1. Μελέτη επίδρασης απωλειών 1.1. Γενικά για τις απώλειες, τα db και τα dbm

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΠΤΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Καθηγητής. Συβρίδης Οι δύο βασικοί άξονες εξέτασης οπτικών ζεύξεων αφορούν την επίδραση των απωλειών και της διασποράς. Επιπλέον, εξετάζονται και οι τρόποι αντιµετώπισης αντιστάθµισης των αρνητικών επιπτώσεων των δύο παραγόντων. Θα παρουσιαστούν τα παρακάτω: Σελ. 1. Μελέτη επίδρασης απωλειών 1 1.1. Γενικά για τις απώλειες, τα db και τα dbm 1 1.2. Ποσοστό σύζευξης Επίδραση στις απώλειες 2 1.3. Επίδραση διαχωριστή στις απώλειες 4 1.4. Παραδείγµατα για πράξεις και µετατροπές από και σε db και dbm 7 2. Επίδραση του ρυθµού µετάδοσης στην ευαισθησία 8 3. Μελέτη χρωµατικής διασποράς 9 4. Μελέτη ενισχυτών 14 5. Μελέτη της χρωµατικής και της σωρευµένης διασποράς 16 1. Μελέτη επίδρασης απωλειών 1.1. Γενικά για τις απώλειες, τα db και τα dbm Αν έχουµε ένα επίπεδο οπτικής ισχύος P στην είσοδο ενός παθητικού µέσου ή διάταξης, όπως µία οπτική ίνα, τότε στην έξοδο αυτού του µέσου θα έχουµε υποβιβασµό της ισχύος σε ένα νέο επίπεδο P = A P, µε A < 1, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 1(α). Αντίθετα, αν έχουµε ένα επίπεδο οπτικής ισχύος P στην είσοδο ενός ενεργού µέσου ή διάταξης, όπως ένας ενισχυτής, τότε στην έξοδο αυτού του µέσου θα έχουµε ενίσχυση της ισχύος σε ένα νέο επίπεδο P = G P, µε G > 1, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 1(β). (α) P A P = A P, A < 1 π.χ. (β) P G P = G P, G > 1 π.χ. Σχήµα 1. (α) Υποβάθµιση ισχύος κατά τη διέλευση από παθητικό µέσο. (β) Ενίσχυση ισχύος. Η µονάδα db αφορά καθαρούς αριθµούς, δηλαδή συντελεστές που µπορεί να είναι είτε µεγαλύτεροι είτε µικρότεροι της µονάδας. Ένας συντελεστής Α σε δεκαδικές τιµές θα αντιστοιχεί σε A db = 10 log 10 (A) στην κλίµακα των db. Η µονάδα των dbm αφορά επίπεδα ισχύος σε λογαριθµική κλίµακα και είναι ο δεκαδικός λογάριθµος της ισχύος ως προς το 1 mw (µε αναφορά το 1 mw) πολλαπλασιασµένος µε το 10. ηλαδή,

αν η ισχύς είναι P σε δεκαδική τιµή, τότε σε dbm θα είναι: P dbm = 10 log 10 ( P / (1 mw) ) αν έχουµε ένα επίπεδο ισχύος εκφρασµένο σε dbm, έστω Κ dbm, τότε αυτή η ισχύς εκφρασµένη σε mw θα είναι P = 10 Κ/10 mw. Ο λόγος που υιοθετούνται οι πράξεις σε decibel (db πράξεις µε λογαρίθµους) σε σχέση µε τις πράξεις µε δεκαδικούς αριθµούς στις οπτικές επικοινωνίες είναι επειδή από πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις µε δεκαδικούς αριθµούς, πάµε σε προσθέσεις και αφαιρέσεις µε λογαρίθµους που είναι απλούστερες. Επίσης, επειδή τα επίπεδα ισχύος στις οπτικές επικοινωνίες µεταβάλλονται κατά τάξεις µεγέθους (π.χ. για ενισχύσεις 10 ή 100, ενώ για υποβαθµίσεις /10 ή /100) οι πράξεις µε λογαρίθµους γίνονται ιδιαίτερα βολικές. Σηµαντικά είναι τα εξής: dbm db dbm, που σηµαίνει διαίρεση ισχύος µε κάποιο αριθµό dbm dbm db, που σηµαίνει διαίρεση δύο επιπέδων ισχύος Καλό είναι να θυµόµαστε ότι εκαπλασιασµός σε δεκαδικές τιµές σηµαίνει +10 db σε πράξεις µε λογαρίθµους. Υποδεκαπλασιασµός σε δεκαδικές τιµές σηµαίνει 10 db σε πράξεις µε λογαρίθµους. ιπλασιασµός σε δεκαδικές τιµές σηµαίνει +3 db σε πράξεις µε λογαρίθµους. Υποδιπλασιασµός σε δεκαδικές τιµές σηµαίνει 3 db σε πράξεις µε λογαρίθµους. Αν στο Σχήµα 1(α), P = 2 mw και Α = 0.1, τότε P dbm = 10 log 10 ( P / (1 mw) ) = = 10 log 10 ( (0.1 2 mw) / (1 mw) ) = 10 log 10 ( (2 mw) / (1 mw) ) + 10 log 10 (0.1) = = 3 dbm + 10 log 10 (10 1 ) = 3 dbm 10 db = 7 dbm. Αν στο Σχήµα 1(β), P = 2 mw και Α = 100, τότε P dbm = 10 log 10 ( P / (1 mw) ) = = 10 log 10 ( (100 2 mw) / (1 mw) ) = 10 log 10 ( (2 mw) / (1 mw) ) + 10 log 10 (100) = = 3 dbm + 10 log 10 (10 2 ) = 3 dbm + 20 db = 23 dbm. 1.2. Ποσοστό σύζευξης Επίδραση στις απώλειες Όταν θεωρείται ποσοστό σύζευξης µία διάταξης (π.χ. ποµπός, δέκτης, ενισχυτής) µε µία ίνα ή µίας ίνας µε µία άλλη ίνα ή µεταξύ δύο διατάξεων και το ποσοστό αυτό είναι Χ%, τότε αν η ισχύς ακριβώς πριν τη σύζευξη είναι P (σε δεκαδικές τιµές, δηλαδή σε mw), η ισχύς που θα περνά στην ίνα ή στην άλλη διάταξη σε δεκαδικές τιµές θα είναι P = (Χ/100) P και Χ P 100 P Χ Χ P' = 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 = PdBm + 10 log10 αν ακολουθήσουµε τις πράξεις µε λογαρίθµους. 2

Τ L P P Ποσοστό σύζευξης 50% Σχήµα 2. Σύζευξη µεταξύ του ποµπού και της ίνας. Χάνεται η µισή ισχύς λόγω ποσοστού σύζευξης ίσο µε 50 %. Π.χ. αν το ποσοστό σύζευξης του ποµπού µε την ίνα είναι 50%, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 2, τότε αν ο ποµπός εκπέµπει µέση ισχύ ίση µε 2 mw, µέσα στην ίνα θα περάσει ισχύς ίση µε 50 2mW 100 2mW 1 1 P' = 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 = 3dBm+ 10 log10( 2 ) = 2 = 3dBm 3dB= 0dBm Αντιλαµβανόµαστε, λοιπόν, ότι κατά τη σύζευξη υπάρχουν απώλειες. Στην προκειµένη περίπτωση από τα 2 mw, τελικά στην ίνα εισέρχεται 1 mw (10 0/10 mw) ισχύος. Σε ασκήσεις όπου εφαρµόζεται ισοζύγιο ισχύος, όταν έχουµε κάποια σύζευξη δύο διατάξεων, δύο ινών ή µεταξύ µίας ίνας µε µία άλλη διάταξη ή το αντίστροφο, τότε, όπως είναι αναµενόµενο, η σύζευξη θα εισάγεται σαν κάποια απώλεια, όντας τέτοια. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, σύµφωνα µε το Σχήµα 3, έστω ότι έχουµε ένα ποσοστό σύζευξης X% µεταξύ του ποµπού και της ίνας L 1. Όµοιο είναι το ποσοστό σύζευξης µεταξύ της ίνας L 2 µε το δέκτη. Το ποσοστό σύζευξης της ίνας L 1 µε την ίνα L 2 είναι Υ%. Ο ποµπός εκπέµπει µέση ισχύ ίση µε P T,dBm, ενώ ο δέκτης έχει ευαισθησία P,dBm σε dbm. Επίσης, οι ανοχές στο δέκτη είναι A db. Οι συντελεστές απωλειών των ινών L 1 και L 2 είναι a 1 db/km και a 2 db/km, αντίστοιχα. Από το Σχήµα 3, το επίπεδο ισχύος σε dbm που θα περάσει µέσα στην ίνα L 1 θα είναι: Χ PT,mW 100 PT,mW Χ Χ 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 = PT,dBm+ 10 log10 P (Y/100) P P (X/100) P P T,mW Τ Ποσοστό σύζευξης Χ% (X/100) P T,mW L 1 a 1 db/km Ποσοστό σύζευξης Υ% L 2 a 2 db/km Ποσοστό σύζευξης Χ% Σχήµα 3. Ποσοστά σύζευξης και εφαρµογή στο ισοζύγιο ισχύος. Όµοια, το επίπεδο ισχύος σε dbm στο σηµείο σύζευξης της ίνας L 1 µε την ίνα L 2 θα είναι: P' Χ db P' dbm = 10 log10 = PT,dBm+ 10log10 a1 L1 km Το επίπεδο ισχύος σε dbm που θα περάσει µέσα στην ίνα L 2 θα είναι: 3

Υ P' 100 P' Υ 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 = Χ db Υ = PT,dBm+ 10 log10 a1 L1 + 10 log10 100 km 100 Το επίπεδο ισχύος σε dbm που θα φθάσει στο σηµείο σύζευξης της ίνας L 2 µε το δέκτη θα είναι: P'' Χ db Υ db P'' dbm = 10log10 = PT,dBm+ 10log10 a1 L1 + 10log10 a2 L2 km km Τελικά, το επίπεδο ισχύος σε dbm που θα περάσει µέσα στο δέκτη θα είναι: Χ P'' 100 P'' Χ 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 = Χ db = PT,dBm+ 10 log10 a1 L1 + km Υ db Χ + 10 log10 a2 L2 + 10 log10 km Οπότε, θα ισχύει ότι Χ P'' 10 100 log10 = P,dBm+ ΑdB Όµως, το ισοζύγιο ισχύος θα είναι: Χ Υ Χ 10 db db PT,dBm+ log10 a1 L1 + 10 log10 a2 L2+ 10 log10 = P,dBm+ ΑdB km km χωρίς να είναι ανάγκη να υπολογίσουµε ξεχωριστά τα επίπεδα ισχύος P ή P σε γραµµικές τιµές (mw) ή σε dbm. ηλαδή, αν δε ζητηθεί ο υπολογισµός σε κάποιο ενδιάµεσο σηµείο της ζεύξης, τότε δεν υπάρχει λόγος να µην υπολογιστεί απευθείας από την αρχή µέχρι το τέλος η ισχύς που θα φθάσει στον εκάστοτε δέκτη. 1.3. Επίδραση διαχωριστή στις απώλειες Μία συχνά εµφανιζόµενη παθητική διάταξη είναι ο διαχωριστής (splitter). Ένας διαχωριστής µπορεί να κατασκευαστεί από συζεύκτες (couplers). Έχει µία είσοδο και Ν εξόδους. Συνήθως, ο αριθµός N είναι δύναµη του 2. Χρησιµοποιώντας 2 2 συζεύκτες, τότε για ένα διαχωριστή 1:Ν, απαιτούνται Ν 1 συζεύκτες. Όταν σε ένα διαχωριστή εισέρχεται ένα επίπεδο ισχύος P mw σε δεκαδικές τιµές, δηλαδή σε mw, τότε σε καθεµία έξοδο του διαχωριστή θα έχουµε ένα επίπεδο ισχύος ίσο µε P out, mw = P mw / Ν Αντίστοιχα, εκφράζοντας την εισερχόµενη ισχύ στο διαχωριστή σε dbm (P dbm ), τότε σε καθεµία έξοδο του διαχωριστή θα έχουµε ένα επίπεδο ισχύος ίσο µε P out, dbm = P dbm + 10 log 10 (1/N) = P dbm + 10 log 10 (N 1 ) = P dbm 10 log 10 (N) Για παράδειγµα, ένα διαχωριστής 1:8, µπορεί κατασκευαστεί από 7 συζεύκτες διαστάσεων 2 2, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 4(β), όπου φαίνεται και η σχηµατική του απεικόνιση του διαχωριστή στο 4

Σχήµα 4(α). Σε όλους τους συζεύκτες χρησιµοποιείται µόνο η µία είσοδος. Αξίζει να σηµειωθεί, ότι σε κάθε στάδιο διακλάδωσης έχουµε και διαίρεση της ισχύος κατά 1/2. Splitter 1:N... N έξοδοι P mw P dbm P mw P dbm Ισχύς σε mw (δεκαδικές τιµές) Ισχύς σε dbm (λογαριθµικές τιµές) P mw /2 P dbm 3 db P mw /2 P dbm 3 db (α) P mw /4 P dbm 6 db P mw /4 P dbm 6 db P mw /4 P dbm 6 db P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db Συζεύκτης 2 2 µε µία χρησιµοποιούµενη είσοδο P mw /4 P dbm 6 db (β) P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db P mw / 8 P dbm 10 log 10 (2 3 ) = P dbm 9 db Σχήµα 4. (α) Σχηµατική απεικόνιση splitter 1:N. (β) Εσωτερική σχηµατική απεικόνιση ενός διαχωριστή αποτελούµενου από 2 2 συζεύκτες. Χειριζόµαστε τους διαχωριστές µέσα σε ένα ισοζύγιο ισχύος ως διατάξεις που εισάγουν απώλειες. Επιπλέον, εξετάζουµε την επίδραση ενός διαχωριστή για µία έξοδό του, ανάλογα και µε τη φύση του ερωτήµατος που τίθεται. ηλαδή, κατά την εξέταση της επίδρασης των απωλειών, εφαρµόζουµε το ισοζύγιο ισχύος για ένα µόνο δέκτη στον οποίο καταλήγει µία έξοδος ενός διαχωριστή µε τη µεσολάβηση κάποιας/ων ίνας/ινών. ίνοντας ένα παράδειγµα, όπως αυτό που δόθηκε στο Σχήµα 3, έστω ότι έχουµε ένα διαχωριστή που σπάει την ισχύ σε N εξόδους (1:Ν). Το ποσοστό σύζευξης µεταξύ του ποµπού και της ίνας L 1 είναι X%, όπως φαίνεται στο Σχήµα 5. Όµοιο είναι το ποσοστό σύζευξης µεταξύ καθεµίας ίνας µετά το διαχωριστή µε καθένα δέκτη. Το ποσοστό 5

σύζευξης της ίνας L 1 µε το διαχωριστή είναι Υ%. Όµοιο είναι το ποσοστό σύζευξης καθεµίας εξόδου του διαχωριστή µε καθεµία ίνα που ακολουθεί. Ο ποµπός εκπέµπει µέση ισχύ ίση µε P T,dBm, ενώ καθένας δέκτης έχει ευαισθησία P,dBm, µε τα δύο επίπεδα ισχύος εκφρασµένα σε dbm. Επίσης, οι ανοχές στον πιο αποµακρυσµένο δέκτη από το διαχωριστή είναι A db. Οι συντελεστές απωλειών της ίνας L 1 και των ινών µετά το διαχωριστή είναι a 1 db/km και a 2 db/km, αντίστοιχα. Από το Σχήµα 5, το επίπεδο ισχύος σε dbm που θα περάσει µέσα στο διαχωριστή θα είναι: Υ P' 100 P' Υ Υ 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 = P' dbm+ 10 log10 = Χ db Υ = PT,dBm+ 10 log10 a1 L1 + 10 log10 k m Ποσοστό σύζευξης Υ% P (Y/100) P L 2 P T,mW Τ (X/100) P T,mW Ποσοστό σύζευξης Χ% L 1 a 1 db/km (1/Ν) (Y/100) P Ποσοστό σύζευξης Υ% L 2, min L 2, max a 2 db/km (Y/100) (1/Ν) (Y/100) P P (X/100) P Ποσοστό σύζευξης Χ% Σχήµα 5. Ποσοστά σύζευξης, επίδραση διαχωριστή στην πτώση της ισχύος και εφαρµογή στο ισοζύγιο ισχύος. Όποια ισχύς περάσει µέσα στο διαχωριστή θα µοιραστεί σε Ν εξόδους. Σε καθεµία έξοδο, το επίπεδο ισχύος θα είναι ίσο µε την ισχύ που εισήλθε στο διαχωριστή διαιρεµένη µε το Ν. Το επίπεδο ισχύος σε dbm που θα περάσει από µία έξοδο του διαχωριστή µέσα σε µία ίνα θα είναι: Υ 1 Υ P' 100 Ν 100 P' 1 Υ 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 + 2 10 log10 = Ν Χ db = PT,dBm+ 10 log10 a1 L1 + km Υ 1 + 2 10 log10 + 10 log10 Ν Τελικά, το ισοζύγιο ισχύος για τον πιο αποµακρυσµένο δέκτη θα είναι: P' dbm 6

Χ db Υ 1 PT,dBm+ 10 log10 a1 L1 + 10 log10 + 10 log 10 +... km Ν Υ db Χ + 10 log10 a2 L2,max + 10 log10 = P,dBm+ ΑdB km Χ Υ db PT,dBm+ 2 10 log10 + 2 10 log10 a1 L 1... km db a2 L2,max 10 log10( Ν) = P,dBm+ ΑdB km Και πάλι, όπως φαίνεται, δεν ήταν ανάγκη να υπολογίσουµε ξεχωριστά το επίπεδο ισχύος P σε mw ή σε dbm, ενώ ταυτόχρονα βλέπουµε πώς διευκολυνόµαστε µε τη χρήση των λογαρίθµων. Αναφέρεται ότι ο διαχωριστής µπορεί να χρησιµοποιηθεί και προς την αντίθετη κατεύθυνση. Τότε θα λειτουργεί ως συνδυαστής. Και τότε, για καθεµία είσοδο θα έχουµε διαίρεση του επιπέδου µε το Ν στην έξοδο. ηλαδή, αν έχουµε ένα συνδυαστή µε Ν εισόδους και προφανώς µία έξοδο, τότε αν σε καθεµία είσοδο έχουµε ισχύ P 1, P 2,, P N, αντίστοιχα, τότε η ισχύς στην έξοδο θα είναι: P output = P 1 /Ν + P 2 /Ν + + P N /Ν Σε αυτό το παράδειγµα θεωρήσαµε ότι το ποσοστό σύζευξης των εισόδων και των εξόδων του συνδυαστή µε ίνες είναι 100%. Τονίζεται ότι ένα επίπεδο ισχύος ίσο µε 6 dbm δε σηµαίνει ότι έχουµε αρνητική ισχύ, αλλά ένα επίπεδο ισχύος µικρότερο από 1 mw (0 dbm). Πιο συγκεκριµένα, αυτό το επίπεδο θα αντιστοιχεί σε 0 dbm 3 db 3 db ( (1 mw / 2) / 2 ) = 1 mw / ( 2 2 ) = 1/4 mw = 0.25 mw = 250 µw. 1.4. Παραδείγµατα για πράξεις και µετατροπές από και σε db και dbm Για καθαρούς αριθµούς Από δεκαδικές τιµές σε db 10 10 log 10 ( 10 ) = 10 db 1/1000 10 log 10 ( 10 3 ) = 3 10 log 10 ( 10 ) = 30 db 0.16 10 log 10 ( 0.16 ) = 10 log 10 ( 16 10 2 ) = 10 log 10 ( 2 4 10 2 ) = = 10 log 10 ( 2 4 ) + 10 log 10 ( 10 2 ) = = 4 10 log 10 (2) 2 10 log 10 (10) = 4 3 db 20 db = 8 db 25 10 log 10 ( 25 ) = 10 log 10 ( 100/4 ) = 10 log 10 ( 10 2 ) 10 log 10 ( 4 ) = = 20 db 10 log 10 ( 2 2 ) = 20 db 6 db = 14 db Από db σε δεκαδικές τιµές 40 db 10 40/10 = 10 4 = 10000 14 db = 20 db + 3 db + 3 db 10 20/10 2 2 = 10 2 4 = 0.01 4 = 0.04 28 db = 10 db + 3 db + 3 db + 3 db + 3 db + 3 db + 3 db 10 10/10 2 2 2 2 2 2 = =10 2 6 = 10 64 = 640 7

7 db = 10 db 3 db 10 10/10 / 2 = 10 / 2 = 5 Για την ισχύ Από mw σε dbm 1 mw 0 dbm 10 mw 10 dbm 100 mw = 10 10 mw 10 log 10 ( (10 10 mw) / (1 mw) ) = = 10 log 10 ( (10 mw) / (1 mw) ) + 10 log 10 (10) = = 10 dbm + 10 db = 20 dbm 1000 mw = 100 10 mw 10 log 10 ( (100 10 mw) / (1 mw) ) = = 10 log 10 ( (10 mw) / (1 mw) ) + 10 log 10 (10 2 ) = =10 dbm + 20 db = 30 dbm 125 nw 9 6 3 6 125 10 W 125 10 10 W 125 10 mw 125nW 10 log10 = 10 log10 = 10 log10 = 1000 10 6 mw 3 6 8 10 10 mw 1 10 10 10 = 10 log = 10 log + 10 log = 8 3 10 mw 1 10mW 3 = 10 log10 + 10 log10 3 10 3 = log10 + 10 log10( 2 ) = 2 = 30dBm 3 3dB= 39dBm Από dbm σε mw 33 dbm = 30 dbm 3 db = 0 dbm 10 db 10 db 10 db 3 db ( ( ( (1 mw / 10 ) / 10 ) / 10 ) / 2 ) = 1 mw / ( 10 10 10 2 ) = 1 mw / ( 10 3 2 ) = = 1/2 1 mw / 10 3 = 0.5 1 µw = 0.5 µw = 500 nw 12 dbm = 0 dbm + 3 db + 3dB + 3dB + 3dB 1 mw 2 2 2 2 = 1 mw 2 4 = 16 mw 2. Επίδραση του ρυθµού µετάδοσης στην ευαισθησία Στις ασκήσεις θα θεωρηθεί ότι υπάρχει µία αναλογία µεταξύ της ευαισθησίας του δέκτη και του ρυθµού µετάδοσης. Αυτό σηµαίνει ότι αν ένα επίπεδο ισχύος P 1 (σε mw) αντιστοιχεί σε κάποιο ρυθµό µετάδοσης 1 για ένα συγκεκριµένο δέκτη, τότε αν αλλάξει ο ρυθµός µετάδοσης σε µία τιµή 2, το επίπεδο ισχύος που εκφράζει την ευαισθησία του συγκεκριµένου δέκτη θα τροποποιηθεί σε µία τιµή P 2 (σε mw) που θα προκύπτει ως εξής: 8

P P ΝΕΑ ΙΣΧΥΣ ΑΡΧΙΚΗ ΙΣΧΥΣ = ΝΕΟΣ ΡΥΘΜΟΣ 2 2 1 1 ΑΡΧΙΚΟΣ ΡΥΘΜΟΣ σε δεκαδικές τιµές και P 2 P 1 2 2 10 log10 10 log10 10 log 10 P2,dBm P1,dBm 10 log = + = + 10 1 1 σε λογαριθµικές τιµές, αντίστοιχα. 3. Μελέτη χρωµατικής διασποράς Η διασπορά των τρόπων αφορά πολύτροπες ίνες. Η χρωµατική διασπορά αφορά καθένα τρόπο ξεχωριστά. Σε πολύτροπες ίνες υπάρχει και η χρωµατική διασπορά σε καθένα τρόπο, αλλά υπερισχύει η διασπορά των τρόπων. Στις µονότροπες ίνες κυριαρχεί η χρωµατική διασπορά του µοναδικού τρόπου που υποστηρίζεται στο εκάστοτε µήκος κύµατος. Σε µία µονότροπη ίνα µπορεί να υπάρχει και η διασπορά πόλωσης τρόπων, όπου παρά το γεγονός ότι έχουµε ένα τρόπο διάδοσης στην ίνα, λόγω κατασκευαστικών αστοχιών της ίνας, ο τρόπος «αναλύεται» σε δύο τρόπους (ή πεδία) κάθετους µεταξύ τους που διαδίδονται µε διαφορετική ταχύτητα ο καθένας. Η διασπορά πόλωσης τρόπων µπορεί να έχει σηµαντική επίδραση σε ζεύξεις όπου χρησιµοποιούνται µονότροπες ίνες, αλλά δε θα µας απασχολήσει και θα αγνοηθεί στις ασκήσεις εφόσον δεν αναφέρεται διαφορετικά. Επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον µας στις µονότροπες οπτικές ίνες και κατ επέκταση στη χρωµατική διασπορά, σηµειώνεται ότι η χρωµατική διασπορά είναι ένα φαινόµενο φάσης, που σηµαίνει ότι ένα σήµα µε µία συγκεκριµένη φασµατική πυκνότητα ισχύος στο πεδίο των συχνοτήτων (δηλαδή το µέτρο του φάσµατος) πριν τη διάδοση διαµέσου µίας µονότροπης οπτικής ίνας, θα έχει την ίδια φασµατική πυκνότητα ισχύος µετά τη διάδοση (Σχήµα 6). ηλαδή, το µέτρο του φάσµατος του σήµατος δεν θα υποστεί διεύρυνση ούτε θα συµπιεστεί, αλλά θα είναι το ίδιο πριν και µετά τη διάδοση του σήµατος. Η αλλαγή που θα επέλθει θα είναι η χρονική διεύρυνση των παλµών που αποτελούν το σήµα στο πεδίο του χρόνου. Σχήµα 6. Μέτρο του φάσµατος ενός On-Off-Keying (OOK) σήµατος µε εφαρµογή NZ παλµών πριν και µετά τη διάδοση διαµέσου µίας µονότροπης οπτικής ίνας µήκους L. Για µονότροπη ίνα, η χρωµατική διασπορά περιγράφεται µέσω του αντίστοιχου συντελεστή που έχει µονάδες ps / ( nm km ). Αυτό που υπονοεί ο συντελεστής χρωµατικής διασποράς για την ίνα είναι πόσο διευρύνεται χρονικά (πόσα ps) ένας παλµός ενός σήµατος εύρους ζώνης 1 nm (στο πεδίο 9

των µηκών κύµατος) µετά από µετάδοση µήκους 1 km. Ο συντελεστής χρωµατικής διασποράς µίας µονότροπης ίνας µπορεί να έχει θετική ή αρνητική τιµή. Ίνες µε αρνητικό συντελεστή χρωµατικής διασποράς χρησιµοποιούνται συνήθως για την αντιστάθµιση της χρωµατικής διασποράς που έχει συσσωρευθεί µετά τη διάδοση ενός σήµατος κατά µήκος µίας µονότροπης ίνας µε θετικό συντελεστή χρωµατικής διασποράς. Στο Σχήµα 7, φαίνονται τα διαγράµµατα της χρωµατικής διασποράς για µία τυπική µονότροπη ίνα και για µία ίνα αντιστάθµισης διασποράς και είναι οι καµπύλες χρώµατος πορτοκαλί και ροζ για την τυπική µονότροπη ίνα και για την ίνα αντιστάθµισης της διασποράς, αντίστοιχα. Πρόκειται για τυπικά διαγράµµατα διασποράς, γι αυτό και δε δίνονται τιµές στον κατακόρυφο άξονα. Επιπλέον, απεικονίζεται το φάσµα του σήµατος που θα διέλθει από τις δύο ίνες στην περιοχή των µηκών κύµατος (εύρους λ) και στην περιοχή των συχνοτήτων (εύρους f). Αυτό γίνεται για να φανεί ποιες φασµατικές συνιστώσες θα παρουσιάζουν µεγαλύτερη σχετική χρονική καθυστέρηση όταν το σήµα περάσει από την µία ίνα µόνο, δηλαδή όταν το σήµα περάσει µόνο µέσα από την τυπική µονότροπη ίνα ή από την ίνα αντιστάθµισης διασποράς. Τονίζεται ότι η χρωµατική διασπορά είναι ο ρυθµός µεταβολής της µοναδιαίας καθυστέρησης διάδοσης στην ίνα. Οι καµπύλες που έχουν θαλασσί χρώµα είναι οι καµπύλες της µοναδιαίας καθυστέρησης διάδοσης. Και αυτές απεικονίζονται χωρίς µονάδες στον κατακόρυφο άξονα (που φαίνεται δεξιά στο Σχήµα 7), διότι πρόκειται για διαγράµµατα µε µία ποιοτική µορφή. Αν είχαµε τιµές στον κατακόρυφο άξονα θα είχαν µονάδες ps/km, αφού D = t g,i / λ. Φαίνεται ότι για την τυπική µονότροπη ίνα, για ένα µεταδιδόµενο σήµα, η φασµατική συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 1 ή στη συνιστώσα-συχνότητα f 1 θα παρουσιάζει µεγαλύτερη χρονική καθυστέρηση µετά τη διάδοση κατά µήκος µίας τυπικής µονότροπης ίνας σε σχέση µε τη φασµατική συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 2 ή στη συνιστώσα-συχνότητα f 2. Από την άλλη, για την ίνα αντιστάθµισης διασποράς, η φασµατική συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 2 ή στη συνιστώσα-συχνότητα f 2 θα παρουσιάζει µεγαλύτερη χρονική καθυστέρηση µετά τη διάδοση κατά µήκος µίας ίνας αντιστάθµισης διασποράς σε σχέση µε τη φασµατική συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 1 ή στη συνιστώσα-συχνότητα f 1. 10

Χρωµατική ιασπορά (ps/(nm km)) D 1 D 2 D 1 > D 2 ιάγραµµα χρωµατικής διασποράς Τυπικής µονότροπη ίνας 1550 nm Μοναδιαία καθυστέρηση διάδοσης σε ps/km Χρωµατική ιασπορά (ps/(nm km)) ιάγραµµα χρωµατικής διασποράς Ίνας αντιστάθµισης διασποράς 1550 nm 1310 nm Μον. καθυστ. διαδ. t g,1 t g, 2 t g,2 1310 nm λ 2 λ 1 nm λ 2 λ 1 nm t g, 1 D 1 < D 2 D 2 Μέτρο Φάσµατος λ D 1 Μέτρο Φάσµατος λ 1310 nm λ 2 λ 1 nm Μέτρο Φάσµατος 1310 nm λ 2 λ 1 nm Μέτρο Φάσµατος THz f 2 f 1 THz f 2 f 1 f f Σχήµα 7. ιαγράµµατα χρωµατικής διασποράς για τυπική µονότροπη ίνα και ίνα αντιστάθµισης διασποράς. Επίσης, δίνονται τα µέτρα του φάσµατος ως προς τη συχνότητα και το µήκος κύµατος για ένα σήµα που θα περάσει από τις δύο ίνες. Οι γραµµές µε θαλασσί χρώµα αφορούν τις καµπύλες µοναδιαίας χρονικής καθυστέρησης διάδοσης. Η διακεκοµµένη γραµµή ωχρού χρώµατος βρίσκεται στο σηµείο που παρουσιάζει ελάχιστο και µέγιστο η καµπύλη της µοναδιαίας καθυστέρησης διάδοσης για την τυπική µονότροπή ίνα και για την ίνα αντιστάθµισης διασποράς, αντίστοιχα (Σχήµα 7). Αυτή η διακεκοµµένη γραµµή εκφράζει το γεγονός ότι στα σηµεία που εµφανίζεται στις καµπύλες των δύο ινών, η µοναδιαία καθυστέρησης διάδοσης έχει ρυθµό µεταβολής ίσο µε µηδέν που συµβαίνει για τα 1310 nm, κάτι που φαίνεται και 11

από το µηδενικό συντελεστή στα διαγράµµατα της χρωµατικής διασποράς για το ίδιο µήκος κύµατος. Στα 1310 nm που έχουµε µηδενική χρωµατική διασπορά, δεν έχουµε µηδενική µοναδιαία καθυστέρηση διάδοσης, απλά η παράγωγός της γίνεται µηδέν. Εδώ φαίνεται ότι αν το σήµα στο Σχήµα 7 περάσει από τυπική µονότροπη ίνα µήκους L, η σχετική καθυστέρηση της συνιστώσας-συχνότητας f 1 σε σχέση µε τη συνιστώσα-συχνότητα f 2 θα είναι t g = (t g,1 t g,2 ) L > 0. Aν το ίδιο σήµα περάσει από ίνα αντιστάθµισης διασποράς µήκους L, η σχετική καθυστέρηση της συνιστώσας-συχνότητας f 1 σε σχέση µε τη συνιστώσα-συχνότητα f 2 θα είναι t g = (t g,1 t g,2 ) L < 0, δηλαδή θα καθυστερεί περισσότερο η συνιστώσα-συχνότητα f 2. Αν µετά την τυπική µονότροπη ίνα µήκους L ακολουθήσει µία ίνα αντιστάθµισης διασποράς, µε τα χαρακτηριστικά διασποράς (σε ποιοτική µορφή) που δόθηκαν στο Σχήµα 7, µήκους L, τότε η σχετική καθυστέρηση της συνιστώσας-συχνότητας f 1 σε σχέση µε τη συνιστώσα-συχνότητα f 2 θα είναι t = t g + t g = (t g,1 t g,2 ) L + (t g,1 t g,2 ) L. Με κατάλληλη επιλογή του µήκους L µπορεί να προκύψει t = 0 και τότε οι δύο φασµατικές συνιστώσες θα «φθάσουν µαζί» στο τέλος της ζεύξης των δύο διαδοχικών ινών, οπότε και θα αντισταθµιστεί πλήρως η επίδραση της χρωµατικής διασποράς που εισήγαγε το πρώτο τµήµα της τυπικής µονότροπης ίνας 1. Θεωρώντας ότι το τµήµα της καµπύλης της µοναδιαίας καθυστέρησης διάδοσης για τις δύο ίνες (τυπική µονότροπη και ίνα αντιστάθµισης της διασποράς) που αφορά το εύρος λ 12 = λ 1 λ 2 από το Σχήµα 7 είναι γραµµικό, τότε t = (t g,1 t g,2 ) L + (t g,1 t g,2 ) L = t g L + t g L = D SMF λ 12 L + D DCF λ 12 L όπου D SMF D 1 D 2 και D DCF D 1 D 2, επειδή µε τη υπόθεση γραµµικότητας µπορούµε να ισχυριστούµε ότι D SMF t g / λ 12 και D DCF t g / λ 12. Αν λάβουµε υπόψιν το εύρος ζώνης όλου του σήµατος, τότε η χρονική διεύρυνση κάθε παλµού στο τέλος της ζεύξης, δηλαδή µετά την αντιστάθµιση της διασποράς, θα είναι t = D SMF λ L + D DCF λ L. Επιπροσθέτως, αξίζει να παρατηρήσουµε ότι στη χρονική διεύρυνση που θα υποστεί ο εκάστοτε παλµός σήµατος, αλλά και στην αντιστάθµιση της διασποράς δεν παίζουν ρόλο τόσο οι τιµές των t g,1, t g,2, t g,1, t g,2, δηλαδή αν είναι µικρές ή µεγάλες, αλλά οι διαφορές t g και t g. Η υπόθεση της γραµµικότητας δεν είναι κακή προσέγγιση. Τονίζεται ότι µία οποιαδήποτε ίνα µπορεί να αντισταθµίσει της επίδραση της διασποράς που εισάγεται από µία άλλη ίνα µέσω της χρονικής διεύρυνσης των λαµβανόµενων παλµών, αρκεί να έχει αντίθετο συντελεστή χρωµατικής διασποράς 2. Στην πράξη, αν έχουµε µία τυπική µονότροπη ίνα διοξειδίου πυριτίου, ο συντελεστής χρωµατικής διασποράς είναι µεταξύ των τιµών 14 και 20 ps/(nm km), ενώ ο αντίστοιχος συντελεστής για την ίνα αντιστάθµισης διασποράς µπορεί να είναι και κάτω από 100 ps/(nm km). Η αντιστάθµιση τη διασποράς θα εξηγηθεί περαιτέρω µέχρι το τέλος αυτής της παραγράφου. Αν ένα σήµα που εκπέµπεται από µία πηγή διέλθει µέσα από ίνα µε αρνητικό συντελεστή χρωµατική διασποράς, τότε οι παλµοί του σήµατος στο τέλος της ίνας θα έχουν υποστεί χρονική διεύρυνση. Όπως ήδη αναφέρθηκε. σε σχέση µε µία ίνα που έχει θετικό συντελεστή χρωµατική διασποράς, µία ίνα µε αρνητικό συντελεστή χρωµατικής διασποράς θα προκαλεί σχετική καθυστέρηση µε αντίθετη συµπεριφορά µεταξύ των φασµατικών συνιστωσών των σηµάτων που διέρχονται διαµέσου αυτής. Αυτό φαίνεται στο Σχήµα 8 και στο Σχήµα 9. ηλαδή, οι φασµατικές συνιστώσες ενός σήµατος που θα εµφάνιζαν µικρότερη σχετική χρονική καθυστέρηση µετά από τη διάδοση κατά µήκος µίας ίνας µε θετική χρωµατική διασπορά, θα εµφανίζουν µεγαλύτερη σχετική χρονική καθυστέρηση µετά από τη διάδοση κατά µήκος µίας ίνας µε αρνητική χρωµατική διασπορά. Το αντίθετο θα συµβεί για τις φασµατικές συνιστώσες που θα εµφάνιζαν µεγαλύτερη σχετική χρονική καθυστέρηση. 1 Αυτό δεν είναι πολύ ακριβές, διότι για να υπάρξει αντιστάθµιση διασποράς για όλο το σήµα, πρέπει να έχει και κατάλληλη κλίση η καµπύλης της χρωµατικής διασποράς. Ωστόσο, για τα φάσµατα σηµάτων που χρησιµοποιούνται στην πράξη οριακά καλυπτόµαστε. Θα έπρεπε να είµαστε πιο προσεκτικοί αν είχαµε σήµατα πολύ µεγάλου φάσµατος ή αν είχαµε WDM µεταδόσεις πολλών καναλιών. 2 Ένας περιορισµός είναι ότι µπορεί να µην αντισταθµίζεται και η κλίση της χρωµατικής διασποράς, αλλά αυτό δε θα µας απασχολήσει στην επίλυση των ασκήσεων. 12

Έστω ότι δύο φασµατικές συνιστώσες f 1 < f 2 ενός σήµατος αντιστοιχούν σε δύο µήκη κύµατος λ 1, λ 2, µε λ 1 > λ 2 και ταυτόχρονα τα µήκη κύµατος λ 1, λ 2 βρίσκονται στην περιοχή των 1550 nm Για µία τυπική µονότροπη ίνα και για την περιοχή των 1550 nm, τα µεγαλύτερα µήκη κύµατος καθυστερούν περισσότερο σε σχέση µε τα µικρότερα µήκη κύµατος. Το αντίθετο ισχύει για τις φασµατικές συνιστώσες στο πεδίο των συχνοτήτων. Η συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 1 θα καθυστερεί περισσότερο σε σχέση µε τη συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 2. Άρα στο τέλος της ίνας, η φασµατική συνιστώσα f 2 θα καθυστερεί λιγότερο σε σχέση τη φασµατική συνιστώσα f 1. Τυπική µονότροπη ίνα διοξειδίου πυριτίου Οι δύο φασµατικές συνιστώσες f 1 < f 2 εκκινούν µαζί f 1, f 2 f 2 f 1 Τ L 1 t t Σχήµα 8. Χρονικές καθυστερήσεις των φασµατικών συνιστωσών µετά από διάδοση κατά µήκος τυπικής µονότροπης ίνας. Ta µήκη κύµατος λ 1, λ 2 βρίσκονται στην περιοχή των 1550 nm. Για µία ίνα που αντισταθµίζει τη διασπορά και για την περιοχή των 1550 nm, τα µικρότερα µήκη κύµατος καθυστερούν περισσότερο σε σχέση µε τα µεγαλύτερα µήκη κύµατος. Το αντίθετο ισχύει για τις φασµατικές συνιστώσες στο πεδίο των συχνοτήτων. Η συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 2 θα καθυστερεί περισσότερο σε σχέση µε τη συνιστώσα στο µήκος κύµατος λ 1. Άρα, στο τέλος της ίνας, η φασµατική συνιστώσα f 1 θα καθυστερεί λιγότερο σε σχέση τη φασµατική συνιστώσα f 2. Ίνα που αντισταθµίζει τη διασπορά Οι δύο φασµατικές συνιστώσες f 1 < f 2 εκκινούν µαζί f 1, f 2 f 1 f 2 Τ L 2 t t Σχήµα 9. Χρονικές καθυστερήσεις των φασµατικών συνιστωσών που δίνονται και στο Σχήµα 8 µετά από διάδοση κατά µήκος ίνας που αντισταθµίζει τη διασπορά. Με την αντιστάθµιση της διασποράς εκµεταλλευόµαστε την σχετική καθυστέρηση που είναι διαφορετικού προσήµου στην αρχική ίνα και στην ίνα που ακολουθεί και αντισταθµίζει τη διασπορά της πρώτης. Οι φασµατικές συνιστώσες ενός σήµατος που εµφάνιζαν τη µικρότερη καθυστέρηση µετά το πέρασµα από την αρχική ίνα, θα εµφάνιζαν µεγαλύτερη χρονική καθυστέρηση µετά το πέρασµα από τη δεύτερη ίνα, δηλαδή «καθυστερούν» κατά τη διέλευση από τη δεύτερη ίνα, ώστε να τις «προλάβουν» οι συνιστώσες που εµφάνιζαν µεγαλύτερη χρονική καθυστέρηση µετά το πέρασµα από την πρώτη ίνα και µικρότερη χρονική καθυστέρηση κατά το πέρασµα από την δεύτερη ίνα. Κατατοπιστικό είναι το Σχήµα 10 για µία ζεύξη αποτελούµενη από µία τυπική µονότροπη ίνα διοξειδίου πυριτίου ακολουθούµενη από µία ίνα αντιστάθµισης της διασποράς. 13

Τυπική µονότροπη ίνα διοξειδίου πυριτίου (SiO 2 ) Ίνα που αντισταθµίζει τη διασπορά Τ Οι δύο φασµατικές συνιστώσες f 1 < f 2 εκκινούν µαζί f 1, f 2 L 1 L 2 Χρονική διευθέτηση των συνιστωσών στο τέλος της πρώτης ίνας f 2 f 1 Η διασπορά αντισταθµίστηκε και οι δύο συνιστώσες φθάνουν µαζί f 1, f 2 t t t Σχήµα 10. Χρονικές καθυστερήσεις των φασµατικών συνιστωσών που δίνονται στο Σχήµα 8 και στο Σχήµα 9 µετά από διάδοση κατά µήκος τυπικής µονότροπης ίνας ακολουθούµενη από ίνα που αντισταθµίζει τη διασπορά. Ωστόσο δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι αν έχουµε διάδοση σε µία ίνα γνωστού µήκους L και συντελεστή χρωµατικής διασποράς D, ενός σήµατος (ΟΟΚ-NZ) µε εύρος ζώνης λ στην περιοχή των µηκών κύµατος (σε nm), τότε η χρονική διεύρυνση κάθε παλµού (t spr ) του σήµατος στο τέλος της ίνας µήκους L θα είναι ίση µε t spr = D L λ Ο λόγος για τον οποίο χρησιµοποιείται η απόλυτη τιµή είναι επειδή δε νοείται αρνητικός χρόνος. 4. Μελέτη ενισχυτών Για τη ζεύξη που φαίνεται στο Σχήµα 11, απαιτείται η χρήση ενισχυτή. Αυτά που χαρακτηρίζουν τον ενισχυτή είναι το (µέγιστο) κέρδος του (G), η ισχύς εξόδου κόρου του (P out,sat ) και η ισχύς εισόδου κόρου του (P in,sat ). Τ Ενισχυτής µε κέρδος G L 1 L 2 P in P out Σχήµα 11. Ζεύξη µε απαίτηση εγκατάστασης ενισχυτή. Ο ενισχυτής έχει ένα γραµµικό τµήµα λειτουργίας και ένα τµήµα κόρου. Στο γραµµικό τµήµα λειτουργίας, η ισχύς στην είσοδο του ενισχυτή (P in ) ενισχύεται κατά το κέρδος του ενισχυτή που είναι και το µέγιστο κέρδος του (G). ηλαδή, η ισχύς στην έξοδο του ενισχυτή θα είναι P out = G P in, κάνοντας πράξεις µε δεκαδικούς αριθµούς P out,dbm = G db + P in,dbm, κάνοντας πράξεις µε λογαρίθµους Από την άλλη, στην περιοχή κόρου, η ισχύς εισόδου στον ενισχυτή είναι µεγαλύτερη από την ισχύ εισόδου κόρου του (P in > P in,sat ) και η ισχύς εξόδου του ενισχυτή θα είναι ίση µε την ισχύ εξόδου κόρου (P out = P out,sat ), δηλαδή σε καθεστώς κόρου, η ισχύς εξόδου του ενισχυτή θα είναι πάντα ίση µε P out,sat. Γραφικά, τα δύο καθεστώτα λειτουργίας του ενισχυτή (γραµµική περιοχή και περιοχή 14

κόρου) µπορούν να αποδοθούν µέσω των καµπυλών της ισχύος εξόδου συναρτήσει της ισχύος εισόδου του ενισχυτή και του κέρδους συναρτήσει της ισχύος εισόδου του ενισχυτή, όπως φαίνεται στο Σχήµα 12(α) και στο Σχήµα 12(β), αντίστοιχα. P out (mw) G ampl (db) P out,sat G θ P in,sat tan(θ) = G P in (mw) P in,sat P in (mw) Γραµµική (α) Κόρου Γραµµική (β) Κόρου Σχήµα 12. (α) Ισχύς εξόδου συναρτήσει της ισχύος εισόδου µε τα δύο µεγέθη σε mw. (β) Κέρδος σε db συναρτήσει της ισχύος εισόδου του ενισχυτή σε mw. Ωστόσο, στην πραγµατικότητα, οι αντίστοιχες καµπύλες της ισχύος εξόδου συναρτήσει της ισχύος εισόδου του ενισχυτή και του κέρδους σα συνάρτηση της ισχύος εισόδου του ενισχυτή θα είναι όπως φαίνεται στο Σχήµα 13(α) και στο Σχήµα 13(β), αντίστοιχα. Συνήθως, η περιοχή κόρου ξεκινά από το σηµείο για το οποίο το κέρδος του ενισχυτή πέφτει κατά το µισό σε δεκαδικές πράξεις ή κατά 3 db σε λογαριθµική κλίµακα (G ampl = G 3 db) για το επίπεδο ισχύος εισόδου που αντιστοιχεί στην ισχύ εισόδου κόρου του ενισχυτή. P out (mw) G ampl (db) P out,sat G G ampl = G 3 db P in,sat P in (mw) P in,sat P in (mw) Γραµµική Κόρου Γραµµική Κόρου (α) (β) Σχήµα 13. (α) Πρακτική γραφική παράσταση της ισχύος εξόδου συναρτήσει της ισχύος εισόδου µε τα δύο µεγέθη σε mw. (β) Πρακτική γραφική παράσταση του κέρδους σε db συναρτήσει της ισχύος εισόδου του ενισχυτή σε mw. Εµείς θα διατηρήσουµε την αρχική θεωρητική προσέγγιση για την επίλυση των ασκήσεων, σύµφωνα και µε τις καµπύλες στο Σχήµα 12. Συµπερασµατικά, θεωρώντας πράξεις µε λογαρίθµους, θα έχουµε: Γραµµική P in P in,sat P out,dbm = G db + P in,dbm κόρου P in > P in,sat P out,dbm = P out,sat,dbm Παραδείγµατα 15

Θεωρώντας πράξεις µε λογαρίθµους, αν η ισχύς εξόδου κόρου είναι ίση µε P out,sat = 20 dbm και το κέρδος του ενισχυτή (στη γραµµική περιοχή) είναι G db = 30 db, τότε ποια είναι η ισχύς εισόδου κόρου; Απάντηση: P in,sat = P in,dbm G db = 20 dbm 30 db = 10 dbm. Aν η ισχύς εισόδου κόρου είναι ίση µε P in,sat = 5 dbm και η ισχύς εξόδου κόρου είναι ίση µε P out,sat = 15 dbm, ποιο είναι το κέρδος του ενισχυτή (στη γραµµική περιοχή) σε δεκαδικές τιµές; Απάντηση: G = P in,sat P in,dbm = 15 dbm ( 5 dbm) = 20 db G = 10 2 = 100. Aν η ισχύς εξόδου κόρου είναι ίση µε P out,sat = 10 dbm και το κέρδος του ενισχυτή (στη γραµµική περιοχή) είναι G db = 20 db, τότε αν η οπτική ισχύς εισόδου του ενισχυτή είναι 7 dbm, ποιο είναι το καθεστώς λειτουργίας του; Απάντηση: Πρώτα από όλα, η ισχύς εισόδου κόρου του ενισχυτή θα είναι P in,sat = P in,dbm G db = 10 dbm 20 db = 10 dbm. Επειδή, όµως, η εισερχόµενη ισχύς στον ενισχυτή είναι µεγαλύτερη από την ισχύ εισόδου κόρου του ( 7 dbm > 10 dbm), τότε ο ενισχυτής βρίσκεται σε καθεστώς κόρου και στην έξοδό του η ισχύς θα είναι ίση µε P out = P out,sat = 10 dbm για επίπεδο ισχύος εισόδου ίσο µε 7 dbm. Αν στον προηγούµενο ενισχυτή η οπτική ισχύς εισόδου του είναι 16 dbm, ποιο είναι το καθεστώς λειτουργίας του; Απάντηση: Η ισχύς εισόδου κόρου του ενισχυτή βρέθηκε πριν ίση µε P in,sat = 10 dbm. Επειδή, όµως, η εισερχόµενη ισχύς στον ενισχυτή είναι µικρότερη από την ισχύ εισόδου κόρου του ( 16 dbm < 10 dbm), τότε ο ενισχυτής βρίσκεται σε γραµµική λειτουργία και στην έξοδό του η ισχύς θα είναι ίση µε P out = G + P in = 20 db + ( 16 dbm) = 4 dbm. 5. Μελέτη της χρωµατικής και της σωρευµένης διασποράς Τονίζεται ότι όταν µελετούµε την επίδραση της σωρευµένης διασποράς κατά µήκος ζεύξεων, δεν παίρνουµε απόλυτες τιµές. ηλαδή όταν έχουµε d a ps/nm σωρευµένης διασποράς στο τέλος µίας ζεύξης τριών ινών µε µήκη L 1, L 2 και L 3 η καθεµία, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 14, και συντελεστές χρωµατικής διασποράς D 1, D 2 και D 3 η καθεµία, αντίστοιχα, τότε θα έχουµε: D 1 L 1 + D 2 L 2 + D 3 L 3 = d a ps/nm ανεξάρτητα από τον αν d a > 0 ή d a < 0. Αυτό γενικεύεται για οποιοδήποτε πλήθος ινών. Τ L 1 L 2 L 3 D 1 (σε ps/(nm km)) D 2 (σε ps/(nm km)) D 3 (σε ps/(nm km)) Σχήµα 14. Ζεύξη µε τρεις ίνες. Όταν γίνονται οι µεταδόσεις για ένα συγκεκριµένο ρυθµό µετάδοσης και είναι γνωστό ότι έχουµε χρονική διεύρυνση κάθε NZ παλµού στο δέκτη ίση µε t spr (t spr > 0), τότε πρέπει να µας δοθεί αν έχουµε θετική ή αρνητική σωρευµένη διασπορά. Για θετική σωρευµένη διασπορά, θα θέταµε D 1 L 1 λ + D 2 L 2 λ + D 3 L 3 λ = t spr Αντίθετα, για αρνητική σωρευµένη διασπορά, θα θέταµε D 1 L 1 λ + D 2 L 2 λ + D 3 L 3 λ = t spr Αν δε δοθεί κάποια πληροφορία θετικής ή αρνητική σωρευµένης διασποράς και έχουµε κάποιο άγνωστο µήκος ή άγνωστο συντελεστή χρωµατικής διασποράς, τότε θα ελέγχαµε και τις δύο περιπτώσεις που αναφέρθηκαν πιο πάνω (µε t spr και t spr ). 16

Τέλος, όταν µας ζητείται ο έλεγχος της λειτουργίας µίας ζεύξης λαµβάνοντας υπόψιν την επίδραση της χρωµατικής διασποράς, όταν η µέγιστη επιτρεπόµενη χρονική διεύρυνση κάθε NZ παλµού είναι ίση µε το 1/4 της διάρκειας του bit, τότε αυτό που πράττουµε είναι να κάνουµε τον έλεγχο έχοντας συµπεριλάβει οπωσδήποτε και τις απόλυτες τιµές, δηλαδή D 1 L 1 λ + D 2 L 2 λ + D 3 L 3 λ Τ bit /4 Σε µία τέτοια περίπτωση, όλες οι παράµετροι θα είναι γνωστές και το µόνο που θα µένει είναι να καταλήξουµε σε κάτι που θα ισχύει ή δε θα ισχύει, ώστε να απαντήσουµε ότι µε βάση την επίδραση της χρωµατικής διασποράς, η ζεύξη λειτουργεί ή όχι, αντίστοιχα. 17