Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον ορίζοντα η δε µεταξύ τους γωνία είναι π/ (σχ. 1). Έάν µ είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ κυλίνδρου και των τοιχωµάτων του αυλακιού, να βρείτε i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και ii) την µέγιστη οριζόντια δύναµη που επιτρέπεται να ενεργήσει κατά µήκος του άξονα του κυλίνδρου, ώστε να αποφεύγεται η ολίσθησή του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι ο κύλινδρος ισορροπεί εφαπτόµενος στα τοιχώµατα του αυλακιού, όταν πάνω σ αυτόν ενεργεί κατάλληλο ζευγος δυνάµεων που τείνει να τον περιστρέψει περί τον άξονά του. Ο κύλινδρος δέχεται ακόµη το βάρος του w και τις δύο δυνάµεις στήριξης από τα επίπεδα τοιχώµατα του αυλακιού, οι οποίες είναι κατανεµηµένες κατά µήκος των δύο ευθειών επαφής του κυλίνδρου µε τα τοιχώµατα του αυλακιού. Οι ευθείες αυτές είναι παράλ ληλες προς τον άξονα του κυλίνδρου και καθορίζουν ένα οριζόντιο επίπεδο του οποίου η τοµή µε το επίπεδο σχεδίασης είναι η ευθεία ΑΒ (σχ. 1). Κάθε δύναµη στήριξης αναλύεται σε µια συνιστώσα κάθετη στο τοίχωµα (κάθετη αντίδραση) Σχήµα 1 και µια συνιστώσα της οποίας ο φορέας βρίσκεται επί του αντίστοιχου τοιχώµα τος (στατική τριβή) η δε φορά της αντιστέκεται στην περιστροφή που τείνει να επιβάλλει στον κύλινδρο το ζεύγος. Έτσι επί του κυλίνδρου προκύπτουν οι κάθετες αντιδράσεις N 1, N των οποίων οι φορείς διέρχονται από τα µέσα Α, Β των αντίστοιχων ευθειών επαφής και από το κέντρο µάζας C του κυλίνδρου και οι στατικές τριβές T 1, T. (σχ. 1). Λόγω της ισορροπίας του κυλίνδρου η συ
νισταµένη των δυνάµεων κατά τις διευθύνσεις των κάθετων επί τα τοιχώµατα αξόνων Cx και Cy είναι µηδέν, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: F(x) = 0" # F(y) = 0$ N + T - w = 0 1 x " N - T - w y = 0 # N 1 + T = mg"#$ N - T 1 = mg"#$ % N 1 + T = mg"#($ /4) N - T 1 = mg"#($ /4) % N 1 + T = mg / N - T 1 = mg / όπου w x, w y οι συνιστώσες του βάρους w του κυλίνδρου κατά τις διευθύνσεις των καθέτων αξόνων Cx και Cy αντιστοίχως. Όµως η ισορροπία του κυλίνδρου επιβάλλει το άθροισµα όλων των ροπών περί το κέντρο µάζας C του κυλίνδρου να είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει: " (C) = 0 - T 1 R - T R = 0 = R( T 1 + T ) () όπου η ροπή του ζεύγους. Όταν η ροπή λάβει την µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή της, τότε επίκειται η περιστροφή του κυλίνδρου και οι στατικές τριβές παίρνουν τις οριακές τους τιµές µν 1 και µν, οπότε οι σχέσεις (1) και () γρά φονται: # " $ # (1) N 1 + µn = mg / " $ N - µn 1 = mg / # max = Rµ ( N 1 + N ) $ % (3) Σχήµα Aπό τις δύο πρώτες σχέσεις υπολογίζουµε τα Ν 1, Ν και αντικαθιστώντας στην τρίτη βρίσκουµε τελικά την σχέση: max = µrmg 1 + µ (4) ii) Aς δεχθούµε και πάλι ότι ο κύλινδρος ισορροπεί αλλά το ζευγος δυνάµεων έχει αντικατασταθεί από µια δύναµη F που ενεργεί κατά την διέυθυνση του άξονα του κυλίνδρου. Στην περίπτωση αυτή ο κύλινδρος τείνει να ολισθήσει κατά την οριζόντια διεύθυνση και οι τριβές T 1, T είναι πάλι στατικές, αλλά τώρα είναι αντίρροπες της F (σχ. ), ενώ οι φορείς των καθέτων αντιδράσεων
N 1, N των τοιχωµάτων του αυλακιού διέρχονται από τα µέσα Α και Β των αντιστοίχων ευθειών επαφής του κυλίνδρου µε τα τοιχώµατα και από το κέν τρο C του κυλίνδρου. Λόγω της ισορροπίας του κυλίνδρου η συνισταµένη των δυνάµεων κατα την διευθύνση του άξονά του είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει: T 1 + T - F = 0 F = T 1 + T (5) Eξάλλου η συνισταµένη των δυνάµεων κατά τον οριζόντιο άξονα Cx και τον κατακόρυφο άξονα Cy είναι µηδέν, δηλαδή έχουµε τις σχέσεις: F(x) = 0" # F(y) = 0$ N - N = 0 1x x " N 1y + N y - mg = 0 # N 1 µ" - N µ" = 0 N 1 #$%" + N #$%" = mg ( N 1 = N % ( N 1 + N )"#$/4 = mg N 1 = N = mg/ (6) Επειδή οι τριβές είναι στατικές έχουµε: T 1 µn 1 " # T µn $ (+ ) (6) T 1 + T µ ( N 1 + N ) (5) T 1 + T µmg F µmg F max = µmg P.M. fysikos Σώµα βάρους w έχει σχήµα κώνου, ύψους h και ακτίνας βάσεως h/4, το δε κέντρο µάζας του απέχει από την βάση του κώνου απόσταση h/4. Tο σώµα τοποθετείται πάνω σε κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ<π/4, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τρι βής ολίσθησης n=1. Mια οριζόντια δύναµη F εφαρµόζεται στην κορυ φή του κώνου, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). Nα βρεθεί για ποιες τι µές του µέτρου της F ο κώνος ισορροπεί, δηλαδή δεν ολισθαίνει ούτε ανατρέπεται επί του κεκλιµένου επιπέδου. ΛYΣH: i) Yποθέτουµε ότι είναι αδύνατη η ανατροπή του κώνου. Tότε µε την εφαρµογή στην κορυφή του της οριζόντιας δύναµης F είναι δυνατόν να συµ βούν τα εξής: O κώνος τείνει να ολισθήσει προς τα πάνω. Στην περίπτωση αυτή η πλάγια αντίδραση που δέχεται ο κώνος από το κεκλι µένο επίπεδο αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T,
η οποία είναι παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο και έχει φορά προς τα κάτω (σχ. 3). Για να µην ολισθαίνει ο κώνος πρέπει να ισχύει: T nn T N διότι n=1 (1) Όµως, λόγω της ισορροπίας του κώνου θα ισχύουν οι σχέσεις: F - w - T = 0 F 1 + w 1 - N = 0 " # F"#$ - w%µ$ - T = 0 F%µ$ + w"#$ - N = 0 ( T = F"#$ - w%µ$ N = F%µ$ + w"#$ ( () Σχήµα 3 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: Fσυνφ - wηµφ Fηµφ + wσυνφ Fσυνφ - Fηµφ wσυνφ + wηµφ F(συνφ - ηµφ) w(συνφ + ηµφ) F w("#$% + µ%) "#$% - µ% (3) µε συνφ>ηµφ διότι φ<π/4. O κώνος τείνει να ολισθήσει προς τα κάτω. Στην περίπτωση αυτή η στατική τριβή T έχει φορά προς τα πάνω και θα ισχύει: T nn T N διότι n=1 (4) Όµως, λόγω της ισορροπίας του κώνου θα έχουµε και τις σχέσεις:
F - w + T = 0 F 1 + w 1 - N = 0 " # F"#$ - w%µ$ + T = 0 F%µ$ + w"#$ - N = 0 ( T = -F"#$ + w%µ$ N = F%µ$ + w"#$ ( (5) Συνδυάζοντας τις (4) και (5) έχουµε: wηµφ - Fσυνφ Fηµφ + wσυνφ F(ηµφ + συνφ) w(ηµφ - συνφ) (6) Eπειδή ηµφ-συνφ<0, η (6) ισχύει και όταν F=0 (σχ. 4), δηλαδή ο κώνος, µε την προϋπόθεση ότι δεν ανατρέπεται, δεν µπορεί να ολισθήσει προς τα κάτω όποια τιµή κι αν λάβει το µέτρο της F. ii) Yποθέτουµε ότι είναι αδύνατη η ολίσθηση του κώνου. Tότε εφαρµόζοντας στην κορυφή του την οριζόντια δύναµη F είναι δυνατόν για κατάλληλη τιµή F max του µέτρου της δύναµης να επίκειται η ανατροπή του περί το Ο. Στην πε Σχήµα 4 ρίπτωση αυτή ο κώνος ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους του w, της δύναµης F και της αντίδρασης A του κεκλιµένου επιπέδου της οποίας ο φορέας διέρχεται από το άκρο O (σχ. 4). Λόγω της οριακής αυτής ισορροπίας το άθροισµα των ροπών των δυνάµεων περί το σηµείο Ο θα είναι µηδέν, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: F h - F 1 h 4 - w h 4 - w 1 h 4 = 0 F max "#$ - F max %µ$ 4 - w"#$ 4 - w%µ$ 4 = 0 F max (4"#$ - %µ$) = w("#$ + %µ$)
F max = w("#$ + %µ$) 4"#$ - %µ$ F w("#$% + µ%) 4"#$% - µ% µε 4συνφ>ηµφ, αφού φ<π/4. Όταν µηδενιστεί η δύναµη F βρέθηκε προηγού µενα ότι ο κώνος δεν µπορεί να ολισθήσει, που σηµαίνει ότι οι δυνάµεις w και A είναι αντίθετες και για να µην ανατρέπεται πρέπει οι δύο αυτές δυνάµεις να (7) Σχήµα 5 µη συνιστούν ζευγος, δηλαδή να έχουν τον ίδιο φορέα. Τότε όµως ο φορέας της A θα διέρχεται από το κέντρο µάζας Κ του κώνου και θα σχηµατίζει µε τον άξο να συµµετρίας του γωνία φ<π/4 ή φ<θ (σχ. 5), δηλαδή θα συναντά την βάση στήριξης του κώνου, οπότε θα είναι αδύνατη η ανατροπή του περί το άκρο Ο. Oι σχέσεις (3) και (7) συναληθεύουν όταν ισχύει: F w("µ# + $%#) 4$%# - "µ# P.M. fysikos Η παράπλευρη επιφάνεια οµογενούς κυλινδρου εφάπτεται ενός αυλακιού τριγωνικής διατοµής, το οποίο αποτελεί µια βάση στηρίξεως του κυλίνδρου που βρίσκεται σε επαφή µε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). i) Έάν η γωνία µεταξύ των επιφανειών επαφής του αυλακιού µε τον κύλινδρο είναι α, να βρείτε την σχέση των συντελεστών οριακής τρι βής µ 1, µ µεταξύ κυλίνδρου και αυλακιού και µεταξύ της βάσεως στη ρίξεώς του και κεκλιµένου επιπέδου αντιστοίχως, ώστε να προηγηθεί η ολίσθηση του κυλίνδρου επί του αυλακιού. ii) Στην περίπτωση που η ολίσθηση της βάσεως είναι απαγορευτική και ο συντελεστής µ 1 επιτρέπει την ολίσθηση του κυλίνδρου, να βρε θεί η επιτάχυνσή του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι ο κύλινδρος ισορροπεί πάνω στην βάση στηρίξεώς του και ότι η βάση αυτή επίσης ισορροπεί πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Ο κύ
λινδρος δέχεται το βάρος του w και τις δύο δυνάµεις στήριξης από τα επίπεδα τοιχώµατα του αυλακιού, οι οποίες είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες κατά µήκος των δύο ευθειών επαφής του κυλίνδρου µε τις επιφάνειες του αυλακιού. Σχήµα 6 Κάθε δύναµη στήριξης αναλύεται σε µια συνιστώσα κάθετη στο τοίχωµα (κάθε τη αντίδραση) και µια συνιστώσα της οποίας ο φορέας βρίσκεται επί της αντί στοιχης ευθείας επαφής (στατική τριβή) και έχει φορά αντίθετη εκείνης προς την οποία τείνει να ολισθήσει ο κύλινδρος. Έτσι επί του κυλίνδρου προκύπ τουν οι κάθετες αντιδράσεις F 1, F των οποίων οι φορείς διέρχονται από τα µέ σα Μ 1, Μ των αντίστοιχων ευθειών επαφής και από το κέντρο µάζας C του κυ λίνδρου (σχ. 7) και οι στατικές τριβές T 1, T. Παρατήρηση: Οι ευθείες επαφής του κυλίνδρου µε τα τοιχώµατα του αυλα κιού είναι παράλληλες προς την γραµµή µεγίστης κλίσεως Cx του κεκλιµένου επιπέδου, δηλα δή καθορίζουν ένα επίπεδο (ε) του οποίου η κλίση µε τον ορίζοντα είναι φ Σχ. 8). Σχήµα 7 Σχήµα 8 Εξάλλου το βάρος w του κυλίνδρου ανάλύεται σε µια συνιστώσα w x που διευ θύνεται κατά την Cx και µια συνιστώσα w y κάθετη προς το επίπεδο (ε) (σχ. 6).
Λόγω της ισορροπίας του κυλίνδρου η συνισταµένη των δυνάµεων κατά την διεύθυνση της Cx είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: w x - T 1 - T = 0 T 1 + T = mgµ" (1) Αλλά και κατά την κάθετη προς το επίπεδο (ε) διεύθυνση Cy η συνισταµένη των δυνάµεων επί του κυλίνδρου είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύει: F 1y + F y - w y = 0 F 1y + F y = mg"#$ () όπου F 1y, F y οι κάθετες προς το επίπεδο (ε) συνιστώσες των F 1 και F αντι στοίχως (σχ. 8). Όµως για τις συνιστώσες αυτές έχουµε τις σχέσεις F 1y =F 1 ηµα και F y =F ηµα, οπότε η () γράφεται: F 1 µ" + F µ" = mg#$% F 1 + F = mg"#$ /%µ (3) Όµως οι τριβές T 1, T είναι στατικές, οπότε πρέπει: T 1 µ 1 F 1 " # T µ 1 F $ (+ ) (1),(3) T 1 + T µ 1 ( F 1 + F ) mgµ" # µ 1 mg$%" /µ µ"µ# /$%# µ 1 µ 1 "µ# $% "# $ µ 1 /%µ (4) Εξάλλου για να µην ολισθαινει η βάση στήριξης του κυλίνδρου πάνω στο κεκλι µένο επίπεδο πρέπει να ισχύει: "# $ µ (5) Eίναι προφανές ότι για να προηγηθεί η ολίσθηση του κυλίνδρου επί του αυλα κιού πρέπει να ισχύει: µ 1 /µ" < µ µ 1 < µ µ" (6) ii) Όταν έχει αποκλεισθεί η ολίσθηση της βάσεως του αυλακιού επί του κεκλι µένου επιπέδου και ο συντελεστής οριακής τριβής µ 1 επιτρέπει στον κύλινδρο να ολισθαίνει κατά µήκος του αυλακιού, τότε σύµφωνα µε τον δευτερο νόµο κί νησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: w x - T 1 - T = ma C mgµ" - µ 1 F 1 - µ 1 F = ma C mgµ" - µ 1 ( F 1 + F ) = ma C (7) όπου a C η ζητούµενη επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις (3) και (7) παίρνουµε: mgµ" - µ 1 mg#$%" /µ = ma C
gµ" - µ 1 g#$%" /µ = a C a C = g ( µ" µ#µ" - µ 1$%# ) P.M. fysikos Oµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R κατέρχε ται κυλιόµενη χωρίς ολίσθηση κατά µήκος ενός αυλακιού τριγωνικής διατοµής, του οποίου ο άξονας είναι υπό κλίση φ ως προς τον ορίζον τα (σχ. 9). i) Εάν η γωνία µεταξύ των επιπέδων επιφανειών του αυλακιού, πάνω στις οποίες κυλίεται η σφαίρα είναι α, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας. ii) Nα βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της σφαίρας και των επιφανειών επαφής της, ώστε να είναι δυνατή η κύ λισή της χωρίς ολίσθηση. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και η επιτάχυνση g της βαρύτη τας. ΛΥΣΗ: i) H κυλιόµενη σφαίρα εκτελεί επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρη θεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης στην διάρκεια της οποίας το κέν τρο µάζας της C µετατοπίζεται ευθύγραµµα προς τα κάτω κατά µήκος ενός άξονα x που είναι παράλληλος προς τον άξονα του αυλακιού και µιας περισ τροφικής κίνησης περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και εί ναι ασύµβατα κάθετος στον άξονα x (σχ. 9). Kατά την κίνηση αυτή η ευθεία ΑΒ που συνδέει τα σηµεία επαφής Α και Β της σφαίρας µε τις επιφάνειες του αυλα κιού διαγράφει ένα κεκλιµένο επίπεδο (ε) που παρουσιάζει κλίση φ ως προς τον ορίζοντα, η δε γραµµή µεγίστης κλίσεώς του είναι παράλληλη προς τον άξο Σχήµα 9 Σχήµα 10 να x (σχ. 10). Εξάλλου η σφαίρα δέχεται το βάρος της w, που ανάλύεται σε µια συνιστώσα w x που είναι οµόρροπη προς την κατεύθυνση κινησής του κέντρου
µάζας της και µια συνιστώσα w y κάθετη προς το επίπεδο (ε) και τις δυνάµεις επαφής στα σηµεία Α και Β που αναλύονται στις κάθετες αντιδράσεις F 1 και F αντιστοιχως, που οι φορείς τους διέρχονται από το κέντρο C της σφαίρας και στις αντίστοιχες στατικές τριβές T 1 και T, που είναι αντίρροπες προς την κατεύθυνση κίνησης του κεντρου C (σχ. 10 και 11). Εφαρµόζοντας για την µετα φορική κίνηση της σφαίρας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα παίρνουµε την σχέση: w x - T 1 - T = ma C mgµ" - T #$ = ma C (1) όπου T " η ολική στατική τριβή της οποίας ο φορέας διέχεται από το µέσο Μ της ΑΒ και a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C. Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφή της σφαίρας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρ νουµε την σχέση: T " (CM) = I# T " (CM) = 5 mr # () όπου CM η απόσταση του C από το επίπεδο (ε) και η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως λόγω της κυλίσεως οι ταχύτητες των σηµείων επαφής Α και Β είναι κάθε στιγµή µηδενικές, δηλαδή θα έχουµε: v A = v B = 0 v C - (CM) = 0 dv C dt - d dt (CM) = 0 = a C/ CM οπότε η () γράφεται: Σχήµα 11 T " (CM) = 5 mr a C CM T " = 5 mr a C (CM) T " = 5 mr a C R #µ $ = m 5 a C #µ $ (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε:
mgµ" - m 5 a C µ # = ma C gµ" = a C 5 µ # + a C ( gµ" = + 5µ # ) a C 5µ # a C = 5gµ"µ # + 5µ # (4) ii) H κύλιση χωρίς ολίσθηση της σφαίρας επί των επιφανειών του αυλακιού εξασφαλίζεται εφ όσον οι τριβές T 1 και T είναι στατικές, δηλαδή εφ όσον ισχύουν οι σχέσεις: T 1 µf 1 " # T µf $ (+ ) T 1 + T µ ( F 1 + F ) (3) T " # µ ( F 1 + F ) m 5 a C µ " # µ ( F + F 1 ) (5) Όµως το κέντρο µάζας C της σφαίρας δεν κινείται κάθετα προς το επίπεδο (ε), που σηµαίνει ότι η συνισταµένη των δυνάµεων επί της σφαίρας κατά την κάθετη προς το επίπεδο αυτό διεύθυνση y είναι µηδενική, δηλαδη ισχύει: F 1y + F y - w y = 0 F 1 µ" + F µ" = mg#$% F 1 + F = mg"#$ /%µ οπότε η (5) γράφεται: m 5 a C µ " # µmg$% µ" µ a C 5g"#$%µ (4) µ 5g"#$%µ ( 5gµ%µ + * ) + 5µ - µ, "#$% ( µ%µ + * ) + 5µ -, µ "#$ %µ + 5%µ µ min = "# $µ% + 5$µ % P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (1) το καρούλι µάζας Μ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα η δε σταθερή τροχαλία (τ) έχει πολύ µικρή µάζα. Ο κυλινδρικός κορµός του καρουλιού έχει ακτίνα R και οι κυκλικές του βάσεις ακτίνα R, η δε ροπή αδράνειάς του ως προς τον γεωµετρικό του άξονα είναι περίπου ίση µε ΜR.
i) Nα βρεθεί ο λόγος Μ/m, ώστε το σώµα Σ να κατέρχεται µε επιτά χυνση g /, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Aν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ καρουλιού και κεκλιµέ νου επιπέδου είναι µ = 3, να βρεθεί για ποιές τιµές της γωνίας φ το καρούλι κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, όταν το σώµα Σ κατέρχεται µε επιτάχυνση g /; ΛΥΣΗ: i) Το σώµα Σ κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του w =m g και της τάσεως Q του νήµατος και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα θα ισχύει: mg - Q = mg/ Q = mg/ (1) Το καρούλι ανέρχεται κυλιόµενο χωρίς να ολισθαίνει επί του κεκλιµένου επιπέ δου υπό την επιδραση του βάρους του W =M g, της τάσεως Q του νήµατος που περιβάλλει τον κυλινδρικό κορµό του, η οποία έχει το ίδιο µέτρο µε την Q, διό Σχήµα 1 τι η τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και τέλος την δύναµη επαφής από το κεκλι µένο επίπεδο που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C του καρουλιού τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: Q - T - W x = Ma C Q - T - Mgµ" = Ma C () όπου a C η επιτάχυνση του κεντρου µάζας C. Όµως η εφαπτοµενική επιτάχυν ση του σηµείου Α του καρουλιού είναι κατα µέτρο ίση µε την επιτάχυνση του σώµατος Σ, δηλαδή g/, αλλά το µέτρο αυτό είναι ίσο και µε a C -ω R, όπου η γωνιακή επιτάχυνση του καρουλιού. Έτσι θα έχουµε την σχέση: g/ = a C - R g/ = a C - a C / a C = g (3) διότι λόγω της κυλίσεως ισχύει a C =Rω. H () µέσω της (3) γράφεται:
Q - T - Mgµ" = Mg Q - T = Mg( 1 + µ" ) (4) Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει για την περιστροφή του καρουλιού περί τον γεωµετρικό του άξονα η σχέση: RT - RQ = I RT - RQ = MR T - Q = MR T - Q = Mg (5) διότι a C =g=rω. Συνδυάζοντας την (1) µε την (4) παίρνουµε: T - mg/ = Mg 4T - mg = Mg T = Mg + mg 4 (6) Η (4) λόγω των (1) και (6) γράφεται: mg - Mg - mg 4 = Mg( 1 + µ" ) mg 4 - Mg = Mg( 1 + µ" ) mg = Mg + 4Mg( 1 + µ" ) mg = Mg( 3 + µ" ) M m = 1 3 + µ" ( ) (7) ii) Eπειδή απαιτούµε το καρούλι να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, το µέτρο της τριβής πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: (6) T µn Mg + mg 4 µmg"#$% g + g m 4 M µg"#$% g + g ( 4 3 + µ" ) # µg$%" 8 µ"#$% - µ% 8 3"#$% - µ% 8 "#($ / 3)%( - )µ( 8"#($ / 3) % µ ($ / 3)"# - - µ"#$%( / 3) 4 "µ (# / 3 - $) (8) δηλαδή δεν υπάρχει γωνία φ που να ικανοποιεί τις απαιτήσεις κίνησης του συ στήµατος καρούλι-σώµα Σ. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (13) η διπλή τροχαλία έχει µάζα m και τα αυλάκια της έχουν ακτίνες r και R, µε R>r. Στην
τροχαλία εξασκείται µε την βοήθεια λεπτού και µη εκτατού νήµατος που έχει περιτυλιχθεί στο αυλάκι της µεγάλης τροχαλίας οριζόντια σταθερή δύναµη F, ενώ το αυλάκι της µικρής τροχαλίας εφάπτεται µιας σιδερένιας σταθερής ράβδου, που βρίσκεται υπό κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση. i) Με την προυπόθεση ότι η τροχαλία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κα τά µήκος της ράβδου, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου της. ii) Να βρεθουν οι τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ της τροχαλίας και της σιδερένιας ράβδου, για τις οποίες εξασφαλίζεται η ισορροπία της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον γεωµετρικό της άξονα είναι πε ρίπου ίση µε mr /. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι όταν ενεργεί επί της τροχαλίας η οριζόντια δύναµη F αυτή ανέρχεται κυλιόµενη χωρίς ολίσθηση επί της σιδερένιας ράβδου.. Η τροχαλία δέχεται ακόµη το βάρος της w που αναλύεται στην παράλληλη προς την ράβδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτήν συνιστώσα w y και τέλος την δύναµη επαφής από την ράβδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N Σχήµα 13 και στην στατική τριβή T, η οποία δεχόµαστε ότι έχει την φορά που φαίνεται στο σχήµα (13). Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C της τροχαλίας τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση της ράβδου παίρνουµε την σχέση: T - w x + F x = ma C T - mgµ" + F#$%" = ma C (1) όπου a C επιτάχυνση του κέντρου µάζας C της τροχαλίας. Εξάλλου συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: FR - Tr = I C FR - Tr = mr / () όπου η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας περί τον γεωµετρικό της άξονα.
Όµως λόγω της κύλισης της τροχαλίας έχουµε a C =ω r, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: FR - Tr = mr a C /r FrR - Tr = mr a C T = FR r - R r ma C (3) Απαλοίφοντας το Τ µεταξύ των σχέσεων (1) και (3) παίρνουµε: FR r - R r ma C - mgµ" + F#$%" = ma C % F R r + "#$ ( % R * - mg+µ$ = ma C ) r + 1 ( * ) % F R r + "#$ ( % R * - mg+µ$ = ma C ) r + 1 ( * ) F ( r R + r"#$ ) - mgr r %µ$ = ma R + r ) C( r + * Fr( R + r"#$ ) - mgr %µ$ = ma C ( R + r ) a C = ( ) - mgr %µ$ m( R + r ) Fr R + r"#$ (4) Mε βάση την (4) παρατηρούµε τα εξής: α) Αν ισχύει Fr(R+rσυνφ)>mgr ηµφ, τότε a C >0 που σηµαίνει ότι η τροχαλία ανέρχεται κυλιόµενη επί της ράβδου χωρίς ολίσθηση. β) Αν ισχύει Fr(R+rσυνφ)<mgr ηµφ, τότε a C <0 που σηµαίνει ότι η τροχαλία κατέρχεται κυλιόµενη επί της ράβδου χωρίς ολίσθηση. γ) Αν ισχύει Fr(R+rσυνφ)=mgr ηµφ, τότε a C =0 που σηµαίνει ότι η τροχαλία ισορροπεί. ii) Στην περίπτωση που η τροχαλία ισορροπεί (a C =0 και ω =0) η σχέση () παίρ νει την µορφή: FR - Tr = 0 T = FR / r (5) Όµως η τριβή είναι στατική και εποµένως πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: (5) T µn FR / r µn (6)
Eξάλλου λόγω της ισορροπίας της τροχαλίας η συνισταµένη των δυνάµεων που δέχεται κατά την κάθετη προς την ράβδο διεύθυνση είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει: N - F y - w y = 0 N = Fµ" + mg#$%" (7) H (6) λόγω της (7) γράφεται: FR / r µ ( F"µ# + mg$%# ) µ FR ( ) r F"µ# + mg$%# (8) Η (8) καθορίζει τις τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µ µεταξύ τροχαλίας και ράβδου, για τις οποίες η τροχαλία ισορροπεί. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (14) ο δισκος έχει µάζα m και ακτίνα R το δε ελατήριο έχει αµελητέα µάζα, φυσικό µή κος L και σταθερά k=mg/l, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Αρχικά ο δίσκος κρατείται σε θέση όπου το µήκος του ελατηρίου είναι 3L/ και κάποια στιγµή αφήνεται ελευθερος να κινηθεί. i) Ποιος πρέπει να είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δίσ κου και οριζόντιου εδάφους, ωστε ο δίσκος να κυλίεται χωρίς να ολισ θαίνει πάνω στο έδαφος; ii) Ποια θα είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση του δίσκου την στιγ µή που το ελατήριο γίνεται κατακόρυφο; Δίνεται η ροπή αδράνειας I C =mr / του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερ χόµενο από το κέντρο του. ΛYΣH: i) Ας δεχθούµε ότι ο δισκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του οριζον τίου εδάφους όταν αφεθεί ελευθερος. O δίσκος δέχεται το βάρος του w, την πλάγια δυναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος την δύναµη F από το τεντω µένο ελατήριο, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακό ρυφη συνιστώσα F y (σχ. 14). Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C του δίσκου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: F x - T = ma C (1) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου C του δίσκου την στιγµή που τον εξετά ζουµε. Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης την ίδια στιγµή θα ισχύει: TR = I C TR = mr / T = ma C / () όπου η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, για την οποία, λόγω της κυλίσε ως, ισχύει ω =a C /R. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε:
(F x - T)/T = T = F x / 3 (3) Εάν x είναι το µήκος του ελατηρίου την στιγµή που εξετάζουµε το σύστηµα, τότε η αντίστοιχη επιµήκυνσσή του θα είναι x-l, οπότε για το µέτρο της συ νιστώσας F x θα ισχύει: F x = F"#$ = F (CO) (CA) = k(x - L) x - L x Σχήµα 14 οπότε η (3) γράφεται: T = k(x - L) 3 x - L x = mg 3L 1 - L $ # x - L (4) " x% από την οποία προκύπτει ότι αν το x µειώνεται και το µέτρο της F x µειώνεται. Εξάλλου το κέντρο µάζας του δίσκου δεν επιταχύνεται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, οπότε θα έχουµε την σχέση: N + F y = mg N = mg - F y = mg - Fµ" N = mg - F (AO) k(x - L)L = mg - (CA) x N = mg - mg(x - L)L Lx = mg# L " x - 1 $ (5) % από την οποία προκύπτει ότι µε την µείωση του x το µέτρο της κάθετης αντί δρασης N αυξάνεται. Για να κυλίεται ο δίσκος χωρίς ολίσθηση πρέπει καθώς το x µειώνεται από 3L/ σε L να ισχύει T µn. Aν αυτό συµβαίνει κατά την εκκίνηση του συστήµατος (x=3l/), τότε θα ισχύει και εφεξής λόγω των (4) και (5). Όµως για x=3l/ θα είναι:
T = mg 3L 1 - L $ # " 3L% 3L$ # " % - L = 5mg 9 και N = mg# L " 3L/ - 1 $ % = mg 3 οπότε ισχύρη συνθήκη κύλισης καθίσταται η σχέση: 5mg 9 µ mg 3 µ 5 3 (6) ii) Eφαρµόζοντας για το σύστηµα δίσκος-ελατήριο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την αρχική του κατάσταση και για την κατά σταση που το ελατήριο γίνεται κατακόρυφο, οπότε αποκτά και το φυσικό του µήκος, παίρνουµε την σχέση: 0 + k 3L # " - L $ % = mv * + I C * + 0 mg L L$ # " % = mv * + mr * 4 mgl 4 = mv * + mv * 4 gl 4 = 3v * 4 v * = gl 3 όπου v * η ζητούµενη ταχύτητα του κέντρου µάζας του δίσκου. Εξάλλου την στιγµή που το ελατήριο γίνεται κατακόρυφο (x=l) η (4) δίνει Τ=0 και λόγω της () η αντίστοιχη επιτάχυνση του κέντρου του δίσκου θα είναι µηδενική. (7) P.M. fysikos