωση (4.83) η τυπική απόκλιση του x είναι s x s y 0.1716 0.55 a 0.67 Από τις εξισώσεις (4.80) και (4.81), οι τυπικές αποκλίσεις των a και b είναι s s a b 6 s 0.1716 0.0355 x x y 6114.63.4 i i xi 114.6 sy 6114.63.4 i i 0.1716 0.155 x x
Σφάλματα Μετρήσεων 4.55 Y 0.67x 0.96 Y Σχήμα 4.7 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων για γραμμική παρεμβολή. x 4.17 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με συνιστώσες διαφορετικές μεταβλητές, κάθε μια από τις οποίες είναι υποκείμενη σε τυχαία φαινόμενα. Έτσι, ισχύει: X f( x, x, x,, x ) (4.84) 1 3 Τώρα, αν οι x 1, x, x 3,, x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, τότε για μικρή απόκλιση από την μέση τιμή τους στα x 1, x, x 3,, x, που ορίζεται ως x 1, x, x 3,, x, η τελική απόκλιση του X από τη μέση τιμή του, για κάθε ξεχωριστό όρο δίνεται ως
4.56 Σφάλματα Μετρήσεων X X X x1 x x x 1 Υψώνοντας στο τετράγωνο τη σχέση 4.59, ισχύει X x x x x (4.85) X X X X 1 1 (4.86) x1 x x1 x Τώρα, αν οι αποκλίσεις των x 1, x κτλ, είναι ανεξάρτητες, όπως λέει η υπόθεση, οι θετικές τιμές μιας προσαύξησης είναι εξίσου πιθανό να συνδέονται με μια θετική ή αρνητική τιμή μιας άλλης προσαύξησης. Επομένως, το άθροισμα των γινομένων των χιαστί (cross) όρων τείνει να είναι μηδέν για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Εξ ορισμού, η διακύμανση V είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Επομένως, το μέσο του X γίνεται η διακύμανση του X για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Η διακύμανση του X ορίζεται ως V X και έτσι γράφεται ως X X X V X V 1 V V x1 x x X x x x (4.87) Καθώς, σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις το x 1 τείνει να γίνει η μέση τιμή της διασποράς του x 1, δηλαδή V x1. Η εξίσωση (4.87) μπορεί να γραφεί ως: V V V V (4.88) X x1 x x Αυτό φανερώνει ότι οι διακυμάνσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1. Η διακύμανση του x 1 με βάρος (weighted variace) μπορεί να γραφεί ως V X V x1 x1 x1 (4.89) Η τυπική απόκλιση του X μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση (4.87). Η τυπική απόκλιση του X είναι x και είναι ίση με X X X V V 1 V V x1 x x x x x x x (4.90)
Σφάλματα Μετρήσεων 4.57 αλλά V x x. Συνεπώς X X X V 1 V V x1 x x x x x x X X X 1 x1 x x x x x (4.91) Είναι φανερό από την εξίσωση (4.91) ότι και οι δύο τυπικές αποκλίσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1, κτλ. οι οποίοι εκφράζουν τη σχετική επιρροή των διάφορων συνιστωσών στην εξίσωση του συνδυασμού τους. Επομένως, μπορεί να γραφεί 1 x x x x (4.9) Όπου x 1 είναι η τυπική απόκλιση με βάρος για το x 1, X x1 x1 x1 (4.93) Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι αληθείς μόνο για συνιστώσες μεγεθών x 1, x, κτλ. που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ότι οι προσαυξήσεις είναι μικρές, έτσι ώστε οι όροι μεγαλύτερης τάξης από την πρώτη να είναι αμελητέες. Στην πραγματικότητα, σε εφαρμογές στην επιστήμη του μηχανικού, οι προσαυξήσεις είναι μικρές, καθώς είναι εφικτό, γενικά, να διατηρούνται τα τυχαία φαινόμενα υπό έλεγχο. 4.17.1 Πιθανό Σφάλμα Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με διαφορετικές μεταβλητές για συνιστώσες x 1, x, x 3,, x κάθε μια από τις οποίες είναι μια ανεξάρτητη μετρούμενη ποσότητα. Η τυπική απόκλιση σύμφωνα με τον ορισμό είναι X X X 1 x1 x x x x x x (4.94)
4.58 Σφάλματα Μετρήσεων Αλλά από την εξίσωση (4.6) το πιθανό σφάλμα είναι το πιθανό σφάλμα είναι ανάλογο της τυπικής απόκλισης. Έτσι μπορεί να οριστεί το πιθανό σφάλμα του X ως r 0.6745, ή x x x x X X X r r 1 r r x1 x x (4.95) όπου r x1, r x, κτλ. είναι τα πιθανά σφάλματα για τα x 1, x, κτλ. Η συμβολή του πιθανού σφάλματος του x 1 στο συνολικό σφάλμα στο X είναι 1 x1 X x r και αυτή η συμβολή μπορεί να γραφεί με άλλη μορφή ως Επομένως, η εξίσωση (4.95) γίνεται x x1 x x r x1. r r r r (4.96) Όπου το πιθανό σφάλμα με βάρος του x είναι r x X r x x (4.97) Παράδειγμα 4.18 Έχουμε ένα κύκλωμα με δυο παράλληλους κλάδους. Τον πρώτο κλάδο διαρρέει ρεύμα I1 100 A και το δεύτερο I 00 5A. Να προσδιοριστεί η τιμή του συνολικού ρεύματος, α) θεωρώντας τα σφάλματα στα I 1 και I ως οριακά σφάλματα και β) θεωρώντας τα σφάλματα ως τυπικές αποκλίσεις. Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. α) Ισχύει I I1I Σχετικό σφάλμα: I I1 I1 I I I I I I1 I I Αλλά, I1 I 1 100 0.0 και I I 5 00 0.05 I 00 100 300 Επομένως το σχετικό σφάλμα ισούται με I 100 00 0.0 0.050.033.33% I 300 300 Επομένως, μπορεί να γραφεί ότι
Σφάλματα Μετρήσεων 4.59 I 300 1 0.033 3007 β) Όταν τα σφάλματα θεωρούνται η τυπική απόκλιση κάθε μεγέθους, έχουμε: Τυπική απόκλιση του I, 1 11 1 5 5.38 1 Διότι 1 1 I 3005.38 Η τυπική απόκλιση του I εκφράζεται σαν κλάσμα ως 5.38 300 0.018 1.8%. Είναι φανερό από τους παραπάνω υπολογισμούς ότι τα οριακά σφάλματα του % στο I 1 και του.5% στο I συνδυάζονται κατά ένα τρόπο για να δώσουν ένα οριακό σφάλμα του.33% στο άθροισμά τους ( I ). Ενώ όταν τα ίδια σφάλματα θεωρούνται ως η τυπική απόκλιση, συνδυάζονται για να δώσουν ένα σφάλμα της τάξης του 1.8%. Η χρήση της τυπικής απόκλιση αντί του οριακού σφάλματος δίνει ένα πιο αισιόδοξο αποτέλεσμα. Αυτό είναι λογικό, αφού η πιθανότητα να είναι και το I 1 και το I μακριά από την αντίστοιχη μέση τιμή είναι μικρή. 4.18 Ανάλυση Αβεβαιότητας και Χειρισμός Μεμονωμένων Δειγμάτων. Πολλές φορές τα διαθέσιμα δεδομένα έχουν ληφθεί με απλή δειγματοληψία και, έτσι, οι στατιστικές μέθοδοι που συζητήθηκαν παραπάνω δε μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα. Στην περίπτωση των δεδομένων με απλή δειγματοληψία δεν είναι δυνατό να παρατηρηθεί η διασπορά μέσω της γραφικής παράστασης της καμπύλης της κατανομής συχνότητας. Έτσι είναι απαραίτητη μια άλλη προσέγγιση. Οι Klie και McClitock εισηγήθηκαν μια μέθοδο βασισμένη σε πιθανότητες και στατιστική, η οποία αναλύει τα δεδομένα χρησιμοποιώντας μια κατανομή αβεβαιότητας (ucertaity distributio), παρά μια κατανομή συχνότητας. Όρισαν την κατανομή αβεβαιότητας, ως τη κατανομή
4.60 Σφάλματα Μετρήσεων σφάλματος που πιστεύει ο παρατηρητής ότι θα υπήρχε σε περίπτωση που ήταν επιτρεπτή η πολλαπλή δειγματοληψία. Οι Klie και McClitock πρότειναν ότι ένα μεμονωμένο δείγμα μπορεί να εκφραστεί σε συνάρτηση με την μέση τιμή και ένα διάστημα αβεβαιότητας που βασίζεται σε ορισμένες πιθανότητες. Το αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί ως: X X w ( b προς1) όπου X είναι η τιμή, όταν μόνο μια καταγραφή είναι διαθέσιμη, του αριθμητικού μέσου για αρκετές καταγραφές, w είναι το διάστημα αβεβαιότητας, b είναι η απόδοση ή η πιθανότητα της πραγματικής τιμής να είναι μέσα στο δηλωθέν διάστημα, βάσει της γνώμης του παρατηρητή. Η έννοια της αβεβαιότητας (ucertaity) μπορεί να εξηγηθεί στο παρακάτω παράδειγμα. Τα αποτελέσματα μιας μέτρησης της θερμοκρασίας μπορεί να εκφραστεί ως: 100 1. Αυτό, σημαίνει ότι υπάρχει μια αβεβαιότητα του 1 στο αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, ο παρατηρητής θέτει με συγκεκριμένους όρους, την ακρίβεια των αποτελεσμάτων που λήφθηκαν από τον ίδιο. Αυτό αναδεικνύει μια άλλη διάσταση στις μετρήσεις, και αυτή είναι κατά πόσο ο παρατηρητής είναι σίγουρος ότι οι μετρήσεις του βρίσκονται εντός καθορισμένων ορίων. Επομένως, προκύπτει η ανάγκη για περαιτέρω προδιαγραφές. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι Klie και McClitock πρότειναν να καθορίζουν οι παρατηρητές συγκεκριμένες πιθανότητες για την αβεβαιότητα. Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να δοθεί ως 100 1 (0 προς 1) Τα αποτελέσματα που ορίζονται με την παραπάνω μορφή είναι πιο συγκεκριμένα. Αυτό συμβαίνει διότι ο παρατηρητής δίνει απόδοση 0 προς 1 ότι η μέτρηση της θερμοκρασίας που έκανε είναι εντός του 1 από τους 100. Αυτή η προσέγγιση είναι μεγάλης αξίας όταν προετοιμάζεται ένα πείραμα, ειδικά όταν το πείραμα περιλαμβάνει έξοδα διαφόρων ειδών,
Σφάλματα Μετρήσεων 4.61 όπως ανθρωποδύναμης, χρόνου και εξοπλισμού. Αυτή η προσέγγιση θέτει τα ουσιώδη για να καθιερωθεί η βάση για προκαθορισμένες εκτιμήσεις της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων μέσω της μελέτης της διάδοσης των αβεβαιοτήτων. Με αυτό τον τρόπο εκτίμησης των πειραματικών αποτελεσμάτων, τα αποτελέσματα μπορούν να εξαχθούν προτού διεξαχθεί το πείραμα. 4.18.1. Διάδοση Αβεβαιοτήτων Η ανάλυση της αβεβαιότητας στις μετρήσεις, όταν περιλαμβάνονται πολλές μετρούμενες ποσότητες, γίνεται με την ίδια βάση που γίνεται η ανάλυση σφάλματος όταν τα αποτελέσματα είναι εκφρασμένα ως τυπικές αποκλίσεις ή πιθανά σφάλματα. Υποθέτοντας ότι X είναι μια συνάρτηση διάφορων μεταβλητών, όπου x 1, x, x 3,, πιθανοτήτων. Έστω X f( x, x, x,, x ) 1 3 x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές με τον ίδιο βαθμό w x είναι η προκύπτουσα αβεβαιότητα και w x1, w x, w x3,, w x, είναι οι αβεβαιότητες των ανεξάρτητων μεταβλητών x 1, x, x 3,, x, αντίστοιχα. Η αβεβαιότητα στο αποτέλεσμα δίνεται ως x x x x X X X w w 1 w w x1 x x (4.98) Παράδειγμα 4.19 Μια συγκεκριμένη αντίσταση παρουσιάζει πτώση τάσης 110.V και τη διαρρέει ρεύμα 5.3A. Οι αβεβαιότητες στις μετρήσεις είναι 0.V και 0.06A αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση και η αβεβαιότητα της ισχύος. Απάντηση Η ισχύς είναι ίση με Pτάσηρεύμα VI 110.5.3 584W Επειδή P VI έχουμε P I 5.3 και P V 110. V I
4.6 Σφάλματα Μετρήσεων Όμως, w 0. και w 0.06. Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση V της ισχύος είναι P P wv wi V I 6.7 6.7W 100 1.15% 584 5.3 0. 110. 0.06 Παράδειγμα 4.0 Δυο αντιστάτες R 1 και R είναι συνδεδεμένοι πρώτα σε σειρά και έπειτα παράλληλα. Οι τιμές των αντιστάσεων είναι R 1 100.0 0.1Ω, R 500.03 Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στην προκύπτουσα αντίσταση και για τις δυο συνδεσμολογίες. Απάντηση. Όταν οι αντιστάτες συνδέονται σε σειρά τότε η συνολική αντίσταση είναι R R R 1 R 1 και R 1 R 1 R Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr 1 0.1 1 0.03 0.1044 R1 R Η συνολική αντίσταση είναι R 100 50 150. Και μπορεί να εκφραστεί ως R 150 0.1044 Όταν οι δυο αντιστάτες είναι συνδεδεμένοι παράλληλα, η προκύπτουσα αντίσταση είναι: RR 1 10050 R 33.33 R R 10050 Τώρα, 1
Σφάλματα Μετρήσεων 4.63 R R R R R 1 1 R 1 RR1R R1RR1R R1 R R1R 50 100500 0.111 R R R R 150 150 1 1 R R1 R1R 100 100500 0.444 R R R R R 1 1 150 150 Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr R1 R 0.111 0.1 0.444 0.03 0.01734 Η συνολική αντίσταση θα γραφεί ως: R 33.330.01734 1 Παράδειγμα 4.1 Ένας αντιστάτης έχει ονομαστική τιμή 101%. Μια τάση εφαρμόζεται στα άκρα του και η ισχύς που καταναλώνεται μπορεί να υπολογιστεί με δυο τρόπους: (i) P E R και (ii) P EI. Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ισχύος, σε κάθε περίπτωση, όταν οι μετρούμενες τιμές για τα E και I είναι: 100V 1% και I 101% Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. Το κύκλωμα φαίνεται στο Σχήμα 4.8. Σχήμα 4.8 Κύκλωμα παραδείγματος 4.30.
4.64 Σφάλματα Μετρήσεων (i) P E P E E R R R E P R Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος είναι: P E R E R P P E E w w w w w E R R R Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp we wr 100 4 100 40.01 0.01 100.36% P E R (ii) P P EI I και P E E I Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp 1 P P 100 we wi 100 P P E I 1 we wi IwE EwI 100 100 P E I 0.01 0.01 100 1.414% Η δεύτερη μέθοδος του καθορισμού της ισχύος δίνει μια πολύ μικρότερη αβεβαιότητα από την πρώτη, παρά το γεγονός ότι οι βασικές αβεβαιότητες σε κάθε ξεχωριστή ποσότητα είναι οι ίδιες. Συμπεραίνεται από τα παραπάνω, ότι μια ενσυνείδητη επιλογή της μεθόδου μέτρησης είναι σημαντική στον περιορισμό της αβεβαιότητας στον υπολογισμό των τελικών αποτελεσμάτων.