ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 7 η Σειρά Ασκήσεων - λύσεις Άσκηση 7.1 [1 μονάδα] Ένα ζευγάρι έχει δύο παιδιά. Θεωρούμε ότι είναι το ίδιο πιθανό να γεννηθεί αγόρι ή κορίτσι. a. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κορίτσια και τα 2 παιδιά δεδομένου ότι το πρώτο παιδί που γεννήθηκε ήταν κορίτσι; b. Ας υποθέσουμε (μόνο γι αυτό το ερώτημα) ότι ένα τουλάχιστον παιδί είναι κορίτσι. Με αυτό το δεδομένο, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο παιδιά κορίτσια; O δειγματικός μας χώρος είναι ο { ΑΚ, ΚΚ, ΑΑ, ΚΑ } όπου ΑΚ: το πρώτο παιδί είναι αγόρι και το 2 ο κορίτσι, ΚΚ: και τα 2 παιδιά είναι κορίτσια, κοκ) με ίση πιθανότητα για όλα τα ενδεχόμενα. Έστω Α το ενδεχόμενο και τα δύο παιδιά να είναι κορίτσια (Α={ΚΚ} ) και Β το ενδεχόμενο το πρώτο παιδί να είναι κορίτσι (Β={ΚΑ, ΚΚ}). Τέλος έστω Γ το ενδεχόμενο ένα τουλάχιστον παιδί να είναι κορίτσι Γ={ΑΚ,ΚΑ,ΚΚ} p(a)=1/4, p(b)=2/4=1/2, p(γ)=3/4 a. Α Β p(a ) = ( ).Ά p(a B)= ( ) b. Α Γ p(a ) = ( ). Άρα p(a Γ)= ( ) = = ½ = = 1/3 Άσκηση 7.2 [1.5 μονάδες] Μια ασθένεια προσβάλλει 1 στους 10000 ανθρώπους. Υπάρχει ένα διαγνωστικό τεστ για την ασθένεια για το οποίο ισχύουν: Η πιθανότητα να είναι θετικό αλλά ο άνθρωπος να μην πάσχει από την ασθένεια είναι 2% Η πιθανότητα να είναι αρνητικό αλλά ο άνθρωπος να νοσεί από την ασθένεια είναι 1% Ένας άνθρωπος υποβάλλεται στο τεστ και το αποτέλεσμα είναι θετικό. Ποια η πιθανότητα να νοσεί; Έστω Α το ενδεχόμενο να νοσεί ο άνθρωπος και Τ το ενδεχόμενο να είναι θετικό το τεστ p(a) = 1/10000
p(t ) = 0.02 p( A) = 0.01 Όπως ξέρουμε (και από άσκηση Φ7.5 του φροντιστηρίου) p( A) + p(t A)=1 p(t A) = 1 - p( A) = 1 0.01 Θέλουμε να υπολογίσουμε την p(α Τ) Από τον Ν. Bayes και το Ν. Ολικής Πιθανότητας : p(a T) = (!"#,#!) #.###! (!"#.#!) #.###!#.#& (!"#.###!) = 0.0049 ( ) = Άσκηση 7.3 [1.5 μονάδες] Ένα κανονικό έτος έχει 365 ημέρες και ένα δίσεκτο 366 ημέρες. α. Ποια είναι η πιθανότητα ένα δίσεκτο έτος να έχει 53 Κυριακές; β. Ποια είναι η πιθανότητα ένα κανονικό (όχι δίσεκτο) έτος να έχει 53 Κυριακές; Έστω Α το ενδεχόμενο ένα έτος να έχει 53 Κυριακές α. Ένα δίσεκτο έτος έχει 366 μέρες. Έχει δηλαδή 52 ολόκληρες βδομάδες και 2 ακόμη μέρες. Οι 2 αυτές μέρες μπορεί να είναι (Δευτέρα,Τρίτη) ή (Τρίτη,Τετάρτη) ή (Τετάρτη,Πέμπτη) ή (Πέμπτη,Παρασκευή) ή (Παρασκευή,Σάββατο) ή (Σάββατο,Κυριακή) ή (Κυριακή,Δευτέρα). Από τις 7 αυτές επιλογές πρέπει να πέσουν οι δύο (Σάββατο,Κυριακή) ή (Κυριακή,Δευτέρα) για να έχουμε 53 Κυριακές. Άρα p(a) = 2/7 β. Ένα κανονικό έτος με 365 μέρες έχει 52 ολόκληρες βδομάδες και 1 ακόμη μέρα που θα μπορούσε να είναι μια οποιαδήποτε από τις 7 μέρες της βδομάδας. Άρα p(a)=1/7 Άσκηση 7.4 [1 μονάδα] O Aντώνης και ο Βασίλης, μάρτυρες σε ένα δικαστήριο, λένε την αλήθεια με πιθανότητα 2/3 και 4/5 αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ο καθένας δεν γνωρίζει τι κατέθεσε ο άλλος κι επομένως οι καταθέσεις τους είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. a. Ποια είναι η πιθανότητα οι καταθέσεις τους να είναι ίδιες; b. Ποια είναι η πιθανότητα οι καταθέσεις τους να είναι αντιφατικές; Έστω Α: ο Αντώνης λέει την αλήθεια και Β: ο Βασίλης λέει την αλήθεια p(a)=2/3 => p( )=1/3 p(b)=4/5 => p(' = 1/5 a. Για να συμφωνήσουν μεταξύ τους πρέπει ή και οι δύο να πουν αλήθεια ή και οι δύο να πουν ψέματα Ψάχνουμε την πιθανότητα (Α Β) ( ( ) Τα δύο ενδεχόμενα όμως αυτά είναι ασυμβίβαστα και οι καταθέσεις είναι ανεξάρτητες Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι p(a Β)+p( ( )= p(a) p(b) + p( ) p (( ') = 3/5
b. Οι καταθέσεις είναι αντιφατικές αν ο ένας πει αλήθεια και ο άλλος ψέματα δηλαδή αν συμβεί το A ( ή το Β Τα επιμέρους αυτά ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα άρα μια και οι καταθέσεις είναι ανεξάρτητες: p((a ( Β))=p(A +p( Β)=p(A) p(+p(, ) p(b)=2/5 Άσκηση 7.5 [2 μονάδες] Μπορεί σε ένα γράφο όλες οι κορυφές να έχουν διαφορετικό βαθμό? Εξηγείστε την απάντησή σας. Έστω ότι ο γράφος έχει n κορυφές. Οι δυνατοί βαθμοί για κάθε κορυφή είναι από 0 ως n-1 (n διαφορετικές τιμές) Για να έχουν όλες οι κορυφές διαφορετικό βαθμό σημαίνει ότι υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχηση των n κορυφών στο {0,1,...n-1}. Στο γράφο δηλαδή θα υπάρχει κάποια κορυφή με βαθμό 0 αλλά και κάποια με βαθμό n-1. Αντίφαση, γιατί η πρώτη δεν θα συνδέεται με καμια, ενώ η δεύτερη θα συνδέεται με όλες τις υπόλοιπες! Άσκηση 7.6 [1.2 μονάδες] Είναι οι γράφοι των σχημάτων (i), (ii) και (iii) ισομορφικοί; Ο (i) είναι ο πλήρης διμερής γράφος Κ 3,3. Με το γράφο (ii) έχουν ίδιο αριθμό κορυφών και κάθε κορυφή έχει βαθμό 3. Αντιστοιχίζω τις κορυφές A,B,Γ,Δ,Ε,Ζ με τις a,c,f,d,e,b αντίστοιχα Οπότε είναι ισομορφικοί Ο γράφος (i) έχει με το γράφο (iii) ίδιο αριθμό κορυφών και κάθε κορυφή έχει βαθμό 3. Αντιστοιχίζω τις κορυφές A,B,Γ,Δ,Ε,Ζ με τις 1,2,3,4,5,6 και διαπιστώνω ισομορφισμό Εφόσον τώρα ο (i) είναι ισομορφικός με τον (ii) και με τον (iii) και ο ισομορφισμός είναι σχέση
ισοδυναμίας (βλ. και άσκηση Φ8.11 του φροντιστηρίου ) και ο (ii) είναι ισομορφικός με τον (iii) Άσκηση 7.7 [ 0.9 μονάδες] Είναι ο παρακάτω γράφος επίπεδος; Αν ναι, υπολογίστε σε πόσες περιοχές χωρίζει το επίπεδο. Αν όχι, βρείτε το επικαλύπτον υπογράφημα με τις περισσότερες δυνατές ακμές που είναι επίπεδος γράφος. (a) O γράφος θα μπορούσε να σχεδιαστεί και όπως στο παρακάτω σχήμα Οπότε είναι επίπεδος Έχει n=6 κορυφές και e=12 ακμές. Από τον τύπο του Euler χωρίζει το επίπεδο σε f=2+e-v=8 περιοχές Άσκηση 7.8 [0.9 μονάδες] Μπορούμε να σχεδιάσουμε τους παρακάτω γράφους με μονοκοντυλιά; Αν όχι γιατί. Αν ναι υποδείξτε τη διαδρομή.
Ο γράφος (i) έχει ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού (e και f) άρα έχει έχει κύκλωμα Euler, και έτσι μπορεί να σχεδιαστεί με μονοκοντυλιά. Μια διαδρομή είναι η e,f,a,e,b,a,c,b,f,c,d,g,f Ο γράφος (ii) έχει μόνο κορυφές άρτιου βαθμού άρα έχει κύκλωμα Euler και επίσης μπορεί να σχεδιαστεί με μονοκοντυλιά. Μια διαδρομή είναι η a,e,b,a,f,b,c,f,g,d,c,a