Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω συνάρτηση y=f(x) Όριο L (limit) της συνάρτησης y=f(x) είναι ο αριθμός L στον οποίο τείνει η συνάρτηση όταν το x προσεγγίζει μια τιμή a. lim f(x)=l παράδειγμα: lim x a x 3 2x2 = 18=2 3 2 Για να βρούμε το όριο lim(2x 2 ) υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης 2x 2 x 3 όταν το x πλησιάζει την τιμή 3 από κάτω (Αριστερά) 2, 2.5, 2.8, 2.9, 2.95, και από πάνω (δεξιά) 4, 3.5, 3.3, 3.1, 3.05, Αν ορίζεται το όριο μιας συνάρτησης τότε η συνάρτηση είναι συνεχής: Η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχόμενη γραμμή (καμπύλη) χωρίς κενά ή ασυνέχειες. 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ y=x 3-2x 2 +3x+5 150000 100000 50000 0-60 -40-20 0 20 40 60-50000 -100000-150000 Η συνάρτηση y=x 3-2x 2 +3x+5 είναι συνεχής γιατί η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχόμενη καμπύλη y=10/x 2.5 2 1.5 1 0.5 0-60 -40-20 -0.5 0 20 40 60-1 -1.5-2 -2.5 Η συνάρτηση y=10/x Δεν είναι συνεχής γιατί η γραφική της παράσταση είναι 2 καμπύλες μη συνεχόμενες 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=10/x 0-60 -40-20 -0.5 0 20 40 60-1.5-2.5 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 2.5 2 1.5 1 0.5 Η συνάρτηση y=10/x -1-2 Δεν είναι συνεχής γιατί η γραφική της παράσταση είναι 2 καμπύλες μη συνεχόμενες Η συνάρτηση y=10/x δεν ορίζεται για x=0 (y=10/0 αδύνατο) Μπορούμε να εξετάσουμε τη συμβαίνει με το όριο όταν x τείνει στο 0. Από αριστερά 0 - : x -1-1/2-1/4-1/10-1/100-1/1000-1/10000 y -10-20 -40-100 -1000-10000 -100000 Όταν το x πλησιάζει το 0 από αριστερά το y μεγαλώνει και πλησιάζει 10 το - επομένως lim = x 0 x Από δεξιά 0 + : x 1 1/2 1/4 1/10 1/100 1/1000 1/10000 y 10 20 40 100 1000 10000 100000 Όταν το x πλησιάζει το 0 από δεξιά το y μεγαλώνει και πλησιάζει το 10 + επομένως lim = + x 0 + x Επομένως τα 2 όρια από αριστερά και δεξιά είναι διαφορετικά: 10 10 lim = lim = + η y=10/x δεν είναι συνεχής συνάρτηση. x 0 x x 0 + x

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=10/x 2.5 2 1.5 1 0.5 0-60 -40-20 -0.5 0 20 40 60-1 -1.5-2 -2.5 Η συνάρτηση y=10/x Έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα των y και οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα των x Η συνάρτηση y=10/x δεν ορίζεται για x=0 (y=10/0 αδύνατο) Όταν το x πλησιάζει το 0, το y πλησιάζει το ±, η καμπύλη της συνάρτησης πλησιάζει τον άξονα Υ, έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα Y. x 1 1/2 1/4 1/10 1/100 1/1000 1/10000 0 y 10 20 40 100 1000 10000 100000 + x -1-1/2-1/4-1/10-1/100-1/1000-1/10000 0 y -10-20 -40-100 -1000-10000 -100000 - Όταν το x πλησιάζει το ±, το y πλησιάζει το 0, η καμπύλη της συνάρτησης πλησιάζει τον άξονα X, έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα Χ. x 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 + y 10 1 1/10 1/100 1/1000 1/10000 1/100000 0 x -1-10 -100-1000 -10000-100000 -1000000-5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr y -10-1 -1/10-1/100-1/1000-1/10000-1/100000 0

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Y Γ φ Δx Α Β Δy X y=f(x) Εφαπτόμενη ευθεία Κλίση καμπύλης συνάρτησης y=f(x) στο σημείο Α ορίζεται η κλίση της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο Α. Η κλίση είναι ίση με την εφαπτομένη (tan) της γωνίας φ που σχηματίζει η ευθεία με τον χ άξονα. Η κλίση ευθείας ορίζεται από τη σχέση: Δy/Δx Μαθηματικά ορίζεται: lim Δy Δx 0 Δx δηλαδή το όριο Δy/Δx, όταν το Δx γίνει πολύ μικρό. Ονομάζεται Πρώτη Παράγωγος του y ως προς x και συμβολίζεται: f (x)= dy dx =df(x) dx = d dx f(x) Δείχνει το ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο Α. 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η παράγωγος μιας συνάρτησης y=f(x) είναι μια συνάρτηση που μπορεί να υπολογιστεί από τον ορισμό: f (x)= dy dx =df(x) dx = d Δy f(x)= lim dx =lim f(x+h) f(x) h 0 Δx h 0 h Παράδειγμα: f(x)=x 2 => dy dx =lim f(x+h) f(x) (x+h)2 x = lim 2 x = lim 2 +h 2 +2xh x 2 h =lim 2 +2xh =lim(h+2x)=2x h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h h 0 f(x)=x 2 +2 => dy dx =lim f(x+h) f(x) (x+h)2+2 (x = lim 2 +2) x = lim 2 +h 2 +2xh+2 x 2 2 h = lim 2 +2xh = lim(h+2x)=2x h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h h 0 Επομένως δείξαμε ότι οι συναρτήσεις x 2 και x 2 +2 έχουν την ίδια παράγωγο 2x Γράφουμε (x 2 ) =(x 2 +2) =2x ή d(x2 ) +2) dx =d(x2 =2x dx Για την εύρεση της παραγώγου χρησιμοποιούμε τους κανόνες παραγώγισης αντί του ορισμού 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Οι κανόνες παραγώγισης χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, χωρίς να εφαρμόσουμε τον ορισμό, επειδή είναι χρονοβόρος: ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ Συνάρτηση f(x) Παράγωγος f (x) a 0 x 1 ax a x n nx n-1 ax n anx n-1 e x e x lnx 1/x log a x=log e x/log e a 1/(xlog e a) 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΚΑΝΟΝΕΣ «ΣΥΝΘΕΣΗΣ» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συνάρτηση f(x) u(x)+v(x) u(x)-v(x) u(x)*v(x) u(x) v(x) Παράγωγος f (x) u (x)+v (x) u (x)-v (x) u(x)*v (x)+u (x)*v(x) v x u (x) u x v (x) [v(x)]2 [f(x)] n nf (x)[f(x)] n-1 f(u(x)) lnf(x) f (u(x))u (x)= dy du du dx f (x)/f(x)

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ-ΔΙΑΦΟΡΑΣ Συνάρτηση f(x) u(x)+v(x) u(x)-v(x) Παράγωγος f (x) u (x)+v (x) u (x)-v (x) Αν f(x)=u(x)+v(x) => f (x)=u (x)+v (x) Παράδειγμα: y=f(x)=3x+12x 2 => f (x)=dy/dx=(3x+12x 2 ) =(3x) +(12x 2 ) =3+2*24x=3+48x Αν f(x)=u(x)-v(x) => f (x)=u (x)-v (x) Παράδειγμα: y=f(x)=3x-12x 2 => f (x)=dy/dx=(3x-12x 2 ) =(3x) -(12x 2 ) =3-2*24x=3-48x 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Συνάρτηση f(x) u(x)*v(x) Παράγωγος f (x) u(x)*v (x)+u (x)*v(x) Αν f(x)=u(x)*v(x) => f (x)=u(x)*v (x)+u (x)*v(x) Παράδειγμα 1: y=f(x)=5x 2 => f (x)=dy/dx=[(5)(x 2 )] =(5) (x 2 ) +(5) (x 2 )=5*2x+0* x 2 =10x [είναι η απόδειξη του βασικού κανόνα (ax n ) =n*ax n-1 )] Παράδειγμα 2: y=f(x)=3xe x => f (x)=dy/dx=[(3x)(e x )] =(3x)(e x ) +(3x) (e x )=3xe x +3e x 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΗΛΙΚΟΥ Συνάρτηση f(x) u(x) v(x) Αν f(x)= u(x) v(x) => f (x)=u x v x u x v (x) v(x) 2 Παράδειγμα 1: y=f(x)=1/x=> f (x)=dy/dx=[(1)/(x)] = 1 x 1 (x) = 0 1 1 1 = -1/x2 x 2 x 2 εναλλακτικά για την y=f(x)=1/x=x -1 => f (x)=(x -1 ) =-1*x -1-1 =-1x -2 =-1/x 2 Παράδειγμα 2: Παράγωγος f (x) u (x) v x u x v (x) [v(x)]2 y=f(x)=5/x 2 => f (x)=dy/dx=[(5)/(x 2 )] = (5) (x2 ) (5) (x 2 ) (x 2 = 0 x2 5 2x ) 2 x 4 = 10x x 4 =-10/x 3 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης προσπαθούμε να εφαρμόσουμε τον κατάλληλο κανόνα Παραγώγισης: y=5x => dy/dx=y =(5x) =5 y=4x 6 => y =(4x 6 ) =6*4x 6-1 =24x 5 y=2 => y =0 y=2-3x => y =(2-3x) =(2) -(3x) =0-3=-3 y=5x 3 +2x+4 => y =(5x 3 ) +(2x) +(4) =3*5x 3-1 +2+0=15x 2 +2 y=4x-x 6 -x 10 => y =4-6x 5-10x 9 y=3xe x => y =[(3x)(e x )] = (3x)(e x ) +(3x) (e x )=3xe x +3e x y= x2 (x 1) (x 2 ) 2 => ] x y =[ 2 x 2 [(x 1) 2 ] [(x 1) 2 ] ] =[(x 1)2 [(x 1) 2 ] 2 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr = (x 1)2 2x x 2 2(x 1) = 2x(x 1)2 2x 2 (x 1) [(x 1) 2 ] 2 (x 1) 4 =

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (2) Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης προσπαθούμε να εφαρμόσουμε τον κατάλληλο κανόνα Παραγώγισης: y=(x 2 3) 1/2 => dy/dx=y =[(x 2 3) 1/2 ] =1/2* (x 2 3) *(x 2 3) 1 2 1 = 1 2 2x(x2 3) 1 2=x(x 2 3) 1 2= x x 2 3 Χρήση του κανόνα αλυσίδας (chain rule): dy dx =dy du du dx y=7e 5x2 => θέτουμε u=5x 2 οπότε y=7e u => dy dx =dy du = d(7eu ) d(5x 2 ) du dx du dx =7e u 10x=70xe 5x2 y=ln(7x 3 ) => θέτουμε u=7x 3 οπότε y=ln(u) => dy dx =dy du =d(ln(u)) du dx du d(7x 3 ) dx =1 u 21x2 = 21x2 7x 3 = 3 x 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΤΑΞΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Επειδή η παράγωγος dy/dx=f (x) μιας συνάρτησης y=f(x) είναι συνάρτηση μπορούμε να «παραγωγίσουμε» την παράγωγο συνάρτησης. Η παράγωγος της παραγώγου, ονομάζεται 2 η παράγωγος της αρχικής συνάρτησης: f (x)=(f (x)) = d dx (dy y dx )=d2 dx 2 Μπορούμε να ορίσουμε την 3 η παράγωγο ως παράγωγο της 2 ης παραγώγου, κ.ο.κ. Παράδειγμα: y=f(x)=3x 5 => y =f (x)=dy/dx=(3x 5 ) =5*3x 5-1 =15x 4 => y =f (x)=d 2 y/dx 2 =(3x 5 ) =[(3x 5 ) ] =[15x 4 ] =4*15x 3 =60x 3 y =f (x)=d 3 y/dx 3 =(3x 5 ) =[y ] =[60x 3 ] =180x 2 => d 4 y/dx 4 =[180x 2 ] =360x =>.. Μπορούμε να παραγωγίσουμε μια συνάρτηση όσες φορές θέλουμε! Για να βρούμε την παράγωγο κ-τάξης παραγωγίζουμε διαδοχικά τη συνάρτηση 1,2,3,,κ φορές 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση της μορφής F(y,x)=0 ονομάζεται πεπλεγμένη γιατί δεν μπορεί πάντα να μετατραπεί σε y=f(x). Για να παραγωγίσουμε πεπλεγμένη συνάρτηση: 1. Παραγωγίζουμε ως προς x, θεωρώντας ότι το y είναι συνάρτηση του x. 2. Επιλύουμε τη σχέση που προκύπτει ως προς dy dx. F(y,x)=2x 3-6y 4 +20=0 d dx (2x3-6y 4 +20)=0 => d dx (2x3 )- d dx (6y4 )+ d (20)=0 => dx 6x2-4*6*y 3dy=0 => dx 6x2-24y 3dy =0 => dx 6x 2 =24y 3dy dx => dy dx = 6x2 24y 3 = x2 4y 3 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή ε d : Αν Q η ποσότητα και P η τιμή ενός προϊόντος, η ελαστικότητα ορίζεται σαν κλάσμα της ποσοστιαίας μεταβολής της ποσότητας ΔQ/Q για μια ποσοστιαία μεταβολή της τιμής ΔP/P: ε d = ΔQ/Q ΔP/P =ΔQ P ΔP Q = Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το ΔQ/ΔP με παράγωγο (Q προς P): ε d = dq dp Παράδειγμα: Έστω συνάρτηση ζήτησης Q=10-2P => dq dp =d(10 2P) =-2 => ε dp d = dq P dp Q =-2P Q Αν P=1 => Q=10-2*1=8 => ε d =-2 1 8 = 2 8 =-1 4 ε d = 1 <1 ζήτηση ανελαστική 4 P Q Η τιμή ε d =- 1 4 σημαίνει ότι αν αυξηθεί η τιμή του προϊόντος κατά +1% η ποσότητα θα μειωθεί κατά ¼% Αν P=2 => Q=10-2*2=6 => ε d =-2 2 6 = 4 6 =-2 3 ε d = 2 3 <1 ζήτηση ανελαστική 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Η έννοια της ελαστικότητας στην μικροοικονομική έχει σχέση με την παράγωγο!!!

y ΜΕΓΙΣΤΑ-ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) Η συνάρτηση έχει ολικό Ελάχιστο στο x 1 f(x) y Η συνάρτηση έχει τοπικό Μέγιστο στο x 2 f(x) y x 1 Η συνάρτηση έχει ολικό Μέγιστο στο x 1 x x 2 x 3 Η συνάρτηση έχει τοπικό Ελάχιστο στο x 3 x 1 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr f(x) x Μια συνάρτηση f(x) ανάλογα με την μαθηματική της σχέση μπορεί να έχει ΑΚΡΟΤΑΤΑ: Μέγιστο ή Ελάχιστο Τοπικά Ακρότατα: τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΗΣ f(x) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ f (x)

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ y dy dx > 0 Η συνάρτηση έχει ολικό Μέγιστο στο x 2 x 2 x 1 x 3 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr dy dx < 0 f(x) x Αν η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x 2 αναγκαστικά αριστερά του x 2 θα είναι αύξουσα και δεξιά του x 2 θα είναι φθίνουσα (ώστε το x 2 να είναι μέγιστο). Επειδή η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, αριστερά του x 2 η παράγωγος f (x)= dy, που dx στο σχήμα είναι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας, θα είναι θετική (για να αυξάνει η συνάρτηση) ΕΝΏ δεξιά του x 2 η παράγωγος f (x)= dy, που στο σχήμα είναι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας, θα είναι αρνητική (για να μειώνεται η συνάρτηση). Επειδή για την παράγωγο μιας συνάρτησης προϋπόθεση είναι η συνέχεια, αναγκαστικά στο σημείο x 2 που από αύξουσα γίνεται φθίνουσα, η παράγωγος από θετική γίνεται αρνητική θα έχουμε f (x)=0 στο x 2. dx

y ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) 1/3 dy dx > 0 dy dx = 0 dy dx < 0 f(x) Γράφημα της f(x) (πολυώνυμο 3 ου βαθμού): Η f(x) έχει 2 ακρότατα: Στο σημείο x 2 έχει τοπικό μέγιστο Στο σημείο x 5 έχει τοπικό ελάχιστο dy/dx x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Γράφημα της f (x) (πολυώνυμο 2 ου βαθμού): f (x) d 2 y > 0 dx2 x Είναι η παράγωγος της παραπάνω f(x) και την χρησιμοποιούμε για να ελέγξουμε «τι συμβαίνει» για τα ακρότατα της f(x) στα σημεία x 2, x 5. d 2 y < 0 dx2 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

y ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) 2/3 dy dx > 0 dy dx = 0 dy dx < 0 f(x) Στο σημείο x 2 η f(x) έχει τοπικό μέγιστο: Αριστερά στο σημείο x 1 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx > 0 Δεξιά στο σημείο x 3 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx <0 Στο σημείο x 2 η παράγωγος αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 dy/dx f (x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 d 2 y < 0 dx2 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr d 2 y > 0 dx2 x x Γράφημα της f (x) Αριστερά στο σημείο x 1 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx > 0 Δεξιά στο σημείο x 3 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx <0 Στο σημείο x 2 η παράγωγος f (x) αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 H 2 η παράγωγος d2 y dx 2 <0 θα είναι μικρότερη του μηδέν σε όλη την περιοχή x 1 έως x 3 επειδή η f (x) είναι φθίνουσα

y dy/dx f (x) ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (MIN-MAX) 3/3 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr dy dx < 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 d 2 y < 0 dx2 f(x) dy dx > 0 dy dx = 0 d 2 y > 0 dx2 x x Στο σημείο x 5 η f(x) έχει τοπικό ελάχιστο: Αριστερά στο σημείο x 4 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx < 0 Δεξιά στο σημείο x 6 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx >0 Στο σημείο x 5 η παράγωγος αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 Γράφημα της f (x) Αριστερά στο σημείο x 4 η παράγωγος είναι αρνητική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx < 0 Δεξιά στο σημείο x 6 η παράγωγος είναι θετική (κλίση εφαπτόμενης ευθείας) dy dx >0 Στο σημείο x 5 η παράγωγος f (x) αναγκαστικά θα είναι dy dx =0 H 2 η παράγωγος d2 y dx 2 >0 θα είναι μεγαλύτερη του μηδέν σε όλη την περιοχή x 4 έως x 6 επειδή η f (x) είναι αύξουσα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για μια συνάρτηση y=f(x) ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΓΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): f (x)= dy dx =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): f (x)= d2 y dx 2 <0 ΕΧΟΥΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): f (x)== dy dx =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): f (x)= d2 y dx 2 >0 ΑΝ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ 2 ης ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΊΝΑΙ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟ (ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗΣ f (x)= d2 y dx 2 =0) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν υπάρχουν περισσότερα από 1 σημεία (τιμές x) με f (x)= dy dx =0 τότε εξετάζουμε το Κ.Δ.Π. για το καθένα ξεχωριστά 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ (ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ) 1 Έστω y=7x 2-2x+1 για να βρούμε τα ακρότατα: Κ.Π.Π.: dy =0 => d(7x2 2x+1) =0 => 14x-2=0 => 14x=2 => x=2/14=1/7 dx dx Επομένως η συνάρτηση για x=1/7 έχει ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο) Κ.Δ.Π.: d2 y = d dx 2 dx (dy)=d(14x 2) 0 =14 >0, είναι >0 για όλες τις τιμές του x dx dx Επειδή η 2 η παράγωγος d2 y = 14 >0 το ακρότατο της συνάρτησης για x=1/7=0.14 είναι ελάχιστο. dx 2 2 Έστω y=x 3-12x 2 +44x-48 για να βρούμε τα ακρότατα: Κ.Π.Π.: dy =0 => d(x3 12x 2 +44x 48) =0 => 3x 2-24x+44=0 πολυώνυμο 2 ου βαθμού, Δ=b 2-4ac=(-24) 2-4*3*44)=48 => dx dx x 1 =3.08 και x 2 =5.15, δύο ακρότατα για την συνάρτηση (μέγιστα ή ελάχιστα) Κ.Δ.Π.: d2 y = d 24x+44) dx 2 dx (dy dx )=d(3x2 =6x-24 dx -20 Για x 1 =3.08 => d2 y =f (x dx 2 1 =3.08)=6x-24=6*3.08-24=18.48-24=-5.52<0 επομένως για x 1 =3.08 έχουμε μέγιστο Για x 2 =5.15 => d2 y = f (x dx 2 2 =5.15)= 6x-24=6*5.15-24=30.90-24=6.90>0 επομένως για x 2 =5.15 έχουμε ελάχιστο 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 8 6 4 2 y=7x 2-2x+1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y=x 3-12x 2 +44x-48 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ: ΣΥΝΟΛΙΚΑ-ΜΕΣΑ-ΟΡΙΑΚΑ ΕΣΟΔΑ Έστω TR συνολικό έσοδο (Total Revenue), AR μέσο έσοδο (Average Revenue) και MR οριακό έσοδο (Marginal Revenue) για την πώληση x μονάδων προϊόντος. Αν έχουμε τη συνάρτηση εσόδων TR=g(x) θα ισχύει: Μέσο έσοδο AC= TR x =g(x) x Οριακό έσοδο ΜR= d(tr) dx Παράδειγμα: =dg(x) dx =g (x) ο ρυθμός μεταβολής των εσόδων για 1 επιπλέον μονάδα παραγωγής. Έστω TR=50x-2x 2 => AR=TR/x=(50x-2x 2 )/x= 50-2x και MR=d(TR)/dx=(50x-2x 2 ) = 50-4x ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΕΣΟΔΑ: Κ.Π.Π.: d(tr) =MR=0 => d(50x 2x2 ) =0 =>50-4x=0 => x=50/4=12.5 ακρότατο dx dx Κ.Δ.Π.: d2 (TR) = d dx 2 dx d(tr) dx = d(50 4x) =-4 <0 επομένως για x=12.5 μέγιστα έσοδα dx 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ: ΣΥΝΟΛΙΚΑ-ΜΕΣΑ-ΟΡΙΑΚΑ ΚΟΣΤΗ Έστω TC συνολικό κόστος (Total Cost), AC μέσο κόστος (Average Cost) και MC οριακό κόστος (Marginal Cost) για την παραγωγή x μονάδων προϊόντος. Αν έχουμε τη συνάρτηση κόστους TC=f(x) θα ισχύει: Μέσο κόστος AC= TC x =f(x) x Οριακό κόστος ΜC= d(tc) παραγωγής. Παράδειγμα: dx 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr =df(x) =f (x) ο ρυθμός μεταβολής του κόστους παραγωγής για 1 επιπλέον μονάδα dx Έστω TC=x 3 +3x 2 +6x => AC=TC/x=(x 3 +3x 2 +6x)/x= x 2 +3x+6 Ενώ MC=d(TC)/dx=(x 3 +3x 2 +6x) = 3x 2 +6x+6 ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΣΤΟΣ: Κ.Π.Π.: d(tc) =MR=0 => d(x3 +3x 2 +6x) =0 =>3x 2 +6x+6=0, Δ=6 2-4*3*6=36-72=-36 <0 επομένως δεν υπάρχει λύση dx dx η παράγωγος TC =3x 2 +6x+6 είναι πάντα θετική για τιμές x>0 οπότε δεν υπάρχουν ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα)

ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΕΡΔΟΥΣ Έστω TR συνολικά έσοδα (Total Revenue), TC συνολικό κόστος (Total Cost) για την πώληση x μονάδων προϊόντος. Έσοδα: TR(x)=40x-8x 2 Κόστος: TC(x)=8+16x-x 2 Τα κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος=TR-TC=-8+24x-7x 2 Για να μεγιστοποιήσουμε τα κέρδη Π πρέπει: Κ.Π.Π.: dπ =0 => d( 8+24x 7x2 ) =0 =>24-14x=0 => x=24/14=12/7 θα είναι ακρότατο dx dx Κ.Δ.Π.: d2 Π = d(24 14x) =-14 <0 επομένως το x=12/7 είναι μέγιστο dx 2 dx ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα Μέγιστα Κέρδη δεν σημαίνουν απαραίτητα Μέγιστα Έσοδα ή Ελάχιστο Κόστος Μέγιστα Έσοδα: TR(x)=40x-8x 2 Κ.Π.Π.: dtr =0 => dx TR =(40x-8x2 ) =40-16x=0 => x=40/16=5/2=2.5 ενώ Κ.Δ.Π.: d2 TR =TR =(TR ) =(40-16x) =-16<0, επομένως το dx x=2.5 είναι μέγιστο εσόδων. 2 Ελάχιστα Κόστη: TC(x)=8+16x-x 2 Κ.Π.Π.: dtc dx =0 => TC =(8+16x-x2 ) =16-2x=0 => x=16/2=8 ενώ Κ.Δ.Π.: TC =(TC ) =(16-2x) =16>0, επομένως το x=8 είναι ελάχιστο κόστος. Μέγιστα Κέρδη x=12/7, Μέγιστα Έσοδα x=2.5, Ελάχιστο Κόστος x=8 (ΔΕΝ ΣΥΜΠΙΠΤΟΥΝ!!!) 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Το κόστος αποθεμάτων C επιχείρησης ως συνάρτηση του μεγέθους παραγγελίας q δίνεται από τη συνάρτηση: C=4860q -1 +15q+7500 Να βρεθεί το q που ελαχιστοποιεί το κόστος. Το ζητούμενο είναι ελαχιστοποίηση κόστους C επομένως: Κ.Π.Π.: dc dq =0 => C =(4860q-1 +15q+7500) =-4860q -2 +15=0 => 4860q -2 =15 => 4860/q 2 =15 => 4860=15q 2 => q 2 =4860/15=324 =>q=±18, το -18 απορρίπτεται γιατί το q είναι ποσότητα παραγγελίας και δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Κ.Δ.Π.: d2 C dq 2 =C =(C ) =(-4860q -2 +15) =-2*4860q -3 =9720/q 3 > 0 για οποιοδήποτε q>0, επομένως το q=18 είναι η τιμή που δίνει ελάχιστο κόστος. Το ελάχιστο κόστος είναι: C(q=18)=4860/18+15*18+7500=8040 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (1) 6.1 (Β 7.1) Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: y=6(x-5) 1/2 y=(2x-3)/5x y=e x (x-2) 1/2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Εφαρμογή κανόνων 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (2) 6.2 (Β 7.5) Η συνάρτηση για ένα αγαθό είναι q=20-4p a) Να βρεθεί η ελαστικότητα ζήτησης b) Να υπολογιστεί η ελαστικότητα για p=4, τι σημαίνει αυτό το αποτέλεσμα? c) Για ποια τιμή η ελαστικότητα γίνεται μοναδιαία. ΕΠΙΛΥΣΗ: ε d = dq P dp Q 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (3) 6.3 (Β 7.8) Η μηνιαία παραγωγή εταιρίας περιγράφεται από τις συναρτήσεις: R(x)=60x 2-4500x C(x)=0.1x 3-20x 2 +800x+8000 Στους επόμενους μήνες η παραγωγή αυξάνεται σύμφωνα με τη σχέση x=80+4t 2 /5 Να υπολογιστούν τα οριακά μεγέθη σε σχέση με το χρόνο: dr/dt, dc/dt, dπ/dt. ΕΠΙΛΥΣΗ: Σύμφωνα με τον κανόνα αλυσίδας: dr/dt=(dr/dx)(dx/dt) 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (4) 6.4 (Β 7.10) Η συνάρτηση ζήτησης ενός μονοπωλητή είναι p+3q-30=0 και η συνάρτηση κόστους είναι C(q)=2q 2 +10q. Να υπολογιστούν: a) Η παραγωγή και η τιμή που μεγιστοποιούν τα κέρδη. b) Η ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο μεγίστου κέρδους. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, Έσοδα=τιμή πώλησης * ποσότητα πώλησης. 31 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (5) 6.5 (Β 7.11) Η συνάρτηση κόστους μιας επιχείρησης TC=3x+8x 2 +2x 3 a) Βρείτε το μέσο κόστος AC και οριακό κόστος MC. b) Αν τα έσοδα είναι TR=20x-3x 2 βρείτε τα AR, MR. c) Βρείτε σε ποια τιμή του x μεγιστοποιείτε το κέρδος. d) Ελέγξτε αν το μέγιστο κέρδος αντιστοιχεί σε μέγιστα έσοδα. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 32 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (6) 6.6 Ένας παραγωγός πουλάει x προϊόντα την εβδομάδα στην τιμή P=200 0.01x το καθένα. Το συνολικό κόστος για την παραγωγή των x αυτών προϊόντων είναι C(x)=50x+20000. Πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει ο παραγωγός για να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος; Να βρεθεί το κέρδος αυτό και η τιμή πώλησης. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 33 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (7) 6.7 (ΑΛ 20) Η ποσότητα παραγωγής επιχείρησης qv σαν συνάρτηση του αριθμού των εργαζομένων l δίνεται από τη συνάρτηση q(l)=100l 2-0.1l 4. Με ποιο αριθμό εργαζομένων επιτυγχάνεται μέγιστη παραγωγή και πόση είναι η μέγιστη παραγωγή. ΕΠΙΛΥΣΗ: ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 34 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (8) 6.8 (ΑΛ 40) Η συνάρτηση ζήτησης είναι p=100-0.01x ενώ το κόστος δίνεται από τη σχέση C(x)=50x+10000. Βρείτε το x για μέγιστα κέρδη, το μέγιστο κέρδος και την τιμή για το μέγιστο κέρδος. ΕΠΙΛΥΣΗ: Κέρδη Π=Έσοδα-Κόστος, ΚΠΠ-ΚΔΠ για ακρότατα 35 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr