ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια αράγουσα της f στο [α, β], τότε να αοδείξετε ότι: β α f(tdt = G(β G(α Σχολικό Εγχειρίδιο, σελ. -5. A. Να διατυώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ. Σχολικό Εγχειρίδιο, σελ. 6. A. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του εδίου ορισμού της; Μονάδες Σχολικό Εγχειρίδιο, σελ.. γαδικοί αριθμοί. β. Ανlimf( <, τότε f ( < κοντά στο γ. Ισχύει ότι: ημ για κάθε R A. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εξίσωση z z = ρ, ρ> αριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(z και ακτίνα ρ,όουz,z μι- συν δ. Ισχύει ότιlim = ε. Μια συνεχής συνάρτηση f διατη ηρεί ρόσημο σε καθένα αό τα διαστήματα στα οοία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το εδίο ορισμού της. Μονάδες Ααντήσεις α. Λ (σελ. 99, β. Σ (σελ. 65, γ. Σ (σελ. 7, δ. Λ (σελ. 7, ε. Σ (σελ. 9. ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οοίους ισχύει:(z (z + z =. B.α. Να αοδείξετε ότι ο γεωμετρικό ός τόος των εικόνων των μιγαδικών z, είναι κύκλος με κέντρο K(, και ακτίνα ρ =. Μονάδες 5 Β.α. Αό(z (z + z = έχουμε: (z (z + z = z + z =. Θέτω z = w> και έχουμε: w w + = Δ= + 8= 9 ± w = w = ή w = (Αορρίτεται, Άρα z =, οότε ο γεωμετρικ κός τόος είναι κύκλος κέντρου Κ(, και ακτίνας ρ=. Μονάδες 7 Μονάδες
Β.β. Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z ου ανήκει στον αραάνω γεωμετρικό τόο, να αοδείξετε ότι z. Β.β. Για να δείξουμε ότι z, έχουμε: B. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z,z ου ανήκουν στον αραάνω γεωμετρικό τόο είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw+ γ=, με w μιγαδικό αριθμό,β,γ R, και Ιm(z Im(z = τότε να αοδείξετε ότι: β = και γ = 5 Έχουμε: w + βw+ γ= ( και Ιm(z Ιm(z = Αφού z,z ρίζες της (, έχουμε z + z = β καιz z = γ (τύοι Vieta Έχουμε z = κ+ λiκαιz = κ λi, οότε αό τη δοσμένη σχέση: Άρα οιz,z θα είναι z = κ± i,, οότε z + z = κ κ = β (, κ + = γ ( ενώ z z = κ + Αφού z,z ανήκουν στον κύκλο z Λύνοντας το (Σ των (,( έχουμε: = β β =, γ = 5 5 = γ B. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α,α,α οι οοίοι ανήκουν στον γεωμετρι ικό τόο του υοερωτήμα- τος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοοιεί τη σχέση: ν + α ν + α ν+ α = τότε να αοδείξετε ότι: ν < Έχουμε ότια,α,α ανήκουν στον κύκλο z = και ο ν ικανοοιεί τηνν + α ν + α ν+ α =. Έχουμε: ν = α ν α ν α ν = α ν + α ν+ α α ν + α ν + α αφού α,α ( ν ν + ν + z z z + z ν ν + ν + ν + ν + ν + z z m(z Im(z = λi = =, έχουμε: λ = λ=± κ i (κ ± = + = κ κ+ + = κ κ+ = ( κ = κ=,α Μονάδες Μονάδες 5 Μονάδες 9 Μονάδες 8
( ( ν ν + ν + + ν + ν + ν + ν + ν ν ν ν ν < + ν + ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g: R R, με f αραγωγίσιμη τέτοιες ώστε: ( ( f( + f( + =, για κάθε RR f( = και g( = + Γ. Να αοδείξετε ότι: f( = +, R Είναι: ( f( + ( f( + = ( + ( f( f( + = ( ( (( f( ( f( Για ( f( c c, f( + f( + = + = ( + = + c ( = + = = άρα, εειδή + f( +, η συνάρτησηf f( + διατηρεί ρόσημο, είναι και συνεχής, άρα: ( f( + = + f( + =± + = ± + f( + ν + Μονάδες 9 Έχουμε f( = ± =± και αό υόθεσηf( =, άραf( = + Γ. Να βρείτε το λήθος των ραγματ Είναι Α = R και Α = R, οότε για τη συνάρτηση(fog(έχουμε εδίο ορισμού το: g f Άρα η εξίσωση είναι ( = ( { A με g( A = R, g( R = R f g( f g( ( = f( ( + Έχουμε f( = = + + Ο αριθμητής ( τικών ριζών της εξίσωσης ( g f g( = } { } + είναι αρνητικός, αφού + < < + Για< ισχύει, ενώ για > έχουμε < + < ου ισχύει. Άρα η f γνησίως φθίνουσα, οότε f «-», άρα η ( γίνεται: f( g( = f( g( = + = + = f Μονάδες 8
και έχουμε ma τοκ( = και min το Κ( =. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της Κ (Κ συνεχής: ( ( ( ( A = limg(,k( =, A = K(,K( =, Θέτουμε συνάρτηση K( = + με εδίο ορισμού το R. Είναι k( = 6 + 6, οότε ο ίνακας μεταβο- λής είναι: A = K(, lim f( =, + + Παρατηρούμε ότι Α, άρα, εειδή η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο, +, έχουμε μία ρίζα ακριβώς. Γ. Να αοδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε: Έχουμε: ημ f(tdt= f εφ f(td dt= f συν f(tdtt συν + f ημ = Θέτουμε συνάρτησηa( = f(tdt ημστο διάστημα, και εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle (ικανοη ημ αραγωγίσιμη οιούνται οι υοθέσεις του συνεχής και αραγωγίσιμη, αφού η f συνεχής και και έχουμε ότι υάρχειξ, :Α (ξ = f ξ ημξ+ f(tdt συνξ= ξ f(tdt= f εφ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Έστωf:(, + R μια αραγωγίσιμ μη συνάρτηση για την οοία ισχύουν: f(+ 5h f( h Η f είναι γνησίως αύξουσα στο(,+ f( = lim = h h f(t Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση g( = dt, (, + καια > α t Να αοδείξετε ότι: Δ.f( = (μονάδες, καθώς είσης ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο στο = (μονάδες. α Αό το δοσμένο όριο έχουμε: f(+ 5h f( h f(+ 5h f( h f( + f( lim = lim = h h h h Μονάδες 6
β Αφού ηf γνησίως αύξουσα για>, έχουμε: για >, f( > f ( f ( > ενώ για< <, f ( < f ( f( <, οότε η συνάρτηση f αρουσιάζει ελάχιστο στο. Δ. η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες, και στη συνέχεια, να λύσετε στοrτην ανίσωση: 8 + 6 + 6 g(udu> g(udu (μονάδες 6 8 + 5 + 5 Μονάδες 9 α Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη, αφού η συνάρτηση f συνεχής και η f(t συνεχής σαν ράξεις t f( ( συνεχών, οότε έχουμε: g( =. Εειδή η συνάρτηση f έχει ελάχιστο στο το f( =, έχουμε ότιg(, οότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα (g( = μόνο για=. β Θεωρούμε τη συνάρτηση t( = συνεχής, άρα: t( = g(udu + Αφού g γνησίως αύξουσα, έχουμε για+ > > g(+ > g(, οότε ηt( >, άρα η t γνησίως αύ- ξουσα. Εειδή 8 + 5>, + 5>, η δο Δ. η g είναι κυρτή, καθώς είσης ότι ση. f( α Έχουμεg( = και g ( = f(( (f(. Εφαρμόζοντας Θεώρημα Μέσης Τιμής για τη ( συνάρτηση f στο διάστημα, (ικανοοιούνται οι ροϋοθέσεις του έχουμε: υάρχει f( ξ (,:f(ξ =. Εειδή η f γνησίως αύξουσα έχουμε: > ξ f( > f(ξ f(( > f( g ( >. Άρα η συνάρτηση g είναι κυρτή. β Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: Θέτω συνάρτηση K( = g( g( (α( α Έχουμε εδίο ορισμού το (, + Είναι Κ( = g( g(ακαι, αφού η συνάρτηση g είναι κυρτή, έχουμε: για> α g( > g(α K( >,άρα η συνάρτηση K γνησίως αύξουσα οότε η ρίζα ου βρήκαμε είναι μοναδική. + f(+ 5h f( f( h f( = lim lim = h h h h f(+ t f( f(+ t f( = 5lim + lim = t t t t = 6f( 6f( = f( =. g(uduμε εδίο ορισμού το(, +, ηt(αραγωγίσιμη, αφού η g = g(udu+ g(u = g(+ g(. c c + οσμένη ανίσωση γίνεται t(8 + 5 > t( + 5 8 + 5> + 5 f(t (α dt= f(α ( α, t ι η εξίσωση ( α α f(t (f(α dt = ( α g( = g(α( α g( g(α( α = t α και K(α =, άρα α ρίζα της εξίσωσης. ( > ( (,, > έχει ακριβώς μια λύ- Μονάδες
Φροντιστήριο Θετικής, Θεωρητικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ήµητρος 8, Μαρούσι 5 τηλ. & fa 6 www.alki.edu.gr Ειμέλεια: Αλέξης Αργυράκης, Παναγιώτης Πήλιουρας