ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2



Σχετικά έγγραφα
Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή

Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

Θεωρία Υλικών, 11/2/2011

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0.

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

fysikoblog.blogspot.com

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Ŝ y, για σπιν ½, όπου. και. 1/2 x 1/2,

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

P m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)

Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Θεωρητική Επιστήμη Υλικών

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Θεωρήματα Ehrenfest-Parity- -Μέση τιμή τελεστή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

Τι Πρέπει να Γνωρίζω

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 6/5/08

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

Θεωρητική Επιστήμη Υλικών

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Αρμονικός Ταλαντωτής

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +)

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική για Μηχανικούς

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Φυσική για Μηχανικούς

ΕΝΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΛΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΥΡΗΝΕΣ

= k2 x Y = k 2 + kx 2 Y. = k2 y

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

F = dv dx = kx. V (x) = V (0) + V (0)x V (0)x 2 +.

Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +)

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 9: Χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schro dinger. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Το θεώρηµα Hellmann- Feynman

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ. Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Transcript:

Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A 1 cosh(γ x) b / < x < b / A cos(kx) + B sin(kx) b / < x < a + b / A 3 e γ x x > a + b / όπου γ = m E και k = m(v E ) 0!! και εφαρµόζοντας τις συνθήκες συναρµογής για x = b / και x = a + b / και µετά την απαλοιφή των σταθερών A 1, A, A 3, B καταλήγουµε στην k cosh(bγ / )(γ cos(ka) k sin(ka)) + γ sinh(bγ / )(k cos(ka) + γ sin(ka)) = 0 ενώ για τις περιττές έχουµε (x) = A 3 e γ x A cos(kx) + B sin(kx) A 1 sinh(γ x) x < a b / a b / < x < b / b / < x < b / A cos(kx) + B sin(kx) b / < x < a + b / A 3 e γ x x > a + b / και γ cosh(bγ / )(k cos(ka) + γ sin(ka)) + k sinh(bγ / )(γ cos(ka) k sin(ka)) = 0 Στο όριο b 0 έχουµε την εξίσωση του πηγαδιού µε πλάτος a και µπορούµε να υπολογίσουµε γραφικά τις λύσεις, π.χ. για a mv 0 = 10 έχουµε z = 1 E = 0.003 για! V 0

την θεµελιώδη και z = 0.0813 για την πρώτη διεγερµένη, ενώ για b οι εξισώσεις συµπίπτουν µε αυτές του πηγαδιού µε πλάτος a, και η λύση για την θεµελιώδη είναι z = 0.068. Παρατητούµε λοιπόν ότι για την θεµελιώση η λύση στο όριο b 0 είναι µικρότερη από το όριο b, γεγονός που µε βάση την αρχή ελάχιστης ενέργειας οδηγεί σε ελκτικό δυναµικό. 0.35 0.30 Trith di g rm nh HoddL 0.5 Hodd+ê- oddl 0.0 D ut rh di g rm nh HevenL 0.15 0.10 0.05 Prwth di g rm nh HoddL Q m liwdhv HevenL Heven+ê- evenl 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 ΑΣΚΗΣΗ (α) F ολ = dv dx και άρα V = 1 mω x Fx! / m d Ψ dx + ( 1/ mω x Fx)Ψ = EΨ V = 1 mω x Fx = 1 mω (x f ) 1 mω f f = F mω x = x f! / m d Ψ dx + ( 1/ mω x 1/ mω f )Ψ = EΨ και άρα οι λύσεις είναι Ψ(x) = n (x ), όπου n ταλαντωτή και E n =!ω n + 1 1 mω f οι ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού (β) η κυµατοσυνάρτηση δεν είναι πλέον ιδιο-συνάρτηση και άρα θα δίνεται εν γένει από (x,t) = e ie n t /! c n n (x ) n

και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι για t = 0, (x,t = 0) = 0 (x), µπορούµε να υπολογίσουµε τα c n + c n = dx 0 (x) n (x f ) Θα ακολουθήσουµε όµως µια άλλη οδό µε την χρήση των τελεστών δηµιουργίαςκαταστροφής. a = mω! x + ip x m!ω, a = οπότε η αρχική hamiltonian γράφεται mω! x ip x m!ω H =!ω a a + 1 και οι ιδιο-συναρτήσεις n = 1 n! a η καινούργα hamiltonian είναι n 0 H =!ω a a + 1 Fx =!ω a a + 1 F! mω a + a και µε την αλαγή b = a g, g = F = f mω!mω 3! και H =!ω b b + 1 1 mω f µε ιδιοτιµές E =!ω n + 1 n 1 mω f και ιδιο-συναρτήσεις n = 1 n n! b 0 ενώ για τα c n, c n = n 0 και αντικαθιστώντας c n = 1 n! 0 bn 0 = 1 n! 0 a g + 0 0 = dx (x f ) (x) = e 1/ g και άρα 0 0 (t) = e 1/ g e ie 0 t /! n ( ge ) iωt n n n! ( n 0 = g ) n n! 0 0, όπου (γ) x = (t) x (t) =! mω (t) a + a (t) = ( ge ) iωt n! mω (t) b + b (t) + g b (t) = e 1/ g e ie 0 t /! b n b n n! = n n 1 n! mω

b (t) = e 1/ g e ie 0 t /! n=1 ( ge ) iωt n n! n n 1 n 1 ge = ( iωt ge iωt )e 1/ g e ie 0 t /! n=1 (n 1)! n 1 = ge iωt (t) και άρα (t) b (t) = ge iωt και (t) b (t) = ge iωt και κατά συνέπεια x = f 1 cosωt και αντίστοιχα για το p = (t) p (t) = i m! ω (t) a a (t) = ω f sinωt ΑΣΚΗΣΗ 3 1 q x a p y h p 1 1 p! / x a 1 q x ( a / ) p y 1 h p px + ( / a ) y h [q 1, p 1 ] 1 ( x + ( a /!) p y ),( p x (! / a ) y ) (α) 1 + ( / ) = i! = 1 [x, p x ] [ p y, y] και οµίως [q, p ] = i! ενώ [q 1,q ] = [ p 1, p ] = 0 (β) q 1 q = 1 x + a! p y και οµοίως p 1 p 1 p x! a y x a! p y p x +! a y και άρα L z = xp y yp x =! q a 1 q (γ) όπου H 1 = a! p 1 +! a q 1 ω = και οµοίως για H. και 1 (δ) και άρα οι ιδιοτιµές του L z = H 1 H θα είναι y = a! xp y =! a yp x + a = H 1 H! p p 1 m=h / a και αντσιστοιχεί σε αρµονικό ταλαντωτή µε µάζα!ω(n 1 + 1 / )!ω(n + 1 / ) = ω =1!(n 1 n ) =!n όπου n! ΑΣΚΗΣΗ 4

( x,0) = 1 ( (x) + (x) + i (x) 1 3 ) = 1 E = 1 E 1 + E + 4E 3 x = x = 1 * (x,t)x (x,t)dx 3 + 5 + 4 = 41 14 ( 1 (x)e +3it/ + (x)e +5it/ + i 3 (x)e +it/ )x( 1 (x)e 3it/ + (x)e 5it/ i 3 (x)e it/ )dx 1 (x)x (x)dx x = e+it + e it + (i) ( e +it e it ) 1 (x)x 3 (x)dx + (i) ( e +it e it ) (x)x 3 (x)dx για λόγους συµµετρίας. και άρα όπου για n x n = 0 n = 1,,3 Οµοίως 1 x 3 = 0 x = cost 1 (x)x (x)dx 4 sint (x)x 3 (x)dx n (x) = π ( 1/ 4 n n! ) 1/ e x / H n (x) H n+1 (x) x H n (x) + n H n 1 (x) = 0 xh n (x) = 1 H n+1 (x) + nh n 1 (x) x n (x) = π ( 1/ 4 n n! ) 1/ e x / xh n (x) = π ( 1/ 4 n n! ) 1/ e x / 1 = 1 (x) n n! n+1 n+1 (n + 1)! 1/ n n! + n n 1 (x) n 1 (n 1)! 1/ H + nh n+1 n 1 = n + 1 n+1 + n n 1 x (x) = 3 3 + 1 x = cost 1 (x)x (x)dx 4 sint (x)x 3 (x)dx = cost 4 3sint και για την ορµή p = i! d dx µε βάση την αναδροµική σχέση d dx H n(x) = nh n 1 (x) d (x) n καταλήγουµε στο dx και άρα = n n 1(x) n + 1 n+1(x)

p = i! ( 1 (x)e +3it/ + (x)e +5it/ + i 3 (x)e ) +it/ d 1 (x) e 3it/ + dx d (x) dx e 5it/ i d 3(x) dx e it/ dx p = i e it 1 (x) (x)dx + i e it (x) 1 (x)dx e it (x) 3 (x)dx + eit 3 (x) (x)dx για λόγους συµµετρίας. όπου για n n = 0 n = 1,, 3 Οµοίως 1 3 dx = 3 1 dx = 0 και άρα (x) = 3 + 3 1 p = i ( e it e it ) 1 (x) 1 (x)dx 3 e it + e it p = sint 4 3 cost 3 (x) 3 (x)dx (β) Από το θεώρηµα Ehrenfest d dt x = 1 i! [x, H ] = p d dt p = 1 i! [ p, H ] = x οι οποίες ικανοποιούνται απί τις λύσεις του (α).

Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 5 Η κυµατοσυνάρτηση του 3 H στην θεµελιώδη του κατάσταση είναι (Ζ=1) H 100 3/ 1 1 r a = e π a0 Κατά την µετάβαση αυτή παραµένει η ίδια αλλά στο νέο σύστηµα 3 He + δεν είναι πλέον ιδιοκατάσταση και δίνεται από την ανάπτυξη = H He c 100 nlm nlm / 0 Η θεµελιώδης του 3 He + (Ζ=) και άρα ο συντελεστής c 100 = 100 He H 100 He 100 = dr4πr 3/ 1 r a = e π a0 1 π a 0 3/ / 0 e r / a 1 1 0 π a 0 3/ e r / a 0 = 16 και η πιθανότητα P100 = c100 0.033 Για την περίπτωση (n,l,m)=(3,0,0) He = 300 81 1 3π a 0 3/ 36 r + 8 r a 0 a 0 e r /3a 0 c 300 = 300 He H 100 = dr4πr 81 1 3π a 0 3/ 36 r + 8 r a 0 a 0 e r /3a 1 1 0 π a 0 3/ e r / a 0 = 144 6 315 και η πιθανότητα P 300 = c 300 =0.0140 ΑΣΚΗΣΗ 6 Ψ( r!,0) = c( ( 1+ i) 11 ( r! ) + 3 ( r! ) i 31 1 ( r! )) 1= c ( 1+ i + 1 + i ) c = 1

Ψ( r!,t) = 1 ( 1+ i ) 11 ( r! )e ie t/" + 3 ( r! )e ie 3 t/" i 31 1 ( r! )e ie 3 t/" όπου E n = 13.6 1 n ev και η µέση τιµή της ενέργειας είναι E = 1 E + 1 E = 1 1 3 4 + 1 1 13 9 13.6 ev= 13.6 ev=.455ev ενώ L z L z =! 1 (1) + 1 4 ( ) + 1 4 ( 1) =! 1 4 1 =! (1) + 1 4 ( ) + 1 4 ( 1) =! 4 ΔL z = L z L z ==! 4 1 16 =! 3 3 4 1 L =! (1)(1+1) + 1 4 ()( +1) + 1 4 (1)(1+1) =! 3 ( L ) 1 =! 4 (1) (1+1) + 1 4 () ( +1) + 1 4 (1) (1+1) =!4 1 ΔL = ( L ) L ==! 1 9 =! 3 ΑΣΚΗΣΗ Η εξίσωση γράφεται µε την κυµατοσυνάρτηση να δίνεται από την σχέση h 1 L r V() r E + = m r r r h r (, r θ, ϕ) = R () r Y (, θ ϕ) Elm El lm El El () r = u () r r Για την κατάσταση µε l = 0 το πρόβληµα ανάγεται (δες βοηθητικό υλικό webcast) σε ένα µονοδιάστατο πηγάδι δυναµικού R V (r) = r < a 0 a < r < b b < r

! m d dr +V r u r E0 = Eu E0 ( r) Το πρόβληµα είναι ταυτόσηµο µε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού και άρα οι λύσεις δίνονται από Elm (r,θ,ϕ) = u (r) E0 Y r 00 (θ,ϕ) = 1 4π b a και Elm (r,θ,ϕ) = 0 στο υπόλοιπο διάστηµα µε E = sin( nπ(r a) / (b a) ) r για a < r < b! π m(b a) n, n = 1,,... ΑΣΚΗΣΗ 8 Ψ(x, y,z) = C(xy + y )e a r Γράφοντας x= rcosϕsinθ y rsinϕsinθ = έχουµε Ψ(x, y, z) = Cr ( sin ϕ sin θ + cosϕ sinϕ sin θ)e a r = Cr e a r f (θ,ϕ) f (θ,ϕ) = sin θ 1 1 4 i e iϕ 1 4 + i eiϕ Κατά συνέπεια την συνάρτηση αυτή µπορούµε να την εκφράσουµε ως συνάρτηση των σφαιρικών αρµονικών και συγκεκριµένα των Y 00 1 = Y 0 = 4π 5 ( 16π 3cos θ 1) Y = Y + = 15 3π sin θ e iϕ 15 3π sin θ e iϕ και και έχουµε Ψ(x, y,z) = Cr e a ( r Y 00 + c 0 Y 0 + c Y + c + Y + ) c lm = π 0 dθ sinθ π 0 dϕ Y * lm (θ,ϕ) f (θ,ϕ)

c π 3 c 00 = 0 π /5 = c 3 = ( 1+ i) π 15 c = ( 1 i) π + 15 και άρα η πιθανότητα να l = 0 είναι P(l = 0) = + c0 + c + c+ = 5 1 P(l = ) = 1 P(l = 0) = 16 1 και P(m = 0) = + c0 + c0 + c + c+ = P(m = ) = c + c0 + c + c+ = 5 14 και P(m = +) = c + + c0 + c + c+ = 5 14