ΔΙΑΣΜΗΜΑΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΔΙΑΣΜΗΜΑΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΚΑΙ ΣΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ» ΣΧΟΙΝΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ Διπλωματική Εργαςία Α.Μ.: 6 ΑΝΑΛΥΗ ΔΙΑΠΟΡΑ

Αθηεξωκέλε ζηνπο γνλείο κνπ Γεώξγην θαη Αιεμάλδξα θαη ζηελ αδεξθή κνπ Παλαγηώηα Επραξηζηώ πνιύ ηνλ θαζεγεηή θ. Φίιηππν Αιεβίδν γηα ηε ζπλεξγαζία πνπ είρακε πξνθεηκέλνπ λα νινθιεξωζεί ζωζηά ε παξνύζα δηπιωκαηηθή εξγαζία.

Πεξηερφκελα Κεθάιαην 1 Γεληθά γηα ηελ αλάιπζε δηαζπνξάο.7 1.1 Δηζαγσγή...7 1. Παιηλδξφκεζε θαη αλάιπζε δηαζπνξάο 7 1.3 Παξάγνληεο, ηάζκεο Παξαγφλησλ θαη Υξήζεηο.8 1.4 Σν Μνληέιν Η..9 1.5 Δθηίκεζε Παξακέηξσλ..14 1.6 Δθηηκεηέο Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ..16 1.7..0 1.8 F-Έιεγρνο γηα ηζφηεηα ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ παξάγνληα.30 1.9 Ηζρχο F-Διέγρνπ.3 Κεθάιαην Αλάιπζε ηωλ επηδξάζεωλ ηνπ παξάγνληα.36.1 Αλάιπζε ηνπ SSTR 37. Δθηίκεζε ησλ επηδξάζεσλ ηνπ παξάγνληα 44.3 Μέζνδνο Tuckey γηα πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο.54.4 Μέζνδνο Scheffé γηα πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο.58.5 Μέζνδνο Bonferroni γηα πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο 59.6 Αλάιπζε ησλ επηδξάζεσλ ηνπ παξάγνληα φηαλ ν παξάγνληαο είλαη πνζνηηθφο...6 Κεθάιαην 3 Δθαξκνγή ηνπ κνληέινπ ANOVA 68 3.1 ρεδηαζκφο ησλ δεηγκαηηθψλ κεγεζψλ κε πξνζέγγηζε ηεο ηζρχνο 68 3. ρεδηαζκφο ησλ δεηγκαηηθψλ κεγεζψλ κε εθηηκεηηθή πξνζέγγηζε..73 3.3 ρεδηαζκφο ησλ δεηγκαηηθψλ κεγεζψλ γηα ηελ εχξεζε «θαιχηεξεο» ρξήζεο 74 3.4 Αλάιπζε ππνινίπσλ.75 3

3.5 Έιεγρνη γηα ηελ ηζφηεηα ησλ δηαζπνξψλ 76 Κεθάιαην 4 Πνιπκεηαβιεηή..83 4.1 χγθξηζε MANOVA θαη ANOVA..83 4. Έιεγρνη ππνζέζεσλ MANOVA....84 4.3 Έιεγρνο ηζφηεηαο ησλ δηαζπνξψλ..89 4.4 Ζ πνιπκεηαβιεηή αλάιπζε δηαζπνξάο σο γξακκηθφ κνληέιν...89 Βηβιηνγξαθία 91 4

ΠΔΡΙΛΗΦΗ Ζ αλάιπζε δηαζπνξάο κειεηά ηε ζρέζε πνπ έρεη κηα εμαξηεκέλε κεηαβιεηή Τ, ηηο ηηκέο ηεο νπνίαο κπνξνχκε λα παξαηεξήζνπκε, κε ηηο ηηκέο ελφο παξάγνληα Α ή πνιιψλ παξαγφλησλ πνπ είλαη θαη νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο. Δίλαη θαηάιιειε γηα δεδνκέλα πνπ βαζίδνληαη πάλσ ζηελ έξεπλα ή ζε πεηξάκαηα θαη κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί είηε νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο είλαη πνζνηηθέο είηε πνηνηηθέο. ηελ παξνχζα εξγαζία, ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε έλα κνληέιν αλάιπζεο δηαζπνξάο γηα λα κειεηήζνπκε ηηο επηξξνέο ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηψλ ζηελ εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ρσξίο πεξηνξηζκνχο ζηελ θχζε ηεο ζηαηηζηηθήο ζρέζεο θαζψο επίζεο, ζα γίλνπλ έιεγρνη γηα λα κειεηήζνπκε αλ νη πιεζπζκνί καο έρνπλ ίζεο κέζεο ηηκέο ή ίζεο δηαζπνξέο. ην πξψην θεθάιαην ηεο παξνχζαο εξγαζίαο παξνπζηάδνληαη ηα γεληθά ραξαθηεξηζηηθά κηαο κνλνπαξαγνληηθήο αλάιπζεο δηαζπνξάο θαζψο επίζεο θαη νη έιεγρνη ησλ κέζσλ ηηκψλ γηα ηηο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα. ην δεχηεξν θεθάιαην αθνινπζεί ε παξνπζίαζε ηεο αλάιπζεο ησλ επηδξάζεσλ ηνπ παξάγνληα θαη νη δηάθνξεο κέζνδνη γηα πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο. Δπίζεο, ζην ηξίην θεθάιαην αλαιχεηαη ν ζρεδηαζκφο ησλ δεηγκαηηθψλ κεγεζψλ θαζψο θαη νη έιεγρνη γηα ίζεο δηαζπνξέο. Σέινο, ζην ηέηαξην θεθάιαην αλαθέξνληαη ηα γεληθά ραξαθηεξηζηηθά κηαο πνιππαξαγνληηθήο αλάιπζεο δηαζπνξάο. 5

SUMMARY The analysis of variance studies the relation which has a dependent variable Y, which the values we observe, with the values of a factor A of more factors that are the independent variables. It is suitable for data that are based on a research or on experiments and it can be used either the independent variables are quantitative or qualitative. In this paper, we are going to use a model of analysis of variance to study the influences of the independent variables to the dependent variable without restrictions to the nature of the statistical relation and they will be controls to study if our populations have equal means or variances, as well. In the first chapter of this paper, they are introduced the general characteristics of a single factor analysis of variance and the controls of the means for the levels of the factor, as well. In the second chapter, it follows the presentation of the analysis of the factor effects and several methods for multiple comparisons. Furthermore, in the third chapter, it is analysed the planning of sample sizes and the controls for equal variances, as well. In the last chapter, the general characteristics of a multiple analysis of variance are reported. 6

1. ΓΔΝΙΚΑ ΓΙΑ ΣΗΝ ΑΝΑΛΤΗ ΓΙΑΠΟΡΑ 1.1 Δηζαγωγή Ζ αλάιπζε δηαζπνξάο κειεηά ηε ζρέζε κεηαμχ κηαο εμαξηεκέλεο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο Τ ηηο ηηκέο ηεο νπνίαο κπνξνχκε λα παξαηεξήζνπκε θαη ε νπνία κπνξεί λα εμαξηάηαη απφ έλαλ παξάγνληα Α (factor A) ή απφ δύν ή πεξηζζόηεξνπο παξάγνληεο Α, Β (πνπ λα επεξεάδνπλ ν έλαο ηνλ άιινλ ή φρη) πνπ ηζνδπλακνχλ κε ηηο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο ηεο παιηλδξφκεζεο. Γελ απαηηεί πξνυπνζέζεηο γηα ηελ θχζε ηεο ζηαηηζηηθήο ζρέζεο, νχηε νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο λα είλαη πνζνηηθέο. Οη ηηκέο πνπ παίξλεη ν παξάγνληαο ιέγνληαη ζηάζκεο (levels) θαη είλαη πξνθαλψο πεπεξαζκέλνπ πιήζνπο. 1. Παιηλδξόκεζε θαη Αλάιπζε δηαζπνξάο Ζ παιηλδξφκεζε ζρεηίδεηαη κε ηελ ζηαηηζηηθή ζρέζε πνπ έρνπλ κία ή πεξηζζφηεξεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο θαη κηα εμαξηεκέλε κεηαβιεηή θαη είλαη θαη νη δχν πνζνηηθέο. Ζ ιεηηνπξγία ηεο παιηλδξφκεζεο πεξηγξάθεη ηελ θχζε ηεο ζρέζεο πνπ ππάξρεη κεηαμχ ηεο κέζεο αληαπφθξηζεο θαη ησλ ζηαζκψλ ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηψλ. Οκνίσο κε ηελ παιηλδξφκεζε, έηζη θαη ε αλάιπζε δηαζπνξάο, είλαη θαηάιιειε γηα δεδνκέλα πνπ βαζίδνληαη πάλσ ζηελ έξεπλα ή ζε πεηξάκαηα. Αθφκα, ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή είλαη πνζνηηθή. κσο, ε παιηλδξφκεζε θαη ε αλάιπζε δηαζπνξάο δηαθέξνπλ ζε θάπνηα ζεκεία: 1) ηελ αλάιπζε δηαζπνξάο νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο κπνξνχλ λα είλαη θαη πνηνηηθέο (θχιν, ρξψκα καηηψλ θ.η.ι.). ) Δάλ νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο είλαη πνζνηηθέο, ζηελ αλάιπζε δηαζπνξάο δελ γίλεηαη θακία ππφζεζε ζρεηηθά κε ηελ θχζε ηεο ζηαηηζηηθήο ζρέζεο κεηαμχ ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηψλ θαη ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο. Έηζη, ην πξφβιεκα θαζνξηζκνχ ηνπ ηχπνπ ηεο ζπλάξηεζεο παιηλδξφκεζεο, ζε κηα ζπλήζε αλάιπζε παιηλδξφκεζεο δελ ππάξρεη ζηα κνληέια αλάιπζεο δηαζπνξάο. Πψο επηιέγνπκε φκσο πνηνλ ηχπν κνληέινπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε; ηαλ νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο είλαη πνηνηηθέο ηφηε, δελ ππάξρεη θάπνηνο ζπγθεθξηκέλνο ηξφπνο ψζηε λα θαηαιήμνπκε ζε έλα απφ ηα δχν κνληέια. 7

Δληνχηνηο, αλ νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο είλαη πνζνηηθέο θαη ππάξρεη κηα ζεκαληηθή ακθηβνιία ζρεηηθά κε ηελ θχζε ηεο ζηαηηζηηθήο ζρέζεο κεηαμχ ησλ κεηαβιεηψλ ηφηε, ε ζηξαηεγηθή πνπ αθνινπζνχκε κεξηθέο θνξέο είλαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε έλα κνληέιν αλάιπζεο δηαζπνξάο γηα λα κειεηήζνπκε ηηο επηξξνέο ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηψλ ζηελ εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ρσξίο πεξηνξηζκνχο ζηελ θχζε ηεο ζηαηηζηηθήο ζρέζεο, θαη κεηά αθνινπζνχκε ηελ αλάιπζε ηεο παιηλδξφκεζεο γηα λα εμεγήζνπκε ηνλ πνζνηηθφ ραξαθηήξα ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηψλ. 1.3 Παξάγνληεο, ηάζκεο Παξαγόληωλ θαη Υξήζεηο Ο παξάγνληαο (factor) είλαη κηα αλεμάξηεηε κεηαβιεηή πνπ κειεηάκε ζε κία έξεπλα. Γηα παξάδεηγκα, ζε κηα έξεπλα πνπ κειεηάκε ηελ επίδξαζε ηεο ηηκήο ζηηο πσιήζεηο ελφο πξντφληνο, ν παξάγνληαο πνπ κειεηάκε είλαη ε ηηκή. Ή ζε κηα κειέηε πνπ ζπγθξίλνπκε ηελ δήηεζε 4 δηαθνξεηηθψλ πξντφλησλ ν παξάγνληαο πνπ κειεηάκε είλαη ν ηχπνο ηνπ πξντφληνο. ηάζκε ελφο παξάγνληα (factor level) είλαη έλαο ζπγθεθξηκέλνο ηχπνο απηνχ ηνπ παξάγνληα. Γηα παξάδεηγκα, ζηελ κειέηε ηεο ηηκήο πνπ αλαθέξακε πξνεγνπκέλσο, ππάξρνπλ 3 ηηκέο, 50, 60 θαη 70. Κάζε κία απφ απηέο ηηο ηηκέο είλαη κηα ζηάζκε ηνπ παξάγνληα ηηκή πνπ κειεηάκε θαη γη απηφ ιέκε φηη ν ζπγθεθξηκέλνο παξάγνληαο έρεη 3 ζηάζκεο. Έλα άιιν παξάδεηγκα, ζε κηα κειέηε ηεο επίδξαζεο ηνπ ρξψκαηνο ζηελ αγνξά ελφο απηνθηλήηνπ, ην ρξψκα ηνπ απηνθηλήηνπ είλαη ν παξάγνληαο ππφ κειέηε θαη ην θάζε ρξψκα είλαη ε ζηάζκε ηνπ παξάγνληα. Αλάινγα φκσο κε ην πιήζνο ησλ παξαγφλησλ δηαθέξνπλ θαη νη έξεπλεο. Κάπνηεο κειεηνχλ έλαλ παξάγνληα (single-factor studies) θη άιιεο κειεηνχλ δχν ή πεξηζζφηεξνπο παξάγνληεο ηαπηφρξνλα (multifactor studies). Έλα παξάδεηγκα κνλνπαξαγνληηθήο έξεπλαο είλαη ε κειέηε ηεο δήηεζεο 4 δηαθνξεηηθψλ πξντφλησλ θαη έλα παξάδεηγκα πνιππαξαγνληηθήο έξεπλαο είλαη ε κειέηε ηεο επίδξαζεο ηεο ζεξκνθξαζίαο θαη ηεο πγξαζίαο ζηελ αλάπηπμε ελφο θπηηθνχ νξγαληζκνχ. Δπηπιένλ, έλαο παξάγνληαο κπνξεί λα ρσξηζηεί ζε δχν θαηεγνξίεο: ζηνλ πεηξακαηηθφ παξάγνληα θαη ζηνλ παξάγνληα αμηνιφγεζεο. ε κηα έξεπλα αμηνιφγεζεο νη παξάγνληεο πνπ ζα είλαη ππφ κειέηε ζα είλαη παξάγνληεο αμηνιφγεζεο φπνπ αλαθέξνληαη ζην ραξαθηεξηζηηθφ ησλ κνλάδσλ θαη δελ κπνξεί ν εξεπλεηήο λα ηνπο ειέγμεη. Δλψ έλαο πεηξακαηηθφο παξάγνληαο είλαη έλαο παξάγνληαο φπνπ ε ζηάζκε ηνπ παξάγνληα πξνζδηνξίδεηαη ηπραία ζηελ πεηξακαηηθή κνλάδα. Παξαδείγκαηα παξάγνληα αμηνιφγεζεο θαη πεηξακαηηθνχ παξάγνληα, αληίζηνηρα, είλαη ε κειέηε ησλ επηδξάζεσλ ηεο 8

εθπαίδεπζεο θαη ηεο εκπεηξίαο ησλ πσιεηψλ ζηηο πσιήζεηο κηαο επηρείξεζεο θαη ε κειέηε ηεο επίδξαζεο 5 ζεξκνθξαζηψλ ζηελ αλάπηπμε ελφο θπηνχ. Θα πξέπεη λα επηζεκάλνπκε φηη ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα παξέρνπλ πην ζεκειηψδε απνηειέζκαηα απφ ηα δεδνκέλα αμηνιφγεζεο. Δπίζεο, δελ ζα ππήξρε ιφγνο λα δηαθξίλνπκε δχν θαηεγνξίεο παξαγφλησλ αλ νη παξάγνληεο αμηνιφγεζεο εκθαλίδνληαλ κφλν ζε κειέηεο αμηνιφγεζεο θαη νη πεηξακαηηθνί παξάγνληεο κφλν ζε πεηξακαηηθέο κειέηεο. Οη παξάγνληεο αμηνιφγεζεο κπνξνχλ λα εκθαληζηνχλ θαη ζε πεηξακαηηθέο κειέηεο φπνπ ζα πξέπεη λα ηνπο αλαγλσξίδνπκε γηαηί ηα ζπκπεξάζκαηα πνπ ζα αλαθέξνληαη ζε απηνχο δελ ζα είλαη ηφζν ζαθή φζν απηά ησλ πεηξακαηηθψλ παξαγφλησλ. Ζ αλάιπζε φκσο ελφο παξάγνληα αμηνιφγεζεο είλαη πην ρξήζηκε, αιιά πξέπεη λα είκαζηε πνιχ πξνζεθηηθνί ζηελ αλάιπζε θαη λα ρξεζηκνπνηνχκε εθηελείο απνδείμεηο. Έλαο άιινο ηξφπνο γηα λα θαηεγνξηνπνηήζνπκε ηνπο παξάγνληεο είλαη ζε πνηνηηθνχο θαη ζε πνζνηηθνχο. Πνηνηηθφο παξάγνληαο είλαη θάπνηνο φπνπ νη ζηάζκεο δηαθέξνπλ απφ θάπνην πνηνηηθφ ραξαθηεξηζηηθφ π.ρ. ην είδνο ηεο δηαθήκηζεο ελφο πξντφληνο. Πνζνηηθφο παξάγνληαο είλαη έλαο παξάγνληαο φπνπ θάζε ζηάζκε πεξηγξάθεηαη απφ κηα αξηζκεηηθή πνζφηεηα ζε θιίκαθα π.ρ. ε ζεξκνθξαζία ζε βαζκνχο Κειζίνπ, ε ειηθία ζε ρξφληα ή ηηκή ζε επξψ. Σέινο, κία άιιε έλλνηα πνπ ζπλαληάκε ζηελ αλάιπζε δηαζπνξάο είλαη ε ρξήζε (treatment). ηηο κνλνπαξαγνληηθέο κειέηεο, ε ρξήζε αληηζηνηρεί ζε κία ζηάζκε παξάγνληα. Γηα παξάδεηγκα, ζε κηα κειέηε πέληε δηαθεκίζεσλ θάζε δηαθήκηζε είλαη θαη κηα ρξήζε. ηηο πνιππαξαγνληηθέο κειέηεο, απφ ηελ άιιε κεξηά, ε ρξήζε αληηζηνηρεί ζηνλ ζπλδπαζκφ ησλ ζηαζκψλ ησλ παξαγφλησλ. Έηζη, ζε κηα κειέηε ησλ επηδξάζεσλ ησλ φγθσλ ησλ πσιήζεσλ ελφο πξντφληνο απφ ηελ ηηκή (10, 0 ) θαη ην ρξψκα (θφθθηλν, καχξν) θάζε ζπλδπαζκφο φπσο (10, καχξν) είλαη κηα ρξήζε. 1.4 Σν Μνληέιν Ι Γηάθξηζε Μνληέιωλ Ι θαη ΙΙ Έζησ φηη έρνπκε δχν ελαιιαθηηθά κνληέια αλάιπζεο δηαζπνξάο. Σν κνληέιν Η, ην νπνίν θαη ζα κειεηήζνπκε, θαη ην κνληέιν ΗΗ. Ζ νπζηαζηηθή δηαθνξά πνπ έρνπλ απηά ηα δχν κνληέια είλαη φηη ην κνληέιν Η είλαη θαηάιιειν φηαλ νη ζηάζκεο παξάγνληα πνπ επηιέγνπκε γηα λα κειεηήζνπκε είλαη απηέο πνπ καο ελδηαθέξνπλ θαη δελ ηηο ζεσξνχκε σο έλα δείγκα ελφο πιεζπζκνχ. Απφ ηελ άιιε κεξηά, ην κνληέιν ΗΗ ρξεζηκνπνηείηαη φηαλ νη ζηάζκεο παξάγνληα πνπ κειεηάκε απνηεινχλ έλα δείγκα απφ έλα κεγαιχηεξν πιεζπζκφ θαη ζέινπκε λα εμάγνπκε ζπκπεξάζκαηα γηα ηνλ πιεζπζκφ απηφ. Γηα παξάδεηγκα, ην κνληέιν Η κπνξνχκε λα ην ρξεζηκνπνηήζνπκε φηαλ έρνπκε λα κειεηήζνπκε 5 9

ππνθαηαζηήκαηα κηαο αιπζίδαο ζνχπεξ κάξθεη σο πξνο ηηο επηδφζεηο ησλ πσιήζεσλ ηνπο. Σα 5 ππνθαηαζηήκαηα απνηεινχλ ηηο 5 ζηάζκεο παξάγνληα πνπ κειεηάκε. Έλα άιιν παξάδεηγκα, φπνπ εθεί ρξεζηκνπνηνχκε ην κνληέιν ΗΗ, είλαη ε κειέηε 7 ππαιιήισλ ζε κηα βηνηερλία ξνχρσλ σο πξνο ηελ απφδνζή ηνπο ζε έλα δηάζηεκα 15 εκεξψλ. Οη 7 ππάιιεινη απνηεινχλ ηηο 7 ζηάζκεο παξάγνληα ππφ κειέηε, αιιά απφ ηελ κειέηε ζα βγάινπκε γεληθφηεξα ζπκπεξάζκαηα γηα φινπο ηνπο ππάιιεινπο ηεο βηνηερλίαο. Βαζηθέο Πξνϋπνζέζεηο ην κνληέιν Η, ζε θάζε ζηάζκε παξάγνληα ππάξρεη κηα πηζαλφηεηα θαηαλνκήο ησλ απαληήζεσλ φπνπ θάζε κία είλαη θαλνληθή, έρεη ηελ ίδηα δηαζπνξά (θαη ηππηθή απφθιηζε) θαη νη παξαηεξήζεηο γηα θάζε ζηάζκε παξάγνληα είλαη ηπραίεο παξαηεξήζεηο απφ ηελ αληίζηνηρε πηζαλφηεηα θαηαλνκήο θαη είλαη αλεμάξηεηεο απφ ηηο παξαηεξήζεηο νπνηαζδήπνηε άιιεο ζηάζκεο. Σν κφλν ζεκείν ζην νπνίν δηαθέξνπλ νη πηζαλφηεηεο θαηαλνκήο είλαη νη κέζεο ηηκέο, φπνπ θαη νη δηαθνξέο απηέο αληαλαθινχλ ηα απνηειέζκαηα ησλ ζηαζκψλ παξάγνληα. Γη απηφ ην ιφγν, ε αλάιπζε δηαζπνξάο δίλεη κεγαιχηεξε πξνζνρή ζηηο κέζεο ηηκέο γηα ηηο δηαθνξεηηθέο ζηάζκεο παξάγνληα. Ζ αλάιπζε ησλ δεδνκέλσλ ηνπ δείγκαηνο γηα θάζε πηζαλφηεηα θαηαλνκήο ηεο ζηάζκεο παξάγνληα πξνέξρεηαη απφ βήκαηα: θαζνξίδνπκε αλ νη κέζεο ηηκέο ησλ ζηαζκψλ παξάγνληα είλαη ίζεο ή φρη θαη κεηά αλ νη κέζεο ηηκέο δελ είλαη ίζεο, ηφηε εμεηάδνπκε πψο δηαθέξνπλ θαη νη πνηεο είλαη νη ζεκαζίεο ηνπο. Σψξα ζα ζεσξήζνπκε φηη νη κέζεο ηηκέο είλαη ίζεο. Γηαηύπωζε ηνπ Μνληέινπ Ι Θα έρνπκε ππφ κειέηε r ζηάζκεο παξάγνληα φπνπ θάζε κία ζα ηε ζπκβνιίδνπκε κε ην ( =1,, r) θαη ν αξηζκφο ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο θάζε ζηάζκεο ζα ζπκβνιίδεηαη κε n θαη κε n T ν ζπλνιηθφο αξηζκφο παξαηεξήζεσλ φπνπ n T r n (1.1) 1 Με ηνλ δείθηε i ζα ζπκβνιίζνπκε ηελ θάζε παξαηήξεζε ηεο ζηάζκεο. Έηζη, i = 1,,, n. Έηζη, κε Τ i ζα αλαπαξηζηνχκε ηελ i νζηή παξαηήξεζε ηεο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα. Δπνκέλσο, ην κνληέιν Η ζα κπνξεί λα νξηζηεί σο: Yi i (1.) 10

φπνπ Τ i ε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο απφθξηζεο ηεο i νζηήο παξαηήξεζεο γηα ηελ ζηάζκε ηνπ παξάγνληα ή ηεο ρξήζεο, νη κ είλαη νη παξάκεηξνη θαη ηα ε i είλαη αλεμάξηεηα θαη αθνινπζνχλ θαλνληθή θαηαλνκή Ν(0, ζ ), κε i = 1,,, n θαη =1,, r. Μεξηθά απφ ηα ζεκαληηθά ραξαθηεξηζηηθά απηνχ ηνπ κνληέινπ είλαη φηη: 1. ε Τ i ηηκή είλαη άζξνηζκα ζπληζησζψλ, ελφο ζηαζεξνχ φξνπ κ θαη ελφο ηπραίνπ ζθάικαηνο ε i.. φηαλ Δ(ε i ) = 0, ηφηε ηζρχεη Δ(Τ i ) = κ (1.3) δειαδή, φιεο νη παξαηεξήζεηο γηα ηελ ζηάζκε έρνπλ ηελ ίδηα αλακελφκελε ηηκή. 3. αθνχ ην κ είλαη ζηαζεξά ηφηε ζα ηζρχεη φηη ζ (Τ i ) = ζ (ε i ) = ζ (1.4), δειαδή, φιεο νη παξαηεξήζεηο ζα έρνπλ ηελ ίδηα δηαζπνξά αλεμάξηεηα απφ ηε ζηάζκε ζηελ νπνία βξηζθφκαζηε. 4. εθφζνλ ην ε i αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή ηφηε θαη ε Τ i ζα αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή, κηαο θαη ε Τ i είλαη γξακκηθή ζπλάξηεζε ηνπ ε i. 5. ηα ε i είλαη αλεμάξηεηα θαζψο θαη ηα Τ i. 6. Με βάζε απηά ηα ραξαθηεξηζηηθά, ην κνληέιν (1.) αλαπαξηζηάηαη ηψξα σο Τ i ~ N(κ, ζ ) (1.5) Σν κνληέιν Η, φπσο θαη θάζε άιιν κνληέιν, είλαη πηζαλφ λα κελ ην ζπλαληήζνπκε έηζη αθξηβψο ζε πξαγκαηηθέο θαηαζηάζεηο. κσο, κπνξεί λα ζπλαληεζεί ζε έλαλ νξηζκέλν αξηζκφ πεξηπηψζεσλ. Οη ζηαηηζηηθέο δηαδηθαζίεο ηνπ κνληέινπ Η είλαη εχξσζηεο έηζη ψζηε αλ νη πξαγκαηηθέο ζπλζήθεο δηαθέξνπλ νπζηαζηηθά απφ απηέο ηνπ κνληέινπ Η, ε ζηαηηζηηθή αλάιπζε κπνξεί λα είλαη αθφκα ε θαηάιιειε γηα λα ηελ πξνζεγγίζνπκε. Δπηπιένλ, κεξηθέο θνξέο, φιεο νη ρξήζεηο πνπ είλαη ππφ κειέηε δίλνληαη ζε θάζε άηνκν ηεο κειέηεο. Έηζη, ην κνληέιν Η δελ είλαη θαηάιιειν γηαηί ππάξρεη πεξίπησζε αξθεηέο ηηκέο απφ ην ίδην άηνκν γηα δηαθνξεηηθέο ρξήζεηο λα ζπζρεηίδνληαη. 11

Δλαιιαθηηθή Γηαηύπωζε ηνπ Μνληέινπ Ι Γηα κνλνπαξαγνληηθέο έξεπλεο, ε παξακεηξηθνπνίεζε ηνπ κνληέινπ Η φπσο θαίλεηαη ζηελ (1.) είλαη επαξθήο. Γηα πνιππαξαγνληηθά πεηξάκαηα φκσο, ρξεζηκνπνηνχκε κηα δηαθνξεηηθή παξακεηξηθνπνίεζε Τ i = κ + η + ε i (1.6) φπνπ, κ είλαη κηα ζηαζεξά, θνηλή ζε φιεο ηηο παξαηεξήζεηο, η είλαη ε επίδξαζε ηεο νζηήο ζηάζκεο παξάγνληα (κία ζηαζεξά γηα θάζε ζηάζκε παξάγνληα) θαη ε i είλαη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο πνπ αθνινπζνχλ ηελ Ν(0, ζ ) κε i = 1,,, n θαη =1,, r. Αλ ζπγθξίλνπκε ηηο ζρέζεηο (1.) θαη (1.6) ζα δνχκε φηη ε κφλε δηαθνξά κεηαμχ ησλ δχν κνληέισλ είλαη φηη ε κέζε ηηκή κ ζηελ (1.) είλαη ρσξηζκέλε ζε δχν κέξε ζηελ (1.6) κ = κ + η (1.7) Ζ η θαιείηαη επίδξαζε ηεο νζηήο ζηάζκεο παξάγνληα θαη νξίδεηαη σο η = κ κ (1.8) ηε ζπλέρεηα ζα δνχκε πψο ζα νξίζνπκε ην κ. Ζ δηάζπαζε ηνπ κέζνπ κ ηεο ζηάζκεο ζε δχν ζηνηρεία, ζηε ζπλνιηθή ζηαζεξά κ θαη ηελ εηδηθή επίδξαζε η ηεο ζηάζκεο, κπνξεί λα γίλεη κε δηάθνξνπο ηξφπνπο. Γηα παξάδεηγκα, ην κ κπνξεί λα νξηζηεί σο ν ρσξίο βάξνο κέζνο φισλ ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα: r 1 r (1.9) Απφ απηφλ ηνλ νξηζκφ θαηαιαβαίλνπκε φηη: r 0 (1.10) 1 θαη εμαηηίαο ηεο (1.8) θαη ηεο (1.9) πξνθχπηεη φηη: r r r r ( ) r 0 r 1 1 1 1 Άξα, ν νξηζκφο ηεο ζπλνιηθήο ζηαζεξάο κ ζηελ (1.9) έρεη θαη έλαλ πεξηνξηζκφ γηα ηελ η, δειαδή ηελ (1.10). 1

Αο δνχκε φκσο, θαη έλαλ ελαιιαθηηθφ νξηζκφ ηνπ κ. Ζ ζηαζεξά κ κπνξεί λα νξηζηεί σο έλαο κέζνο ησλ κέζσλ κ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα κε βάξνο: r w (1.11) 1 φπνπ w είλαη ηα βάξε ηέηνηα ψζηε επηδξάζεσλ η ζα γίλεη r w 1 θαη ν πεξηνξηζκφο ησλ 1 r w 0 (1.1) 1 Μεξηθέο θνξέο ηα βάξε είλαη ζρεηηθά δεηγκαηηθά κεγέζε n nt αθνχ κε απηά ηα βάξε απμάλνληαη νη απινπνηήζεηο ζηνπο ππνινγηζκνχο. Δπνκέλσο, ε ζπλνιηθή ζηαζεξά κ είλαη: θαη ν πεξηνξηζκφο ζα γίλεη: r 1 n n T (1.13) r n 0 (1.14) 1 ηαλ ηα δεηγκαηηθά κεγέζε είλαη ίδηα γηα φιεο ηηο ζηάζκεο ηφηε ν ραξαθηεξηζκφο γηα ηνλ ζηαζεξφ ζπληειεζηή κ σο κέζνο κε βάξνο ή ρσξίο βάξνο είλαη ρσξίο ζεκαζία. Ζ επηινγή ηνπ κ ζα έπξεπε λα γίλεηαη απφ ηε ζεκαληηθφηεηα ησλ απνηειεζκάησλ ησλ επηδξάζεσλ η. Απηφ πνπ καο ελδηαθέξεη εκάο είλαη αλ ή φρη νη κέζνη κ είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο. χκθσλα κε ην πξψην κνληέιν παξακεηξηθνπνίεζεο (1.), νη δχν ππνζέζεηο ζα είλαη: Ζ 0 : κ 1 = κ = = κ r Ζ 1 : φρη φια ηα κ ίζα (1.15) χκθσλα κε ην δεχηεξν κνληέιν παξακεηξηθνπνίεζεο (1.6), νη δχν απηέο ππνζέζεηο ζα γίλνπλ: 13

Ζ 0 : η 1 = η = = η r = 0 Ζ 1 : φρη φια ηα η ίζα κε ην 0 (1.16) Δίλαη ηζνδχλακν λα πνχκε φηη νη κέζνη κ είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο ή φιεο νη επηδξάζεηο η είλαη 0. Κη απηφ ζπκβαίλεη γηαηί απφ ηελ (1.7) ην κ είλαη θνηλφο φξνο θαη βγαίλεη απφ θάζε δεπγάξη ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα. Δπηπιένλ, ε ηζφηεηα ησλ κέζσλ ππνδειψλεη φηη η = 0 είηε ην η πξνθχπηεη απφ ηελ (1.10) είηε απφ ηελ (1.1). 1.5 Δθηίκεζε Παξακέηξωλ πσο ζπκβαίλεη ζηελ γξακκηθή παιηλδξφκεζε, φπνπ γηα λα βξνχκε ηνπο εθηηκεηέο ησλ παξακέηξσλ ρξεζηκνπνηνχκε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ, έηζη θαη ζηελ αλάιπζε δηαζπνξάο, επεηδή δελ γλσξίδνπκε ηηο παξακέηξνπο, ζα πξέπεη λα ηηο εθηηκήζνπκε. Παξάδεηγκα Έρνπκε κηα εηαηξία γαιαθηνθνκηθψλ πξντφλησλ ε νπνία ζέιεη λα δνθηκάζεη ηέζζεξηο δηαθνξεηηθέο ζπζθεπαζίεο γηα έλα λέν είδνο γάιαθηνο πνπ ζέιεη λα πξνσζήζεη ζηελ αγνξά. Δπηιέγνπκε δέθα θαηαζηήκαηα σο πεηξακαηηθέο κνλάδεο νη νπνίεο έρνπλ δέθα πεξίπνπ ίζνπο φγθνπο πσιήζεσλ. ε θάζε θαηάζηεκα ηνπ έρεη αλαηεζεί ηπραία θάζε ζπζθεπαζία. Αλαζέζακε απφ ηξία θαηαζηήκαηα ηηο δχν ζπζθεπαζίεο θαη απφ δχν θαηαζηήκαηα ηηο άιιεο δχν ζπζθεπαζίεο. Άιιεο ζπλζήθεο εθηφο απφ ηηο ζπζθεπαζίεο φπσο ε ηηκή, ε πνζφηεηα, ε ηνπνζεζία ηνπ ξαθηνχ θαη νη εηδηθέο ζπλζήθεο πξνψζεζεο είλαη ίδηεο γηα φια ηα θαηαζηήκαηα. ηνλ παξαθάησ πίλαθα, παξαηίζεληαη νη πσιήζεηο θάζε θαηαζηήκαηνο γηα θάζε ζπζθεπαζία. Πίλαθαο 1.1 (α) Γεδνκέλα δεηγκάησλ Καηάζηεκα ρέδην πζθεπαζίαο 1 3 4 χλνιν 1 1 14 19 4 18 1 17 30 3 13 1 χλνιν 30 39 57 54 180 14

Μέζνο 15 13 19 7 18 Αξηζκφο Καηαζηεκάησλ 3 3 10 Γεηγκαηηθή Μνλάδα (i) (β) πκβνιηθή εκείσζε ηάζκε Παξάγνληα () 1 3 4 χλνιν 1 Τ 11 Τ 1 Τ 13 Τ 14 Τ 1 Τ Τ 3 Τ 4 3 Τ 3 Τ 33 χλνιν Τ.1 Τ. Τ.3 Τ.4 Τ.. Μέζνο Y.1 Y. Y.3 Y.4 Y.. Αξηζκφο δεηγκαηηθψλ κνλάδσλ n 1 n n 3 n 4 n T ηνλ πίλαθα 1.1β θαίλνληαη ζπκβνιηθά ηα δεδνκέλα ηνπ πίλαθα 1.1α. Σν Τ i αληηπξνζσπεχεη ηελ i νζηή παξαηήξεζε γηα ηελ νζηή ζηάζκε παξάγνληα. ην ζπγθεθξηκέλν παξάδεηγκα, ην Τ i αληηπξνζσπεχεη ηνλ αξηζκφ ησλ ζπζθεπαζηψλ γάιαθηνο πνπ πνπιήζεθαλ απφ ην i-νζηφ θαηάζηεκα πνπ ηνπ αλαηέζεθε ε -νζηή ζπζθεπαζία. Γηα παξάδεηγκα, ην Τ 11 αληηπξνζσπεχεη ηηο πσιήζεηο ηνπ πξψηνπ θαηαζηήκαηνο φπνπ ηνπ αλαηέζεθε ε πξψηε ζπζθεπαζία, δειαδή Τ 11 = 1. Σν ζχλνιν ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο -νζηήο παξαηήξεζεο ζπκβνιίδεηαη σο Τ. θαη ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν Y. n Y (1.17) i 1 i Ζ ηειεία ππνδειψλεη ην ζχλνιν πάλσ ζην δείθηε i. ην ζπγθεθξηκέλν παξάδεηγκα, ε ηειεία είλαη ην ζχλνιν φισλ ησλ θαηαζηεκάησλ πνπ ηνπο έρεη αλαηεζεί ε -νζηή ζπζθεπαζία. Άξα, νη ζπλνιηθέο πσιήζεηο γηα φια ηα θαηαζηήκαηα γηα ηελ 4 ε ζπζθεπαζία είλαη Τ.4 = 54. 15

Με Y. ζπκβνιίδνπκε ηνλ δεηγκαηηθφ κέζν γηα ηελ -νζηή ζηάζκε παξάγνληα θαη ππνινγίδεηαη κε: Y. i n Y i Y n. (1.18) Απηφ γηα ην παξάδεηγκά καο, ζεκαίλεη φηη ην Y. 13 είλαη ν κέζνο φξνο ηεο εο ζπζθεπαζίαο πνπ πνπιήζεθε απφ ηα i θαηαζηήκαηα, πνπ απηφ ππνδειψλεηαη απφ ηελ ηειεία ζηνλ δείθηε. Σν ζχλνιν φισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ζπκβνιίδεηαη κε Τ.. θαη ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν: r n Y.. Y (1.19) 1 i1 i φπνπ νη δχν ηειείεο δείρλνπλ ην ζχλνιν θαη ζηνπο δχν δείθηεο i θαη, εδψ φια ηα θαηαζηήκαηα γηα φιεο ηηο ζπζθεπαζίεο. Έηζη, ν κέζνο φξνο φισλ ησλ παξαηεξήζεσλ Y.. είλαη: Y.. i n T Y i Y.. n T (1.0) Οη δχν ηειείεο δείρλνπλ φηη ν κέζνο φξνο βγήθε θαη απφ ηνπο δχν δείθηεο i θαη. Δπνκέλσο, ζην παξάδεηγκά καο, ν γεληθφο κέζνο φξνο είλαη: 180 Y.. 18 10 1.6 Δθηηκεηέο Διαρίζηωλ Σεηξαγώλωλ χκθσλα κε ην θξηηήξην ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ, ην άζξνηζκα ησλ δηαζπνξψλ ησλ παξαηεξήζεσλ γχξσ απφ ηηο αλακελφκελεο ηηκέο πξέπεη λα ειαρηζηνπνηεζεί ζε ζρέζε κε ηηο παξακέηξνπο. Έηζη γηα ην κνληέιν (1.), ζχκθσλα κε ηε ζρέζε (1.3) έρνπκε φηη Δ(Τ i ) = κ θαη ε πνζφηεηα πνπ ζα ειαρηζηνπνηείηαη είλαη ε: ( i ) (1.1) i Q Y Έηζη, ε πξνεγνχκελε ζρέζε κπνξεί λα γξαθηεί: 16

(1.1α) Q ( Y ) ( Y )... ( Y ) i1 1 i ir r i i i Κάζε κία απφ ηηο παξακέηξνπο εκθαλίδεηαη ζε έλα κφλν απφ ηα αζξνίζκαηα πνπ είλαη ζπληειεζηέο ηεο (1.1α). Γη απηφ θαη ε πνζφηεηα Q ειαρηζηνπνηείηαη ειαρηζηνπνηψληαο θάζε έλα απφ ηα αζξνίζκαηα. Ξέξνπκε φηη ν δεηγκαηηθφο κέζνο ειαρηζηνπνηεί ην άζξνηζκα ησλ δηαζπνξψλ. Άξα, ν εθηηκεηήο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηνπ κ ζπκβνιίδεηαη κε ˆ θαη ηζνχηαη κε: ˆ Y. (1.) Γηα ην παξάδεηγκα ηεο γαιαθηνθνκηθήο εηαηξίαο, νη εθηηκεηέο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Παξάκεηξνο Δθηηκεηήο Διαρίζηωλ Σεηξαγώλωλ κ Y. 15 1 1 κ Y. 13 κ Y. 19 3 3 κ Y. 7 4 4 Γηα ην ελαιιαθηηθφ κνληέιν παξακεηξηθνπνίεζεο (1.6), ε πνζφηεηα Q πνπ ζα ειαρηζηνπνηεζεί σο πξνο ηηο παξακέηξνπο είλαη: Δάλ ην κ. νξηζηεί σο: ( i ) (1.3) i Q Y θαη ν πεξηνξηζκφο γηα ην η είλαη: n (1.4) n T n 0 (1.5) ηφηε ν εθηηκεηήο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηνπ κ, ζπκβνιηθά ˆ, είλαη: ˆ.. (1.6) 17

θαη ν εθηηκεηήο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηνπ η, ζπκβνιηθά ˆ, είλαη: ˆ Y. Y.. (1.7) Γηα ην παξάδεηγκα ηεο γαιαθηνθνκηθήο εηαηξίαο, ν εθηηκεηήο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ην κ είλαη ˆ.. 18 θαη νη εθηηκεηέο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηηο επηδξάζεηο η είλαη: Παξάκεηξνο Δθηηκεηήο η 1 1 Y. Y.. 15 18 3 η Y. Y.. 13 18 5 η 3 3 Y. Y.. 19 18 1 η 4 4 Y. Y.. 7 18 9 Σν γεγνλφο φηη ε επίδξαζε η 1 είλαη ίζε κε -3 ππνδειψλεη φηη ν κέζνο φξνο ηεο πξψηεο ζπζθεπαζίαο είλαη 3 θνπηηά ιηγφηεξα απφ ην κέζν φξν θαη ησλ ηεζζάξσλ ζπζθεπαζηψλ. Δλψ, ην γεγνλφο φηη ε επίδξαζε η 3 είλαη ίζε κε 1 ππνδειψλεη φηη ν κέζνο φξνο ηεο ηξίηεο ζπζθεπαζίαο γάιαθηνο είλαη 1 θνπηί πεξηζζφηεξν απφ ην κέζν φξν θαη ησλ ηεζζάξσλ ζπζθεπαζηψλ. Γηα λα κπνξέζνπκε λα βγάινπκε ηνλ εθηηκεηή ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηνπ κ, πξέπεη λα ειαρηζηνπνηήζνπκε σο πξνο κ ην -νζηφ άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ ηεο (1.1α): ( i ) (1.8) i Q Y Αλ παξαγσγίζνπκε σο πξνο κ, ζα πάξνπκε: dq [ ( Yi )] d (1.9) i ηε ζπλέρεηα, ζέηνπκε ηε ζρέζε (1.9) ίζε κε ην 0 θαη βξίζθνπκε ην απνηέιεζκα ηεο (1.): i [ ( Y ˆ )] 0 Y n ˆ n Y. n ˆ ˆ Y. i i i 18

Τπόινηπα Σα ππφινηπα είλαη ρξήζηκα γηα λα εμεηάζνπκε ηελ ηθαλφηεηα ελφο κνληέινπ ζηελ αλάιπζε δηαζπνξάο. πκβνιίδνληαη κε e i θαη νξίδνληαη σο εμήο: e Y ˆ Y Y. (1.30) i i i Άξα, έλα ππφινηπν ζα δείρλεη ηελ απφθιηζε κηαο παξαηήξεζεο απφ ηνλ αλακελφκελν δεηγκαηηθφ κέζν ηεο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα. Σν ππφινηπν δηαηεξείηαη θαη ζην ελαιιαθηηθφ κνληέιν παξακεηξηθνπνίεζεο (1.6), αθνχ: ˆ ˆ Y.. ( Y. Y..) Y. (1.31) Απφ ηνλ πίλαθα 1.1 κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηα ππφινηπα θαη βξίζθνπκε: e Y Y. 1 15 3 11 11 1 e Y Y. 14 13 1 1 1 Με ηνλ ίδην ηξφπν, ππνινγίδνπκε θαη ηα άιια ππφινηπα ηα νπνία παξαηίζεληαη ζηνλ πίλαθα 1.. Πίλαθαο 1. Καηάζηεκα ρέδην πζθεπαζίαο 1 3 4 χλνιν 1-3 +1 0-3 +3-1 - +3 3 0 + χλνιν 0 0 0 0 0 Παξαηεξνχκε απφ ηνλ πίλαθα 1. φηη ηα ππφινηπα φηαλ ηα αζξνίζνπκε δίλνπλ απνηέιεζκα 0 γηα θάζε ζηάζκε παξάγνληα. Απηφ εμεγείηαη κέζσ ησλ r πεξηνξηζκψλ: ei 0 γηα = 1,,r (1.3) i 19

1.7 πσο ζε έλα κνληέιν γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο ε αλάιπζε δηαζπνξάο ρσξίδεη ην ζπλνιηθφ άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ ζε άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ παιηλδξφκεζεο θαη άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ ζθαικάησλ, έηζη γίλεηαη θαη ζην κνληέιν αλάιπζεο δηαζπνξάο (1.). Γηάζπαζε ηνπ SSTO Ζ ζπλνιηθή δηαθχκαλζε ησλ Τ ππνινγίδεηαη ζχκθσλα κε ηηο απνθιίζεηο ησλ παξαηεξήζεσλ Τ i απφ ην ζπλνιηθφ κέζν Y.., δειαδή, Yi Y.. (1.33) Ο ζπλεζηζκέλνο ππνινγηζκφο ηεο ζπλνιηθήο δηαθχκαλζεο είλαη ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ απηψλ ησλ απνθιίζεσλ, ζπκβνιίδεηαη κε SSTO θαη ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν: ( i..) (1.34) i SSTO Y Y Αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε πιεξνθνξίεο ζρεηηθέο κε ηηο ζηάζκεο παξάγνληα, ηφηε νη απνθιίζεηο ζα είλαη θάζε κία απφ ηηο παξαηεξήζεηο Τ i γχξσ απφ ηνλ αληίζηνηρν κέζν ηεο ζηάζκεο παξάγνληα Y., Y i Y. (1.35) Ζ δηαθνξά κεηαμχ ησλ απνθιίζεσλ (1.33) θαη (1.35) απεηθνλίδεη ηελ δηαθνξά κεηαμχ ηνπ κέζνπ ηεο ζηάζκεο παξάγνληα θαη ηνπ ζπλνιηθνχ κέζνπ: ( Y Y..) ( Y Y. ) Y. Y.. (1.36) i i Παξαθάησ θαίλεηαη πψο αλαιχνπκε ηε ζπλνιηθή απφθιηζε Y Y.. ζε δχν ζηνηρεία: φπνπ: Yi Y Y.. Y. Y.. Y Y. (1.37) i i Y.. είλαη ε ζπλνιηθή απφθιηζε, i 0

Y. Y.. είλαη ε απφθιηζε ηνπ κέζνπ ηεο ζηάζκεο παξάγνληα γχξσ απφ ην ζπλνιηθφ κέζν θαη Y i Y. είλαη ε απφθιηζε ηνπ Τ i γχξσ απφ ηνλ κέζν ηεο ζηάζκεο παξάγνληα. Δάλ πάξνπκε ηε ζρέζε (1.37), πςψζνπκε θαη ηα δχν κέιε ηεο ζην ηεηξάγσλν θαη κεηά αζξνίζνπκε, ηφηε έρνπκε: ( Y Y..) n ( Y. Y..) ( Y Y. ) (1.38) i i i i Ο φξνο πνπ βξίζθεηαη ζην πξψην κέινο ηεο ζρέζεο (1.38) είλαη ην SSTO. Ο πξψηνο φξνο πνπ βξίζθεηαη ζην δεχηεξν κέινο νξίδεηαη σο ην SSTR, δειαδή σο ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ ηεο ρξήζεο, ελψ ν δεχηεξνο φξνο ζην δεχηεξν κέινο νξίδεηαη σο ην SSE, δειαδή σο ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ ησλ ζθαικάησλ. Άξα, ε (1.38) κπνξεί λα γξαθηεί ηζνδχλακα: SSTO = SSTR + SSE (1.39) Ζ αληηζηνηρία κε ηελ γξακκηθή δηάζπαζε ζηε ζρέζε ˆ ˆ ( Y Y ) ( Y Y ) ( Y Y ) είλαη εκθαλήο. i i i i i i i ην κνληέιν αλάιπζεο δηαζπνξάο, ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ ησλ ζθαικάησλ SSE είλαη έλα κέηξν ηεο ηπραίαο δηαζπνξάο ησλ παξαηεξήζεσλ γχξσ απφ ηνπο αληίζηνηρνπο κέζνπο ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα. ζν πην κηθξή είλαη ε δηαζπνξά ησλ παξαηεξήζεσλ, ηφζν πην κηθξφ είλαη θαη ην SSE. Δάλ ην SSE = 0, απηφ ζεκαίλεη φηη νη παξαηεξήζεηο γηα κηα ζηάζκε παξάγνληα είλαη φιεο ίζεο κεηαμχ ηνπο θαη απηφ δηαηεξείηαη γηα φιεο ηηο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα. Δπνκέλσο, θαηαιαβαίλνπκε, φηη φζν πην κεγάιν είλαη ην SSE, απηφ ζεκαίλεη φηη ηφζν πεξηζζφηεξν δηαθέξνπλ νη παξαηεξήζεηο κεηαμχ ηνπο γηα κία ζηάζκε παξάγνληα. 1

Δηθφλα 1.1 Γηάκεξηζε ησλ απνθιίζεσλ Yi Y.. γηα ην παξάδεηγκα ηεο γαιαθηνθνκηθήο εηαηξίαο Απφ ηελ άιιε, ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ ηεο ρξήζεο SSTR είλαη έλα κέηξν ηεο έθηαζεο ησλ δηαθνξψλ κεηαμχ ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα, νπνίν βαζίδεηαη ζηηο δηαζπνξέο ησλ δεηγκαηηθψλ κέζσλ Y. γχξσ

απφ ην ζπλνιηθφ κέζν Y... Δάλ φινη νη κέζνη Y. είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο, ηφηε ην SSTR ζα είλαη ίζν κε 0. ζν πεξηζζφηεξν δηαθέξνπλ νη κέζνη ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα, ηφζν κεγαιχηεξν ζα είλαη ην SSTR. Παξαθάησ απνδεηθλχνπκε ηε ζρέζε (1.38): Θεσξνχκε ηε ζρέζε (1.37) Y Y.. Y. Y.. Y Y. i i θαη πςψλνπκε θαη ηα δχν κέιε ζην ηεηξάγσλν, νπφηε πξνθχπηεη: ( Yi Y..) ( Y. Y..) ( Yi Y. ) ( Y. Y..)( Yi Y. ) Δάλ αζξνίζνπκε γχξσ θαη απφ ην i θαη απφ ην, δειαδή γχξσ απφ φιεο ηηο παξαηεξήζεηο ηνπ δείγκαηνο, ηφηε έρνπκε: (1.40) ( Yi Y..) ( Y. Y..) ( Yi Y. ) ( Y. Y..)( Yi Y. ) i i i i Ο πξψηνο φξνο ζην δεχηεξν κέινο είλαη ίζνο κε: ( Y. Y..) n ( Y. Y..) (1.41) i γηαηί ην ( Y...) Y είλαη ζηαζεξά φηαλ ην άζξνηζκα είλαη σο πξνο i. Ο ηξίηνο φξνο πνπ βξίζθεηαη ζην δεχηεξν κέινο ηεο (1.40) είλαη ίζνο κε 0: ( Y. Y..)( Y Y. ) ( Y. Y..) ( Y Y. ) 0 i i i i γηαηί, ην ( Y Y. ) είλαη ίζν κε 0, αθνχ ην άζξνηζκα ησλ δηαζπνξψλ γχξσ απφ ηνλ κέζν i i Y. είλαη 0. Έηζη, ε (1.40) γίλεηαη ε (1.38). ηνλ ηχπν ηνπ SSTR, νη δηαζπνξέο ( Y...) Y επηβαξχλνληαη απφ ηνλ αξηζκφ ησλ παξαηεξήζεσλ n ζηε ζηάζκε παξάγνληα. Ο ιφγνο είλαη φηη νη ζπληειεζηέο δηαζπνξάο ησλ ( Y. Y..) είλαη νη ίδηνη. Οη πξνεγνχκελνη ηχπνη πνπ δφζεθαλ γηα ηα SSTO, SSTR θαη SSE δελ είλαη θαη πνιχ εχρξεζηνη φηαλ ζέινπκε λα θάλνπκε ππνινγηζκνχο κε ην ρέξη. ε απηή ηελ πεξίπησζε, ρξεζηκνπνηνχκε ηνπο παξαθάησ ηχπνπο: 3

Y SSTO (1.4α).. Yi i nt SSTR Y. Y.. (1.4β) n n T SSE Y. Yi i n (1.4γ) Δάλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνπο ηχπνπο απηνχο γηα ην παξάδεηγκά καο, ζχκθσλα κε ηνλ πίλαθα 1.1α, ηφηε ζα έρνπκε: 180 SSTO 18 14... 30 3544 340 304 10 30 39 57 54 180 SSTR 3498 340 58 3 3 10 SSE 3544 3498 46 Γηάζπαζε ηωλ Βαζκώλ Διεπζεξίαο πσο γίλεηαη δηάζπαζε γηα ην ζπλνιηθφ άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ, έηζη γίλεηαη δηάζπαζε θαη γηα ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Σν SSTO έρεη n T 1 βαζκνχο ειεπζεξίαο, γηαηί έρεη n T παξαηεξήζεηο, αιιά έρεη έλαλ πεξηνξηζκφ, ηνλ i κέζνη ( Y Y..) 0. Σν SSTR έρεη r 1 βαζκνχο ειεπζεξίαο, γηαηί ππάξρνπλ r i Y. ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα, αιιά ππάξρεη θαη έλαο πεξηνξηζκφο n( Y. Y..) 0. Σν SSE έρεη n T r βαζκνχο ειεπζεξίαο. Απηφ ζπκβαίλεη, γηαηί αλ ζεσξήζνπκε ην ζπληειεζηή ηνπ SSE γηα ηελ -νζηή ζηάζκε ηνπ παξάγνληα κφλν n ( Yi Y. ) (1.43) i 1 ζα είλαη ηζνδχλακε κε ην ζπλνιηθφ άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ ησλ ζθαικάησλ κφλν, φκσο, γηα ηελ -νζηή ζηάζκε. Άξα, γηα ην άζξνηζκα ηεο (1.43), ζα έρνπκε n 1 βαζκνχο ειεπζεξίαο. Δπνκέλσο, ην SSE πνπ είλαη άζξνηζκα φισλ απηψλ ησλ αζξνηζκάησλ ηεο (1.43), ζα έρεη: 4

( n 1) ( n 1)... ( n 1) n r βαζκνχο ειεπζεξίαο (1.44) 1 r Παξαηεξνχκε φηη, β.ε.(ssto) = β.ε. (SSTR) + β.ε. (SSE) (1.45) T Μέζα Σεηξάγωλα πσο γλσξίδνπκε, ηα κέζα ηεηξάγσλα πξνθχπηνπλ αλ δηαηξέζνπκε θάζε άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ κε ηνπο αληίζηνηρνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο ηνπο. Άξα, SSTR MSTR r 1 MSE SSE n r T (1.46α) (1.46β) Σν MSTR ζπκβνιίδεη ην κέζν ηεηξάγσλν ρξήζεο θαη ην MSE ην κέζν ηεηξάγσλν ζθάικαηνο. Καιφ ζα ήηαλ λα πξνζζέζνπκε ζε απηφ ην ζεκείν φηη, φπσο θαη ζηελ γξακκηθή παιηλδξφκεζε, έηζη θαη ζηελ αλάιπζε δηαζπνξάο, ηα κέζα ηεηξάγσλα δελ είλαη πξνζζεηηθά. Δάλ ζέινπκε λα βάινπκε ζε έλαλ πίλαθα φια ηα δεδνκέλα ησλ αζξνηζκάησλ ηεηξαγψλσλ, ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο θαη ησλ κέζσλ ηεηξαγψλσλ, ηφηε έρνπκε έλαλ πίλαθα ANOVA, φπσο θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα 1.3. Πίλαθαο 1.3 Πίλαθαο ANOVA γηα κειέηε κε έλαλ παξάγνληα Πεγή Μεηαβιεηφηεηαο SS df MS E(MS) Μεηαμχ Υξήζεσλ SSTR n ( Y. Y..) SSTR MSTR r - 1 r 1 1 n (.) r 1 θάικα (κέζα ζηηο ρξήζεηο) SSE ( Y Y. ) i i n T - r MSE SSE n r T ζ χλνιν SSTO ( Y Y..) i i n T - 1 5

ηνλ πίλαθα 1.4 έρνπκε ηνλ πίλαθα ANOVA γηα ην παξάδεηγκά καο κε ηελ γαιαθηνθνκηθή εηαηξία. Πίλαθαο 1.4 Πίλαθαο ANOVA γηα ηε κειέηε ηεο ζπζθεπαζίαο γάιαθηνο Πεγή Μεηαβιεηφηεηαο Μεηαμχ ζπζθεπαζηψλ SS df MS 58 3 86 θάικα 46 6 7,67 χλνιν 304 9 Αλακελόκελα Μέζα Σεηξάγωλα Οη αλακελφκελεο ηηκέο γηα ηα MSE θαη MSTR θαίλνληαη απφ ηνπο παξαθάησ ηχπνπο: E MSE ( ) (1.47 ) n ( ) ( ) (1.47 ) E MSTR ή r 1 n ( ) (1.47 ) E MSTR r 1 Απφ ηνπο παξαπάλσ ηχπνπο ησλ αλακελφκελσλ ηηκψλ παξαηεξνχκε δχν ζεκαληηθά ραξαθηεξηζηηθά: 1. Σν MSE είλαη ακεξφιεπηνο εθηηκεηήο ηεο δηαζπνξάο ησλ ζθαικάησλ ε i είηε νη κέζνη κ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο είηε φρη. Απηφ ζπκβαίλεη γηαηί ε κεηαβιεηφηεηα ησλ παξαηεξήζεσλ ζε θάζε ζηάζκε παξάγνληα δελ επεξεάδεηαη απφ ηελ ζπνπδαηφηεηα ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα.. Αλ φινη νη κέζνη κ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο, δειαδή ίζνη κε ην κ (ή αιιηψο εάλ φιεο νη επηδξάζεηο η είλαη ίζεο κε 0), ηφηε Δ(MSTR) = ζ γηαηί ν δεχηεξνο φξνο ηεο (1.47β) γίλεηαη 0. Δπνκέλσο, θαη ην MSTR θαη ην MSE εθηηκνχλ ην ζ φηαλ φινη νη κέζνη κ είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο. Δάλ, φκσο, νη κέζνη κ δελ είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο, ηφηε ην MSTR ηείλεη θαηά 6

κέζν φξν λα είλαη ιίγν κεγαιχηεξν απφ ην MSE γηαηί ν δεχηεξνο φξνο ηεο (1.47β) είλαη ζεηηθφο. Σελ ηδηφηεηα απηή ηνπ MSTR ηελ ρξεζηκνπνηνχκε εάλ ζέινπκε λα θαηαζθεπάζνπκε ζηαηηζηηθφ έιεγρν γηα λα θαζνξίζνπκε αλ νη κέζνη κ είλαη ίζνη ή φρη. Δάλ νη αλακελφκελεο ηηκέο ησλ MSTR θαη MSE είλαη ίζεο, ηφηε ην παίξλνπκε γηα λα πξνηείλνπκε φηη ηα κ είλαη ίζα κεηαμχ ηνπο. Δάλ ε αλακελφκελε ηηκή ηνπ MSTR είλαη αξθεηά κεγαιχηεξε απφ απηή ηνπ MSE, ηφηε ην παίξλνπκε γηα λα πξνηείλνπκε φηη ηα κ δελ είλαη ίζα κεηαμχ ηνπο. Παξαγωγή ηεο Ε(MSE): Σν MSE κπνξεί λα εθθξαζηεί κέζσ ηνπ ηχπνπ: Με (1.48) ( Yi Y. ) 1 1 i MSE ( Yi Y. ) ( n 1) nt r i nt r n 1 S ζα ζπκβνιίζνπκε ηελ δεηγκαηηθή δηαζπνξά ησλ παξαηεξήζεσλ ζηελ - νζηή ζηάζκε ηνπ παξάγνληα θαη ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν: S Δπνκέλσο, ε (1.48) γίλεηαη: i ( Y Y. ) i n 1 (1.49) 1 MSE ( n 1) S (1.50) n r T Γλσξίδνπκε, φκσο, φηη ε δεηγκαηηθή δηαζπνξά είλαη ακεξφιεπηνο εθηηκεηήο ηεο πιεζπζκηαθήο δηαζπνξάο, δειαδή ηεο ζ. Άξα, 1 1 E( MSE) ( n 1) E( S ) ( n 1) E( MSE) n r n r T T Παξαγωγή ηεο Ε(MSTR): Ζ ζρέζε (1.47β) πξνθχπηεη αλ ππνζέζνπκε φηη φια ηα δεηγκαηηθά κεγέζε n είλαη ίζα κεηαμχ ηνπο, δειαδή n = n. Άξα, ζα έρνπκε: 7

n E( MSTR) ( ) r 1 (1.51) Δπηπιένλ, αλ φια ηα δεηγκαηηθά κεγέζε ησλ ζηαζκψλ είλαη ίζα κε n, ηφηε ην MSTR γίλεηαη: MSTR n ( Y. Y..) r 1 (1.5) Γηα λα δεκηνπξγήζνπκε ηε ζρέζε (1.51), ζεσξνχκε ην κνληέιν (1.) γηα ην Τ i Yi i θαη παίξλνπκε ην κέζν φξν ηνπ Τ i γηα ηελ -νζηή ζηάζκε ηνπ παξάγνληα, επνκέλσο: φπνπ ην. Y.. (1.53) είλαη ν κέζνο φξνο ηνπ ε i γηα ηελ -νζηή ζηάζκε, κε ηχπν:. i n i (1.54) Αλ βξνχκε ην κέζν φξν γηα ην Τ i ζε φιεο ηηο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα, ηφηε έρνπκε: Y.... (1.55) φπνπ κ νξίδεηαη ζηελ (1.9) θαη.. είλαη ν κέζνο φξνο φισλ ησλ ε i κε βάζε ηνλ ηχπν:.. i n i (1.56) Απφ ηε ζηηγκή πνπ ηα δεηγκαηηθά κεγέζε ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα είλαη ίζα, ηφηε ηζρχεη: Y.. Y. r θαη... r (1.57) Υξεζηκνπνηψληαο ηηο ζρέζεηο (1.53) θαη (1.55) έρνπκε: 8

Y. Y.. (. ) (..) ( ) (...) (1.58) ηε ζπλέρεηα, πςψλνπκε θαη ηα δχν κέιε ζην ηεηξάγσλν θαη αζξνίδνπκε ζηηο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα, νπφηε: (1.59) ( Y. Y..) ( ) (...) ( )(...) 1. Δπεηδή ην ( ) είλαη ζηαζεξά, ε αλακελφκελε ηηκή ηεο ζα είλαη: (1.60) E[ ( ) ] ( ) (...). Θεσξνχκε ηελ έθθξαζε r 1, φπνπ είλαη κηα ζπλεζηζκέλε δεηγκαηηθή δηαζπνξά, γηαηί ην.. είλαη ν δεηγκαηηθφο κέζνο ησλ r φξσλ.. Δπηπιένλ, γλσξίδνπκε φηη ε δεηγκαηηθή δηαζπνξά είλαη ακεξφιεπηνο εθηηκεηήο ηεο δηαζπνξάο ηεο κεηαβιεηήο.. Έηζη, κσο, E Άξα, ( ) (. ) n n (...) r 1 i n ( r 1) E (...) (1.61) n 3. Αθνχ θαη ην. θαη ην.. είλαη κέζεο ηηκέο ησλ ε i φξσλ πνπ νη κέζεο ηηκέο ηνπο είλαη ίζεο κε 0, δειαδή Δ(. ) = 0 θαη Δ(.. ) = 0, ηφηε ζα ηζρχεη φηη: (1.6) E[ ( )(...)] ( ) (...) 0 Δπνκέλσο, απφ ηηο ζρέζεηο (1.60), (1.61) θαη (1.6) έρνπκε: 9

Άξα, ( r 1) E[ ( Y. Y..) ] ( ) n n ( ) n ( ) E( MSTR) E ( ) r 1 r 1 n r 1 δειαδή πξνθχπηεη ε ζρέζε (1.51). n ( r 1) 1.8 F-Έιεγρνο γηα Ιζόηεηα ηωλ Μέζωλ ηωλ ηαζκώλ ηνπ Παξάγνληα ε κηα αλάιπζε κνλνπαξαγνληηθήο κειέηεο ζπλεζίδνπκε λα ειέγρνπκε πξψηα αλ νη κέζνη ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα κ είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο. Έηζη, νη ππνζέζεηο πνπ ζεσξνχκε είλαη: Ζ 0 : κ 1 = κ = = κ r Ζ 1 : φρη φια ηα κ ίζα (1.63) ή δηαθνξεηηθά κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ππνζέζεηο: Ζ 0 : η 1 = η = = η r = 0 Ζ 1 : φρη φια ηα η = 0 (1.63α) ηαηηζηηθφο Έιεγρνο Ο ζηαηηζηηθφο έιεγρνο πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα λα επηιέμνπκε αλάκεζα ζηηο δχν ππνζέζεηο ηεο (1.63) είλαη: MSTR F* (1.64) MSE φπνπ ην MSTR είλαη αληίζηνηρν κε ην MSR φηαλ έρνπκε κνληέιν παιηλδξφκεζεο. ηαλ έρνπκε κεγάιεο ηηκέο γηα ην F* ηφηε δερφκαζηε ηελ Ζ, γηαηί ην MSTR ζα ππεξβαίλεη ην MSE, ελψ φηαλ νη ηηκέο ηνπ F* είλαη θνληά ζην 1 ηφηε δερφκαζηε ηελ Ζ 0, γηαηί ην MSTR θαη ην MSE ζα έρνπλ ηελ ίδηα κέζε ηηκή. 30

Καηαλνκή ηεο F* ηαλ φινη νη κέζνη φξνη κ είλαη ίζνη, ηφηε θάζε παξαηήξεζε Τ i ζα έρεη ηελ ίδηα κέζε ηηκή, Δ(Τ i ) = κ. Δπνκέλσο, αθνχ δερφκαζηε ηελ Ζ 0, ε F* ζα αθνινπζεί SSE SSTR ηελ θαηαλνκή Fr 1, nt r, γηαηί ηα θαη είλαη αλεμάξηεηεο ηηκέο πνπ αθνινπζνχλ Υ θαηαλνκή. Δάλ δερζνχκε ηελ Ζ 1 ππφζεζε θαη ηα κ, δειαδή, δελ είλαη ίζα κεηαμχ ηνπο, ηφηε ην F* δελ αθνινπζεί ηελ F θαηαλνκή, αιιά ηελ κε θεληξηθή F θαηαλνκή, γηα ηελ νπνία ζα κηιήζνπκε ζηελ ηζρχ ηνπ F ειέγρνπ. Αμίδεη εδψ λα ζεκεηψζνπκε φηη, ην SSTR θαη ην SSE είλαη αλεμάξηεηα αθφκα θη αλ δελ είλαη ίζα φια ηα κ. Απηφ ζπκβαίλεη γηαηί ην SSE είλαη ε κεηαβιεηφηεηα ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα θαη απηή ε κεηαβιεηφηεηα δελ επεξεάδεηαη απφ ην κέγεζνο ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ. Απφ ηελ άιιε κεξηά, ην SSTR βαζίδεηαη κφλν ζηνπο κέζνπο Y. ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα. Καηαζθεπή Καλφλα Απφθαζεο Ο θίλδπλνο λα θάλνπκε έλα ζθάικα ηχπνπ Η ειέγρεηαη αλ θαηαζθεπάζνπκε έλαλ θαλφλα απφθαζεο φπνπ ζα καο πξνζηαηεχεη απφ ην λα θάλνπκε πεξηζζφηεξεο θαη ιεπηνκεξείο αλαιχζεηο, ελψ ζηελ πξαγκαηηθφηεηα δελ ζα ρξεηάδνληαη. Έλα ζθάικα ηχπνπ ΗΗ κπνξεί επίζεο λα ειεγρζεί αλ θαζνξίζνπκε ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο. Αθνχ μέξνπκε φηη ην F* αθνινπζεί Fr 1, nt r θαηαλνκή εάλ δερζνχκε ηελ Ζ 0 ππφζεζε θαη νη κεγάιεο ηηκέο ηνπ F* καο νδεγνχλ ζην λα δερζνχκε ηελ Ζ 1, ν θαηάιιεινο θαλφλαο απφθαζεο ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α, είλαη: Δάλ F* F1 ; r 1, n r ηφηε δερφκαζηε ηελ Ζ 0 T Δάλ F* F1 ; r 1, n r ηφηε δερφκαζηε ηελ Ζ 1 (1.65) T F φπνπ, ην 1 ; r 1, n T r είλαη ην (1 α)100 πνζνζηηαίν ζεκείν ηεο F θαηαλνκήο. ην παξάδεηγκά καο κε ηελ γαιαθηνθνκηθή εηαηξία ζέινπκε λα ειέγμνπκε αλ νη κέζεο πσιήζεηο είλαη νη ίδηεο θαη γηα ηηο ηέζζεξηο ζπζθεπαζίεο. Ζ 0 : κ 1 = κ = κ 3 = κ 4 31

Ζ 1 : φρη φια ηα κ ίζα Θα ειέγμνπκε ηνλ θίλδπλν ζθάικαηνο ηχπνπ Η ζην α = 0.05. Άξα, ζέινπκε λα βξνχκε ην F(0.95; 3, 6) θαη κέζσ ηνπ πίλαθα βξίζθνπκε φηη F(0.95; 3, 6) = =4.76. Έηζη έρνπκε φηη, εάλ F* 4.76 απνδερφκαζηε ηελ Ζ 0 εάλ F* > 4.76 απνδερφκαζηε ηελ Ζ 1 επνκέλσο, ν ζηαηηζηηθφο έιεγρνο είλαη MSTR 86 F* 11.. MSE 7.67 Αθνχ F* = 11. > 4.76, απνδερφκαζηε ηελ Ζ 1 φηη, δειαδή, νη κέζνη κ δελ είλαη ίζνη ή φηη νη ηέζζεξηο δηαθνξεηηθέο ζπζθεπαζίεο δελ νδεγνχλ ζε ίζνπο φγθνπο κέζσλ πσιήζεσλ. Άξα, θαηαιαβαίλνπκε φηη ππάξρεη κηα ζρέζε κεηαμχ ηεο ζπζθεπαζίαο θαη ηνπ φγθνπ ησλ πσιήζεσλ. εκείσζε Δάλ ππάξρνπλ δχν ζηάζκεο παξάγνληα ψζηε r = κπνξνχκε εχθνια λα δείμνπκε φηη ν ζηαηηζηηθφο έιεγρνο F* είλαη ηζνδχλακνο κε ηνλ δηκειή ζηαηηζηηθφ έιεγρν t δχν πιεζπζκψλ. Γηα λα ζπγθξίλνπκε δχν κέζνπο πιεζπζκψλ πξνηηκάηαη γεληθφηεξα ν t έιεγρνο αθνχ κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί θαη γηα κνλνκειείο θαη γηα δηκειείο ειέγρνπο, ελψ ν F έιεγρνο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί κφλν γηα δηκειείο ειέγρνπο. 1.9 Ιζρύο ηνπ F Διέγρνπ Ζ ηζρχο ηνπ F ειέγρνπ είλαη ζεκαληηθή γηαηί κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε πφζν ηθαλφο είλαη ν θαλφλαο απφθαζεο αιιά θαη γηα λα θαζνξίζνπκε ηα απαηηνχκελα δεηγκαηηθά κεγέζε. Με ηελ ηζρχ αλαθεξφκαζηε ζηελ πηζαλφηεηα ν θαλφλαο απφθαζεο λα νδεγήζεη ζην ζπκπέξαζκα Ζ 1, φηαλ, φλησο, ηζρχεη ην Ζ 1. Ζ δχλακε ηνπ ειέγρνπ δίλεηαη απφ ηνλ παξαθάησ ηχπν: Power P{ F* F(1 ; r 1, n r / } (1.66) φπνπ ε θ είλαη κηα κε θεληξνπνηεκέλε παξάκεηξνο θαη καο βνεζά λα κεηξάκε πφζν άληζα είλαη ηα κ κεηαμχ ηνπο: T 3

n ( ) n (1.67) 1 1 r θαη ην κ νξίδεηαη φπσο ζηε ζρέζε (1.13). ηαλ φια ηα δεηγκαηηθά κεγέζε ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα είλαη ίζνπ κεγέζνπο n, ε παξάκεηξνο θ γίλεηαη: r 1 n 1 n r r ( ) (1.67α) ην παξάδεηγκά καο, κε ηελ γαιαθηνθνκηθή εηαηξία, επηζπκνχκε λα βξνχκε ηελ ηζρχ ηνπ θαλφλα απφθαζεο φηαλ μέξνπκε φηη ππάξρνπλ δηαθνξέο κεηαμχ ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα. Θεσξνχκε φηη η 1 = -3,5, η = -3, η 3 = + θαη η 4 = +5. Άξα, ε ηηκή ηνπ θ ζα είλαη: 1 1 ( 3,5) 3( 3) 3 5 1 5,33 4 Υξεηαδφκαζηε θαη ην ζ, ηελ κεηαβιεηφηεηα ησλ ζθαικάησλ ε i. Απφ ηελ εκπεηξία καο ππνζέηνπκε φηη ζ =,5. Δπνκέλσο, Δπηπιένλ, έρνπκε φηη: 1 5,33,13,5 λ 1 = r 1 = 4 1 = 3 v = n T r = 10 4 = 6 α = 0,05 Με βάζε ηνλ πίλαθα βξίζθνπκε φηη ε ηζρχο είλαη 1 β = 0,7 πεξίπνπ. Γειαδή, ππάξρνπλ 7 πεξηπηψζεηο ζηηο 100 ν θαλφλαο απφθαζεο λα νδεγήζεη ζηελ αλαδήηεζε ησλ δηαθνξψλ ησλ κέζσλ φγθσλ πσιήζεσλ γηα ηηο δηάθνξεο ζπζθεπαζίεο. 33

Πίλαθαο Α1 Σρόιηα 1. ζν κηθξφηεξν είλαη ην επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α ηφζν κηθξφηεξε είλαη ε ηζρχο γηα νπνηνδήπνηε δνζέλ θ θαη έηζη ηφζν κεγαιχηεξνο ν θίλδπλνο γηα έλα ζθάικα ηχπνπ ΗΗ. 34

. Θα πξέπεη λα γλσξίδνπκε φηη νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ θ θη αλ έρνπκε, απηή πξνθχπηεη απφ πνιινχο δηαθνξεηηθνχο ζπλδπαζκνχο ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα κ ή ησλ επηδξάζεσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα η. 3. Έλαο ιάζνο πξνζδηνξηζκφο ηνπ ζ ζηνλ θαζνξηζκφ ηεο ηζρχνο κπνξεί λα νδεγήζεη ζε έλα δηαθνξεηηθφ απνηέιεζκα απηήο. ην παξάδεηγκα κε ηελ γαιαθηνθνκηθή εηαηξία αλ ην ζ ήηαλ 3,0 αληί γηα,5, ηφηε ην θ ζα ήηαλ 1,78 θαη ε ηζρχο γηα ην ίδην α ζα ήηαλ 0,56 αληί 0,7. 4. ζν κεγαιχηεξν είλαη ην θ, ηφζν κεγαιχηεξεο είλαη νη δηαθνξέο κεηαμχ ησλ κέζσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα, άξα πςειφηεξε είλαη ε ηζρχο θαη επνκέλσο κηθξφηεξε ε πηζαλφηεηα λα θάλνπκε έλα ζθάικα ηχπνπ ΗΗ. 5. ηαλ έρνπκε λ 1 = 1 δελ ρξεζηκνπνηνχκε ηνλ πίλαθα Pearson Haley, γηαηί έρνπκε ζχγθξηζε ησλ κέζσλ δχν πιεζπζκψλ. Γειαδή, δελ θάλνπκε F έιεγρν, αιιά ηνλ δίπιεπξν t έιεγρν πνπ είλαη ηζνδχλακνο θαη ρξεζηκνπνηνχκε ηνλ αληίζηνηρν πίλαθα κε κε θεληξνπνηεκέλε παξάκεηξν 1 1 1 n n 1 (1.68) θαη βαζκνχο ειεπζεξίαο n 1 + n. 35

. ΑΝΑΛΤΗ ΣΧΝ ΔΠΙΓΡΑΔΧΝ ΠΑΡΑΓΟΝΣΑ Ο F έιεγρνο, φπσο είδακε ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην, ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα δνχκε αλ νη κέζνη φξνη κ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα δηαθέξνπλ ή φρη. Αλ ν F έιεγρνο καο νδεγήζεη ζην ζπκπέξαζκα φηη νη κέζνη κ είλαη ίζνη κεηαμχ ηνπο, ηφηε ζπκπεξαίλνπκε φηη δελ ππάξρεη ζρέζε κεηαμχ ηνπ παξάγνληα θαη ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο. Αλ, φκσο, ν F έιεγρνο δείμεη φηη νη κέζνη κ δελ είλαη ίζνη, ηφηε ζπκπεξαίλνπκε φηη ππάξρεη ζρέζε κεηαμχ ηνπ παξάγνληα θαη ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο. ε απηή ηελ πεξίπησζε, θάλνπκε κηα πεξαηηέξσ ιεπηνκεξή αλάιπζε γηα ηελ θχζε ησλ επηδξάζεσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα, ε νπνία γίλεηαη κε δχν ηξφπνπο: 1. Αλάιπζε ησλ αζξνηζκάησλ ηεηξαγψλσλ θαη έιεγρνο ησλ ππνζέζεσλ πνπ καο ελδηαθέξνπλ. Άκεζε ζχγθξηζε ησλ επηδξάζεσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα ρξεζηκνπνηψληαο ηερληθέο εθηίκεζεο. ε φιν ην θεθάιαην, ππνζέηνπκε ηηο ζηαζεξέο επηδξάζεηο ηνπ κνληέινπ αλάιπζεο δηαζπνξάο (1.) φπνπ κ : παξάκεηξνη Yi i (.1 α) ε i : αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο πνπ αθνινπζνχλ Ν(0, ζ ) ή ην ηζνδχλακν κνληέιν (1.6) φπνπ κ: κία ζπλνιηθή ζηαζεξά Τ i = κ + η + ε i (.1 β) η : παξάκεηξνη ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ n 0 ε i : αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο πνπ αθνινπζνχλ Ν(0, ζ ) 36

.1 Αλάιπζε ηνπ SSTR Ξεθηλάκε κε ηελ βαζηθή αλάιπζε: Πεγή Μεηαβιεηόηεηαο Παιηλδξόκεζε θάικα πλνιηθό SS SSR SSE SSTO Δάλ ζέινπκε λα κειεηήζνπκε πφηε ν ηεηξαγσληθφο φξνο ρξεηάδεηαη ζην κνληέιν παιηλδξφκεζεο: Y i 0 1 i 11 i i ιακβάλνπκε ππφςε καο ηελ πεξαηηέξσ αλάιπζε: Πεγή Μεηαβιεηόηεηαο Παιηλδξόκεζε Γξακκηθή Κακπύιωζε θάικα πλνιηθό SS SSR SSR(X) SSR(X /X) SSE SSTO Αλάιπζε Επηδξάζεωλ Οκάδωλ Τπνζέηνπκε ζην παξάδεηγκά καο κε ηελ γαιαθηνθνκηθή εηαηξία φηη ζηηο δχν απφ ηηο ηέζζεξηο ζπζθεπαζίεο γάιαθηνο ρξεζηκνπνηήζεθαλ 3 ρξψκαηα θαη ζηηο άιιεο δχν ζπζθεπαζίεο 5 ρξψκαηα. Έηζη, κπνξνχκε λα ελδηαθεξζνχκε γηα ην αλ δηαθέξνπλ νη κέζεο πσιήζεηο γηα ηηο ζπζθεπαζίεο ησλ 3 ρξσκάησλ θαη ησλ 5 ρξσκάησλ θαη γηα ην αλ κέζα ζε θάζε νκάδα ρξσκάησλ νη δχν ζπζθεπαζίεο δηαθέξνπλ. Ζ αλάιπζε απηή κπνξεί λα επηηεπρζεί κέζσ ηεο αλάιπζεο ησλ επηδξάζεσλ ησλ νκάδσλ. Απηή ε αλάιπζε είλαη θαηάιιειε φηαλ νη r ζηάζκεο ή ρξήζεηο ηνπ παξάγνληα κπνξνχλ λα ηαμηλνκεζνχλ ζε ζρεηηθέο νκάδεο θαη ην ελδηαθέξνλ είλαη ζην: 37

i. εάλ νη κέζνη φξνη ησλ δηαθνξεηηθψλ νκάδσλ είλαη ίζνη θαη ii. εάλ νη δηάθνξνη κέζνη φξνη ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα κέζα ζε θάζε νκάδα είλαη ίζνη. Θα ζεκεηψζνπκε, επηπιένλ, φηη ηνλ αξηζκφ ησλ νκάδσλ ζα ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε c θαη ηνλ αξηζκφ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα ζηελ g νζηή νκάδα (g = 1,, c) ζα ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε r g. Έηζη, ζα έρνπκε: r c r (.) g g1 φπνπ r είλαη ν ζπλνιηθφο αξηζκφο ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα ζηε κειέηε. Δπίζεο, ην άζξνηζκα ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο g νζηήο νκάδαο ζα ζπκβνιίδεηαη κε Τ g θαη ζα ηζρχεη: Y g c Y. (.3) g1 φπνπ Τ. είλαη ην άζξνηζκα ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο νζηήο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα, φπσο θαίλεηαη ζηελ (1.17) θαη ε άζξνηζε γίλεηαη πάλσ ζε φιεο ηηο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα ζηελ g νζηή νκάδα. Δπηπιένλ, ηζρχεη φηη: c Y.. Y (.4) g1 g φπνπ Τ.. είλαη ην ζχλνιν φισλ ησλ παξαηεξήζεσλ φπσο νξίδεηαη ζηελ (1.19). Σέινο, ν ζπλνιηθφο αξηζκφο ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο g νζηήο νκάδαο ζα ζπκβνιίδεηαη κε Ν g θαη ζα ηζρχεη: N g n (.5) g φπνπ n είλαη ν αξηζκφο ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο νζηήο ζηάζκεο παξάγνληα θαη ε άζξνηζε γίλεηαη πάλσ ζε φιεο ηηο ζηάζκεο παξάγνληα ηεο g νζηήο νκάδαο. Αθφκα, n T c N (.6) g1 g 38

φπνπ n T είλαη ν ζπλνιηθφο αξηζκφο παξαηεξήζεσλ ζηε κειέηε φπσο νξίδεηαη απφ ηελ (1.1). Ζ αλάιπζε ησλ επηδξάζεσλ ησλ νκάδσλ ηνπ SSTR γίλεηαη φπσο θαίλεηαη παξαθάησ: SSTR = SS(κεηαμχ νκάδσλ) + SS(κέζα ζηελ 1 ε νκάδα) + + SS(κέζα ζηελ c-νζηή νκάδα) (.7) φπνπ c Yg Y.. SS( ύ ά ) (.8α) N n g1 g T Y. Yg SS( έ g ή ά ) (.8β) n N g g Σν SS(κεηαμχ νκάδσλ) έρεη c 1 βαζκνχο ειεπζεξίαο θαη ην SS(κέζα ζηελ g νζηή νκάδα) έρεη r g 1 βαζκνχο ειεπζεξίαο. Άξα, ηα κέζα ηεηξάγσλα ζα είλαη: SS( ύά ) MS( ύά ) c 1 (.9α) SS( έ g ή ά ) MS( έ g ή ά ) r 1 g (.9β) ηνλ παξαθάησ πίλαθα, θαίλεηαη ζπλνιηθά ε αλάιπζε ησλ επηδξάζεσλ ησλ νκάδσλ ηνπ SSTR. Πίλαθαο.1 Αλάιπζε Επηδξάζεωλ Οκάδωλ ηνπ SSTR Πεγή Μεηαβιεηφηεηαο SS df MS Υξήζεηο SSTR r - 1 MSTR Μεηαμχ Οκάδσλ Μέζα ζηελ 1 ε Οκάδα SS(κεηαμχ νκάδσλ) SS(κέζα ζηελ 1 ε νκάδα) c - 1 r 1-1 MS(κεηαμχ νκάδσλ) MS(κέζα ζηελ 1 ε νκάδα) 39

Μέζα ζηελ c νζηή Οκάδα SS(κέζα ζηελ c νζηή νκάδα) r c - 1 MS(κέζα ζηελ c νζηή νκάδα) θάικα SSE n T - r MSE χλνιν SSTO n T - 1 Ο ζηαηηζηηθφο έιεγρνο πνπ ρξεζηκνπνηνχκε γηα λα εμεηάζνπκε αλ ή φρη νη κέζνη ησλ νκάδσλ δηαθέξνπλ είλαη: MS( ύά ) F* (.10α) MSE ελψ, ν ζηαηηζηηθφο έιεγρνο πνπ ρξεζηκνπνηνχκε γηα λα εμεηάζνπκε αλ ή φρη νη κέζνη ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα κέζα ζηελ g νζηή νκάδα δηαθέξνπλ είλαη: MS( έ g ή ά ) F* (.10β) MSE ην παξάδεηγκά καο κε ηελ γαιαθηνθνκηθή εηαηξία, παίξλνπκε φηη νη ζπζθεπαζίεο 1 θαη αληηζηνηρνχλ ζηηο ζπζθεπαζίεο κε 3 ρξψκαηα θαη νη ζπζθεπαζίεο 3 θαη 4 αληηζηνηρνχλ ζηηο ζπζθεπαζίεο κε 5 ρξψκαηα. ην πξνεγνχκελν θεθάιαην, βξήθακε ηα απνηειέζκαηα πνπ θαίλνληαη ζηνπο παξαθάησ πίλαθεο: Πίλαθαο. ρέδην πζθεπαζίαο 1 3 4 χλνιν n 3 3 10 Y. 30 39 57 54 100. 15 13 19 7 18 40

Πεγή Μεηαβιεηόηεηαο Μεηαμύ ζπζθεπαζηώλ SS df MS 58 3 86 θάικα 46 6 7.67 ύλνιν 304 9 πζθεπαζία Υαξαθηεξηζηηθά 1 3 ρξψκαηα κε ζρέδηα 3 ρξψκαηα ρσξίο ζρέδηα 3 5 ρξψκαηα κε ζρέδηα 4 5 ρξψκαηα ρσξίο ζρέδηα χκθσλα κε ηνλ πίλαθα., πξνθχπηεη ν παξαθάησ πίλαθαο: Οκάδα 3 ρξωκάηωλ Οκάδα 5 ρξωκάηωλ ύλνιν r 1 = r = r = 4 Y 1 = 30 + 39 = 69 Y = 57 + 54 = 111 Y.. = 69 + 111 = 180 N 1 = + 3 = 5 N = 3 + = 5 n T = 5 + 5 = 10 Υξεζηκνπνηψληαο ηνλ ηχπν (.8α) έρνπκε: 69 111 180 SS( ύά ) 176.4 5 5 10 Καη απφ ηνλ ηχπν (.8β) πξνθχπηεη: 30 39 69 SS( έ ά 3 ά ) 4.8 3 5 57 54 111 SS( έ ά 5 ά ) 76.8 3 5 41

Σα απνηειέζκαηα ηεο ANOVA θαίλνληαη ζηνλ πίλαθα.3. Πίλαθαο.3 Πίλαθαο ANOVA γηα ηελ κειέηε ηωλ ζπζθεπαζηώλ Πεγή Μεηαβιεηόηεηαο SS df MS Μεηαμύ ζπζθεπαζηώλ 58 3 86 Μεηαμύ νκάδωλ 3 θαη 5 ρξωκάηωλ Μέζα ζηελ νκάδα 3 ρξωκάηωλ Μέζα ζηελ νκάδα 5 ρξωκάηωλ 176.4 4.8 76.8 1 1 1 176.4 4.8 76.8 θάικα 46 6 7.67 ύλνιν 304 9 Έιεγρνη 1. Ζ 0 : κ 1 = κ Ζ 1 : κ 1 κ Διέγρνπκε, δειαδή, αλ νη κέζεο πσιήζεηο γηα ηηο δχν ζπζθεπαζίεο ησλ 3 ρξσκάησλ είλαη ίζεο. 4.8 F* 0.63 7.67 Βξίζθνπκε F(0.95; 1, 6) = 5.99. Αθνχ F* F(0.95; 1, 6), ζπκπεξαίλνπκε φηη νη κέζεο πσιήζεηο γηα ηηο ζπζθεπαζίεο κε ηα 3 ρξψκαηα δελ δηαθέξνπλ.. Ζ 0 : κ 3 = κ 4 Ζ 1 : κ 3 κ 4 Διέγρνπκε αλ νη κέζεο πσιήζεηο γηα ηηο δχν ζπζθεπαζίεο ησλ 5 ρξσκάησλ είλαη ίζεο. 76.8 F* 10.0 7.67 Βξίζθνπκε F(0.95; 1, 6) = 5.99. Αθνχ F* > F(0.95; 1, 6), ζπκπεξαίλνπκε φηη νη κέζεο πσιήζεηο γηα ηηο δχν ζπζθεπαζίεο ησλ 5 ρξσκάησλ δηαθέξνπλ. 4

3. Θα ειέγμνπκε αλ νη κέζεο πσιήζεηο κεηαμχ ησλ νκάδσλ ησλ 3 θαη 5 ρξσκάησλ είλαη ίζεο. 176.4 F* 3.0 7.67 Έρνπκε βξεη φηη F(0.95; 1, 6) = 5.99. Αθνχ F* > F(0.95; 1, 6) ζπκπεξαίλνπκε φηη νη κέζεο πσιήζεηο κεηαμχ ησλ δχν νκάδσλ δηαθέξνπλ. Σρόιηα 1. Ζ αλάιπζε ηνπ SSTR ζηνλ πίλαθα.1 ιέγεηαη νξζνγώληα αλάιπζε. Μία αλάιπζε ιέγεηαη νξζνγψληα φηαλ ηα επηκέξνπο αζξνίζκαηα ηεηξαγψλσλ πξνζηίζεληαη θαη καο δίλνπλ ην ζπλνιηθφ άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ (δειαδή ην SSTR) θαη νκνίσο γίλεηαη γηα ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Μία ηδηφηεηα ηεο νξζνγψληαο αλάιπζεο είλαη φηη ηα επηκέξνπο αζξνίζκαηα ηεηξαγψλσλ είλαη αλεμάξηεηα θαηαλεκεκέλα γηα ηελ αλάιπζε ηνπ κνληέινπ δηαζπνξάο (.1). Γειαδή, ην SS(κεηαμχ νκάδσλ) δελ επεξεάδεηαη απφ ην SS(κέζα ζηελ g νζηή νκάδα).. Τπάξρνπλ πεξηπηψζεηο πνπ ζέινπκε λα κειεηήζνπκε θάπνηα εξσηήκαηα θαη δελ είλαη δπλαηφ λα ρξεζηκνπνηήζνπκε νξζνγψληα αλάιπζε. ην παξάδεηγκά καο, έρνπκε ηα εξσηήκαηα αλ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ζηηο ζπζθεπαζίεο γάιαθηνο θαξηνχλ θαη πνηα ρξψκαηα. Ζ αλάιπζε γηα ην SSTR ζα γηλφηαλ φπσο γλσξίδνπκε, φκσο, ηα επηκέξνπο αζξνίζκαηα ηεηξαγψλσλ γηα ηελ αλάιπζε γηα ηα θαξηνχλ δελ ζα αλεμάξηεηα ησλ επηκέξνπο αζξνηζκάησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηελ αλάιπζε κε ηα ρξψκαηα. 3. Μία δπζθνιία πνπ ζπλαληάκε ζηελ αλάιπζε ησλ επηκέξνπο αζξνηζκάησλ ηεηξαγψλσλ ηνπ SSTR είλαη φηη ην επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο θαη ε δχλακε επεξεάδνληαη. Ζ ρξήζε πνιιαπιψλ ειέγρσλ ζηα ίδηα δεδνκέλα είλαη ηζνδχλακε κε ηηο πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο γηα ηελ εθηίκεζε ησλ ζηφρσλ πνπ έρνπκε. Τπνζέηνπκε φηη ηα ηξία ζηαηηζηηθά F*, πνπ βξήθακε πξνεγνπκέλσο, είλαη αλεμάξηεηα ελψ ζηελ πξαγκαηηθφηεηα είλαη εμαξηεκέλα. Δάλ δελ ππάξρνπλ δηαθνξέο κεηαμχ ησλ κέζσλ φξσλ ηφηε P{F* F(0.95; 1, 6) = 5.99} = =0.95. Έηζη, ε πηζαλφηεηα θαη ηα ηξία ζηαηηζηηθά F* λα είλαη κηθξφηεξα ηνπ 5.99, εάλ ππνζέζνπκε αλεμαξηεζία, είλαη (0.95) 3 = 0.857. Με απηφ ηνλ ηξφπν, ην επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο ζε ηνπιάρηζηνλ έλαλ απφ ηνπο ηξεηο ειέγρνπο πνπ νδεγεί ζην ζπκπέξαζκα φηη νη κέζνη δηαθέξνπλ, φηαλ δελ ππάξρνπλ δηαθνξέο ζηνπο κέζνπο, ζα ήηαλ 1 0.86 = 0.14 θη φρη 0.05. Σφηε, βιέπνπκε φηη ην επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο θαη ε δχλακε 43

γηα έλα ζύλνιν ή κηα νηθνγέλεηα ειέγρσλ δελ είλαη ην ίδην φπσο γηα έλαλ μερωξηζηό έιεγρν. ηελ πξαγκαηηθφηεηα, ηα ζηαηηζηηθά F* είλαη εμαξηεκέλα, αθνχ φια έρνπλ ηνλ ίδην παξνλνκαζηή MSE. Ωζηφζν, γίλεηαη δχζθνιν λα θαζνξίζνπκε ην πξαγκαηηθφ επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο θαη ηελ ηζρχ γηα κηα νηθνγέλεηα ειέγρσλ πνπ πξνέθπςε σο απνηέιεζκα απφ ηελ αλάιπζε ησλ επηκέξνπο αζξνηζκάησλ ηεηξαγψλσλ ηνπ SSTR θαη ζα ήηαλ αθφκα πην δχζθνιν αλ νη έιεγρνη ήηαλ απνηέιεζκα ελφο αξηζκνχ αλαιχζεσλ. Απφ ηελ άιιε κεξηά, πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο κε κηα νηθνγέλεηα ζπληειεζηψλ εκπηζηνζχλεο κπνξνχλ εχθνια λα ρξεζηκνπνηεζνχλ γηα λα εμάγνπκε ζπκπεξάζκαηα.. Δθηίκεζε ηωλ Δπηδξάζεωλ ηνπ Παξάγνληα Δάλ ν F έιεγρνο καο δείρλεη φηη νη κέζνη κ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα δηαθέξνπλ, θάπνηνο ζα κπνξνχζε λα πξνρσξήζεη απεπζείαο λα εθηηκήζεη ηηο επηδξάζεηο ηνπ παξάγνληα θαη θάπνηνο άιινο ζα κπνξνχζε λα θάλεη πεξηζζφηεξεο απφ κία αλαιχζεηο ηνπ SSTR. Οη εθηηκήζεηο ησλ επηδξάζεσλ ηνπ παξάγνληα ζπλήζσο πεξηιακβάλνπλ: 1. Δθηίκεζε ελφο κέζνπ κ κηαο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα.. Δθηίκεζε ηεο δηαθνξάο κεηαμχ δχν κέζσλ ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα. 3. Δθηίκεζε ηεο δηαθνξάο αλάκεζα ζε φινπο ηνπο κέζνπο ησλ ζηαζκψλ ηνπ παξάγνληα. Δθηίκεζε ελφο κέζνπ κηαο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα Έλαο ακεξφιεπηνο εθηηκεηήο ηνπ κέζνπ κ ηεο ζηάζκεο ηνπ παξάγνληα βξέζεθε ζηελ (1.) ˆ Y. (.11) Ο κέζνο φξνο θαη ε δηαζπνξά απηνχ ηνπ εθηηκεηή είλαη: EY (. ) (.1α) ( Y. ) (.1β) n 44

Ζ ηειεπηαία ζρέζε πξνθχπηεη γηαηί ε (1.53) ππνδεηθλχεη ην άζξνηζκα κηαο ζηαζεξάο ζπλ ην κέζν n αλεμάξηεησλ ε i φξσλ, θάζε έλαο απφ ηνπο νπνίνπο έρεη δηαζπνξά ζ. Δπηπιένλ, ε Y. αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή γηαηί νη φξνη ησλ ζθαικάησλ αθνινπζνχλ θη απηνί θαλνληθή θαηαλνκή. Ζ εθηηκεκέλε δηαζπνξά ηεο Y. νξίδεηαη σο S ( Y. ) θαη πξνθχπηεη αληηθαζηζηψληαο ην ζ ζηελ (.1β) κε ηνλ ακεξφιεπην εθηηκεηή MSE: Ζ εθηηκεκέλε ηππηθή απφθιηζε S( Y S ( Y ).. MSE S ( Y. ) (.13) n. ) είλαη ε ζεηηθή ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο Ζ Y. SY (. ) αθνινπζεί ηελ tn T r θαηαλνκή γηα ην κνληέιν (.1) (.14) φπνπ νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη απηνί πνπ ζρεηίδνληαη κε ην MSE. z Ζ ζρέζε (.14) πξνθχπηεη απφ ηνλ νξηζκφ ηεο t tv 1 X v v αθνχ: 1. ε Y. αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή θαη MSE. ε θαηαλέκεηαη αλεμάξηεηα απφ ηελ Y. σο X n T nt r r ζχκθσλα κε SSE ην ζεψξεκα πνπ ιέεη φηη γηα ην κνληέιν (.1), ε αθνινπζεί Υ θαηαλνκή κε n T r βαζκνχο ειεπζεξίαο θαη είλαη αλεμάξηεηε ησλ Y. 1,..., Y. r. (.15) Απφ ηελ (.14) πξνθχπηεη φηη ην δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο ηνπ κ κε ζπληειεζηή εκπηζηνζχλεο 1 α είλαη: Y. t S( Y. ) Y. t S( Y. ) (.16) 1 ; nt r 1 ; nt r 45