ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8 Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα Fermat. Α3. Πότε η ευθεία y =l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 Α4.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας Σωστό ή Λάθος a) Αν α > τότε lim α =. - β) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνάρτησης f είναι πάντοτε διάστημα. γ) Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αz + βz + γ = με α, β, γ R και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών. δ) Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. ε) Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει zz = -z z Μονάδες

2 ΘΕΜΑ B Δίνονται οι μιγαδικοί z οι οποίοι δεν είναι φανταστικοί και για τους οποίους ισχύει Re(z + ) = Re(z) (). z B. Να δείξετε ότι οι εικόνες των z κινούνται στον κύκλο με εξίσωση + y =, από τον οποίο έχουν εξαιρεθεί δύο σημεία. Μονάδες 8 B. Aν z, z δύο μιγαδικοί που επαληθεύουν την (), να δείξετε ότι i) ο ii) ισχύει z + z u = + z z με z - z + z z, είναι πραγματικός B3. Να λύσετε την εξίσωση z = z. B4. Να βρείτε που κινείται η εικόνα του w = z -i i z + ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση - f() = e ( +), R Γ. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f. Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και στη συνέχεια το πλήθος ριζών της εξίσωσης + = e Μονάδες 6

3 Γ3. Να λύσετε την ανίσωση Γ4. Να βρείτε το + lim + f(t)dt > e +, R ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R R Να δείξετε ότι για τις οποίες ισχύουν - t f() - = f dt για κάθε R και g + t dt f() για κάθε R. Δ. η f είναι παραγωγίσιμη στο R Μονάδες 3 Δ. ο τύπος της f είναι f() = e - Δ3. g() d = Δ4. υπάρχει ξ, Δ5. η εξίσωση διάστημα (,). ξ τέτοιο ώστε g(t) dt = g(t) dt = - g() έχει μία τουλάχιστον λύση στο

4 ΘΕΜΑ Α ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Α4.a) Σ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β - yi y B. z + = + yi + = + yi + = + + y - i z + yi + y + y + y Επομένως + = = + y = δηλ. ο Γ.Τ είναι ο + y + y μοναδιαίος κύκλος χωρίς τα σημεία (, ), (, - ) B. i) ii) z, z και u =... = u z - z z + z = + = ή διαφορετικά : η απόσταση δύο σημείων του κύκλου είναι χορδή του κύκλου οπότε έχει μέγιστη τιμή ίση με ρ δηλ. 3 3 B3.Είναι z άρα z = z z = z z z = ή θέτουμε z = + y i z -i B4. w = iz w + w = z -i (i w - ) z = -i -w άρα i z + (i w -) z = -i -w iw - z = i +w iw - = i +w... w = ΘΕΜΑ Γ Γ.f'() < για άρα η συνεχής f είναι γνησίως φθίνουσα στο R - lim f() = lim e ( +) = + Γ DLH DLH lim f() = lim e ( +) = lim = lim = lim = Η f συνεχής στο R, άρα Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα e e e f(a) =,+ - + = e e + = f() = Το f(a), η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, άρα η εξίσωση θα έχει μοναδική λύση στο R. 4-4 Γ3. f + > e e + > e + f( ) > f() <... + Γ4. t + f() f(t) f( + )

5 άρα ολοκληρώνοντας στο [, + ] ( η f συνεχής στο R ) έχουμε f()dt f(t)dt f( +)dt f() +- f(t)dt f( +) +- f() f(t)dt f( + ) και με κριτήριο παρεμβολής προκύπτει + + lim f(t)dt = ΘΕΜΑ Δ Δ. Θέτω - t = u οπότε -dt = du και για t =, u = ενώ για t =, u =. Επομένως f() = + f(u)du Δ. Παραγωγίζουμε και έχουμε δηλ. παραγωγίσιμη. f'() = + f() f'() - f() = e f'() - e f() = e e f() = -e e f() = -e + c και τελικά f() = e - Δ3. Στο g + t dt e - - g(t)dt Θεωρούμε. h() = e - - g(t)dt h'() = g(t)dt = Δ4. Bolzano στη φ ( ) = g(t) dt - θέτουμε + t = u και καταλήγουμε και με Fermat προκύπτει στο [, ] Δ5. Rolle στη Μ ( ) = g(t) dt - στο [, ξ ]