Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης. Οι διακριτές αυτές μονάδες αποτελούν στοιχεία του συνόλου. Σύνολο με ένα στοιχείο ονομάζεται μονομελές, με δύο διμελές κτλ. Το σύνολο που δεν διαθέτει καθόλου στοιχεία ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με Παραδείγματα συνόλων :
Βασικά σύνολα: Θεωρία Συνόλων
Θεωρία Συνόλων Ίσα σύνολα: Ιδιότητες ισότητας συνόλων:
Θεωρία Συνόλων Υποσύνολα: Ιδιότητες υποσυνόλων: Α Β
Θεωρία Συνόλων Πράξεις συνόλων: 1. Ένωση συνόλων Ιδιότητες ένωσης συνόλων: A U B
Θεωρία Συνόλων Πράξεις συνόλων: 2. Τομή συνόλων Ιδιότητες τομής συνόλων: A B
Πράξεις συνόλων: 3. Διαφορά συνόλων Θεωρία Συνόλων
Θεωρία Συνόλων Βασικό σύνολο Συμπλήρωμα συνόλου:
Θεωρία Συνόλων Βασικό σύνολο Συμπλήρωμα συνόλου: Ιδιότητες :
Θεωρία Συνόλων Βασικό σύνολο Συμπλήρωμα συνόλου: Ιδιότητες :
Βασικές Έννοιες Πιθανοτήτων Δειγματοχώρος (Ω): Πρόκειται για το σύνολο όλων των δυνατών εκβάσεων ενός πειράματος ή μίας διαδικασίας με αβέβαιο αποτέλεσμα (στοχαστική διαδικασία). Οι δειγματοχώροι διακρίνονται σε συνεχείς και διακριτούς (πεπερασμένοι). Απλό Γεγονός (ενδεχόμενο): Ονομάζεται κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος ή της διαδικασίας (αποτελεί στοιχείο του δειγματοχώρου). Γεγονός αποτελεί ένα υποσύνολο του δειγματοχώρου. Παράδειγμα : Δειγματοχώρος: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Απλό γεγονός: Α = {3} Γεγονός : Β = {2, 3, 4} Βέβαιο Γεγονός (ενδεχόμενο): Ο δειγματοχώρος αποτελεί ένα βέβαιο γεγονός Ασυμβίβαστα γεγονότα = Ανεξάρτητα ενδεχόμενα
Βασικές Έννοιες Πιθανοτήτων Κατά αντιστοιχία με τη θεωρία συνόλων: Αδύνατο Γεγονός (ενδεχόμενο): Ένα κενό σύνολο αποτελεί αδύνατο γεγονός Η ένωση δύο γεγονότων σημαίνει ότι πραγματοποιείται ένα από τα δύο γεγονότα Η τομή δύο γεγονότων σημαίνει ότι τα δύο γεγονότα πραγματοποιούνται ταυτόχρονα. Το συμπλήρωμα Α ενός γεγονότος Α σημαίνει ότι το γεγονός Α δεν πραγματοποιείται Η διαφορά δύο γεγονότων Α-Β σημαίνει ότι πραγματοποιείται το γεγονός Α και δεν πραγματοποιείται ταυτόχρονα το γεγονός Β
Βασικές Έννοιες Πιθανοτήτων Παράδειγμα Κατά τη ρίψη δύο ζαριών ορίζουμε ως γεγονός Α το σύνολο των αποτελεσμάτων το οποίο διαιρείται ακριβώς με το αριθμό 3. Α = { (χ,y) x+y διαιρετό δια 3 } Ως γεγονός Β ορίζεται το σύνολο των αποτελεσμάτων για τα οποία και οι δύο αριθμοί είναι περιττοί αριθμοί Β = { (χ,y) x, y περιττοί } Α = { 1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (3,6), (6,3),(6,6) } Β = { 1,1), (1,3), (3,1), (1,5), (5,1), (3,3), (3,5), (5,3), ), (5,5) } AB {(1,5),(5,1),(3,3)} B A{(1,1),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(5,5)}
Βασικές Έννοιες Πιθανοτήτων Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: A B Στοχαστικός Ορισμός Πιθανότητας: Η πιθανότητα ενός γεγονότος Α είναι η σχετική συχνότητα πραγματοποίησης Του γεγονότος σε ένα μεγάλο αριθμό επαναλήψεων ενός πειράματος Αξιωματικός Ορισμός Πιθανότητας: Έστω S ένας δειγματοχώρος και P μία πραγματική συνάρτηση τέτοια ώστε σε Κάθε γεγονός Α του S να αντιστοιχεί ένας πραγματικός P(A). Η συνάρτηση P θα ονομάζεται συνάρτηση πιθανότητας και η τιμή της P(A) πιθανότητα, αν ικανοποιει τα εξής δικαιώματα:
Αξίωμα 1: Για κάθε γεγονός Α του S ισχύει: PA ( ) 0 Αξίωμα 2: Για το βέβαιο γεγονός S ισχύει: PS ( ) 1 Αξίωμα 3: Αν τα γεγονότα Α1, Α2, Αn του S είναι ανα δύο ασυμβίβαστα, δηλαδή A i A j Για κάθε i, j = 1, 2,, n τότε: P( A A... A ) P( A ) P( A )... P( A ) 1 2 n 1 2 n Ιδιότητες Πιθανοτήτων: 1. Αν A A 1 2 2. 1 τότε 0 PA ( ) 1 P( A ) ( ) P( A A ) P( A ) P( A ) 1 P A2 και 2 1 2 1
Ιδιότητες Πιθανοτήτων: 3. P( ) 0 4. Αν A είναι το συμπλήρωμα του Α, τότε: P( A) 1 P( A) 5. Αν A A1 A2... An, όπου Α1, Α2, Αn είναι n γεγονότα ανα δύο ασυμβίβαστα, τότε: P A P A1 P A2 P A n ( ) ( ) ( )... ( ) Ειδικότερα αν A=S τότε: P A1 P A2 P A n ( ) ( )... ( ) 1 6. Αν Α και Β είναι δύο οποιαδήποτε γεγονότα, τότε: P( A B) P( A) P( B) P( A B)
7. Αν Α και Β είναι δύο οποιαδήποτε γεγονότα, τότε: P( A) P( A B) P( A B) 8. Έστω ότι όταν συμβαίνει το γεγονός Α, συμβαίνει οπωσδήποτε και ένα από τα ασυμβίβαστα γεγονότα Α1, Α2, Αn, τότε: P A P A A1 P A A2 P A A n ( ) ( ) ( )... ( )
Παράδειγμα:
Δεσμευμένη πιθανότητα: Έστω Ω ένας δειγματοχώρος και Α, Β δύο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει το επόμενο σχήμα: Α Β A B Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Β, όταν είναι γνωστό Ότι έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ονομάζεται δεσμευμένη (ή υπό συνθήκη) πιθανότητα πραγματοποίησης του Β, δοθέντος του Α P( B / A) P( A B) PA ( )
Ιδιότητες δεσμευμένης πιθανότητας: P( A/ A) P( / A) 1, P( / A) 0 P( B / A) 1 P( A'/ B) 1 P( A/ B) P( A B / ) P( A/ ) ( B / ) ( / ) P( B B... B / A) P( B / A)... P( B / A) P( B / A) 1 2 v 1 v i i1 Πολλαπλασιαστικός Κανόνας P( A B) P( A) P( B / A) Αν η πιθανότητα να συμβεί το Β δεν επηρεάζεται από την πραγματοποίηση του Α, τότε τα Α και Β ονομάζονται στοχαστικά ανεξάρτητα και ισχύει: P( A B) P( A) P( B) ή γενικά P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ), i j
Τύπος ολικής πιθανότητας Έστω Α ένα ενδεχόμενο του δειγματοχώρου Ω και τα ενδεχόμενα Β1,Β2, Βν για τα οποία ισχύουν: B B, i j Δηλ. ανά δύο είναι ξένα μεταξύ τους: i j B... 1 B B 2 Τότε ισχύει: ( 1) ( 2)... ( v ) Άρα: P( ) P( ) P( )... P( ) P( B ) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B )... P( B ) P( A/ B ) Δηλαδή: 1 2 v 1 1 2 2 P( ) P( B ) P( A/ B i ) 1 Τύπος Ολικής Πιθανότητας
Κανόνας του Bayes Άμεση συνέπεια του τύπου της ολικής πιθανότητας είναι ο κανόνας του Bayes. Αν ζητείται η δεσμευμένη πιθανότητα: P( B / A) i P( B A) i PA ( ) Όπου P( B A) P( B ) P( A/ B ) και i i i P( A) P( B ) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B )... P( B ) P( A/ B ) 1 1 2 2 Με αντικατάσταση στην αρχική σχέση προκύπτει: v v P( B / A) i P( B ) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B )... P( B ) P( A/ B ) 1 1 2 2 i i v v
Συνδυαστική Διατάξεις : Αν υπάρχουν n διαφορετικά αντικείμενα και τοποθετηθούν στη σειρά r από αυτά τότε λέμε ότι έχουμε διάταξη των r αντικείμενων: ( n) n( n 1) ( n 2)... ( n r 1) r Αν n=r τότε συμβαίνει μετάθεση των n αντικειμένων, με πλήθος ίσο με: Παράδειγμα: n! Με τα ψηφία 2,4,6 μπορούμε να τα κάνουμε 3! διαφορετικούς τριψήφιους Ενώ με τα ίδια ψηφία μπορούμε να κάνουμε (3) 2 διψήφιους αριθμούς
Συνδυαστική Διατάξεις με επανάληψη: Όταν καθένα από τα n αντικείμενα μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές θέλουμε, τότε έχουμε διατάξεις με επανάληψη r αντικείμενων από τα n και το πλήθος τους είναι: r nn... n Παράδειγμα: Το πλήθος των στηλών που μπορούν να συμπληρωθούν στο ΠΡΟΠΟ είναι: 13 3
Συνδυαστική Συνδυασμοί: Αν από τα n διαφορετικά αντικείμενα μπορούμε να πάρουμε r χωρίς να Μας ενδιαφέρει η διάταξή τους τότε αλλά μόνο ποια αντικείμενα πήραμε, τότε, έχουμε συνδυασμούς των n ανά r αντικειμένων και το πλήθος τους υπολογίζεται από τη σχέση: n r n! r!( n r)! Παράδειγμα: Το πλήθος των εξάδων στο ΛΟΤΤΟ είναι: 49 6