Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητή η ανάγκη των προβλημάτων της δικτυωτής ανάλυσης και οι λύσεις που δίδονται με τους αλγόριθμους ευρεσης συντομότερης διαδρομής και ελαχιστοποίησης κάλυψης κόμβων

Περιεχόμενα ενότητας Δικτυωτή Ανάλυση Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής Αλγόριθμος Dijkstra Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford - Fulkerson

Βιβλιογραφία Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, 99. Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 99. Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, 99. Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 99. F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, 9.

Δικτυωτή Ανάλυση (α) Ένα δίκτυο αποτελείται από κόμβους και συνδέσεις μεταξύ των κόμβων (κλάδους ή διαδρομές). Κάθε σύνδεση (κλάδος) συνδέει δυο διαφορετικούς κόμβους. Ένας κόμβος μπορεί να είναι συνδεδεμένος με περισσότερους από έναν κόμβους, όπως και σε έναν κόμβο μπορούν να καταλήγουν περισσότερες από μια συνδέσεις. Οι κόμβοι χαρακτηρίζονται συνήθως με αριθμούς (,, ). Οι κόμβοι συμβολίζονται συνήθως με έναν κύκλο που περιλαμβάνει τον αριθμό του κόμβου. (00) (0,0,) (00) 7

Δικτυωτή Ανάλυση (β) Ένα δίκτυο αποτελείται από κόμβους και συνδέσεις μεταξύ των κόμβων (Σε κάθε διαδρομη συνδέονται τρεις αριθμοί (α, α, α) όπου α: ελάχιστη τιμή χωρητικότητας, α η μέγιστη τιμή χωρητικότητας και α το κόστος. Σε κόμβους εισόδου ή εξόδου καταχωρούμε τις ποσότητες εισόδου ή εξόδου από το Δίκτυο Στην περίπτωση μονόδρομης μεταφοράς ή ροής στους κόμβους έχουμε κατευθυνόμενο δίκτυο. Σε δίκτυα ροής στις διαδρομές καταγράφουμε εκτός από τη μέγιστη δυνατή ροή (χωρητικότητα) και την υπάρχουσα (00) 00: Ποσότητα Εισόδυ στο Δίκτυο (0,0,) 0/ 0: ελάχιστη ροή 0: μέγιστη ροή :κόστος μονάδας (00) 0: μέγιστη ροή : Ροή στη διαδρομή 00: Ποσότητα εξόδου από το Δικτυο

Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (α) Τα Προβλήματα που συνήθως αντιμετωπίζουμε στη Δικτυωτή Ανάλυση είναι: Βέλτιστης κάλυψης όλων των κόμβων Σε ένα δίκτυο υπολογίζουμε την διαδρομή με την μικρότερη απόσταση ή κόστος προκειμένου να καλυφθούν όλοι οι κόμβοι. (Εφαρμογές στα Δίκτυα Η/Υ, Υδραυλικά Δίκτυα, Ηλεκτρικά Δίκτυα, κ.ά.) Εύρεση της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των κόμβων. Σε δίκτυα που έχουν έναν αρχικό και έναν τελικό κόμβο και δίνονται οι αποστάσεις (κόστος) μεταξύ των κόμβων βρίσκουμε τις συνδέσεις που μας δίνουν την ελάχιστη απόσταση (κόστος) διασύνδεσης του αρχικού με τον τελικό κόμβο. Μεγιστοποίηση της Ροής Δικτύου Σε ένα δίκτυο μεταφοράς με αρχικό και τελικό κόμβο και τις χωρητικότητες (ικανότητες μεταφοράς) των συνδέσεων (κλάδων) βρίσκουμε τη διαδρομή (συνδέσεις) μέσω των οποίων θα μεγιστοποιηθεί η αποδοτικότητα δηλαδή θα μεγιστοποιηθεί η χωρητικότητα. 9

Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (β) Το πρόβλημα της Μεταφοράς Σε δίκτυα που έχουν ένα σύνολο κόμβων Αφετηρίας Α i και ένα άλλο σύνολο κόμβων Προορισμού T i με συγκεκριμνες δυνατότητες οσον αφορά στις ποσότητες αποστολής και παραλαβής και γνωρίζοντας τα κόστη μεταφοράς από τις Αφετηρίες προς τους Προορισμοπυς προσδιορίζουμε τις διαδρομές με το ελάχιστο κόστος με εξασφάλιση ότι μεταφερθούν όλες οι ποσότητες από τις Αφετηρίες προς τους Προορισμους. Το Πρόβλημα της Ανάθεσης Το πρόβλημα της Ανάθεσης αφορά την τομποθέτηση ν αντικειμένων σε μ θέσεις έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος (η μεγιστοποιείται η απόδοση), γνωριζοντας το κόστος ή την απόοδση της ανάθεσης αντικειμένου σε θέση. Το Κρίσιμο Μονοπάτι Σε ένα δίκτυο αλλαηλοεξαρτώμενων δραστηριοτήτων υλοποίησης ενός έργου προσδιορίζονται οι δραστηριότητες που είναι κρίσιμες ώστε το έργο να εκτεκεσθεί στα απαιτούμενα χρονικά πλαίσιο.. 0

Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (γ) Τα προβλήματα της Δικτυωτής Ανάλυσης συναντώνται συχνά σε πολλούς τομείς της Διοίκησης Λειτουργιών, μεταφορών και της Παραγωγής. Πολλά από τα Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης μπορούν να διατυπωθούν σε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού & να επιλυθούν με τη μέθοδο Simple. Για κάθε ένα από αυτά έχουν αναπτυχθεί τεχνικές και μέθοδοι επίλυσης, οι οποίες λειτουργούν ταχύτερα από την SIMPLEX. Κάθε πρόβλημα θα παρουσιασθεί διεξοδικά

Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (α) Αφορά προβλήματα στα οποία σε ένα δίκτυο κόμβων απαιτείται να προσδιορισθεί η διαδρομή εκείνη που καλύπτει όλους του κόμβους και ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί μια παράμετρο (το κόστος ή η απόσταση). Εντάσσεται στην κατηγορία πρβλημάτων χωροθέτσησης. Παράδειγμα: Η Εταιρεία Παροχής Φυσικού Αερίου σκοπεύει να συνδέσει να κατασκευάσει αγωγό για να παρέχει φυσικό αέριο από τις κετρικές εγκαταστάσεις (Α) στις πόλεις έως 9. Στο δίκτυο που ακολουθεί δίδονται οι επιτρεπτές διαδρομές και το κόστος κατασκευής. Α 00 0 0 70 0 0 90 0 0 7 0 90 0 00 0 0 0 9

Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (β) Γ.Π. Μοντελοποίηση σε μορφή Γραμμικού Προβλήματος (Ακέραιου) N. Αριθμός των κόμβων, Κ ο κόμβος της Αφετηρίας C ij : το κόστος κατασκευής της διδρομης KiKj. min(c n n ij i i {0,} ij i ij ij ), i 0,,,..n, j,,.., n j,..,n 00 0 0 c ij 70 0 0 0 0 0 90 90 0 0 7 0 0 00 0 9

Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (γ) Παράδειγμα: Σε ένα συγκρότημα με 9 κατοικίες σχεδιάζεται το δίκτυο ύδρευσης. Το κόστος κατασκευής είναι ανάλογο των αποστάσεων μεταξύ των κατοικιών. Δεν είναι απαραίτητο όλες οι κατοικίες να συνδεθούν με το κεντρικό δίκτυο. Μια κατοικία μπορεί να συνδεθεί με μια άλλη. Δεν είναι δυνατόν να συνδεθούν όλες οι κατοικίες μεταξύ τους λόγω ιδιομορφίας του εδάφους. Στο δικτυωτό διάγραμμα δίνονται οι αποστάσεις σε μέτρα των συνδέσεων. Να βρεθεί ο τρόπος σύνδεσης ώστε να καλυφθούν όλες οι κατοικίες με το ελάχιστο δυνατό κόστος. 0 0 0 0 0 90 0 0 90 70 7 0 0 0 0 9

Βήματα Επίλυσης. Καταγράφουμε σε πίνακα όλους τους κλάδους του δικτύου κατά αύξουσα σειρά αποστάσεων.. Ξεκινάμε με την επιλογή του πρώτου κλάδου (αυτόν με την μικρότερη απόσταση και επιλέγουμε έναν - έναν τους κλάδους με την προϋπόθεση ότι δεν δημιουργείται βρόγχος (κλειστό κύκλωμα).. Συνεχίζουμε μέχρι να επιλεγούν όλοι οι κόμβοι.. Σχεδιάζουμε με έντονες συνδέσεις τη διαδρομή στο διάγραμμα του δικτύου.

Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0. Καταγράφουμε όλους του κλάδους και τις αποστάσεις και ταξινομούμε τον πίνακα κατά αύξουσα σειρά ως προς τις αποστάσεις (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) 0 0 0 0 0 90 0 0 0 90 70 7 0 0 0 0 9 (,) 0 (,9) 0

Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0 (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) 0 (,) 0 (,9) 0 0. Ξεκινάμε από τον κλάδο (,), Συνεχίζουμε στον (,), (7,), (,),.. (,) Ταυτόχρονα σημειώνουμε περισσότερο έντονα τους κόμβος στο διάγραμμα 0 0 0 90 0 0 0 90 70 7 0 0 0 0 7 9

Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0. Δεν λαμβάνουμε την περίπτωση (,) διότι δημιουργεί βρόγχο. Συνεχίζουμε με το (7,9) Καλύπτονται όλοι οι κόμβοι. (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) 0 (,) 0 (,9) 0 0 0 0 0 90 0 0 0 90 70 7 0 0 0 0 9

Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής (α) Εύρεση Ελάχιστης Απόστασης Μεταξύ Αφετηρίας & Προορισμού ( Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής): Οι αποθήκες μιας κατασκευαστικής εταιρείας (κόμβος Α) βρίσκονται σε απόσταση από το εργοτάξιο της Οικοδομής (κόμβος Π) που βρίσκεται σε εξέλιξη. Για τη μεταφορά των υλικών υπάρχουν οι οδικές αρτηρίες που δίνονται στο σχήμα δικτύου που ακολουθεί όπως και οι σχετικές αποστάσεις. Ποιά είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθηθεί για τη μεταφορά ώστε να ελαχιστοποιηθεί η απόσταση. Α 0 9 Π 9

Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής (β) 0 Ανάμεσα στην αφετηρία και τον Προορισμό παρεμβάλονται κόμβοι που δημιουργούν πολλές εναλλακτικές διαδρομές. Ζητείται να προσδιορισθεί η μικρότερη διαδρομή (ή με το μικρότερο κόστος) ανάμεσα στην Αφετηρία και τον Προορισμό. Αν Α (K 0 ): η αφετηρία, Π (k n+ ): ο Προορισμός, c ij : η απόσταση του κόμβου i από τον κόμβο j και n ο αριθμός των ενδιάμεσων κόμβων 0 9 min(c n i n ij n i {0,} ij i,j 0 ij in ij ), i 0,,,..n n i,j ji J,..,n, i j c ij 0 0

Βήματα Επίλυσης του προβλήματος με. Σε έναν πίνακα καταγράφουμε τους κόμβους και τους κλάδους με τις αντίστοιχες αποστάσεις στην παρακάτω μορφή. Δεν καταγράφουμε κλάδους που καταλήγουν στην αφετηρία ή ξεκινούν από τον προορισμό. αλγόριθμο Dijkstra () Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 Α 9 0 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 9 Π

Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(α). Ξεκινάμε από τον κόμβο που είναι πλησιέστερα στον Α (έχει τη μικρότερη απόσταση). Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Σημειώνεται έντονα ο κλάδος (,Π):. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον κόμβο Α 0 9 9 Π

Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(β). Ξεκινάμε από τον κόμβο που είναι πλησιέστερα στον Α (έχει τη μικρότερη απόσταση). Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Σημειώνουμε πάνω από τον κόμβο το (απόσταση από Α) (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Σημειώνεται έντονα ο κλάδος. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον κόμβο Α 9 0 9 Π

Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(γ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Απόσταση 9. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον με Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +=

Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(δ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α, και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): 7. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Απόσταση 0 9. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι += 0. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 9+=7

Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(ε). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α,, και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,):. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +=. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 9+=0. Οι Κόμβος και είναι οι πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 0+=

Βήματα Επίλ. του προβλήματος ()(στ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α,,,, και. Βρίσκουμε την απόσταση από Α. Βρίσκονται σ=τον Πλησιέστερο κόμβο στον Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +9=0 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 7. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 0+=. Οι Κόμβος Π ο πλησιέστερος στον. Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι += 7

Βήματα Επίλυσης του προβλήματος (7)(ζ). Έμεινε μόνο ο κόμβιος Π. Εχουμε τις αποστάσεις 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): 9. Επιλέγουμε τη σύνδεση με τον Κόμβο διαγράφοντας τις άλλες. Ο Κόμβος συνδέεται με τον και ο με τον Α (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 0. Ο κόμβος Π απέχει από κόμβο και από τον Α +0=. Ο Κόμβος Π απέχει από τον κόμβο κατά η απόσταση από τον Α είναι +=. Οι Κόμβος Π ο απέχει από τον κόμβο κατά και από τον Α 0.

Το Τελικό Διάγραμμα Δικτύου Α 0 9 Π 9 Η διαδρομή είναι Α,,,Π Απόσταση 0++=0. 9

Άσκηση Εξάσκησης Για την καθημερινή σας μετακίνηση από το σπίτι σας στο ΤΕΙ Πειραιά μπορείτε να ακολουθήσετε κάποιες εναλλακτικές διαδρομές που περιλαμβάνουν οδικούς άξονες και διασταυρώσεις - κόμβους. Για λόγους άσκησης και προστασίας του περιβάλλοντος αποφασίσατε να χρησιμοποιήσετε ποδήλατο. Να προσδιορίσετε τη συντομότερη διαδρομή. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το www.driveme.gr για να αντλήσετε στοιχεία. 0

Άσκηση Εξάσκησης Ο σχεδιασμός της διαδρομής του σιδηροδρόμου από τη πόλη Α στον πόλη Π εδωσε το παρακάτω διάγραμμα εφικτών κλάδων και κόμβων του τμήματος του σοδηροδρομικού δικτύο που μπορεί να συνδέσει τις δυο πόλεις. Ποιά είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθηθεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί η απόσταση που θα διανύει η αμαξοστοιχεία. Α 0 7 9 7 7 Π

Μεγιστοποίηση ροής σε ένα δίκτυο (α) Δίκτυο διαδρομών με διαφορετικές χωτηρικότητες στις διαδρομές Τα προβλήματα αυτά αφορούν στην επιλογή των διαδρομών σε ένα δίκτυο, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η μέγιστη ροή στο δίκτυο. Βασικό Χαρακτηριστικό: Σε δυο διαδρομές με διαφορετική δυναμικότητα ροής που συνδέονται σε ένα κόμβο η ροη που θα επιτευχθεί είναι η μικρότερη από τις ροές των δύο διαδρομών. Flow: Flow: Total Flow:

Μεγιστοποίηση ροής σε ένα δίκτυο (β) Πολλές Εφαρμογές (Δίκτυα Η/Υ- Δρομολόγηση της μεταφοράς δεδομένων, Δίκτυα Υδρευσης, Παροχής Ενέργειας, Μεταφοοράς Φυσικού Αερίου, κ.ά.) Αν Α=Κ 0, Π=Κ n+ W ij οι χωρητικότητες των διαδρομών X ij οι ζητούμενες ροές τότε το Γ.Π. επίλυσης έχει ως ακολούθως Α W 0 / 0 W / 0k W 0 / 0 n- W n-,n+ X n-,n+ W r,n+ X r,n+ W n,n+ X n,n+ n Π ma( ij ), i 0,,,..n j n ij 0 ij j k, j,,.., n, i,,.., n, i j, k,,... n ij ij 0, i,,.., n w ij, i,,.., n

Παράδειγμα Δίδεται το παρακάτω δίκτυο όπου Α είναι η Αφετηρία και Π ο Προορισμός. Στο Γράφο δίνεται η δυνατότητες ροής στο κατευθυνόμενο δίκτυο. Να προσδιορισθούν οι ροές στις διαδρομές έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική ροή στο δίκτυο. Αν Α=Κ 0, Π=Κ και ij Οι ροές στο δίκτυο (άγνωστες) ma( 0 0 0 0 0, 0,,, 0 0,, 0,, 0 ),, 9,,,,,, Α,, 0 9,, 0, i,,,,.., n 9 Π

Αλγόριθμος Επίλυσης (α) Δίδεται το παρακάτω δίκτυο όπου Α είναι η Αφετηρία και Π ο Προορισμός. Σημειώνουμε στις διαδρομές τη μέγιστη ροή και τις υπολογισμένη ροή. Ξεκινάμε σε όλες τις διαδρομές με εκτιμημένη ροή 0. Επιλέγουμε μια διαδρομή απο Αφετηρία προς Προορισμό (πχ Α,,,Π). Βρίσκουμε την μικρότερη ροή. Θέτουμε τη ροή αυτή στο σύνολο των επιμέρους κλάδων της Διαδρομής και αφαιρούμε από τις ποσότητες από τη χωρητικότα των κλάδων της διαδρομής. Η μικρότερη ροή στη διαδρομή Α,,,Π είναι. Βάζουμε την τιμή στη ροή και αφαιρούμε από όλους τους κλάδους της διαδρομής Συνεχίζουμε με την επόμενη διαδρομή (Α,,,Π) μέχρι να μην έχουμε δυνατότητα ροής σε καμμία διαδρομή. Α Α /0 /0 0/ /0 /0 /0 / 0 /0 /0 /0 /0 / 7/0 Π 7/0 7/0 / Π

Αλγόριθμος Επίλυσης (β) Συνεχίζουμε με την επόμενη διαδρομή (Α,,,Π) μέχρι να μην έχουμε δυνατότητα ροής σε καμμία διαδρομή. Η μικρότερη ποσότητα στη διαδρομή (Α,,,Π) είναι. Α 0/ / /0 0/ /0 / / / Π Αφαιρούμε από τη δυναμικότητα των κόμβων της διαδρομής και προσθέτουμε στις ροές Συνεχίζουμε με τη διαδρομή Α,,,,Π. Η μικρότερη Ποσότητα είναι στους κόμβους. Αφαιρούμε από τη δυναμικότητα των κόμβων και προσθέτουμε στις ροές Α /7 0/ / 0/ / / 0/7 / Π Η Μέγιστη Ροή είναι

Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (α) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βρισκουμε μια εφικτή λύση (όχι βέλτιστη): Ξεκινάμε από τον κόμβο και διαδοχικά αναθέτουμε ροές στους κλάδους του δικτύου, έτσι ώστε οι εισροές σε ένα κόμβο να είναι ίσες με τις εκροές. Ή διαδικασία περιλαμβάνει ένα σύνολο βημάτων που επαναλαμβάνονται. 7 7 7 7/ / / / / /7 / / / 7

Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (β) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βήμα : Ξεκιναμε με τον πρώτο κόμβο. Δίνουμε την ετικέτα (+0, Μ) όπου 0 αντιστοιχεί στο ότι 7 δεν υπάρχει προαπαιτούμενος κόμβος και Μ ότι δεν υπάρχει όριο σε επιπρόσθετη παροχή. Ο Κόμβος θεωρείται σημασμένος και μη διερευνημένος. Βήμα : Επιλέγουμε έναν κόμβο ο οποίος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος (ο Κόμβος στην πρώτη φάση). Αν όλοι οι κόμβοι είναι σημασμένοι και διερευνημένοι τότε έχουμε βρεί την βέλτιστη λύση. Βήμα : Στον σημασμένο κόμβο I, για κάθε μη σημασμένο κόμβο (j): α) για τον οποίο υπάρχει κλάδος με τον σημασμένο κόμβο που εξετάζουμε (I,j) και η ροή του κλάδου ( ij ) είναι μικρότερη της χωτηρικότητας (b ij ) θέτουμε ετικέτα (+i, y j ) όπου y i = min( b ij - ij, y i ) β) για το οποίο υπάρχει κλάδος (j,i) και ή ροή είναι μεγαλύτερη του 0 ( ij <0) θέτουμε την ετικέτα (-i, y j ) όπου y j =min( ji, y i ) O κόμος I έχει διερευνηθεί. Τον τσεκάρουμε / 7/ (0, Μ) Βήμα / (0, Μ) / / /7 7/ / / / Βήμα, () (+, ) Μόνο ο κόμβος ικανοποιεί τις συνθήκες (α) y= min(7-=, M)

Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (γ) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βήμα : Αν ο Κόμβος Προορισμου (0, Μ) 7/ (ο Κόμβος ν) είναι σημασμένος τότε 7 μεταβαίνουμε στο βήμα, αλλιώς / μεταβαίνουμε στο βήμα. Βήμα :Ελέγχουμε τη τιμη y n της ετικέτας του κόμβου προορισμού. Με τη τιμή αυτή αυξάνουμε τη ροή της διαδρομής με την εξής διαδικασία: α) Για κάθε κλάδο που η ετικέτα έχει θετικό πρόσημο αυξανουμε τη ροή κατά y n β) Για κάθε κλάδο που η ετικέτα έχει αρνητικό πρόσημο αφαιρούμε από τη ροή y n (+, ) / / / /7 / Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα 9 / /

Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford (0, Μ) 7 (+, ) (+, ) / 7/ Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. Fulkerson(δ) Βήμα : Ο κλάδος (,) ικανοποιεί τη συνθηκη α. Σημαίνουμε τον Κόμβο με (+, min(-, )=) Τσεκάρουμε τον κόμβο (0, Μ) 7 / 7/ (+, ) / / / /7 / / / Βήμα : Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα (0, Μ) 7 7/ (+, ) / Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. (+, ) / (-, ) Βήμα : Ο κλάδος (,) ικανοποιεί τη συνθηκη β. Σημαίνουμε τον Κόμβο με (-, min(, )=) Τσεκάρουμε τον κόμβο (0, Μ) 7 / 7/ (+, ) / Βήμα : Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στοβήμα (+, ) / /7 / / / (-, ) 0

Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (ε) (0, Μ) (+,) / 7/ 7 / / (+, ) /7 / (-, ) (--, ) (+.) (+.) (+,) / 7/ / 7 / / / / /7 / (-, ) (0, Μ) Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. Βήμα : Οι κλάδοι (,) και (,) ικανοποιούν τις συνθήκες α, β. Σημαίνουμε τους κόμβους και με (-, min(7, )=) και (, Min(-,)= Τσεκάρουμε τον κόμβο Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα

Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (στ) (0, Μ) 7 7/+ (+,) (--, ) / + / /7 (+.) /- (-, ) /+ (+, ) Βήμα : Στους κλάδους ((,), (,) και (,) προσθέτουμε στη ροή. Στους κλάδους (,), αφαιρούμε. / (0, Μ) 9 7/ / / /0 / / /7 /7 Ξεκινάμε τη Διαδικασία από την Αρχή Βήμα

Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (ζ) / (0, Μ) 9 7/ / / /0 / / / (-, ) /7 (0, Μ) 7 (+, ) / 7/ (+, ) Μετά από επαναλήψεις φθάνουμε στο σημείο όπου οι κόμβοι είναι σημασμένοι και διερευνημένοι ή μη σημασμένοι. Έχουμε Βέλτιστη λύση Μέγιστη Ροή στον Κόμβο 7+ =9.

Τέλος Ενότητας