ΑΣΚΗΣΗ 1 Για την κατασκευ ενός έργου ύδρευσης ένας Δμος δανείζεται από το Ταμείο Παρακαταθηκών και Δανείων ποσό 5.000.000, με επιτόκιο 5%. Το δάνειο θα αποπληρωθεί σε 10 ισόποσες δόσεις ενώ η αποπληρωμ του θα αρχίσει μετά από 2 έτη. Να βρεθεί το ύψος της κάθε δόσης. Εάν οι δόσεις αυξάνονται κατά 5% κάθε έτος, να βρεθεί ποιο θα είναι το νέο ύψος των δόσεων Για την πρώτη περίπτωση χρησιμοποιούμε την εξς υπόθεση: - η καταβολ των δόσεων γίνεται στην αρχ κάθε έτους - C 0 είναι το αρχικό ποσό και D το ποσό των δόσεων Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξς: Η παρούσα αξία των δόσεων είναι: D (1+r) -2 + D (1+r) -3 + D (1+r) -4 +... + D (1+r) -10 + D (1+r) -11 D [(1+r) -2 + (1+r) -3 + (1+r) -4 + (1+r) -5 + (1+r) -6 + (1+r) -7 + (1+r) -8 + (1+r) -9 + (1+r) -10 + (1+r) -11 ] D [(1+0,05) -2 + (1+0,05) -3 + (1+0,05) -4 + (1+0,05) -5 + (1+0,05) -6 + (1+0,05) -7 + (1+0,05) -8 + (1+0,05) -9 + (1+0,05) -10 + (1+0,05) -11 ] D (0,907+0,8638+0,8227+0,7835+0,7462+0,7107+0,6768+0,6446+0,6139+0,5847) 7,3539 D Επειδ το ποσό C 0 είναι ίσο με την παρούσα αξία όλων των δόσεων, έχουμε: C 0 = 7,3539 D 5.000.000 = 7,3539 D D = 679.911 Εάν οι δόσεις αυξάνονται κάθε χρόνο, η παρούσα τους είναι: D (1+r) -2 + 1,05D (1+r) -3 + 1,05 2 D (1+r) -4 +... + 1,05 8 D (1+r) -10 + 1,05 9 D (1+r) -11 D [(1+0,05) -2 + 1,05(1+0,05) -3 + 1,05 2 (1+0,05) -4 + 1,05 3 (1+0,05) -5 + 1,05 4 (1+0,05) -6 + 1,05 5 (1+0,05) -7 + 1,05 6 (1+0,05) -8 + 1,05 7 (1+0,05) -9 + 1,05 8 (1+0,05) -10 + 1,05 9 (1+0,05) -11 ] D (0,907 + 1,05x0,8638+ 1,05 2 x0,8227 + 1,05 3 x0,7835+ 1,05 4 x0,7462 + 1,05 5 x0,7107 + 1,05 6 x0,6768 + 1,05 7 x0,6446 + 1,05 8 x0,6139 + 1,05 9 x0,5847) D (0,907+0,907+0,907+0,907+0,907+0,907+0,907+0,907+0,907+0,907) 9,07 D Επειδ το ποσό C 0 είναι ίσο με την παρούσα αξία όλων των δόσεων, έχουμε: C 0 = 9,07 D 5.000.000 = 9,07 D D = 551.268
ΑΣΚΗΣΗ 2 Μια εταιρία πρόκειται να αγοράσει ένα μηχάνημα αντί 150.000 και μπορεί να πληρώσει: - με μετρητά όλο το ποσό σμερα - με προκαταβολ 20% σμερα και 10 ετσιες δόσεις ποσού 15.000 η καθεμία, η καταβολ των οποίων αρχίζει στο τέλος του επόμενου έτους. Αν το ετσιο επιτόκιο καταθέσεων στην τράπεζα είναι 5%, ποια διαδικασία πληρωμς είναι καλύτερη για την εταιρία; Το ποσό της προκαταβολς είναι: P = 20% 150.000 = 30.000 Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξς: Η παρούσα αξία των δόσεων είναι: D(1+r) -2 + D(1+r) -3 + D(1+r) -4 + D(1+r) -5 + D(1+r) -6 + D(1+r) -7 + D(1+r) -8 + D(1+r) -9 + D(1+r) -10 + D(1+r) -11 D [(1+r) -2 + (1+r) -3 + (1+r) -4 + (1+r) -5 + (1+r) -6 + (1+r) -7 + (1+r) -8 + (1+r) -9 + (1+r) -10 + (1+r) -11 ] 15.000 [(1+0,05) -2 + (1+0,05) -3 + (1+0,05) -4 + (1+0,05) -5 + (1+0,05) -6 + (1+0,05) -7 + (1+0,05) -8 + (1+0,05) -9 + (1+0,05) -10 + (1+0,05) -11 ] 15.000 (0,907+0,8638+0,8227+0,7835+0,7462+0,7107+0,6768+0,6446+0,6139+0,5847) 110.309 Άρα η συνολικ παρούσα αξία όλων των εξόδων για την 2 η περίπτωση είναι: 30.000 + 110.309 = 140.309 Άρα συμφέρει την εταιρία η 2 η επιλογ καθώς σμερα θα πληρώσει λιγότερα χρματα. Δηλαδ σμερα θα απαιτηθεί να βάλει στην άκρη μικρότερο ποσό για την απόκτηση του μηχανματος. ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια εταιρία κατέθεσε την 1η Ιανουαρίου 2004 ένα ποσό στην τράπεζα, με σκοπό να το χρησιμοποισει στο μέλλον για την ανανέωση του εξοπλισμού της. Το ποσό θα αναληφθεί σε 6 εξαμηνιαίες δόσεις, αρχίζοντας από την 1/1/2009. Αν το ετσιο επιτόκιο της τράπεζας είναι 7% και ο ανατοκισμός γίνεται στο τέλος κάθε εξαμνου, ζητείται να υπολογιστεί το ποσό της αρχικς κατάθεσης, όταν το ποσό της εξαμηνιαίας ανάληψης είναι 1.500. Επειδ το ποσό ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο, το πραγματικό εξαμηνιαίο επιτόκιο θα είναι ίσο με: r = (l + r n /n) n 1 = (1+0,07/2) 2 1 = (1+0,035) 2 1 = 1,0712 1 = 0,0712 Επίσης τα χρονικά διαστματα θα είναι πλέον εξάμηνα. Οπότε, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξς:
Η παρούσα αξία των αναλψεων είναι: D (1+r) -10 + D (1+r) -11 + D (1+r) -12 + D (1+r) -13 + D (1+r) -14 + D (1+r) -15 D [(1+r) -10 + (1+r) -11 + (1+r) -12 + (1+r) -13 + (1+r) -14 + (1+r) -15 ] 1.500 [(1+0,0712) -10 + (1+0,0712) -11 + (1+0,0712) -12 + (1+0,0712) -13 + (1+0,0712) -14 + (1+0,0712) -15 ] 1.500 (0,5027 + 0,4693 + 0,4381 + 0,4090+ 0,3818 + 0,3564) 1.500 2,5573 3.836 ΑΣΚΗΣΗ 4 Μια εταιρία θα καταθέτει από τα κέρδη της ποσό 1.500 στο τέλος κάθε έτους, αρχίζοντας από το τέλος του τρέχοντος έτους και θα συνεχίσει τις καταθέσεις για 6 συνολικά έτη, ώστε να προβεί σε επέκταση των εγκαταστάσεών της. Κάθε έτος θα αυξάνει το ποσό της κατάθεσης κατά 3.000. Εάν οι καταθέσεις αποδίδουν ετσιο επιτόκιο 7% και ο ανατοκισμός γίνεται ανά 6μηνο, να υπολογιστεί ποια ισόποση ετσια κατάθεση θα πρέπει να γίνεται, ώστε να συγκεντρωθεί το ίδιο ποσό στο τέλος του επόμενου 6ου έτους. Επειδ το ποσό ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο, το πραγματικό εξαμηνιαίο επιτόκιο θα είναι ίσο με: r = (l + r n /n) n 1 = (1+0,07/2) 2 1 = (1+0,035) 2 1 = 1,0712 1 = 0,0712 Για τα πρώτα 6 έτη, ο άξονας του χρόνου θα είναι ο εξς: Στο τέλος του 6 ου έτους το ποσό που θα έχει συγκεντρωθεί είναι: 1.500 (1+ r) 10 + 4.500 (1+ r) 8 + 7.500 (1+ r) 6 + 10.500 (1+ r) 4 + 13.500 (1+ r) 2 + 16.500 1.500 (1+ 0,0712) 10 + 4.500 (1+ 0,0712) 8 + 7.500 (1+ 0,0712) 6 + 10.500 (1+ 0,0712) 4 + + 13.500 (1+ 0,0712) 2 + 16.500 1.500 1,9893 + 4.500 1,7337 + 7.500 1,5109 + 10.500 1,3167 + 13.500 1,1475 + 16.500 2.984 + 7.802 + 11.332 + 13.825 + 15.491 + 16.500 67.934 Το ίδιο αυτό ποσό θα πρέπει να λάβει η εταιρία στο τέλος της επόμενης εξαετίας, εάν η δόση είναι σταθερ και ετσια. Σε αυτν την περίπτωση ο άξονας του χρόνου είναι: Στο τέλος του επόμενου 6 ου έτους (13 ο εξαρχς) το ποσό που θα έχει συγκεντρωθεί είναι: D (1+ r) 10 + D (1+ r) 8 + D (1+ r) 6 + D (1+ r) 4 + D (1+ r) 2 + D D (1+ 0,0712) 10 + D (1+ 0,0712) 8 + D (1+ 0,0712) 6 + D (1+ 0,0712) 4 + D (1+ 0,0712) 2 + D D (1,9893 + 1,7337 + 1,5109 + 1,3167 + 1,1475 + 1) 8,6981 D
Οπότε έχουμε: 8,6981 D = 67.934 D = 7.810 ΑΣΚΗΣΗ 5 Μια εταιρία δανείζεται σμερα ένα ποσό C 0 = 8.000, με εξαμηνιαίο επιτόκιο r = 10% και με την υποχρέωση να αποπληρώσει το δάνειο σε 4 δόσεις, που αυξάνονται κατά γεωμετρικ πρόοδο με λόγο g = 1,2 στο τέλος καθενός από τα 4 επόμενα έτη. Ζητείται να υπολογιστεί το ύψος κάθε δόσης. Σύμφωνα με τα δεδομένα, ο άξονας του χρόνου είναι: Το ποσό C 0 είναι ίσο με την παρούσα αξία όλων των δόσεων. Άρα: C 0 = D (1+r) -2 + D g (1+r) -4 + D g 2 (1+r) -6 + D g 3 (1+r) -8 C 0 = D [(1+r) -2 + g (1+r) -4 + g 2 (1+r) -6 + g 3 (1+r) -8 ] 8.000 = D [(1+0,10) -2 + 1,2 (1+0,10) -4 + 1,2 2 (1+0,10) -6 + 1,2 3 (1+0,10) -8 ] 8.000 = D (0,8264 + 1,2 0,683 + 1,44 0,5645 + 1,728 0,4665) 8.000 = D (0,8264 + 0,8196 + 0,8129 + 0,8061) 8.000 = D 3,265 D = 2.450 ΑΣΚΗΣΗ 6 Κατασκευαστικ εταιρία οφείλει σε εργολάβο τα παρακάτω ποσά: - C1 = 6.000, τα οποία θα πρέπει να καταβληθούν μετά 2 έτη χωρίς τόκο. - C2 = 9.000, τα οποία θα πρέπει να καταβληθούν μετά 1 έτος, με ετσιο επιτόκιο 12%. - C3 = 15.000, τα οποία πρέπει να καταβληθούν μετά 3,5 έτη, με εξαμηνιαίο επιτόκιο 7%. Ο υπολογισμός της επιβάρυνσης στο ποσό C 1 αρχίζει από σμερα, ενώ στα ποσά C 2 και C 3 αρχίζει πριν από 1,5 έτος. Συμφωνείται όπως η εταιρία εξοφλσει το χρέος της σε 8 εξαμηνιαίες δόσεις D, η πρώτη των οποίων θα καταβληθεί στο τέλος του 4ου εξαμνου, με εξαμηνιαίο επιτόκιο r = 8%. Να προσδιοριστεί το ποσό της δόσης D. Εάν οι δόσεις δεν είναι ισόποσες, αλλά αυξάνονται κατά γεωμετρικ πρόοδο με λόγο g = 1,1, να βρεθεί το ποσό κάθε δόσης. Χρησιμοποιούμε τις εξς υποθέσεις: - από τα ποσά C 1, C 2 και C 3 προκύπτουν στο μέλλον κάποια άλλα ποσά C 1, C 2 και C 3 (είναι τα τοκισμένα αρχικά ποσά για τα αντίστοιχα χρονικά διαστματα) - η πληρωμ των ποσών C 1, C 2 και C 3 γίνεται στο τέλος της χρονικς περιόδου που συμφωνθηκε - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι η σημεριν Για την επίλυση του προβλματος πρέπει να υπολογίσουμε ποια είναι η σημεριν οφειλ της εταιρίας. Έτσι, σχεδιάζουμε τον παρακάτω άξονα του χρόνου:
Τα ποσά C 1, C 2 και C 3 που προκύπτουν στο μέλλον από τις οφειλές, είναι: - C 1 = C 1 = 6.000 - C 2 = C 2 (1 + r 2 ) 2,5 = 9.000 (1 + 0,12) 2,5 = 9.000 1,3275 = 11.948 - C 3 = C 3 (1 + r 3 ) 10 = 15.000 (1 + 0,07) 10 = 15.000 1,9672 = 29.508 Το ποσό που προκύπτει σμερα από όλες τις μελλοντικές οφειλές είναι: C 0 = C 1 (1+r) -4 + C 2 (1+r) -2 + C 3 (1+r) -7 C 0 = 6.000 (1+0,08) -4 + 11.948 (1+0,08) -2 + 29.508 (1+0,08) -7 C 0 = 6.000 0,735 + 11.948 0,8573 + 29.508 0,5835 C 0 = 4.410 + 10.243 + 17.218 C 0 = 31.871 Το παραπάνω ποσό είναι ίσο με την παρούσα αξία όλων των σταθερών δόσεων της εταιρίας. Έτσι ο νέος άξονας του χρόνου είναι ο εξς: Σμερα, η συνολικ παρούσα αξία από όλες τις δόσεις είναι: D (1+r) -5 + D (1+r) -6 + D (1+r) -7 + D (1+r) -8 + D (1+r) -9 + D (1+r) -10 + D (1+r) -11 + D (1+r) -12 = D [(1+r) -5 + (1+r) -6 + (1+r) -7 + (1+r) -8 + (1+r) -9 + (1+r) -10 + (1+r) -11 + (1+r) -12 ] = D [(1+0,08) -5 + (1+0,08) -6 + (1+0,08) -7 + (1+0,08) -8 + (1+0,08) -9 + (1+0,08) -10 + (1+0,08) -11 + (1+0,08) -12 ] = D (0,6806 + 0,6302 + 0,5835 + 0,5403 + 0,5002 + 0,4632 + 0,4289 + 0,3971) = 4,224 D Επειδ η παρούσα αξία των δόσεων είναι ίση με το ποσό C 0, έχουμε: C 0 = 4,224 D 31.871 = 4,224 D D =7.545 Στην περίπτωση της γεωμετρικς αύξησης των δόσεων, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξς: Σμερα, η συνολικ παρούσα αξία από όλες τις δόσεις είναι: D (1+r) -5 + Dg (1+r) -6 + Dg 2 (1+r) -7 + Dg 3 (1+r) -8 + Dg 4 (1+r) -9 + Dg 5 (1+r) -10 + Dg 6 (1+r) -11 + Dg 7 (1+r) -12 D [(1+r) -5 + g(1+r) -6 + g 2 (1+r) -7 + g 3 (1+r) -8 + g 4 (1+r) -9 + g 5 (1+r) -10 + g 6 (1+r) -11 + g 7 (1+r) -12 ] D [(1+0,08) -5 + 1,1(1+0,08) -6 + 1,1 2 (1+0,08) -7 + 1,1 3 (1+0,08) -8 + 1,1 4 (1+0,08) -9 + 1,1 5 (1+0,08) -10 + + 1,1 6 (1+0,08) -11 + 1,1 7 (1+0,08) -12 ]
D [0,6806 + (1,1x0,6302) + (1,21x0,5835) + (1,331x0,5403) + (1,4641x0,5002) + (1,6105x0,4632) + (1,7716x0,4289) + (1,9487x0,3971)] D (0,6806 + 0,6932 + 0,706 + 0,7191 + 0,7323 + 0,7460 + 0,7598 + 0,7738) 5,8108 D Επειδ η παρούσα αξία των δόσεων είναι ίση με το ποσό C 0, έχουμε: C 0 = 5,8108 D 31.871 = 5,8108 D D =5.485 ΑΣΚΗΣΗ 7 Κατασκευαστικ εταιρία αναλαμβάνει να κατασκευάσει ένα αυτοκινητόδρομο συνολικού κόστους 12.000.000, με τους εξς όρους: Η εταιρία θα χρηματοδοτσει την κατασκευ του έργου που θα διαρκέσει 2 έτη και η πληρωμ της θα γίνει από τα διόδια που θα τοποθετηθούν από την αρχ του 3ου έως το τέλος του 12ου έτους. Εάν υποθέσουμε ότι: - Το κόστος για την κατασκευ του αυτοκινητόδρομου πληρώνεται από την εταιρία στην αρχ κάθε έτους. - Τα έσοδά της από τη χρση των διοδίων τα εισπράττει στο τέλος κάθε έτους, ενώ προβλέπεται αύξηση των διοδίων κατά 4% ανά έτος. - Το κέρδος από την είσπραξη των διοδίων θα εισπραχθεί στο τέλος του 12ου έτους. Να βρεθεί ποια θα πρέπει να είναι τα ελάχιστα κατά μέσο όρο ετσια έσοδα, ώστε το κέρδος στο τέλος του 12ου έτους να είναι 1.800.000, όταν το ετσιο επιτόκιο είναι 6%. Χρησιμοποιούμε τις εξς υποθέσεις: - P τα συνολικά έσοδα κάθε έτος από τα διόδια - Κ τα ετσια έξοδα κατασκευς του έργου - g το ετσιο ποσοστό αύξησης των αυτοκιντων - τα έξοδα μοιράζονται ίσα στα έτη κατασκευς - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι η σημεριν Τα έξοδα κατασκευς του έργου ανά έτος είναι: Κ = 12.000.000 / 2 Κ = 6.000.000 Σύμφωνα με τα παραπάνω ο άξονας του χρόνου είναι ο εξς: Η παρούσα αξία των εξόδων είναι: Η παρούσα αξία των εσόδων είναι: Κ + Κ (1+r) -1 6.000.000 + 6.000.000 (1+0,06) -1 6.000.000 + 6.000.000 0,9434 11.660.400
P(1+r) -3 + Pg(1+r) -4 + Pg 2 (1+r) -5 + Pg 3 (1+r) -6 + Pg 4 (1+r) -7 + Pg 5 (1+r) -8 + Pg 6 (1+r) -9 + Pg 7 (1+r) -10 + Pg 8 (1+r) -11 + Pg 9 (1+r) -12 P [(1+r) -3 + g(1+r) -4 + g 2 (1+r) -5 + g 3 (1+r) -6 + g 4 (1+r) -7 + g 5 (1+r) -8 + g 6 (1+r) -9 + g 7 (1+r) -10 + g 8 (1+r) -11 + g 9 (1+r) -12 ] P [(1+0,06) -3 + 1,04(1+0,06) -4 + 1,04 2 (1+0,06) -5 + 1,04 3 (1+0,06) -6 + 1,04 4 (1+0,06) -7 + 1,04 5 (1+0,06) -8 + 1,04 6 (1+0,06) -9 + 1,04 7 (1+0,06) -10 + 1,04 8 (1+0,06) -11 + 1,04 9 (1+0,06) -12 ] P (0,8396 + 1,04x0,7921 + 1,0816x0,7473 + 1,1249x0,705 + 1,1699x0,6651 + 1,2167x0,6274 + 1,2653x0,5919 + 1,3159x0,5584 + 1,3686x0,5268 + 1,4223x0,497) P (0,8396 + 0,8238 + 0,8083 + 0,7931 + 0,7781 + 0,7634 + 0,7489 + 0,7348 + 0,7210 + 0,7069) P 7,7179 Η παρούσα αξία των κερδών είναι: 1.800.000 (1+r) -12 1.800.000 (1+0,06) -12 1.800.000 0,497 894.600 Σμερα η παρούσα αξία των κερδών είναι ίση με τη διαφορά της παρούσα αξίας των εσόδων με την παρούσα αξία των εξόδων: P 7,7179 11.660.400 = 894.600 P 7,7179 = 12.555.000 P = 1.626.738 ΑΣΚΗΣΗ 8 Στην κατασκευ ενός οδικού έργου με τη μέθοδο της συγχρηματοδότησης η κατασκευαστικ εταιρία συμμετέχει με ποσό 60.000.000 στη χρηματοδότηση του έργου. Η διάρκεια κατασκευς του έργου είναι 3 έτη στα οποία ισοκατανέμεται το κόστος κατασκευς. Ο κυκλοφοριακός φόρτος του έργου είναι 3.000 επιβατικά και 1.000 φορτηγά οχματα ανά ημέρα. Εάν η τιμ διοδίων των επιβατικών είναι το 1/3 της τιμς διοδίων των φορτηγών, να βρεθεί το ύψος της τιμς διοδίων των επιβατικών, ώστε η εταιρία να αποδώσει το έργο στο δημόσιο σε 10 έτη (μετά την αποπεράτωσ του) και η ετσια αποδοτικότητα των κεφαλαίων να είναι 10%. Ποια θα είναι η τιμ των διοδίων των επιβατικών εάν αυξάνονται τα διερχόμενα από το έργο οχματα κατά 10% ανά έτος; Χρησιμοποιούμε τις εξς υποθέσεις: - d η τιμ των διοδίων των επιβατικών ανά ημέρα - P τα συνολικά έσοδα κάθε έτος από τα διόδια - Κ τα ετσια έξοδα κατασκευς του έργου - g το ετσιο ποσοστό αύξησης των αυτοκιντων - τα έσοδα από τα διόδια λαμβάνονται στο τέλος κάθε έτους - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι η σημεριν Επειδ διέρχονται 3.000 επιβατικά και 1.000 φορτηγά οχματα ανά ημέρα, τα έσοδα από τα διόδια είναι:
3.000 d + 1.000 (3d) = 6.000 d Τα ετσια έσοδα από τα διόδια είναι: Ρ = 365 6.000 d Ρ = 2.190.000 d Τα έξοδα κατασκευς του έργου ανά έτος είναι: Κ = 60.000.000 / 3 Κ = 20.000.000 Σύμφωνα με τα παραπάνω ο άξονας του χρόνου είναι ο εξς: Η παρούσα αξία των εξόδων κατασκευς είναι: Κ + Κ (1+r) -1 + Κ (1+r) -2 20.000.000 + 20.000.000 (1+0,10) -1 + 20.000.000 (1+0,10) -2 20.000.000 + 20.000.000 0,9091 + 20.000.000 0,8264 20.000.000 + 18.182.000 + 16.528.000 54.710.000 Σχετικά με τα έσοδα από τα διόδια, για τα 10 έτη λειτουργίας, ο άξονας του χρόνου είναι: Η παρούσα αξία των εσόδων από τα διόδια είναι: P(1+r) -4 + P(1+r) -5 + P(1+r) -6 + P(1+r) -7 + P(1+r) -8 + P(1+r) -9 + P(1+r) -10 + P(1+r) -11 + P(1+r) -12 + P(1+r) -13 P [(1+r) -4 + (1+r) -5 + (1+r) -6 + (1+r) -7 + (1+r) -8 + (1+r) -9 + (1+r) -10 + (1+r) -11 + (1+r) -12 + (1+r) -13 ] P [(1+0,10) -4 + (1+0,10) -5 + (1+0,10) -6 + (1+0,10) -7 + (1+0,10) -8 + (1+0,10) -9 + (1+0,10) -10 + (1+0,10) -11 + (1+0,10) -12 + (1+0,10) -13 ] P (0,683 + 0,6209 + 0,5645 + 0,5132 + 0,4665 + 0,4241 + 0,3855 + 0,3505 + 0,3186 + 0,2897) Ρ 4,6165 2.190.000 d 4,6465 10.175.835 d Το παραπάνω ποσό πρέπει να είναι ίσο με την παρούσα αξία των εξόδων κατασκευς. Άρα: 54.710.000 = 10.175.835 d d = 5,38 Στην περίπτωση της ετσιας αύξησης των διοδίων, για τα 10 έτη λειτουργίας, ο άξονας του χρόνου είναι:
Σε αυτ την περίπτωση η παρούσα αξία των εσόδων από τα διόδια είναι: P(1+r) -4 + Pg(1+r) -5 + Pg 2 (1+r) -6 + Pg 3 (1+r) -7 + Pg 4 (1+r) -8 + Pg 5 (1+r) -9 + Pg 6 (1+r) -10 + Pg 7 (1+r) -11 + Pg 8 (1+r) -12 + Pg 9 (1+r) -13 P [(1+r) -4 + g(1+r) -5 + g 2 (1+r) -6 + g 3 (1+r) -7 + g 4 (1+r) -8 + g 5 (1+r) -9 + g 6 (1+r) -10 + g 7 (1+r) -11 + g 8 (1+r) -12 + g 9 (1+r) -13 ] P [(1+0,10) -4 + 1,1(1+0,10) -5 + 1,1 2 (1+0,10) -6 + 1,1 3 (1+0,10) -7 + 1,1 4 (1+0,10) -8 + 1,1 5 (1+0,10) -9 + 1,1 6 (1+0,10) -10 + 1,1 7 (1+0,10) -11 + 1,1 8 (1+0,10) -12 + 1,1 9 (1+0,10) -13 ] P [(1,10-4 + 1,1(1,10) -5 + 1,1 2 (1,10) -6 + 1,1 3 (1,10) -7 + 1,1 4 (1,10) -8 + 1,1 5 (1,10) -9 + 1,1 6 (1,10) -10 + 1,1 7 (1,10) -11 + 1,1 8 (1,10) -12 + 1,1 9 (1,10) -13 ] P (1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 + 1,10-4 ) P 10 1,10-4 P 6,830 2.190.000 d 6,830 14.957.700 d Το παραπάνω ποσό πρέπει να είναι ίσο με την παρούσα αξία των εξόδων κατασκευς. Άρα: 54.710.000 = 14.957.700 d d = 3,66 ΑΣΚΗΣΗ 9 Η εταιρία «ΔΟΜΙΚΗ ΑΕ» ανέθεσε στην εταιρία «ΑΛΦΑ ΟΕ» την κατασκευ των κουφωμάτων αλουμινίου σε ένα οικοδομικό έργο. Μετά τη λξη των εργασιών, έγινε η εκκαθάριση των οικονομικών εκκρεμοττων και διαπιστώθηκε ότι η «ΔΟΜΙΚΗ ΑΕ» οφείλει στην «ΑΛΦΑ ΟΕ» τα εξς ποσά: - C 1 = 90.000, τα οποία θα πρέπει να πληρωθούν μετά 2 έτη, με ετσιο επιτόκιο 12%. - C 2 = 45.000, τα οποία θα πρέπει να πληρωθούν μετά 3 έτη, με ετσιο επιτόκιο 10%. - C 3 = 30.000, τα οποία θα πρέπει να πληρωθούν μετά 4 έτη, με ετσιο επιτόκιο 15%. Ο υπολογισμός της επιβάρυνσης στα ποσά C 1 και C 2 αρχίζει προ ενός 6μνου, ενώ για το ποσό C 3 αρχίζει προ ενός έτους. Η «ΑΛΦΑ ΟΕ» οφείλει επιστροφ προκαταβολς 22.000 για εργασίες τις οποίες ανέλαβε, αλλά δεν εκτέλεσε, την οποία εισέπραξε προ διετίας. Η προκαταβολ επιβαρύνεται με ετσιο επιτόκιο 8%. Εάν το επιτόκιο για τη «ΔΟΜΙΚΗ ΑΕ» είναι 14%, να εξεταστεί εάν τη συμφέρει: - Η πληρωμ των οφειλόμενων ποσών σύμφωνα με τις παραπάνω συμφωνίες. - Η πληρωμ σμερα ποσού 130.000 για την εξόφληση όλων των χρεών. - Η πληρωμ ποσού 140.000 μετά 2 έτη. Χρησιμοποιούμε τις εξς υποθέσεις: - από τα ποσά C 1, C 2 και C 3, που οφείλει η ΔΟΜΙΚΗ ΑΕ, προκύπτουν στο μέλλον κάποια άλλα ποσά C 1, C 2 και C 3 (είναι τα τοκισμένα αρχικά ποσά για τα αντίστοιχα χρονικά διαστματα)
- η πληρωμ των ποσών C 1, C 2 και C 3 γίνεται στο τέλος της χρονικς περιόδου που συμφωνθηκε - έστω C 4 το ποσό που οφείλει πριν 2 έτη η ΑΛΦΑ ΟΕ - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι η σημεριν Για την επίλυση του προβλματος πρέπει να υπολογίσουμε ποια είναι η σημεριν οφειλ της ΔΟΜΙΚΗ ΑΕ στην ΑΛΦΑ ΟΕ Έτσι, σχεδιάζουμε τον παρακάτω άξονα του χρόνου: Τα ποσά C 1, C 2 και C 3 που προκύπτουν στο μέλλον από τις οφειλές, είναι: - C 1 = C 1 (1 + r 1 ) 2,5 = 90.000 (1 + 0,12) 2,5 = 90.000 1,3275 = 119.475 - C 2 = C 2 (1 + r 2 ) 3,5 = 45.000 (1 + 0,10) 3,5 = 45.000 1,3960 = 62.820 - C 3 = C 3 (1 + r 3 ) 5 = 30.000 (1 + 0,15) 5 = 30.000 2,0114 = 60.342 Το ποσό C 4 που προκύπτει σμερα από την οφειλ της ΑΛΦΑ ΟΕ, είναι: C 4 = C 4 (1 + r 4 ) 2 = 22.000 (1 + 0,08) 2 = 22.000 1,1664 = 25.661 Σύμφωνα με το πρώτο σενάριο, η συνολικ αξία όλων των οφειλών σμερα είναι: C 1 (1+r) -2 + C 2 (1+r) -3 + C 3 (1+r) -4 C 4 119.475 (1+0,14) -2 + 62.820 (1+0,14) -3 + 60.342 (1+0,14) -4 25.661 119.475 0,7695 + 62.820 0,675 + 60.342 0,5921 25.661 91.936 + 42.404 + 35.728 25.661 144.407 Σύμφωνα με το δεύτερο σενάριο, η συνολικ αξία όλων των οφειλών σμερα είναι: 130.000 Σύμφωνα με το τρίτο σενάριο, η συνολικ αξία όλων των οφειλών σμερα είναι: 140.000 (1 + 0,14) -2 140.000 0,7695 107.730 Άρα διαπιστώνεται πως η πλέον συμφέρουσα λύση για την εταιρία είναι η τελευταία, καθώς συνδυάζεται με τα λιγότερα έξοδα της ΔΟΜΙΚΗ ΑΕ.