Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Οι Πραγματικοί Αριθμοί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους...43. Διάταξη Πραγματικώ Αριθμώ...54.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού...6.4 Ρίζες Πραγματικώ Αριθμώ...69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o: Εξισώσεις 3. Εξισώσεις ου Βαθμού...79 3. Η Εξίσωση = α...86 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού...88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4o: Αισώσεις 4. Αισώσεις ου Βαθμού...0 4. Αισώσεις ου Βαθμού...06 4.3 Αισώσεις Γιόμεο & Αισώσεις Πηλίκο...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5o: Πρόοδοι 5. Ακολουθίες... 5. Αριθμητική Πρόοδος...5 5.3 Γεωμετρική Πρόοδος...3 5.4 Αατοκισμός - Ίσες Καταθέσεις...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6o: Βασικές Έοιες τω Συαρτήσεω 6. Η Έοια της Συάρτησης...45 6. Γραφική Παράσταση Συάρτησης...5 6.3 Η Συάρτηση f () = α + β...59 6.4 Κατακόρυφη - Οριζότια Μετατόπιση Καμπύλης...68 6.5 Μοοτοία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συάρτησης...75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7o: Μελέτη Βασικώ Συαρτήσεω 7. Μελέτη της Συάρτησης f () = α...88 7. Μελέτη της Συάρτησης f () = α...94 7.3 Μελέτη της Συάρτησης f () = α + β + γ...99 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ...07 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ...3

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ κεφαλαιο Ε. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γωρίσουμε μερικές βασικές έοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συέχεια, όπου αυτό κρίεται ααγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικώ εοιώ, προτάσεω κτλ. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε ααφέροται σε έοιες και ιδιότητες που είαι γωστές από το Γυμάσιο. Η συεπαγωγή Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Είαι γωστό ότι: Α οι αριθμοί α και β είαι ίσοι, τότε και τα τετράγωά τους θα είαι ίσα. Αυτό σημαίει ότι: Α ο ισχυρισμός «α = β» είαι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α αληθής. = β» θα είαι Γι αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α= β» συεπάγεται το ισχυρισμό «α = β» και γράφουμε: α = β α = β. Γεικά: Α P και Q είαι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, ότα αληθεύει ο P α αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο P συεπάγεται το Q και γράφουμε P Q. Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται συεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «α P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συεπαγωγής, εώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής (). () Στη καθημεριή πράξη, συήθως, δε χρησιμοποιούμε συεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δε έχει αάγκη τέτοιου είδους συεπαγωγώ. Όμως, για τεχικούς λόγους που συδέοται με τη ευκολία της έκφρασης μαθηματικώ ζητημάτω, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συεπαγωγή «P Q» α είαι αληθής και στη περίπτωση που η υπόθεση P είαι ψευδής. Έτσι, η συεπαγωγή «P Q» είαι ψευδής, μόο ότα η υπόθεση P είαι αληθής και το συμπέρασμα Q είαι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρότος βιβλίου δε μπορού α εξηγηθού οι λόγοι που οδήγησα σε αυτή.

πιθαοτήτεσ Κεφάλαιο ο Εισαγωγή πάρχει σε πολλούς η ετύπωση ότι το κύριο κίητρο για τη αάπτυξη της Θεωρίας τω Πιθαοτήτω προήλθε από το εδιαφέρο του αθρώπου για τα τυχερά Υ παιχίδια. Σηματική μάλιστα ώθηση στη αάπτυξη του κλάδου αυτού τω Μαθηματικώ αποτέλεσε η γόιμη αλληλογραφία που ααπτύχθηκε αάμεσα στους Pascal και Fermat το 7ο αιώα με αφορμή διάφορα προβλήματα που προέκυψα από τη εασχόληση του αθρώπου με τα τυχερά παιχίδια. Μολοότι όμως τα τυχερά παιχίδια ήτα ευρέως διαδεδομέα και στους Αρχαίους Έλληες και στους Ρωμαίους, η Θεωρία τω Πιθαοτήτω δε ααπτύχθηκε κατά τη αρχαιότητα, όπως συέβη με άλλους κλάδους τω Μαθηματικώ, αλλά πολύ αργότερα, το 6ο και 7ο αιώα μ.χ. Γι' αυτό πολλοί απορρίπτου τη άποψη ότι η Θεωρία τω Πιθαοτήτω οφείλει τη γέεσή της στη εασχόληση του αθρώπου με τα τυχερά παιχίδια και τη αποδίδου στις αάγκες α λυθού προβλήματα που παρουσιάστηκα με τη αάπτυξη του εμπορίου, τω ασφαλίσεω, της συλλογής εσόδω του κράτους κτλ. Η αάπτυξη της Θεωρίας τω Πιθαοτήτω οφείλεται επίσης και στις αάγκες τω Φυσικώ Επιστημώ όπως η εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλμάτω σε αστροομικές παρατηρήσεις. Η Θεωρία τω Πιθαοτήτω ααπτύχθηκε ακόμα περισσότερο το 8ο αιώα με τις αξιοσημείωτες εργασίες τω μαθηματικώ Bernoulli, Moivre, Laplace και Gauss. Ιδιαίτερα ο Laplace με τις εργασίες του άοιξε μια καιούργια εποχή για τη Θεωρία Πιθαοτήτω. Γιατί ο Laplace δε περιορίζεται μόο στη μαθηματική αάλυση τω τυχερώ παιγιδιώ, αλλά εφαρμόζει τα συμπεράσματά του και σε έα πλήθος από επιστημοικά και πρακτικά προβλήματα. Έτσι, με αφορμή τη μελέτη τω σφαλμάτω

56. OI ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α > β. Τότε, από τη (*), για προκύπτει ότι: α > β. α = α =... = α = α > 0 και β = β =... = β = β > 0, Για τη απόδειξη του ατιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι α > β και α β. Τότε: 9 α ήτα α = β, από το ορισμό της ισότητας θα είχαμε α = β (άτοπο), εώ 9 α ήτα α < β, θα είχαμε α < β (άτοπο). Άρα, α > β. Με τη βοήθεια της παραπάω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι: Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ισχύει η ισοδυαμία: ΑΠΟΔΕΙΞΗ α = β α = β Έστω α = β. Τότε, από το ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προηγουμέως, ότι α = β. Για τη απόδειξη του ατιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι α = β και α β. Τότε: 9 α ήτα α > β, λόγω της (4), θα είχαμε α > β (άτοπο), εώ 9 α ήτα α < β, λόγω της (4), θα είχαμε α < β (άτοπο). Άρα, α = β. ΣΧΟΛΙA ο Σύμφωα με τη ιδιότητα 3, α δυο αισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσουμε κατά μέλη, προκύπτει αισότητα της ίδιας φοράς. Δε συμβαίει όμως το ίδιο με τη αφαίρεση. Για παράδειγμα, είαι 0 > 6 και 7 >, αλλά 0 7 < 6. ο Επίσης, σύμφωα με τη ιδιότητα 3, α δυο αισότητες της ίδιας φοράς με θετικούς, όμως, όρους τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, προκύπτει αισότητα της ίδιας φοράς. Δε συμβαίει όμως το ίδιο με τη διαίρεση. Για παράδειγμα, είαι 4 > 0 και 6 >, αλλά 4 6 0.

. ΡΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚ ΑΡΙΘΜ 7 Για παράδειγμα: 6 6 6 6, εώ ( ) = =. Ισχύου όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είαι αάλογες τω ιδιοτήτω της τετραγωικής ρίζας: Α α, β 0, τότε:. α β = αβ. α β α = (εφόσο β 0) β 3. µ α = µ α ρ µ µρ 4. α = α ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Έχουμε: α β = αβ ( α β) = ( αβ ). Αποδεικύεται όπως και η. 3. Έχουμε: 4. Έχουμε: ( α) ( β) = αβ αβ = αβ, που ισχύει. µ µ µ µ µ µ α = α ( α) = ( α) ( µ α) µ = α ( α) = α, που ισχύει. ρ ρ µρ µρ ρ µ ρ µ α = α = ( α ) = α.

4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ Πρόσημο γιομέου Έστω ότι θέλουμε α μελετήσουμε έα γιόμεο P() = Α(). Β().. Φ() ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοτες Α(), Β(),, Φ() είαι της μορφής α + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής α + β + γ (τριώυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοτα χωριστά και στη συέχεια το πρόσημο του P(), όπως φαίεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του R το πρόσημο του γιομέου ΛΥΣΗ P ( ) = ( )( + 6)( + + ). Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοτα χωριστά ως εξής: 9 Επειδή 0, το είαι θετικό για >, μηδέ για = και αρητικό για <. 9 Επειδή + 6 0 ( + 3)( ) 0 3 ή, το + 6 είαι θετικό για < 3 και για >, μηδέ για = 3 και για = και αρητικό για 3 < <. 9 Επειδή το + + έχει διακρίουσα Δ = 8 = 7 < 0, το τριώυμο αυτό είαι θετικό για κάθε R. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γιομέου P() γίεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίακα, εφαρμόζοτας το καόα τω προσήμω. 3 + 0 + + + 6 + 0 0 + ++ + + + + P() 0 + 0 0 + Ώστε το γιόμεο P() είαι θετικό για 3 < < και για >, εώ είαι αρητικό για < 3 και για < <. Τέλος είαι μηδέ για = 3, για = και για =.

. ΑΡΙΘΜ ΤΙΚ ΠΡΟΟ Ο 7 Άθροισμα διαδοχικώ όρω αριθμητικής προόδου Ας θεωρήσουμε τη αριθμητική πρόοδο,, 3, 4,... και ας βρούμε το άθροισμα τω 00 πρώτω όρω της S 00 =++3+...+98+99+00 Ατί α προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με το συήθη τρόπο, μπορούμε α βρούμε συτομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Γράφουμε δυο φορές το παραπάω άθροισμα, αλλά με ατίθετη τη σειρά τω προσθετέω και προσθέτουμε τις δυο ισότητες κατά μέλη: S 00 = + + 3+... + 98+ 99 + 00 S 00 = 00 + 99 + 98 +... + 3+ + S = ( + 00) + ( + 99) + ( 3+ 98) +... + ( 98 + 3) + ( 99+ ) + ( 00 + ) 00 ή S = 0+ 0+ 0+... + 0+ 0+ 0 00 00 0 ή S 00 = 00 0, άρα S 00 = = 5050 Εφαρμόζοτας το παραπάω τρόπο σε μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι: Το άθροισμα τω πρώτω όρω αριθμητικής προόδου (α ) με διαφορά ω είαι S = ( α + α ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Έχουμε: S = α + ( α + ω) + ( α + ω) +... + [ α + ( ) ω] + [ α + ( ) ω] και S = α + ( α ω) + ( α ω) +... + [ α ( ) ω] + [ α ( ) ω] Α προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάω ισότητες έχουμε: S = ( α+ α ) + ( α+ α ) + ( α+ α ) +... + ( α + α) + ( α + α) ή S = α ( + α ). Άρα S = ( α + α ). Επειδή α = α + ( ) ω, ο τύπος S = ( α + α ) γράφεται: S = [ α + ω ( ) ]

. Γ Μ ΤΡΙΚ ΠΡΟΟ Ο 33 Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, 6,, 4,... η οποία έχει α = 3 και λ= 6 = 3 ο os = όρος της είαι α = 3 ( ). Επομέως ο 5 os = όρος της είαι α 5 = 3. ( ) 4 = 48, ο δέκατος όρος της είαι α 0 = 3. ( ) 9 = 536 κτλ. Γεωμετρικός μέσος Α πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει β α = λ και γ β = λ, επομέως β γ = ή β = αγ α β Αλλά και ατιστρόφως, α για τρεις αριθμούς α, β, γ 0 ισχύει β = αγ, τότε έχουμε β γ =, που σημαίει ότι οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο α β θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος τω α και γ. Αποδείξαμε λοιπό ότι: Τρεις μη μηδεικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α και μόο α ισχύει β = αγ. Άθροισμα διαδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου Ας θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο, 3, 9, 7,... στη οποία είαι α = και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S 7 τω 7 πρώτω όρω της. Έχουμε S 7 = + 3+ 9+ 7+ 8+ 43 + 79 () Ατί α προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με το συήθη τρόπο, μπορούμε α βρούμε συτομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της () με το λόγο λ = 3 και έχουμε 3S 7 = 3+ 9+ 7+ 8+ 43 + 79 + 87 () Αφαιρούμε από τα μέλη της () τα μέλη της () και έχουμε: 3S S = 87 7 7 S7 86 S 7 093 Εφαρμόζοτας το παραπάω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι: Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας γεωμετρικής προόδου (α ) με λόγο λ είαι S = α λ.. λ

5.4 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ - ΙΣΕΣ ΚΑΤΑΘΕΣΕΙΣ Με τη βοήθεια τω γεωμετρικώ προόδω μπορούμε α λύσουμε προβλήματα οικοομικής φύσεως, που συχά παρουσιάζοται στις συαλλαγές με πιστωτικούς οργαισμούς. Αατοκισμός ΠΡΟΒΛΗΜΑ Καταθέτουμε στη τράπεζα έα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση εός χρόου οι τόκοι προστίθεται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είαι το έο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για το επόμεο χρόο. Α η διαδικασία αυτή επααληφθεί για χρόια, α βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του oυ = χρόου. (Το πρόβλημα αυτό είαι γωστό ως πρόβλημα αατοκισμού.) ΛΥΣΗ Στο τέλος του oυ ε = χρόου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο α και μαζί με το τόκο θα 00 γίει α = ε α + ε α α. 00 = + 00 Στο τέλος του oυ ε = χρόου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο α και μαζί με το τόκο 00 θα γίει α = ε α + ε α α 00 = + 00. Στο τέλος του 3 oυ = χρόου το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίει ε α3 = α + 00 κτλ. ε και γεικά στο τέλος του oυ = χρόου το κεφάλαιο θα γίει α = α + 00. Παρατηρούμε ότι τα α, α, α 3,, α είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με ε ε α = α + και λ = +. 00 00 Άρα, σύμφωα με το τύπο του oυ = όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του oυ = χρόου ε ε το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίει α = α + + 00 00 ε ή α = α +. 00

54. Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ Απόσταση σημείω Έστω O έα σύστημα συτεταγμέω στο επίπεδο και Α(, ) και B(, ) δύο σημεία αυτού. Θα δείξουμε ότι η απόστασή τους δίεται από το τύπο: ( AB) = ( ) + ( ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το ορθογώιο τρίγωο KAB σχήματος έχουμε: ( AB) = ( KA) + ( KB) του διπλαού B(, ) = + οπότε: = ( ) + ( ) Α(, ) Κ(, ) ( AB) = ( ) + ( ). O Ο παραπάω τύπος ισχύει και στη περίπτωση που η ΑΒ είαι παράλληλη με το άξοα (Σχήμα γ ) ή παράλληλη με το άξοα (Σχήμα δ ). B(, ) = Α(, ) B(, ) Α(, ) O = Σχήμα γ Σχήμα δ O Για παράδειγμα, α Α(3,), Β(3,5) και Γ(,) είαι οι κορυφές εός τριγώου A ΒΓ, τότε θα είαι: ( AB ) = ( 3 3) + ( 5 ) = 4 = 4 ( AΓ ) = ( 3) + ( ) = 4 = 4 ( ΒΓ ) = ( 3) + ( 5) = 4 + 4 = 4.

60. Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ Γραφική παράσταση της συάρτησης f() = α + β Ας θεωρήσουμε τη συάρτηση f () = 0,5 +. Όπως πρακτικά διαπιστώσαμε στο Γυμάσιο, η γραφική παράσταση της ƒ είαι ευθεία γραμμή με εξίσωση = 0,5+ (Σχήμα). B(0,) = 0,5 + ω A(,0) O(0,0) Η ευθεία αυτή: 9 Τέμει το άξοα στο σημείο Α(,0), αφού για = 0 βρίσκουμε =, και το άξοα στο σημείο Β(0,), αφού για = 0 βρίσκουμε = και 9 Έχει κλίση: ( ΟΒ) λ= εϕω = = = 05., ( ΟΑ) Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η κλίση λ της ευθείας = 0,5+ είαι ίση με το συτελεστή του. Γεικά, όπως θα αποδείξουμε στη Β Λυκείου, η γραφική παράσταση της συάρτησης f () = α + β είαι μία ευθεία, με εξίσωση = α + β, η οποία τέμει το άξοα τω στο σημείο Β(0,β) και έχει κλίση λ = α. Είαι φαερό ότι: α α > 0, τότε 0 < ω < 90 α α < 0, τότε 90 < ω < 80 α α = 0, τότε ω = 0. Στη περίπτωση που είαι α = 0, η συάρτηση παίρει τη μορφή f () = β και λέγεται σταθερή συάρτηση, διότι η τιμή της είαι η ίδια για κάθε R. Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία A(, ) και B(, ) της ευθείας = α + β. ε ω O B(, ) ω A(, ) K(, )

6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συάρτηση f ( ) = +. Επειδή η γραφική παράσταση της συάρτησης f ( ) = +, θα αποτελείται από τις ημιευθείες 9 = +, με 0 και 9 = +, με 0, που έχου αρχή το σημείο του άξοα και είαι παράλληλες με τις διχοτόμους τω γωιώ 'Ô και Ô από τις οποίες, όπως είαι γωστό, αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα)., f ( ) = + α < 0, +, α 0 Επομέως, α μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = κατακόρυφα () και προς τα πάω κατά μοάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f ( ) = +. Αυτό, άλλωστε, ήτα ααμεόμεο, αφού ισχύει: f ( ) = ϕ( ) +, για κάθε R, που σημαίει ότι για κάθε R το ƒ() είαι κατά μοάδα μεγαλύτερο του φ(). = + O = Γεικά: Η γραφική παράσταση της συάρτησης ƒ, με: f ( ) = ϕ ( ) + c, όπου c > 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μοάδες προς τα πάω (Σχήμα α'). () Δηλαδή παράλληλα με το άξοα '.

6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μοοτοία συάρτησης Στο παρακάτω σχήμα δίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης T = ƒ(t) που εκφράζει τη θερμοκρασία Τ εός τόπου συαρτήσει του χρόου t κατά το χροικό διάστημα από τα μεσάυχτα μιας ημέρας (t = 0) μέχρι τα μεσάυχτα της επόμεης μέρας (t = 4). o T( C) T=f (t) 5 3 O 4 6 4 t(h) α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [4,6] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας αέρχεται. o T( C) T=f (t) f (t ) f (t ) Ο 4 t t 6 4 t(h)

7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f () = α Η συάρτηση () = Ας θεωρήσουμε τη συάρτηση g ( ). Παρατηρούμε ότι η συάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού όλο το R * = (,0) (0, + ) και είαι περιττή, διότι για κάθε R * ισχύει: g( ) = = g ( ) Επομέως, η γραφική της παράσταση έχει κέτρο συμμετρίας τη αρχή τω αξόω. Γι αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα τη παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα (0, + ). Έχουμε λοιπό: Μοοτοία: Έστω τυχαία, ( 0, + ) με. Τότε θα ισχύει, οπότε θα έχουμε g ( ) g ( ). Άρα η συάρτηση g ( ) είαι γησίως φθίουσα στο (0, + ). Πρόσημο τω τιμώ της : Για κάθε (0,+ ) ισχύει g ( ) = > 0. Επομέως, στο διάστημα (0, + ) η γραφική παράσταση της g θα βρίσκεται πάω από το άξοα τω. Συμπεριφορά της για μικρές τιμές του : Ας θεωρήσουμε το παρακάτω πίακα τιμώ της g για "πολύ μικρές" τιμές του : g() = 0 0 0 0 0 50 0 000 0 00 0 0 0 0 0 50 0 00 0 000...... 0 + Παρατηρούμε ότι, καθώς το μειώεται απεριόριστα και παίρει τιμές οσοδήποτε κοτά στο 0 ή, όπως λέμε, τείει στο 0, το αυξάεται απεριόριστα και τείει στο +. Αυτό σημαίει ότι, καθώς το "πλησιάζει" το 0 από τα δεξιά, η γραφική παράσταση της g τείει α συμπέσει με το ημιάξοα O. Γι αυτό ο άξοας λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα πάω.