5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας - 0 A Ομάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρκής προόδου,,,... Είναι λ και...ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου,,,... Είναι λ και...iii) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρκής προόδου, 7,,... Είναι λ 7 και....iv) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου,,,... Είναι λ και...v) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρκής προόδου,,,... Είναι λ και.. 5
.vi) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρκής προόδου,,,... Είναι λ και....vii) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρκής προόδου, 0,, 0,,... Είναι λ 0, 0, και..0, 0,.viii) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρκής προόδου,,,... Είναι λ και...ix) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου,, 7,... Είναι λ και...i) Να βρείτε τον της γεωμετρικής προόδου,,,... Είναι λ και..ii) Να βρείτε τον της γεωμετρικής προόδου,,,,... 7 Είναι λ και. 7 7
.iii) Να βρείτε τον της γεωμετρικής προόδου, 7,,... Είναι λ 7 και. 7. 7. 7.iv) Να βρείτε τον της γεωμετρικής προόδου,,,,... 0 Είναι λ και. 0 0..v) Να βρείτε τον της γεωμετρικής προόδου, Είναι λ 7.7. και. 7,,,... 7 5 5.i) Να βρείτε τον ο όρο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο 5 ος όρος είναι και ο λόγος. 5 5 5
.ii) Να βρείτε τον ο όρο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο ος όρος είναι 7 και ο λόγος. 7.. 7 7 7 7.i) Να βρείτε το λόγο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο ος ος όρος είναι. () 5 () λ όρος είναι και ο.ii) Να βρείτε το λόγο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο ος όρος είναι και ο 5 ος όρος είναι. 5 5.. 7 λ () ()
5 5.i) Να βρείτε τον μιας γεωμετρικής προόδου με 5 και 5 0 5 5 0 0 5 5 5 5 () 5 5 () α) Για λ, η () 5 5. 5 000 Οπότε 000 λ β) Για λ, η () 5 5. 5 000 Οπότε 000 000 ή λ
5.ii) Να βρείτε τον μιας γεωμετρικής προόδου με 0 και () () 5 0 λ ή λ α) Για λ η () Άρα 0 β) Για λ η () Άρα 0 0 0. Έστω η γεωμετρική πρόοδος,,,... μέχρι και τον όρο που ισούται με 7 Είναι λ Να βρείτε το πλήθος των όρων της 7 7. 7 5 ν ν
7 7.i) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου,,,..., που υπερβαίνει το 000. Είναι λ > 000 > 000. > 000 > 500 Επειδή όμως 5 και 5, θα έχουμε ν ν 0 άρα ο ζητούμενος όρος είναι ο 0 7.ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου,,,..., που είναι μικρότερος του 0, 5 Είναι λ < 0,5 < 0,5 < 7 < < < > Άρα ο ζητούμενος όρος είναι ο 7 ν > ν > 0 άρα ν
. i) Να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 0, καθώς και των και. ii) Να βρείτε τον x ώστε οι αριθμοί x, x +, x να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο. i) Γεωμετρικός μέσος των 5 και 0 5.0 00 0 Γεωμετρικός μέσος των και ii) Θα πρέπει x (x ) x ) x x 5x 75 x x x x + 7.i) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της γεωμετρικής προόδου,,,... λ και S 0 0. 0 0.ii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της γεωμετρικής προόδου,, 7,... λ και S 0 0. 0. 0.iii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της γεωμετρικής προόδου,,,... λ S 0 και 0. 0 ( ). 0 0
0.i) Να υπολογίσετε το άθροισμα + + +... + Οι όροι του αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με, λ και.. ( ) ν ν 7 Άρα S 7 7 7 5 0
0 0.ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα + + +... + 5 Οι όροι του αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με, λ και 5 5 ν ν Άρα S 0 0 0 05 0 0 0 0 0
0.iii) Να υπολογίσετε το άθροισμα + ( ) + +... + 5 Οι προσθετέοι του αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με, λ Άρα S και. 5 5. ν ν. Μια κοινωνία βακτηριδίων διπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. Αν αρχικά υπάρχουν βακτηρίδια, πόσα βακτηρίδια θα υπάρχουν ύστερα από ώρες ; Έστω ο αριθμός των βακτηριδίων σε ν ώρες, Τότε. Άρα πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο και λ. και πλήθος 0 όρων ν (,,..., ) 0 0.. Μια μπάλα πέφτει από ύψος 0 μέτρων και αναπηδά σε έδαφος φθάνοντας κάθε φορά στο του ύψους της προηγούμενης αναπήδησης. Να βρείτε σε τι ύψος θα φθάσει στην η αναπήδηση. Έστω το ύψος, στο οποίο φθάνει η μπάλα ση ν-οστή αναπήδηση. Τότε. Άρα πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο 0 0 και λ. 0. 0. 7 0 7 m.
Β Ομάδας. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι. Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους και λ. Άρα πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο με. και λ. Για ποια τιμή του ν οι αριθμοί 5, 0, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; Περιορισμοί: ν 5 0 και 0ν + 0 και ν + 0 ν 5 και ν 0 και ν ν 5 Οι αριθμοί 5, 0, είναι διαδοχικοί όροι γ.προόδου 5 ( 0 ) Δ + 5 5, ν 0 5 0ν + (ν 5)(ν + ) 0ν + + ν 5ν 0 ν 0 5 5 ή απορρίπτεται
. Να δείξετε ότι : i) Τα τετράγωνα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου σχηματίζουν επίσης γεωμετρική πρόοδο. ii) Αν υψώσουμε κάθε όρο μιας γεωμετρικής προόδου στην k, τότε προκύπτει πάλι γεωμετρική πρόοδος. Η απάντηση στο ii) καλύπτει και το i) Έστω η γεωμετρική πρόοδος,,... Τότε λ, όπου λ ο λόγος της προόδου k k k που σημαίνει ότι οι k, k,... αποτελούν γ.πρόοδο με λόγο k
. Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο, της οποίας το άθροισμα των δύο πρώτων όρων της είναι + και το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι ( + ). + + + λ + ( + λ) + () + + + ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + λ) ( + ) () Για + λ 0, δηλαδή για λ, η εξίσωση () είναι αδύνατη Για + λ 0, δηλαδή για λ, έχουμε (5) () λ ή λ α) Για λ, η εξίσωση () ( + ) + ( )( ) ( )( ) β) Για λ, η εξίσωση () ( ) + ( )( ) ( )( )
5 5. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της γεωμετρικής προόδου, στην οποία είναι + και +. 7 + λ + 5 λ ( + ) () + + 7 ( + () () λ () ( + ). 7 ) () S 0 0. 0 0. Ο πληθυσμός μιας χώρας είναι 0 εκατομμύρια και παρουσιάζει ετήσια αύξηση %. Αν α ν είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από ν χρόνια, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς και τον γενικό όρο της ακολουθίας (α ν ). Ποιος θα είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από 0 χρόνια; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης] Αν α ν είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από ν χρόνια, τότε μετά από ν + χρόνια θα είναι α ν+ α ν + 00 α ν,0 α ν Οπότε η ακολουθία θα έχει αναδρομικό τύπο α ν+,0 α ν Μετά τον πρώτο χρόνο ο πληθυσμός θα είναι α 0 + 0 0,0 εκ/ρια 00 Επομένως η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με α 0,0 και λόγο λ,0 Ο γενικός όρος της προόδου θα είναι α ν α λ ν- 0,0,0 ν- 0,0 ν Μετά από 0 χρόνια ο πληθυσμός θα είναι α 0 0,0 0 0, εκ/ρια
7. Η ένταση του φωτός μειώνεται κατά 0% όταν αυτό διέρχεται από ένα φίλτρο. Αν Ι ν είναι η ένταση του φωτός αφού διέλθει διαδοχικά μέσα από ν τέτοια φίλτρα, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς επίσης και τον γενικό όρο της ακολουθίας Ι ν Ποια θα είναι η ένταση του φωτός, αν διέλθει μέσα από 0 τέτοια φίλτρα και η αρχική ένταση είναι Ι ο ; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης] Από τις υποθέσεις συμπεραίνουμε ότι Ι ν + Ι ν 0 Επίσης Ι 0, Ι ο 00 Ι ν 0 Ι ν 0, Ι ν Άρα η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με Ι 0, Ι ο και λόγο λ 0, Ο γενικός όρος της προόδου είναι Ι ν Ι λ ν- 0,Ι ο 0, ν- Ι ο 0, ν Αφού το φως διέλθει μέσα από 0 φίλτρα, η ένταση του θα είναι Ι 0 Ι ο 0,0 0 0,5 Ι ο. Σε ένα όργανο μουσικής ο τόνος C έχει συχνότητα Hz και η οκτάβα του C έχει διπλάσια συχνότητα. Ανάμεσα στους C και C υπάρχουν επιπλέον τόνοι, των οποίων οι συχνότητες σχηματίζουν με τις συχνότητες των C και C διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Να υπολογίσετε i) το λόγο της προόδου ii) τη συχνότητα του πέμπτου τόνου. i) Οι τόνοι C και C μαζί με τους ενδιάμεσους σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με πρώτον όρο α και τελευταίο όρο α 5 Αν λ είναι ο λόγος της προόδου τότε α α λ ii) 5 λ λ Η συχνότητα του 5 ου τόνου θα είναι α 5 α λ 5 λ (λ > 0 διότι δεν υπάρχει αρνητική συχνότητα )
7. Το ψυγείο ενός φορτηγού περιέχει 0 lt νερό. Αδειάζουμε lt νερό και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό. Ύστερα αδειάζουμε lt του μείγματος και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό κ.ο.κ. Αν D ν είναι η ποσότητα του νερού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η διαδικασία ν φορές, να βρείτε : i) Έναν αναδρομικό τύπο της ακολουθίας D ν ii) Την ποσότητα του ανιπυκτικού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η διαδικασία i) 7 φορές. [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης] Από τις υποθέσεις συμπεραίνουμε ότι D ν + D ν 0 D ν 0, D ν Επίσης D 0 Επομένως η ακολουθία D ν είναι γεωμετρική πρόοδος με D, λόγο λ 0, και γενικό όρο D ν D λ ν- 0, ν- ii) Αν εφαρμοστεί η διαδικασία 7 φορές, τότε το νερό μέσα στο ψυγείο θα είναι D 7 0, 7-0,, lt Άρα το αντιπυκτικό θα είναι 0, 0,7 lt.
0. Λέγεται ότι ο εφευρέτης του σκακιού παρακλήθηκε από έναν Ινδό βασιλιά να ζητήσει όποια αμοιβή ήθελε για την σπουδαία ιδέα του. Ο εφευρέτης ζήτησε να πάρει το ρύζι που θα μαζευόταν ως εξής : Στο ο τετραγωνάκι του σκακιού να έβαζε κάποιος έναν κόκκο ρυζιού, στο ο τετραγωνάκι κόκκους στο ο τετραγωνάκι κόκκους, στο 5 ο τετραγωνάκι κόκκους κτλ. Να βρείτε πόσοι τόνοι ρυζιού θα ήταν η ποσότητα αυτή αν Kg ρυζιού έχει 0000 κόκκους. Το πλήθος των κόκκων είναι ίσο με το άθροισμα των πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτον όρο α και λόγο λ S ( ) Η ποσότητα αυτή σε κιλά είναι ίση με,. 0 Kg,. 0 τόνοι. 0000