ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού β λυκείου 016-017 Σε αυτή την προσπάθεια πρωτοστάτησε ο Βασίλης Μαυροφρύδης και έδωσαν το παρόν αξιόλογοι συνάδελφοι, προτείνοντας και λύνοντας θέματα. Η ομάδα μαθηματικών που πρότεινε και έλυσε τις ασκήσεις αποτελείται από τους: Τσιφάκη Χρήστο, Νίκο Γκόλφη, Στάμου Γιάννη, Μαυροφρύδη Βασίλη, Απόστολο Κουρδουκλά, Τσαντίλα Σωτήρη, Νίκο Ζανταρίδη, Κωνσταντία Κουρτίδου! Η συλλογή βρίσκεται στο φόρουμ του Κώστα Σερίφη, τον οποίο και ευχαριστούμε για την φιλοξενία, στην διεύθυνση http://www.serifis.com/forum/viewtopic.php?f=9&t=69
1 Δίνεται η εξίσωση Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης * x + y 6λx+ 8λy = 0, λ :(1) + + = R. Ευκλείδης β * 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ.. Να βρείτε το σύνολο των σημείων που διαγράφουν τα κέντρα Κ για τις διάφορες * τιμές του λ R. O 0,0 3. Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από την αρχή των αξόνων ( ) 4. Έστω C 1 ο κύκλος που προκύπτει από την εξίσωση (1) για λ= 1και η ευθεία ( ε ): y = αx +. Να βρεθεί ο α R ώστε η ευθεία ( ε ) να τέμνει τον κύκλο C 1 σε δύο σημείαa, B ώστε η γωνία AOB ˆ να είναι ορθή.
Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης Βασίλης Μαυροφρύδης Δίνονται τα σημεία Α(,1 ),Β( 4, ). 1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο ( c 1) των σημείων Μ του επιπέδου τα οποία έχουν την ιδιότητα (ΑΜ) = (ΜΒ). Αν Μ ( c 1 ) να βρείτε την μέγιστη τιμή του ( ΑΒΜ ) 3. Αν Ν ( c ), όπου ( c ) :( x + ) + ( y 3) = 1 τιμή των α) ( ΑΒΝ ) και β) ( ΝΒ ) + + =, να υπολογίσετε την μέγιστη
3 Προτείνει ο Αποστόλης Κουρδουκλάς Άγνωστη Δίνονται οι κύκλοι C : (x + 3) + y = 81και C :(x 3) + y = 1. 1. Να δείξετε ότι ο κύκλος ( ) 1 c είναι εσωτερικός του ( c ). Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C που εφάπτονται του C 1 εσωτερικά και του C εξωτερικά ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα κέντρα K 1,K των κύκλων C 1,C αντίστοιχα. Ποια η εξίσωση αυτής; 1
4 Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου που είναι ορθογώνιος προς τον κύκλο και περνά από την αρχή των αξόνων και το σημείο ( 1,1 ) φυλλάδιο του Νίκου Α. Νικολάου εδώ x + y x 3= 0 + =
5 Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης o Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ με Â = 90. Με διάμετρο την AΓ γράφουμε κύκλο που τέμνει την BΓ στο Ε. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο Ε διέρχεται από το μέσον της πλευράς AB. Γιάννης Μεϊντάνης "ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ"
6 Προτείνει ο Σωτήρης Τσαντίλας Δίνεται κύκλος (c): x + y = ρ και η ευθεία ( ) Αναλυτική Γεωμετρία - Γ. Κομπότης ε : α χ + β y = 1:(1) μεα β 0,η οποία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία Α και Β. Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα Α και Β τέμνονται στο σημείο Σ. Να δείξετε ότι οι συντεταγμένες του Σ είναι (αρ,βρ ).
7 Προτείνει ο Σωτήρης Τσαντίλας Να προσδιορίσετε την τιμή του µ R, ώστε η χορδή που ορίζει η ευθεία ε : χ y + 3 = 0 στον κύκλο c : x + y µx µy = 0 να φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία. Μιχάλης Ανιτσάκης-Αναλυτική Γεωμετρία
8 Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης Νίκος Ζανταρίδης Έστω c 1ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ( x,y ) του επιπέδου για τα οποία η εξίσωση t t+ x + y = 0 + + = έχει ακριβώς μία λύση στο R, (με άγνωστο το t ) και c η επίπεδη x 6 + y 8 = 16 γραμμή με εξίσωση ( ) ( ) 1. Να δείξετε ότι οι c 1, c είναι κύκλοι και να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες του καθενός.. Έστω Ν μεταβλητό σημείο του άξονα x x από το οποίο φέρουμε εφαπτόμενες ΝΑ,ΝΒ στον c 1και ΝΓ,Ν στον c. Να βρείτε την θέση Ν 0 του σημείου Ν για την οποία η παράσταση ΝΑ + ΝΒ + ΝΓ + Ν γίνεται ελάχιστη. 3. Ένα σημείο Σ κινείται πάνω στον κύκλο c. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου ΟΣΝ 0 καθώς και τις θέσεις του Σ, που αυτές επιτυγχάνονται.
9 Προτείνει η Κωνσταντία Κουρτίδου Να δείξετε ότι οι κύκλοι c 1 : x + y x + 4y + 1 = 0, τέμνονται και να βρεθεί η κοινή χορδή τους. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ c : x + y 3x + = 0
10 Προτείνει η Κωνσταντία Κουρτίδου ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ Δίνονται οι κύκλοι c 1 : x + y + x 4y 8 = 0 και c : x + y 3x + y + = 0. Να δείξετε ότι: x + y + x 4y 8 + λ x + y 3x + y + = 0 : 1 για κάθε i) η εξίσωση ( ) ( ) λ 1 παριστάνει κύκλο ο οποίος διέρχεται από τα κοινά σημεία των c 1και c. ii) Η παραπάνω εξίσωση (1) για λ = 1 παριστάνει την κοινή χορδή των c 1και c.
11 Προτείνει η Κωνσταντία Κουρτίδου Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών του κύκλου που το ένα άκρο τους είναι η αρχή των αξόνων. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ c : x + y 4x = 0 + =
1 Προτείνει ο Σωτήρης Τσαντίλας περιοδικό Ευκλείδης 004 Η εξίσωση χ + λχ + y + µy + 1 = 0 : (1) με λ,µ R δεν παριστά κύκλο. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(λ, μ).
13 Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης Θ. Τζουβάρας - Κ. Τζιρώνης εκδόσεις Σαββάλας 003 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ Rη εξίσωση x + y + ( 4λ) x + λy + 5λ 4λ 3 = 0 παριστάνει κύκλο με σταθερή (ανεξάρτητη του λ) ακτίνα.. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. 3. Να αποδείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται σε δύο σταθερές ευθείες των οποίων οι εξισώσεις να βρεθούν.
14 Προτείνει ο Σωτήρης Τσαντίλας Γ.Καρεκλίδης Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δύο σημεία Α και Γ κινούνται πάνω στους Θετικούς ΟΑ + ΟΓ = κ (κ σταθερό). Αν ημιάξονες Οχ και Οy αντιστοίχως, έτσι ώστε να είναι ( ) ( ) θεωρήσουμε τετράγωνοαβγ, να αποδειχθεί ότι η μία από τις κορυφές Β και Δ είναι σταθερή και η άλλη κινείται σε ευθεία.
15 Προτείνει η Κωνσταντία Κουρτίδου Ευκλείδης Β τεύχος 58 Η ευθεία ε : y = x τέμνει έναν κύκλο C κέντρου K( 3,1 ) στα σημεία Α, Β ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΒ να είναι το την εξίσωση του κύκλου. 1 3 5 του εμβαδού του κυκλικού δίσκου. Να βρείτε
16 Προτείνει ο Νίκος Γκόλφης Κώστας Κάρμος, Εκδοτικός όμιλος συγγραφέων καθηγητών 004 Δίνονται τα σταθερά σημεία Ο(0,0) και Α(3,0). α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου, για τα οποία ισχύει ΟΜ( ΟΜ ΟΑ ) = 7. β. Να αποδείξετε ότι το σημείο Ν(1,4) είναι εξωτερικό του γεωμετρικού τόπου. γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων στον γεωμετρικό τόπο, που διέρχονται από το σημείο Ν. δ. Για ποιες τιμές του Ζ ζ : x µy + = 0και ο γεωμετρικός τόπος δεν έχουν κοινά σημεία; µ, η ευθεία ( )
17 Προτείνει ο Νίκος Γκόλφης Κώστας Κάρμος, Εκδοτικός όμιλος συγγραφέων καθηγητών 004 Δίνεται η εξίσωση: ( c ): x + y + ( x + lnθ)lnθ = lnθ +, με θ> 0 (1) α. Για ποιες τιμές του θ η εξίσωση (c) παριστάνει κύκλο; Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή: ( x x ) + ( y y ) = ρ. 0 0 β. Για ποιες τιμές του θ η ευθεία ( ) ε : x + y + = 0 εφάπτεται στον κύκλο (c); γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( ε 1) η οποία σχηματίζει γωνία 5 π rad με τον άξονα x x 6 και διέρχεται από το κέντρο κύκλου (c). Στην συνέχεια να υπολογίσετε την οξεία γωνία φ που σχηματίζουν οι ευθείες ( ε ) και ( ε ). 1
18 Προτείνει ο Νίκος Γκόλφης Κώστας Κάρμος, Εκδοτικός όμιλος συγγραφέων καθηγητών 004 Δίνεται η εξίσωση: ( c ): ( λ 1) x + ( λ 1) y x + 4λy + 1 λ = 0 ( 1) με λ R. α. Προσδιορίστε τις τιμές του λ R, για τις οποίες η εξίσωση παριστάνει κύκλο και στη συνέχεια βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. β. Να αποδείξετε ότι, όταν το λ διατρέχει το σύνολο R {1}, τα κέντρα των κύκλων (c) βρίσκονται σε ευθεία. γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (c), ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(,1). δ. Να βρείτε τα κονά σημεία του κύκλου (c) του ερωτήματος (γ) και της υπερβολής x y = 3.
19 Προτείνει ο Γιάννης Στάμου Μάμαλης-Μιχαήλογλου-Τόλης Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Με διαμέτρους τις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλια. Να δειχθεί ότι τα δύο ημικύκλια τέμνονται επί της υποτείνουσας ΒΓ.
0 Θεωρούμε τον κύκλο Προτείνει ο Γιάννης Στάμου Αντώνη Κυριακόπουλου Μαθηματικά Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου C : x y 16 Μ λ 3, λ + 3, λ R. + = και το σημείο ( ) α. Να δείξετε ότι το σημείο Μ είναι εξωτερικό του κύκλου C για κάθε λ R. β. Απ το σημείο Μ φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο C κι ονομάζουμε Α και Β τα σημεία επαφής. i. Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο (ανεξάρτητο του λ). ii. Να βρείτε τους αριθμούς λ R, για τους οποίους η ευθεία ΑΒ διέρχεται απ το Ρ 3, 1. σημείο ( )
1 Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης Κώστας Γκατζούλης (1994) Να βρεθεί εξίσωση κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε 1): x + y 1 = 0 και εφάπτεται των ευθειών (ε ): x 3y + 3 = 0 και(ε 3): x = 1.