ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο

A - β A - α A3 - β A4 - β A5 - α A6 - γ A7 - δ A8 β A9 - β ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο A0- Διαν-N m, Διαν - Kg m /s, Διαν - rad/s, Μον - Kg m A α -Λ, β -Λ, γ -Σ, δ - Σ, ε -Λ, στ -Σ, ζ Λ, η - Σ, θ Σ A - Ι kg m, L - kg m /s, ω - rad /s, τ - Ν m, f - Hz A3 α μηδέν, β ροπών, γ σύνθετη A4 - β A5 - δ A6 - δ A7 α - Λ, β Λ, γ Λ, δ- Σ, ε Λ, στ Σ, ζ Σ, η Λ Α8 α Α9 γ Α0 α Λ, β Λ, γ Λ, δ Σ, ε Λ, στ Σ, ζ Σ, η - Σ A - β Α - δ Α3 - β Α4 - β Α5 - γ Α6 α - Σ, β - Λ, γ Σ, δ - Σ, ε - Λ, στ Λ, ζ- Σ, η Σ Α7- β Α8 - γ ή β (οδηγία ΚΕΕ) Α9 α Σ, β Σ, γ Σ, δ - Λ Α30 - δ Α3 - δ ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β) Β) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β3) Β4) Β5) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β6) Β7) Β8) Β9) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β0) Β) Β) Β3) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β4) Β5) Β6) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β7) Β8) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β9) Β0) Β) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β) Β3) Β4) Β5) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β6) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Β7) Β8) Γ). Στ (Α) = 0 -W L + F Γ ( L d) = 0-50,5 + F Γ,5 = 0 F Γ = 30 N ΣFy= 0 F A + F Γ W = 0 F A = W F Γ F A = 0 N. Στ (Γ) = 0 -F A (L d) + W( L -d ) - W d = 0-0,5 + 50 -W 0,5 = 0 W = 50 N Γ) α) τ F = F R β) ) Στ = Ι aγ = N m γων F τ = M R aγ γων aγων = 5 rad /s s ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

γ) a γων = Δω ω Δtt a γων = ω - ω Δt Δt = 5s δ) ΔΚ = Ι ω - Ι ω = Ι ( ω - ω ) = 75 J Γ3) α) Ι cm = M R = 3 0, = 0,06 kg m β) ) F τ = Ι cm aγων F R = Ι cm a a γων γων = 0 rad /s s γ) Κ = Ι cm ω 75 = 0,06 ω ω = 50 rad /s δ) Ι = Ι cm + M( R ) = 0, 06 + 3 0, 4 = 0,09 kg m Γ4) α) Θ.Μ.Κ.Ε : I ω + m cm = m g h υ I cm -6 + mυυ cm =mg0r I=3,,50 kgm m R 0 β) ΣF = m a cm mg-t =ma cm m acm = m/ / s 3 Στ = Ι aγων a cm Τ R=I R Τ = 0,4 Ν dl -3 = TR =60 kgm / s dt υ γ) τη στιγμή που κόβεται το νήμα L = I ω = Ι cm -4 =80 kgm /ss από τη R στιγμή που κόβεται το νήμα και μετά η στροφορμή διατηρείται σταθερή δ) ο χρόνος κατά τον οποίο ο κύλινδρος κατέρχεται με το νήμα να περιστρέφεται δίνεται από τη σχέση S = a cm t 0R = acmt t=0,3s Γ5) α) β) τ W = τ F θ F =FL θ=π W = FLθθ W = FLπ F = W Lπ F = 30π π Στ = Ια τ F = Ι a FL = a () ) γων I = Ι cm + md = æ ML Lö + M ç = çè ø 3 ML I = kgm () α γ = FL I α γ = 5 α γ = 7,5rad/s ω γ) ω = α γ t t = (3) α θ = α γt γ γων (3) θ = æ α ω ö γ ç α çè γ ø Ι γων θ = ω α γ ω = m θα γ F = 5N ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

ω = π π 7,5 ω = 30π DΕ D W Dtq ( ) F Dq = = = τ Dt Dt Dt F Dt ω = 9,7rad/s DE = FLω Dt D Ε = Dt 5 9,7 D Ε = 45,5J/s. Dt Γ6) a) ος Ν.Ν. (για την μεταφορική κίνηση της σφαίρας) : ΣF = 0 N W = 0 N = W () ος Ν.Ν. (για την περιστροφική κίνηση της ράβδου) : Στ( A ) = 0 τ F + τ T + τ W + τ N = 0 A Τ (ΑΚ) W(AO) N( (AΓ) = 0 L Τ 4 - Mg L - mg 3L 4 = 0 æ Τ = 4 Mg 3mgö ç + çè 4 ø β) ) ος Ν.Ν. (για τη μεταφορική κίνηση) : ΣF = mα F T = ma () ος Ν.Ν. (για την περιστροφική κίνηση): () Τ = 5N Στ = Ια γων τ Τ = Ια γων Τ r = T = mrαα T = γ mα 5 5 () α=αγr () mr 5 α () F mα = ma F = 7 mα a = 5 5 γ) Για τη μεταφορική κίνηση ισχύει: : x = αt L = αt t L = 4 a t = υ = αt υ = υ = m/s δ) υ = ωr ω = υ r ω = 0, ω = 0rad/ /s γ 5F 7m a = 4 m/s t = sec L = Iω = mr ω 5 =,5 0, 0 L = 0,4kgm /s 5 Γ7) ) Η ταχύτηταα των σημείων Α, Β και Ο υπολογίζεται από το διανυσματικό άθροισμα : α) της ταχύτητας λόγω της μεταφορικής κίνησης υcm και β) της γραμμικής ταχύτητας υγρ λόγω της περιστροφικής κίνησης Δηλαδή: υ = υcm + υγρυ Επειδή και τα τρία σημεία ανήκουν στην περιφέρεια της στεφάνης, ισχύει: υ cm = υ γρ = ωr Για τη σημείο Α: υcm υγρ υ(a) = υcm + υγρ υ (Α) = υ cm m + υ γρ υ (Α) = υ cm + υ cm υ (Α) = υυ cm υ (Α) = 0 υ (Α) = 0m/ s Για το σημείο Β : υcm ^υγρυ υ(b) = υcm + υγρ υ (B) = υ c cm + υ γρ υ (B) = 0 + 0 υ (B) = 0 υ (B) =0 m/s ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Για το σημείο Ο: υcmυγρ υ(o) = υcm + υγρ υ (Ο) = υ cm - υ γρ υ (Ο) = υ cm - υ cm υ (Ο) = 0m/s υ ) υ cm = ωr ω = cm r ω = 0 0, ω = 50rad/s 3) Θεώρημα Steiner: I cm = mr I = I cm + mr I = 0,08kgm 4) Η στεφάνη κάνει σύνθετη κίνηση, οπότε: I = mr + mr I = mr I = 0, Κ = Κ μετ + Κ περ Κ = mυ cm + I cmω Κ = 0 + 4 0-50 Κ = 00J Γ8) Γ9) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Γ0) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Γ) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Δ) AΓ Στ (Α) = 0 -W + Τy (AΓ) = 0-5 + Τy = 0 Ty = 5N Ty = T ημ30 ο Τ = 30 Ν Τx = Tσυν30 ο Τx = 5 3 N ΣFx = 0 Fx = Tx Fx = 5 3 N ΣFy = 0 Fy + Ty -W = 0 Fy = 5 N F = Fx +Fy = 5 3 +5 = 30 N εφφ = Fy 5 3 = = Fx 5 3 3 Β. τ w = Ι Α αγων W AΓ = IA αγων γων α = 55 rad/s. dl = τw dt = W x = 30 4 = 7,5 kgm /s D A N Μ συν60 ο = x 0,5 x= m 4 3. A.Δ.Μ.Ε. Κ αρχ + U αρ ρχ = Κ τελ + U τ Μ g AΓ = Κτελ Κ τελ = 5 J τελ Δ) L A. I (0) = I cm + M = M L L 4 + M = 4 M L = M L = 4,5 = 3 3 = 3 kgg m I (0 0) = 3 kg m B. Iσχύει : Σ τ = Ι (0) αγων τ ΒΑΡΟΥΣ = Ι 0 a Μ g L γων = Ι 0 a M g L 40,5 rad rad a γων = = 5 a 43 s γων = 5 s a = γ ων 4I0 ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Γ. β) α) Εφαρμογή αρχής διατήρησης μηχανικής ενέργειας από την αρχική θέση μέχρι την τελική θέση : Κ ΑΡΧ + U ΑΡΧ = Κ ΤΕΛ + UΤΕΛ L M g = I (0) ω + L L ο Μ g - συν45 = L ο Μ g =I(0) ω + ΜgL(-συν45 5 ) L ο Μ g -MgL(-συν ν45 ) = I(0) ω L ω = Μ g -M g L ο (-συν45 ) I ω = = L = L = I (0) ω = 6 kgr 40,5-4 0,5 (- 0,7) = 3 30-60 0,,3 = ra ad 3 s m s (0) Δ3) α) Ι συστ = Ι 0 + m L = 3 M L + m L = 3 0,3 + 0, = 0,8 kgm m L συστ = Ι συστ τ ω = 0,8 = 0,8 kg m /s β) U = ω L = = m/s γ) Τ = π m υ = m υ υ = υ = m/ /s υ m = K δ) Α.Δ.Ο Ρ ολ(αρχ) = Ρ ολ(τελ) = max = ω 0, π π = π = π = 0 00 0 5 = 0, π s π ππ ω = = = 0 rad /s Τ 0,π Α Α = 0, m ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Δ4) A.. Bρίσκουμε πρώτα από α το θεώρημα του Steiner τη ροπή αδρανείας α της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Α : L Ι Α = Ι CM + M = M L ML + 4 = 6 kg m Κατόπινν βρίσκουμε τη ροπή αδρανείας του σώματος μάζας m : I = m L = 9,6 kg m Άρα Ι ολ = Ι Α + Ι = 5,6 kg m Α. Εφόσον έχουμε ισορροπία θα πρέπει : ΣFxx = 0 () ΣFyy = 0 () και Στ = 0 (3) Από τη σχέση ( 3), θεωρώντας ροπές ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Α και θετική φορά ροπών την αντίθετη από τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού, προκύπτει : L Στ = Τ (ΑΓ) Μg -m gl L =0T=30N B. O χρόνος που χρειάζεται ένα κινητό που κάνει Α.Α.Τ να μεταβεί από μία ακραία Δ5) m θέση στην άλλη είναι t = T/. Άρα t = π = 0,34s K Β. Επειδήή δεν υπάρχουν τριβέςς, εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε, θεωρώντας ως επίπεδο αναφοράςτης δυναμικής ενέργειας το επίπεδο που διέρχεταιι από το κατώτερο σημείοο Ζ. Προκύπτει ότι : Κ αρχ + U αρχ = Κ τελ + U τελ L 0 + MgL + m gl = Iολω + Mg ω 05 = rad/s 4 Άρα το μέτρο της γραμμικήςς ταχύτητας του σημείου Ζ θα είναι : u =ωl= Z 05m /s υ0 α) 0= ω 0 R ω 0 = = 80 rad /s R β) Wx = Wημφ Μεταφορική ΣFx = m a cm = 56 Ν Στροφική Στ = Ι α γων Wx-T = m α cm T R = m R 5 α γων 56 -T = 0 a cm () T = m 5 R α γων ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Από () και () έχουμε : 56 4 a cm = 0 cm a a cm = 4 T = 5 m a cm T = 4 a cm () m /s γ) dl = dt Στ = Ια γων = a cm a mr 5 R =,6 kg m /s ( ή αλλιώς Στ = Τ R) δ) Ν = Δθ π Δθ = 30 αcm π = 600 rad α γων = = 40 rad/s π R Δθ = ω0t- αγω ων t Ο χρόνος ανόδου είναι : 60 = 80 t - 40 t ω ω - α = 0 γων t αν 0 = 80 40 t αν t = s t 4 t + 3 = 0 Δ = 6-4 3 = 4 3s t, = 4± 4 s cm άρα δεκτή λύση t = s ω = ω - α t = 80-40 = 0 γων αν = ω R = 40 0, = 4 m/s = 40 rad/s δ) Άλλος τρόπος : S = Δθ R = 6 m ΑΔΜΕ (0) (Γ) D Ο A Γ άρα ημφ = h s h = 3.36 m h = Sημφ Ι ω 0 + Μ υ = Μ g h + cm I ω + Μ υ υ = 4 m/s ( αντικαθιστώ το ω = υ R ) Δ6) A) Στ (Α) = 0 τ w + τw + τ + τ + τf = 0 -τ W τ W + τ Tψ = 0 Τx Τψ -W - W + Tημ30 = 0 Τ 4 = W + W Τ = W + 4W Τ = 00N A) I ολ = Ι ρ + Ι σφ () ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

æ ö Ι ρ = I cm + M = ç Ml + M çè ø 4 Ι σφ = ml = Ι σφ = kgm () I ολ = + = 4kgm Στ = Ια τ + τ + τ = Ιαγων B) γων F W W = 3 Ml Ι ρ = 3 6 Ι ρ = kgm τ W + τ W = Ia γων W + W l = Ia γων 60 + 0 α γων = α γων =,5rad/s 4 B) K + U = K + U (M + m)gl = Iω + Mg ω (M + m)g-mg = ω = I ω = 5rad/s υ = ωl υ = 5 υ = 5m/s (6+ )0-60 4 = 5 Δ7) 3 α) Στ (Α) = 0 W F FB 0FB 3N 4 β) Το m ισορροπεί άρα Τ = Β T 0N Το στερεό ισορροπεί άρα Στ = 0 Μεταφορικη κινηση : ΣF =m.acm W-T =m.a cm =0-T = α cm () γ). acm Στροφικη κινηση : Στ =I aγων T.R = I.aγων Þ T.R = I Þ T = 9.a cm () R από () και () a cm =m/s και Τ = 9 Ν a cm t t=s Δx =, υ = α cm.t υ =m/s dw τ.dθ = =τ.ω =T.R.a.t =T.a.t = 9J / s dt dt δ) γων cm Δ8) α) Εφαρμόζουμε Α.Δ.Μ.Ε για το σφαιρίδιο (m): Κ + U = K + U mgh = mυ υ = gh υ = 0 0,8 = 6 υ = 4m/s β) Εφαρμόζουμε Α.Δ.Σ.: L = L L + L = L r + L L = L I σφ ω = Ι ρ ω ol ol r sj sj sj r é ù ml ω = æ ö M I cm + ç ω ml ω = [ υ =ω ê çè ø ú Ml + M ]ω 4 ë û 3mu ω = ω = rad/s M γ) υ cm = ω = υ cm = m/s δ) Α.Δ.Ε. (για την κρούση): m υ = Μ ω 3 Ε μ = Ε μ + Q Q = Ε μ - Ε μ = K + U (K + U ) Q = K + U K - U (*) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Q = K K Q = mυ - Ιω ω Q = mυ - Q = 0,5 4-6 3 Q = 4 Q = Joule 3 Μl ω (*) U = U γιατί πριν και μετά τηνν κρούση τα σώματα βρίσκονται στην ίδια θέση ε) Α.Δ.Μ.Ε. (για την περιστροφική κίνηση της ράβδου): K + U = K + U Ιω = MgH 3 M l ω = M gh ω H = H = 6g 5 m. Δ9) α) Στο σχήμα βλέπουμε την αρχική κατάσταση ισορροπίαςς του συστήματος. Οι δυο τάσεις έχουνν ίσα μέτρα αφού η τροχαλία ισορροπεί άρα η συνισταμένη τωνν ροπών πάνω της είναι μηδέν. Για το σώμα m ισχύει: m g = T = 40N Για το σύστημα m + m 3 θα ισχύει: Τ = (m + m 3 )g + ΚΔL 0 άρα : ΔL 0 = 0cm Όταν τα δυο σώματα αποκολληθούν τότε το Σ 3 θα εκτελέσει ταλάντωση γύρω από τη Θ.Ι. στην οποία θα ισχύει: ΚΔL = m 3 g άρα ΔL = 0cm. Προσοχή όμως η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης τουυ m 3 βρίσκεται 0cm κάτω από το φυσικό μήκοςς του ελατηρίου ενώ η αρχική α θέση του m 3 βρίσκεται 0cm πάνω από τη θέση φυσικού μήκους. Άρα η ταλάντωση του m 3 θα έχειι πλάτος Α = 0,3m. π β) ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: y = 0,3ημ(0t + )m γ) Παρατηρείστε το διπλανό σχήμα που δείχνει το σύστημα μετά την αποκόλληση των Σ και Σ 3. Εφαρμόζουμε τους θεμελιώδεις νόμους για κάθε στερεό m g T = m α Τ m g = m α (Τ Τ )R = MR α γ / Αφού του νήμα δε γλιστρά πάνω στη τροχαλία θα είναι α = α γ R οπότε οι εξισώσεις γίνονται: m g T = m α γ R Τ m g = m α γ R Τ Τ = MRα γ / Προσθέτουμε κατά μέλη και βρίσκουμε: α γ = 5rad/s δ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας θα είναι ίσος με την ισχύ της συνισταμένης των ροπών πάνω της. dk dt = τα ολω = Ια γ ω = Ια γ t = 4,J/s ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Δ0) α) Για την ομαλά επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση του σώματος ισχύει: υ = α cm t 5 = α cm t Λύνω το σύστημα και έχω t = 3 s και Δx = a cmt δηλαδή 5 3 = a cmt a cm = 7,5m/s acm 7,5 β) Ισχύει a cm = a γων R δηλαδή α γων = = = 75rad/s. R 0, Από το θεμελιώδη νόμο για την μεταφορική κίνηση έχω ΣF = M α cm Μ g T = M a cm 60 T = 6 7,5 T = 5N γ) Από το θεμελιώδη νόμο για τη στροφική κίνηση έχω Στ = Ι α γων Τ R = I α γων,5 = Ι 75 Ι = 0,0kgm Έτσι ο λόγος της στροφικής κινητικής ενέργειας προς τη μεταφορική κινητική ενέργεια είναι: δ) Κ στρ = Ιω όμως ω = α γων t = 75t άρα Κ στρ = 0,0 75 t δηλαδή Κ στρ = 56,5t (S.I.) Δ) α) Εφαρμόζουμε για την οριζόντια θέση τον θεμελιώδη νόμο και έχουμε Στ (Α) = Ι (Α) α γων Mg L = 3 ML α γων α γων = 50rad/s β) Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε. για τη στροφική κίνης της ράβδου από την οριζόντια στην κατακόρυφη θέση και έχουμε Mg L = Ιω M g L = 3 M L ω ω = 0rad/s άρα L = Iω = 0,36kgm /s γ) Εφαρμόζουμε Α.Δ.Σ. για την κρούση και έχουμε Ι ω = Ι ω 5 + mυl και προκύπτει υ =,4m/s δ) Το ζητούμενο ποσοστό είναι Κ -Κ συστ αρχ Κ συστ αρχ προκύπτει περίπου 3% (3,89%). συστ τελ 00% = é ù ω Ιω æ ö Ι + mυ 5 ê ç çè ø ú ë û 00% και Ιω Δ) α, β) Από τον θεμελιώδη νόμο για τη μεταφορική και τη στροφική κίνηση του κυλίνδρου έχουμε ΣF x = m a cm W x T = m a cm () και Στ = Ι α γων Τ R = M R α γων όμως R α γων = α cm οπότε Τ = Μ a cm (). Λύνω το σύστημα () και () και πάιρνω a cm = 4m/s και Τ = 4Ν. ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

γ) Εφαρμόζω Α.Δ.Μ.Ε. για τη σύνθετη κίνηση του τ κυλίνδρου για την μετατόπιση h = 4,8m και παίρνω: m g h = Ιω + mυ cm επίσης υ cm = ω R ω και τελικά ω = 40rad/s. Επομένως L = I ω δηλαδή L =,6kgm /s. δ) h, 4π ημφ = Δx = =4πm Δx 0,6 δηλαδή Ν = 0 περιστροφές. όμως Δx = Δθ R Δθ = 0π rad οπότε Ν = Δθ π Δ3) α) υ = σταθ ΣFF x = 0 F + Τ σ W x = 0 () Σ τ = 0 τ F τ Τσ = 0 FR = T σ R F = Τ σ ( ) 0 Wx (), () F W x = 0 F = = Whm30 F = 400 F = 00N 4 β) ος Ν.Ν. (για την μεταφορική κίνηση): ΣF = m a F + Τ W x = ma T = W x F + ma m (3) ος Ν.Ν. (για την περιστροφική κίνηση): Σ τ = Ια γ τ F τ Τ = Ια γ FR TRR = Ια γ F R - T R = mr α γ a= aγr F T = mrα γ F T = (3) mα F (W x F + ma) = mα F W x = ma + mα F -W α = x α = m/ /s 3 m h γ) Δx = at hm30 = h a at h = at t 4h = a t 4 = t = sec υ cm = at υ cm = υ cm = m/s ucm υ cm = ωr ω = = R 0, ω = 0r rad/s L = Iω L = mr ω L = 8Kgm /s δ) Η επιτάχυνση του σχοινιού είναι: α = α cm + α γ α = α γ R + α γ R α = α cm α = α = m/s Δx = = a t Δx = Δx = 4m W F = F Δx W F = 30 4 = 50J ΔΕ = Ε - Ε = Κ + U - (Κ + U) ΔΕ = Ιω + mυ cm + m g h ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

ΔΕ = mr ω + mυ cm + m g h ΔΕ = 4 mυ cm + mυ cm + m g h ΔΕ = 3 4 mυ cm + m g h ΔΕ = 50J Δ4) α) ος Ν.Ν. (για την ισορροπία του σώματος): ΣF ψ = 0 Τ mg = 0 T = 00N ος Ν.Ν. (για την ισορροπίαα του στερεού): Στ (ο ο) = 0 τf - ττ = 0 -τ F + τ Τ = 0 T -F R + T R = 0 F = F = 00N β) ) ος Ν.Ν. (για το σώμα που κάνει μεταφορική κίνηση): ΣF = ma Τ -mg = ma () ος Ν.Ν. (για το σώμα που κάνειι περιστροφική κίνηση) ): Στ = Ια γ τf - τ Τ = Ια γ FR T - R = MR α γ F T = Mrα γ () Αφού το σχοινί δε γλιστράει πάνω στην τροχαλία, η επιτάχυνση του σώματος m είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας ενός σημείου της περιφέρειας της τροχαλίας. Άρα: α = d u d(ωr) dω = = R α = α γ R (3) dt dt dt (3) () F T = Ma F (mg + ma) = Ma F mg - ma = Ma F mg = Ma + ma a = F - mg 5-00 0 a = a = m/s M + m 0 + 00 γ) h = at t = h a = t = sec ω = α γ t (3) ω = a R t = () 0, ω = 0rad/s L = Iω L = MR ω = 0 0, 0 L = 4kgm /s δ) Οι δυο κύλινδροι περιστρέφονταιι με την ίδια γωνιακή επιτάχυνση. ε. Για το σώμα Σ: α = α γ R α γ = a R = 0, α γ = 5rad/s Για το σημείο Α: α = α γ R α = 5 0, α = m/s x = a t x = x = 4m ω I MR ω K ε) Π = W 0 00% = 00% = F F F x x Π = 0 0, 0 5 4 00% = 0 460 00% Π = 00 3 % ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Δ5) α) υ cm = ωr ω = υ cm R ω = 8 0, ω = 40rad/s β) ) L = Iω L = MR ω L = 4kgm /s γ) Α.Δ.Μ.Ε. (για την κίνηση του κυλίνδρου): υ =ωr K + U = K + U mgh = mυ cmm + Ιω mgh = mυ cm + mr ω cm mgh = mυ cm + mυ 4 cm m gh = 3 4 m 3u υ cm 38 cm h = h = 4g 40 h = 4,8cm Κ mu μετ cm υ cm =ωr mu u Κ cm cm μετ δ) = = = = Κπερ Iw m R w Κ R w περ Δ6). Επειδή το σώμα εκτελεί κύλιση με σταθερή επιτάχυνση έχουμε: x = α cmt x α cm = α cm = α cm = 4m/s t ος Ν.Ν. (για τη μεταφορική κίνηση): ΣF x = m acm W x Τ σ = mα cm () ος Ν.Ν. (για την περιστροφική κίνηση): α acm γ = r a a cm cm Σ τ = Ι cm α γ Τ σ r = I cm α γ Τ σ r = I cm Τ σ = I cm () r r Από τις σχέσεις (), () έχουμε: a a W cm W x - I cm = mα cm I c cm cm = W x - mα cm I cm = x - macm r r a 0-4 I cm = I cm = 0,5kgm 4. Από τις σχέσεις (), ()( έχουμε: acm W x - I cm R = Μα Icm cm W x = α cm R + Μα cm α cm = I W = x cm R + M cm r Wx = Mgημφ ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

α cm = Mgημφ I M cm R + a a cm() cm() 3 = < 4 a a cm() c cm() c Mgημφ = MR + M R Mgημφ = MR R + M R a cm() < a cm() Άρα ο δίσκος κινείται με τη μεγαλύτερη επιτάχυνση. a a cm() cm() Mgημφ üï = ï M M + ï ïýï a gημφ cm() Mgημφ = = ï a M ïï cm() gημφ + M ï 3 ïþ 3. υ K Mu + ω=r Iw K M υ = K u + I I = MR = R K Mu + Iw I = MR Mu + I w υ 3 Mu + K K MR = R K M u υ =υ 4 K 3 = = M υ K u + MR Mu K 4 R 4. ος Ν.Ν. (για την περιστροφική κίνηση): i) του δίσκου Σ τ Σ τ = Ι cm α γ = Ι cm α γ Τ σ() R = R a cm Τ σ()r = MR R ii) του δακτυλίου MR α γ Τ σ() = Μα cm (3) Τ σ() R = MR α γ a α cm γ = r α acm γ = m r ος Ν.Ν. (για την μεταφορική κίνηση): i) του δίσκου ΣFF x = Μ acm Mgημφ F - Τ σ() = Μα cm (5)) ii) του δακτυλίου ΣF x = Μ acm Mgημφφ + F - Τ σ() = Μα cm (6) Τ σ() R = MR a cm R Τ σ() = Μαcm c (4) Από τις σχέσεις (3), (5) έχουμε: ΣFF x = Μ acm Mgημφ F - Μα cm = Μα cm 3 Μα cm = Mgημφ F α cm = Mgημφ -F (7) 3 M Από τις σχέσεις (4), (6) έχουμε: ΣF x = Μ acm Mgημφ + F - Μα cm = Μα cm Μα cm = Mgημφ + F ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

α cm = Mgημφ + F (8) M Απόό τις σχέσεις (7), (8) έχουμε: Mgημφ - F Mgημφ +F = 3(Mgημφ + F) = 4( (Mgημφ - F) 7F = Mgημφ 3 M M F = Mgημφ F = N 7 Δ7).. ος Ν.Ν. ( για την περιστροφική κίνηση): Σ τ (Ο) = 0 τ F + τmgg + τmg = 0 - mg + Mg = 0 m= M 4 4 ος Ν.Ν. (για την μεταφορική κίνηση): () F ΣF = 0 F mg Mg = 0 F mg = 0 m = 0 m = m = M = kg g 0. I = Ι ρ + Ι m I = (I cm + M ) + I m I = 4 Ml + M + ml I = ( M + 4 3 m) l Σ τ (Γ) = Ι α γ τ N + τmg + τ Mg = Ι α γ 0 + Mg + mgl l = ( M 3 + m) ) l α γ ( M + m)g = ( M 3 + m) α γ M ( + m)g = M ( + m)α 3 γ ( + )0 = ( + )3,7 75 3 = 3m 3. mυ K = mυ = K ολ M Ι ω ( + m) ω (Γ) 3 υ=ωω = mω M ( +m) ω 3 K K ολλ m = M 3 + K 3 = = K 4 ( m) ) ( + ) ολ 3 4. Α.Δ.Μ.Ε. (για την περιστροφική κίνηση του συστήματος): K + U B = K + U 0 = B I (Γ) ω -mgh - Mghh ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

M mgh + Mgh = I ω mgh + Mgh = ( + m) ω (Γ) 3 M mgημφ + Mg ημφ = ( + m) ω 3 mgημφ + Mg ημφ 9+ 4,5 9 3 ω = = ω = ω= rad/s M 4 ( + m) ( + )9 3 3 Δ8) L = Iω L = M 3 ( + m) ω = ( + )3 L = 8kgm /s 3 3 ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Δ9) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr

Δ) ΤΗΛ.4670006 & 4444- info@mathisi.net.gr