ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΕΛΛΑΔΙΚΩ ΕΞΕΤΑΕΩ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΗ ΘΕΜΑ ο τα άκρα Α και Β μιας ομογενούς χορδής ΑΒ μήκος l=6cm πο έχει την διεύθνση το άξονα x'ox, πάρχον δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής αρμονικών κμάτων, πο τααντώνονται με εξίσωση yα = yβ = Aημω t (S.I.). Τα δύο αρμονικά κύματα διαδιδόμενα με αντίθετες φορές σμβάον τη χρονική στιγμή t= στο μέσο O της χορδής πο θεωρείται και η αρχή το άξονα x ox(x = ). Από τη σμβοή των δύο αρμονικών κμάτων δημιοργείται στάσιμο κύμα και στο σημείο Ο δημιοργείται κοιία. Ένα σημείο Ζ της χορδής (Χ Ζ = -cm) αρχίζει να τααντώνεται και μετά από χρόνο Δt=,5s τετραπασιάζεται η ενέργεια ταάντωσης το. Η δναμική ενέργεια ταάντωσης το σημείο Ζ γίνεται μέγιστη φορές σε χρόνο 5s. Όταν σμβαίνει ατό, το σημείο Ζ και το πησιέστερο σε ατό, με την ίδια δναμική ενέργεια βρίσκονται σε θέσεις πο ορίζον εθύγραμμο τμήμα μήκος d=cm. Α. α γραφεί η εξίσωση της απομάκρνσης το σημείο σε σνάρτηση με το χρόνο y Ζ (t) και να γίνει η γραφική παράσταση της. Β. α σχεδιάσετε το στιγμιότπο της χορδής y=f(x) τη χρονική στιγμή t=,75s. Γ. α βρεθούν οι αποστάσεις πο απέχον από το σημείο Ο τα σημεία της χορδής, πο μετά τη δημιοργία το στάσιμο κύματος τααντώνονται με ενέργεια ίση με το 5% της ενέργειας το σημείο και έχον την ίδια φάση με ατό. α θεωρήσετε ότι όα τα σημεία της χορδής ΑΒ έχον την ίδια μάζα. ΛΥΗ Α. Το κύμα πο προέρχεται από την πηγή Α φθάνει στο σημείο Ζ( x = cm) όταν το κύμα από την πηγή Β φθάνει στο σημείο Δ (x =+ cm). Δ Η ενέργεια ταάντωσης το Ζ τετραπασιάζεται όταν το κύμα από την πηγή Β σμβάει με ατό της πηγής Α στο Ζ. Άρα E = E DA' = DA A' = A (). Δηαδή το σημείο Ζ A είναι κοιία.. Η ταχύτητα διάδοσης των κμάτων είναι: ( Ζ) = = =cm/s =,m/s. Επειδή η t,5 δναμική ενέργεια ταάντωσης το Ζ μεγιστοποιείται φορές σε χρόνο 5s, το σημείο Ζ θα φθάνει σε ακραία θέση ισάριθμες φορές. Άρα θα έχει εκτεέσει = πήρεις τααντώσεις. = = =. t 5 Η σχνότητα ταάντωσης είναι f f Hz ( ) () Από τη θεμειώδη εξίσωση της κματικής: =f = =,6m ( ). f () Αν Γ είναι η πησιέστερη προς το Ζ κοιία, τότε όταν τα σημεία ατά βρίσκονται στις ακραίες θέσεις της τροχιάς τος (μέγιστης δναμικής ενέργειας ταάντωσης) Γ και Ζ αντίστοιχα, από το ορθογώνιο τρίγωνο = + d = ( A) + = 6A + A =,5cm ( 5) Γ : ΖΓ ΖΖ ΖΓ πx πt πx Η εξίσωση το στάσιμο κύματος είναι: y = Aσν ημ y = σν ημπt 6 ( tσε s και x,yσε cm). Επειδή έχομε ορίσει ως αρχή των χρόνων ( t = ) τη χρονική στιγμή πο τα δύο κύματα σμβάον στο μέσο Ο ( x O, ( ) = ), στο σημείο Ζ θα σμβάον τη χρονική στιγμή t = t,75s = =. Μέχρι τότε το σημείο Ζ, τααντώνεται πό την επίδραση το κύματος πο παράγει η πηγή Α. Η εξίσωση απομάκρνσης το σημείο Ζ βρίσκεται ως εξής: Τη χρονική στιγμή t = το κύμα από την πηγή Α φθάνει στο μέσο Ο της ΑΒ και ατό αρχίζει να τααντώνεται με εξίσωση y = Aημω t. Άρα το σημείο Ζ έχει εξίσωση ταάντωσης: (O) A O t O y = Aημω t y A Ζ + = ημ π + Ζ ()()(),, 5 y =,5ημπ t + y =,5ημ ( π t + π ) ( t s y cm) 6 και για t,75s. Μετά την σμβοή των δύο κμάτων στο Ζ και τη δημιοργία στάσιμο κύματος η εξίσωση απομάκρνσης το σημείο Ζ είναι: (), ( 5) - - - Α Ζ Ζ - Ο - - -6-6 - Yz (cm) Ζ Γ Γ Γ - - Y (cm) -,5,5,75,5,5,75 t (sec) X (cm) Β
x= x z ( ) Από ( 6) y = σνπ ημπt y = σν( π) ημπt y = ημπt y = ημ( π t + π ) ( t s y cm) και για t,75s. Β. Τη χρονική στιγμή t =, 75 s = τα κύματα έχον σμβάει σε απόσταση d = t αριστερά και δεξιά το Ο. Άρα () d =, 75 d = cm. Επομένως στην περιοχή cm x cm πάρχει στάσιμο κύμα και οι περιοχές cm x cm και + cm x + cm της χορδής τααντώνονται μόνο πό την επίδραση των κμάτων πο παράγον οι πηγές Α και Β αντίστοιχα. Το στιγμιότπο y = f( x) της χορδής τη χρονική στιγμή t =, 75s είναι: Y (cm) X (cm) - - -6-6 - - - 5 = = =. max Γ. Από την σχέση E 5% E DA ' D ( A) A ' A ( 7) 7 πx πx πx Από την( 6) σν =,5 σν = ± ( ). Για το σημείο Ζ ισχύει ότι σν z <, άρα για να έχον τα ( 5) πx ζητούμενα σημεία την ίδια φάση με το σημείο Ζ πρέπει σν <. Από την () : πx πx π σν = = κπ ± x = 6κ ± ( 9) με,,... ( x cm) Επειδή πρέπει cm x cm από την σχέση ( 9 ) προκύπτει ότι 6 κ= ± ±. 6 6 x =± cm, ± cm, ± cm, ± cm. Άρα 6 6 οι αποστάσεις των σημείων ατών από το Ο είναι d = cm, cm, cm και cm. ΠΡΟΤΕΙΟΜΕΟ ΘΕΜΑ Δύο σύγχρονες πηγές Ο και Ο πο απέχον απόσταση d=cm, αρχίζον να εκτεούν απή αρμονική ταάντωση τη χρονική στιγμή t= με εξισώσεις y =y =Aημωt (y cm, t s) αντίστοιχα και δημιοργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα πο διαδίδονται στην επιφάνεια νερού πο ηρεμεί. Τη χρονική στιγμή t =,75s στα σημεία και πο βρίσκονται στην επιφάνεια το νερού και αριστερά της μεσοκαθέτο το εθύγραμμο τμήματος Ο Ο, έχει φθάσει μόνο το κύμα πο δημιοργεί η πηγή Ο. Η φάση το σημείο τη χρονική στιγμή t είναι φ =π rad. Την ίδια χρονική στιγμή η διαφορά φάσης μεταξύ το σημείο και το σημείο είναι φ. Εάν οι αποστάσεις πο απέχει το σημείο από τις πηγές Ο και Ο είναι Ο = r =,5cm και Ο =r =,5cm αντίστοιχα και η απόσταση το σημείο από την πηγή Ο είναι Ο = r' =6cm, να ποογιστούν: Α. Το μήκος κύματος των παραγομένων από τις πηγές Ο και Ο αρμονικών κμάτων καθώς και η περίοδος τος Τ. Α. Η ταχύτητα διάδοσης των κμάτων στην επιφάνεια το νερού. Β. Εάν μετά την σμβοή των δύο κμάτων στα σημεία και, το σημείο βρίσκεται πάνω σε περβοή αριστερά της μεσοκαθέτο το τμήματος O O και τααντώνεται με ενέργεια ταάντωσης ίση με το μισό της ενέργειας ταάντωσης το σημείο, να βρεθεί η παραμετρική σνθήκη πο σνδέει τις αποστάσεις r' και r' από τις πηγές Ο και Ο των σημείων της επιφάνειας το νερού πο τααντώνονται με το ίδιο πάτος με το σημείο. Εάν το βρίσκεται πάνω στην περβοή πο αντιστοιχεί στην τιμή 9 της παραμέτρο, να βρεθεί η απόσταση Ο πο απέχει από την πηγή Ο. Β. Μετά την σμβοή των δύο κμάτων, να ποογιστεί το πήθος των περβοών πο αποτεούνται από σημεία πο τααντώνονται με το ίδιο πάτος με το σημείο και βρίσκονται μεταξύ των σημείων και. Β. α ποογιστεί το πήθος των σημείων της επιφάνειας το νερού πο βρίσκονται στην εθεία Ο και παραμένον ακίνητα μετά την σμβοή των δύο κμάτων. Γ. α γίνει η γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης Δφ μεταξύ των σημείων και σε σνάρτηση με τον χρόνο ταάντωσης t. Δίνεται ότι τα σημεία και έχον την ίδια μάζα και τα κύματα διαδίδονται στην επιφάνεια το νερού χωρίς απώειες ενέργειας. - (Απ.Α = m, Τ =,s A. =,m/s Β. r' r' = (+ ),=,,..., Ο= 5, 5cm,Β. 5, Β. 7)
ΛΥΗ ΠΡΟΤΕΙΟΜΕΟΥ ΘΕΜΑΤΟ Ο Ρ Λ x Μ Ο Α. Όταν τα σημεία και τααντώνονται μόνο πό την επίδραση το αρμονικού κύματος, πο παράγει η πηγή Ο, οι t r εξισώσεις ταάντωσης τος είναι: y =Αημ π ( ) t r και y = Αημ π( ). Οι εξισώσεις των φάσεων τος σε σνάρτηση με το χρόνο είναι αντίστοιχα : φ = π ( t r ) () και φ = π t r ( ) (). Τη χρονική στιγμή t : () t r,75,5,75,5 Από φ = π,5 π = π Τ = Τ () Η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων και τη χρονική στιγμή t () r r,5 6 είναι: Δφ = φ φ = π,5 = = cm = m. () () () Από () =,s. (5) Α. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κμάτων πο παράγον οι πηγές Ο και Ο είναι: () = =,m / s Τ (5) Β. Όταν τα δύο κύματα σμβάον στο σημείο, ατό τααντώνεται με πάτος () (r r ) (,5,5) A = Ασνπ Α = Ασνπ Α = Α (6). (ενισχτική σμβοή). Το σημείο μετά την σμβοή των δύο κμάτων τααντώνεται με ενέργεια Ε ίση με το μισό της ενέργειας ταάντωσης Ε το σημείο : m = m Ε mω A A Ε = DA = DA mω A = A = A = A (6) ' ' ' ' π( r r) π( r r) A σν = Α σν = ± ' ' ( r r ) π π ' ' ' ' = κπ± r r = κ± r r = (κ ± ) με κ =,,... () Αά κ ± = περιττός ακέραιος = +. Άρα r r = (+ ) r r = (+ ) με =,,... ( 7) Επειδή το σημείο βρίσκεται στην περβοή με =9, από ' ' r > r = + = + =. 7 r r ( 9 ) r r,5 r 5,5cm
Άρα η απόσταση Ο = r ' = 5,5cm. Β. Από τη σνθήκη ενισχτικής σμβοής στο σημείο : r r = κ,5,5 = κ κ =. Άρα το βρίσκεται στην η περβοή ενισχτικής σμβοής αριστερά της μεσοκαθέτο της ΟΟ η οποία τέμνει την ΟΟ στο σημείο. Για το σημείο έχομε: ( Ο ) ( Ο ) = κ ( Ο) ( Ο ) = cm ( ) Ο + Ο =. και cm 9 Αθροίζοντας τις σχέσεις ( ) και ( 9) κατά μέη: ( Ο ) = cm ( ) cm ( ) Ο Μ + Μ = + Μ = Μ =. Η περβοή στην οποία βρίσκεται το σημείο τέμνει την ( 9 ) Ο Ο στο σημείο, για το οποίο έχομε: ( Ο) ( Ο ) = + Αθροίζοντας τις σχέσεις ( ) και Ο Ο = 9,5cm και ( Ο ) + ( Ο ) = cm κατά μέη: ( Ο ) = 6,75cm. Αά ( ) ( Ο ) = ( ΟΜ ) + ( Μ) ( ) ( ) ( ) ( Μ ) = ΟΜ + Μ = 6,75cm + Μ = 6,75,75cm (). Για ένα τχαίο σημείο Ρ της εθείας Ο Ο πο βρίσκεται μεταξύ των και και τααντώνεται με το ίδιο πάτος με το σημείο (άρα και με το σημείο ), εάν θεωρήσομε ότι απέχει x από το σημείο Μ έχομε: 7 : ( ) ΟΡ ΟΡ = + Από Αά ( Μ ) < x < ( Μ) + x + x = +,5 x = +,5. ( ) < +,5 <,75 < +,5 < 9,5 ( ),75 < < 9 =,5,6,7, (5 περβοές). Άρα μεταξύ των σημείων και πάρχον 5 περβοές πο αποτεούνται από σημεία πο τααντώνονται με πάτος ίσο με το πάτος ταάντωσης το σημείο. Β. Τα σημεία της εθείας Ο πο παραμένον ακίνητα μετά την σμβοή των δύο κμάτων βρίσκονται πάνω σε περβοές αποσβεστικής σμβοής. Το πήθος τος είναι όσο και το πήθος των σημείων πο βρίσκονται πάνω στην Ο Ο Λ Ο Λ = κ + με κ =,,... και είναι ακίνητα. Η σνθήκη για ένα σημείο Λ από ατά είναι: ( ) ( Ο Λ ) ( Ο Λ ) = κ + ( 5 ) και ( Ο Λ) + ( Ο Λ) = cm ( 6) Αθροίζοντας τις σχέσεις ( 5 ) και ( 6 ) κατά μέη: ( O Λ ) = κ +,5. Ο κ +,5 6,75 -,5 κ,5 Άρα κ =-,-,-...-,,,,,, δηαδή πάρχον 7 σημεία πο παραμένον ακίνητα πάνω στην εθεία Αά ( Ο Λ) ( ) Ο άρα και στην εθεία Ο. ος τρόπος Το πήθος των ακίνητων σημείων της εθείας Ο είναι το ίδιο με το πήθος των ακίνητων σημείων (δεσμών) πο σχηματίζονται μεταξύ των σημείων Ο και όγω σχηματισμού στάσιμο κύματος μεταξύ των Ο και Ο και πάνω στην x = κ + με κ =,,,... και εθεία Ο Ο. Άρα () x ( Ο) ( κ +) 6,75,5 κ 6,5. Άρα κ =,,,...6. Άρα πάρχον 7 ακίνητα σημεία στην εθεία Ο, επομένως και στην εθεία Ο.
r Γ. Τα κύματα από τις πηγές Ο και Ο φθάνον στο σημείο τις χρονικές στιγμές t = =,5s και r r r t = =,5s αντίστοιχα. το σημείο φθάνον τις χρονικές στιγμές t = =,s και t = =,75s αντίστοιχα. Από t <,s: Δ φ = t r,s t,5s : φ φ φ < Δ = = π με αντικατάσταση: Δ φ = πt 6π rad t r t r r r,5s t <,5s : Δ φ = φ φ = π π Δφ = π με αντικατάσταση: Δ φ ' ' t r t r + r r + r r,5s t <,75s : Δ φ = φ φ = π π φ Δ = π με π αντικατάσταση: φ ' ' ' ' t r + r t r + r r + r r + r t,75s : Δ φ = φ φ = π π φ Δ = π με 7π αντικατάσταση: Δ φ,6 π φ (rad) 7π,,5,5,75 t (sec) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΙΟΤΑΙ ΑΠΟ ΤΑ ΦΡΟΤΙΤΗΡΙΑ "ΥΟΛΟ" ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ξ. ΤΕΡΓΙΑΔΗ Μ. ΚΟΚΟΛΙΑ