Κεφάλαιο 8. Επιφανειακά Ολοκληρώµατα-Θεώρηµα Απόκλισης- Τύπος Stokes

Κεφάλαιο 8 Επιφανειακά Ολοκληρώµατα-Θεώρηµα Απόκλισης- Τύπος Stokes 1 Παραµετροποιηµένες επιφάνειες Ορισµός 81 Έστω είναι τόπος του r : : και r u,v = x u,v, u,v,z u,v είναι µια συνεχής διανυσµατική συνάρτηση πάνω στο Τότε η εικόνα r ( καλείται επιφάνεια µε παραµετροποίηση r Αν η r είναι συνάρτηση 1-1 τότε η επιφάνεια καλείται απλή το εξής ασχολούµαστε µόνον µε απλές επιφάνειες Εστω είναι επιφάνεια µε παραµετροποίηση r και (, P = u v ταθεροποιούµε προς στιγµή τη µεταβλητή u θέτοντας u = u Τότε ( u,v = xu,v,u,v,zu,v r (1 και εφόσον η r είναι συνεχής και η (1 εξαρτάται µόνο από τη µεταβλητή ν, τότε η (1 ορίζει µια καµπύλη στον Ετσι για διαφορετι- κές τιµές της µεταβλητής u, η (1 ορίζει µια οικογένεια καµπύλων στο χώρο πάνω στην επιφάνεια, συµβολικά c u Οµοίως, αν σταθεροποιήσουµε τη µεταβλητή v θέτοντας v = v, τότε έχουµε ( u,v = x( u,v,( u,v,z( u,v r, ( άρα η ( ορίζει για διαφορετικές τιµές της µεταβλητής v µια οικογένεια καµπύλων στο χώρο πάνω στην επιφάνεια, συµβολικά c v Ε- στω Q = r( P = r ( u, v είναι σηµείο της επιφάνειας Τότε από το ση- µείο Q διέρχεται τόσο η καµπύλη c u όσο και η καµπύλη c v Ετσι µπορούµε να πούµε ότι οι δυο οικογένειες καµπύλων c u και c v σχη- µατίζουν πάνω στην επιφάνεια ένα δίκτυο παραµετρικών γραµµών και οι παράµετροι u και v καλούνται καµπυλόγραµµες συντεταγµένες των σηµείων της επιφάνειας Κάθε σηµείο Q της επιφάνειας µπορεί να ορισθεί ως η τοµή των καµπύλων c και c, όπως ακριβώς u v 7

κάθε σηµείο P στο επίπεδο των u και v ορίζεται ως η τοµή των ευθειών u = u και v = v χήµα 1 το εξής υποθέτουµε ότι η παραµετροποίηση r µιας επιφάνειας είναι διαφορίσιµη συνάρτηση πάνω στον τόπο Αν P = ( u, v, τότε η βέλτιστη γραµµική προσέγγιση (ή ισοδύναµα το εφαπτόµενο επίπεδο Q = r P δίνεται από τη σχέση της r στο σηµείο T r (, (, (, xu v xu u,v xv u,v u-u r u v v-v zu v zu u,v zv u,v P = P + J P P - P = u v + u,v u,v (, (, (, ( + ( ( + ( x u v x u,v u u x u,v v v u v u v u u,v u u v u,v v v zu v zu u,v u u zv u,v v v = + + ή ισοδύναµα: ( P = ( P + ( P ( u u + ( P ( v v T r r r, ( u v όπου r ( P = x ( P, ( P,z ( P, r ( P = x ( P, ( P,z ( P u u u u v v v v είναι οι παράγωγοι (δηλαδή τα εφαπτόµενα διανύσµατα στο σηµείο Q =r P των καµπύλων c και c αντιστοίχως Ετσι το διάνυσµα u v ( P = ( P ( P r r u v είναι κάθετο επί του εφαπτοµένου επιπέδου στο σηµείο Q της επιφά- P νειας, υπό την προϋπόθεση ότι 8

Ορισµός 8 Εστω είναι µια διαφορίσιµη συνάρτηση πάνω σε τόπο µε παραµετροποίηση r : Ένα σηµείο Q =r ( P τέτοιο ώστε P = r P r P u v καλείται οµαλό σηµείο για την επιφάνεια, αλλιώς ανώµαλο Η επιφάνεια καλείται οµαλή αν ισχύει ( P P Η επιφάνεια καλείται λεία αν είναι οµαλή και επιπλέον αν η r είναι ΥΝΕΧΩ διαφορίσιµη συνάρτηση επί του Ορισµός 8 Εστω είναι µια οµαλή επιφάνεια µε παραµετροποίηση r όπως παραπάνω Η καλείται προσανατολίσιµη αν το κάθετο διάνυσµα =ru r v είναι συνεχής συνάρτηση σε κάθε σηµείο της επιφάνειας Προφανώς αν η είναι λεία είναι και προσανατολίσιµη Εστω λοιπόν είναι µια λεία επιφάνεια, άρα και προσανατολίσιµη Τότε υπάρχουν δυο διαφορετικοί τρόποι προσανατολισµού: o ένας τρόπος καθορίζεται από τη κατεύθυνση της διανυσµατικής µονάδας = και ο άλλος από την κατεύθυνση της διανυσµατικής µονάδας Γι αυτό λέµε ότι µια προσανατολίσιµη επιφάνεια έχει δυο ό- ψεις Ορισµός 84 Θα λέµε ότι µια λεία επιφάνεια είναι προσανατολισµένη αν έχει ορισθεί ένας προσανατολισµός πάνω σ αυτή (είτε η κατεύθυνση του είτε η κατεύθυνση του Ορισµός 85 Εστω είναι µια λεία επιφάνεια Τότε ορίζουµε ως σύνορο της να είναι η καµπύλη (ή καµπύλες ή σηµεία ή το µέσω της οποίας (των οποίων µεταβαίνουµε από τη µια όψη της επιφάνειας στην άλλη Αν το σύνορο της είναι το, τότε λέµε ότι η είναι κλειστή επιφάνεια αλλιώς λέµε ότι η είναι ανοικτή ΠΡΟΟΧΗ: εν πρέπει να συγχέεται ο ορισµός του συνόρου ενός συνόλου που δόθηκε στο Κεφ 1 µε τον ορισµό 85 Πρόκειται για δυο διαφορετικά πράγµατα Παρατηρήσεις (α Με µια µη αυστηρή ερµηνεία µπορούµε να πούµε ότι µια οµαλή επιφάνεια είναι προσανατολίσιµη αν ο µόνος τρόπος για να µεταβούµε από τη µια όψη της στην άλλη είναι είτε να τη διατρυπήσουµε σε κάποιο σηµείο της, είτε να µεταβούµε µε συνεχή τρόπο µόνον µέσω του συνόρου της 9

(β Κάθε οµαλή επιφάνεια δεν είναι κατ ανάγκην προσανατολίσιµη Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η λωρίδα Mobius Ορισµός 86 (Προσανατολισµός συνόρου επιφάνειας Εστω είναι µια απλή, λεία ανοικτή και προσανατολισµένη επιφάνεια µε το σύνορό της γ να είναι µια απλή, κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη πάνω στη Θα λέµε ότι η γ διαγράφεται µε τη θετική φορά, αν κινούµενοι κατά µήκος της καµπύλης γ µε το κεφάλι µας να δείχνει προς την κατεύθυνση του προσανατολισµού της που έχουµε ορίσει, τότε η όψη της επιφάνειας που καθορίζεται από τον προσανατολισµό που έχουµε ορίσει µένει πάντα στο αριστερό µας χέρι Ορισµός 87 Θα λέµε ότι µια επιφάνεια είναι τµηµατικά λεία αν είναι ένωση πεπερασµένου αριθµού λείων επιφανειών 1,, που ανά δυο τέµνονται κατά µήκος µιας λείας καµπύλης και η τοµή τριών οποιονδήποτε επιφανειών είναι το πολύ ένα σηµείο Ορισµός 88 Εστω είναι µια τµηµατικά λεία επιφάνεια που συντίθεται από την ένωση απλών, λείων και προσανατολισµένων επιφανειών 1,, Θα λέµε ότι η είναι προσανατολίσιµη αν η φορά διαγραφής της καµπύλης πάνω στην οποία περατώνεται η καµπύλη i είναι αντίθετη µε τη φορά διαγραφής στην οποία περατώνεται η για κάθε ζεύγος επιφανειών ( i, j µπύλη c ij που τέµνονται πάνω σε λεία κα- Ορισµός 89 Εστω είναι µια κλειστή, προσανατολίσιµη και τµη- µατικά λεία επιφάνεια Εξωτερική όψη της λέµε την όψη που υ- ποδεικνύεται από την κάθετο επί της µε κατεύθυνση προς το εξωτερικό του στερεού µε σύνορο τη, αλλιώς µιλούµε για την εσωτερική όψη της j Εστω ( u,v = x ( u,v, ( u,v,z ( u,v r1: : r1 1 1 1 r: Ε : r u,v = x u,v, u,v,z u,v είναι παραµετροποιήσεις δυο λείων επιφανειών 1, όπου E, είναι τόποι του µε σύνορα τµηµατικά λείες καµπύλες, E Οι επιφάνειες 1

καλούνται ισοδύναµες αν υπάρχει ένας συνεχώς διαφορίσιµος µετασχη- ϕ: E : ϕ u, v = a u, v, b u, v τέτοιος ώστε µατισµός r = r ϕ 1 Τα ίχνη δυο ισοδυνάµων επιφανειών ταυτίζονται Η µόνη διαφορά τους συνίσταται στον προσανατολισµό τους Ετσι αν η Ιακωβιανή ορίζουσα (, (, a b ( uv, uv >, τότε ο µετασχηµατισµός ϕ διατηρεί τον ίδιο προσανατολισµό, αλλιώς αν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι αρνητική τότε ο προσανατολισµός αλλάζει Παραδείγµατα παραµετροποιηµένων επιφανειών 1 Επιφάνειες της µορφής (,, (, z= f x x Τότε µια παραµετροποίηση αυτής δίνεται από την Τότε = ( 1,,f r r x x, r = ( 1,,f x, = xf,, x,, x,, συνεπώς: i j k = rx r = 1 fx = ( fx, f,1 1 f Εφόσον = r r = f + f + 1, παίρνουµε x x = = ( fx f,,1 1+ f + f x Κάθε σηµείο µιας τέτοιας επιφάνειας είναι οµαλό διότι σε κάθε σηµείο της Επιπλέον αν η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη (δηλαδή οι µερικές παράγωγοι της f είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε η είναι συνεχής, άρα η επιφάνεια είναι προσανατολίσιµη 11

ηµείωση Με ανάλογο τρόπο µπορούµε να παραµετροποιήσουµε ε- x, z x = x, z πιφάνειες της µορφής = ή Επιφάνειες ( xz Εστω z f ( x, από την ισότητα ( xz Φ,, = σε πλεγµένη µορφή = είναι µια επιφάνεια που δίνεται σε πλεγµένη µορφή Φ,, = στην περιοχή κάποιου σηµείου Τότε έχουµε πάλι (όπως παραπάνω r x, = xf,, x,, x, Από το Θεώρηµα πλεγµένων συναρτήσεων παίρνουµε συνεπώς: Φ Φ x r x = ( 1,,f x = 1,, και ( z Φ r =,1, f =, 1,, Φ z i j k Φ Φ x = rx r = 1 fx = ( fx, fx,1 =,,1 Φz Φz 1 f Εφόσον Φ Φ x = r x r = fx + f + 1= + + 1 Φz Φ, παίρνουµε z = = Φ Φ x,,1 Φz Φz Φ Φ x + + 1 Φz Φz Κάθε σηµείο µιας τέτοιας επιφάνειας είναι οµαλό διότι σε κάθε σηµείο της Επιπλέον αν η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη (δηλαδή οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συναρτήσεις τότε η είναι συνεχής, άρα η επιφάνεια είναι προσανατολίσιµη x a + b + z c = R φαίρα: 1 oς τρόπος: Η σφαίρα είναι πλεγµένη συνάρτηση Λύνοντας πχ ως προς z παίρνουµε δυο παραµετρήσεις για το άνω και κάτω ηµισφαίριο ως 1

( ( r1 r = όπου (, : ( x, = x,, c+ R ( x a ( b ( x, x,, c R ( x a ( b { x x a b R } + ος τρόπος Παραµετροποίηση µέσω σφαιρικών συντεταγµένων Μπορούµε να παραµετροποιήσουµε την παραπάνω σφαίρα µε χρήση σφαιρικών συντεταγµένων ως εξής:, Τότε r x= a+ Rσυνθηµφ = b+ Rηµθηµφ, θ [, π, φ [, π ] z = c+ Rσυνφ ( θ φ = ( a+ Rσυνθηµφ b+ Rηµθηµφ c+ Rσυνφ,,, Τότε οι καµπύλες των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων είναι τα γεωγραφικά πλάτη ( θ = θ και µήκη ( φ = φ Επίσης: θ (,, = r r = R συνθηµ φ R ηµθηµ φ R συνφσυνφ φ = (a,b,c Rηµφr θ,φ ηλαδή, µε αυτή την παραµετροποίηση το διάνυσµα έχει τη διεύθυνση του διανύσµατος θέσης µε φορά στο εσωτερικό της σφαίρας 4 Κύλινδρος ( x a ( b R, ( z + = 1 oς τρόπος: Λύνοντας πχ ως προς παίρνουµε δυο παραµετρήσεις για > και < ως ( ( r1 ( xz, = x, b+ R ( x a, z, = r ( xz, = xb, R ( x a, z x, : x a + b R ος τρόπος Παραµετροποίηση µέσω κυλινδρικών συντεταγµένων { } 1

Μπορούµε να παραµετροποιήσουµε τον κύλινδρο µε χρήση κυλινδρικών συντεταγµένων ως εξής: Τότε και x= a+ Rσυνθ = b+ Rηµθ, θ [, π, z z = z ( θ ( συνθ ηµθ θ [ π r, z = a+ R, b+ R, z,,, z = rθ r = z Rσυνθ, Rηµθ, = R r προβ θ,z ( θ,φ = ( συνθ, ηµθ, ηλαδή, µε αυτή την παραµετροποίηση το διάνυσµα έχει φορά στο εξωτερικό του κυλίνδρου x x z z + + = 1,,, > a b c 5 Ελλειψοειδές ( abc Μια παραµέτρηση του ελλειψοειδούς προκύπτει ως εξής: Τότε r x= x + aσυνθηµφ = + bηµθηµφ, θ [, π, φ [, π ] z = z + cσυνφ ( θ φ = ( x + aσυνθηµφ + bηµθηµφ z + cσυνφ,,, 6 Τόρος Ας θεωρήσουµε τον κύκλο x b + z = R, b R> Με περιστροφή του κύκλου αυτού γύρω από τον άξονα των z σχηµατίζεται µια επιφάνεια που καλείται τόρος Επειδή ο κύκλος έχει παραµετροποίηση, θ [, π, ο τόρος δίνεται από την παρα- x= b+ Rσυνθ z = Rηµθ µετροποίηση x= ( b+ Rσυνθ συνφ = ( b+ Rσυνθ ηµφ, θ, φ [,π z = Rηµθ Αρα ( b R b R R = ( + ( + r θ, φ συνθ συνφ, συνθ ηµφ, ηµθ 14

Εµβαδό λείας επιφάνειας Εστω είναι µια λεία επιφάνεια µε παραµετροποίηση r uv, = xuv,, uv,, z uv,, uv,, και έστω P = ( u, v και Q ( u, v = r Τότε η γραµµική προσέγγιση της r στο P δίνεται (όπως είδαµε παραπάνω από τη σχέση ( P = ( P + ( P ( u u + ( P ( v v T r r r u v Αυτό σηµαίνει ότι ένα στοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλόγραµµο P = u, v, PPPP 1 στο επίπεδο uv (εντός του µε ( P = ( u + du, v, P ( u, v dv, P ( u du, v dv 1 = + = + + απεικονίζεται µέσω της r σε κάποιο στοιχειώδες χωρίο της επιφάνειας το οποίο προσεγγίζεται µέσω της T από ένα άλλο παραλληλόγραµµο QQQQ Q = r u, v και Q = T ( P, i= 1, Τότε, όπου 1 i r και QQ P du 1 u i QQ r P dv v Ετσι το εµβαδόν E του παραλληλογράµµου QQQQ 1 προσεγγίζεται από τη σχέση E = QQ QQ r P du r P dv 1 u v u = r P r P dudv = P dudv v ηλαδή το εµβαδόν Ε προσεγγίζει το εµβαδόν της επιφάνειας σε µια µικρή περιοχή του σηµείου Q της Αν λοιπόν θεωρήσουµε ότι το πεδίο ορισµού της επιφάνειας είναι ένα ορθογώνιο, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε µια διαµέριση του από ένα ορθογώνιο πλέγµα γραµµών σε στοιχειώδη ορθογώνια εµβαδού Eij = duidv j Εστω P ij η τοµή δύο κάθετων γραµµών του πλέγ- µατος αυτού Λαµβάνοντας υπόψην την παραπάνω διαδικασία και τη συνέχεια της συνάρτησης ( P, µπορούµε να πούµε ότι το εµβαδόν της επιφάνειας είναι ίσο κατά προσέγγιση µε ( ij i j E P dudv i j 15

Το παραπάνω είναι ένα άθροισµα Riema, συνεπώς αφήνοντας το πλάτος της διαµέρισης να τείνει στο µηδέν παίρνουµε ή ισοδύναµα E E (, = u v dudv, ( = dudv r r u v Παρατηρήσεις (α Ο παραπάνω τύπος επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια φραγµένα χωρία υπό την προϋπόθεση το σύνορο αυτών να είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού, πχ να είναι µια κλειστή, τµη- µατικά λεία καµπύλη Επίσης αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητος της παραµετροποίησης που χρησιµοποιούµε για την επιφάνεια (β Αν η επιφάνεια είναι τµηµατικά λεία, τότε το συνολικό εµβαδόν της προκύπτει από το άθροισµα των εµβαδών των λείων επιφανειών που την απαρτίζουν Επιφανειακά ολοκληρώµατα βαθµωτών πεδίων Αν αντί µιας καµπύλης θέλουµε να ολοκληρώσουµε πάνω σε µια επιφάνεια, πως πρέπει να ορίσουµε το ολοκλήρωµα ως µια φυσική γενίκευση των επικαµπυλίων ολοκληρωµάτων; Για παράδειγµα, έστω ότι αντί της µάζας καλωδίου που τοποθετείται κατά µήκος καµπύλης, αναζητούµε τη µάζα ενός µεταλλικού πιάτου µε πυκνότητα µάζας f : : z = f ( Q Q που κατανέµεται συνεχώς ώστε να καλύπτει ακριβώς µια απλή και λεία επιφάνεια µε παραµετροποίηση: r uv, = xuv,, uv,, z uv,, x,, όπου είναι ορθογώνιο Ορίζουµε ένα δίκτυο παραµετρικών γραµµών cu, c i v i= 1,, N, j = 1,, M (όπως κάναµε παραπάνω πάνω στην επιφάνεια οι οποίες προκύπτουν από µια διαµέριση του ορθογωνίου σε j στοιχειώδη ορθογώνια ij Το δίκτυο αυτό διαµερίζει την επιφάνεια σε στοιχειώδη χωρία Ε ij εµβαδού Ε r P r P dudv = P dudv ij u ij v ij i j ij i j Αν οι ποσότητες Eij είναι αρκετά µικρές µπορούµε να θεωρήσουµε µε µικρό σφάλµα ότι η µάζα του πιάτου ισούται µε: 16

N M N M ( ij ij r( ij ij i j M f Q Ε = f P P dudv i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 Eφόσον η f είναι συνεχής συνάρτηση το παραπάνω είναι ένα άθροισµα Riema και τείνει σ έναν πραγµατικό αριθµό όταν το πλάτος της διαµέρισης τείνει στο µηδέν, δηλαδή NM +, Ετσι ορίζεται το διπλό ο- λοκλήρωµα ( λ, (, f r P P dudv = P = u v Το ολοκλήρωµα αυτό καλείται επιφανειακό ολοκλήρωµα του βαθµωτού πεδίου f : : z = f ( Q Q επί της επιφάνειας υµβολικά γράφουµε f ds, όπου η ποσότητα ds = (, u v dudv στο εξής θα καλείται διαφορικό εµβαδού της επιφάνειας µε παραr= r uv, Τελικά έχουµε µετροποίηση ( r f ds= f uv, uv, dudv Προσοχή (α Ο παραπάνω τύπος επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια φραγµένα χωρία υπό την προϋπόθεση το σύνορο αυτών να είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού, πχ να είναι µια κλειστή, τµηµατικά λεία καµπύλη (β Ο ορισµός του επιφανειακού ολοκληρώµατος βαθµωτών πεδίων µπορεί να επεκταθεί και για µη κατ ανάγκην λείες επιφάνειες το εξής ασχολούµαστε αποκλειστικά µε λείες ή τµηµατικά λείες επιφάνειες είναι µια παραµετροποίηση µιας απλής και λείας επιφάνειας πάνω σε τόπο και έστω f : είναι συνεχές βαθµωτό πεδίο επί της Ορίζουµε ως επιφανειακό ολοκλήρωµα του βαθµωτού πεδίου f επί της επιφάνειας (ή 1 ου είδους να είναι ο αριθµός Ορισµός 81 Εστω r: : r= r( uv, ( r f ds= f uv, uv, dudv= λ 17

Προφανώς: ( u v r r f ds = f x u, v, u, v, z u, v u, v dudv Θεώρηµα 81 Εστω r: : r= r( uv, είναι µια παραµετροποίηση µιας απλής και λείας επιφάνειας πάνω σε τόπο και έστω, : f g είναι συνεχή βαθµωτά πεδία επί της Τότε (α Ο προσανατολισµός της επιφάνειας δεν επηρεάζει την τιµή του επιφανειακού ολοκληρώµατος (β ( c f + c g ds = c f ds + c g ds, ( c, c 1 1 1 (γ Αν η είναι λεία επιφάνεια και συντίθεται από πχ δυο λείες επιφάνειες 1 και, τότε f ds = f ds f ds + { } 1 (δ Αν M = sup f ( Q : Q και αν τότε Ε είναι το εµβαδόν της, f ds M E Παρατηρήσεις: (α Aν η επιφάνεια ορίζεται µέσω της σχέσης z= gx (,, x,, τότε µια προφανής παραµετροποίηση αυτής εί- ναι η ( x = x g( x r,,,,, οπότε f ds = f x,, g( x, 1+ g x + g dxd (β Εάν f ( Q = 1, τότε το επιφανειακό ολοκλήρωµα µε το εµβαδόν της επιφάνειας 1 ds ισούται (γ Οπως είδαµε στο παραπάνω παράδειγµα αν θεωρήσουµε συνεχώς κατανεµηµένη µάζα µε πυκνότητα z = f ( Q επί απλής και λείας επιφάνειας, τότε το επιφανειακό ολοκλήρωµα f ds µας δίνει τη συνολική µάζα επί της επιφάνειας Γενικότερα, η τιµή του επιφανειακού ολοκληρώµατος µπορεί κάλλιστα να είναι και αρνητικός αριθµός ή και το µηδέν 18

4Επιφανειακά ολοκληρώµατα διανυσµατικών πεδίων Έστω τώρα είναι µία απλή και λεία επιφάνεια µε εξίσωση: r r : : uv, = xuv,, uv,, z uv,, όπου είναι ορθογώνιο και έστω F : είναι ένα συνεχές διανυσµατικό πεδίο επί της επιφανείας Για παράδειγµα, ας θεωρήσουµε ότι δια µέσου της επιφάνειας διέρχεται ρευστό µε ταχύτητα F= F ( Q Q Θέλουµε να υπολογίσουµε τη ροή (όγκο του ρευστού που διέρχεται δια µέσου της επιφάνειας στη µονάδα του χρόνου Ορίζουµε ένα δίκτυο παραµετρικών γραµµών cu, c i v i= 1,, N, j = 1,, M πάνω στην επιφάνεια, οι οποίες προκύπτουν από µία διαµέριση του ορ- j θογωνίου σε στοιχειώδη ορθογώνια ij Το δίκτυο αυτό διαµερίζει την επιφάνεια σε στοιχειώδη χωρία Ε ij εµβαδού, Ε = r P du r P dv = P dudv P, ij u ij i v ij j ij i j ij ij =r Τότε είναι γνωστό ότι ο όγκος του παραλληλεπι- όπου ( Pij = u ( Pij v ( Pij στο σηµείο Qij ( Pij πέδου µε πλευρές τα διανύσµατα, ( Qij = ( Pij r r είναι το κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας r P du r P dv και u ij i v ij j F F r ισούται µε την απόλυτη τιµή του µικτού γινοµένου ( ( FrP r P du r P dv = FrP P dudv Το γινόµενο ( Pij ij u ij i v ij j ij ij i j ( Pij u v Fr είναι θετικό ή αρνητικό αναλόγως αν τα διανύσµατα r, r, F συνιστούν ένα δεξιόστροφο ή αριστερόστροφο σύστηµα συντ/νων µε αρχή το σηµείο Qij ( Pij µηνεία που δώσαµε, ο αριθµός ( P =r υνεπώς µε τη φυσική ερ- Fr ij Pij duidv j ισούται µε τον όγκο του ρευστού που διέρχεται από το εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο σηµείο Q ij µε την παρατήρηση ότι αν Fr ( ( Pij ( Pij > τότε το ρευστό ρέει προς την κατεύθυνση του και αντιστρόφως σε µια περιοχή του ση- µείου Q Αν οι ποσότητες E είναι αρκετά µικρές µπορούµε να θε- ij ij ωρήσουµε µε µικρό σφάλµα ότι η ολική ροή του ρευστού που διέρχεται δια της επιφανείας ισούται µε: 19

( N M N M Φ F Q r P du r P dv = F r P P dudv ij u ij i v ij j ij ij i j i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 Eφόσον το πεδίο F είναι συνεχές και η επιφάνεια λεία, το παραπάνω είναι ένα άθροισµα Riema και τείνει σ έναν πραγµατικό αριθµό όταν το πλάτος της διαµέρισης του πεδίου ορισµού τείνει στο µηδέν Τότε το διπλό ολοκλήρωµα Fru, v u, v dudv = λ ( καλείται επιφανειακό ολοκλήρωµα του διανυσµατικού πεδίου F : επί της επιφάνειας, ή αλλιώς ροή του πεδίου F δια µέσου της επιφάνειας, συµβολικά όπου γράφουµε F ds= d S u, v dudv Αν = είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας (που προήλθε µέσω της παραµετροποίησης της επιφάνειας, λαµβάνοντας υ- πόψη ότι η ποσότητα ds = ( u, v dudv είναι το γνωστό διαφορικό εµβαδού της επιφάνειας, τότε µπορούµε να γράψουµε το παραπάνω επιφανειακό ολοκλήρωµα µε χρήση του επιφανειακού ολοκληρώµατος του βαθµωτού πεδίου F ως εξής: F ds= F ds Ορισµός 811 Εστω r: : r= r( uv, είναι µια παραµετροποίηση µιας απλής και λείας επιφάνειας πάνω σε τόπο και έστω =ru r v είναι η κάθετος της επιφάνειας σε κάθε σηµείο της Αν F : είναι συνεχές διανυσµατικό πεδίο επί της, τότε ορίζουµε ως επιφανειακό ολοκλήρωµα του διανυσµατικού πεδίου F επί της επιφάνειας ή ισοδύναµα τη ΡΟΗ του πεδίου F επί της επιφάνειας να είναι ο αριθµός ( Φ = F ds= F r u, v u, v dudv = λ Λαµβάνοντας υπόψην τον τύπο = ru r v προκύπτει άµεσα:

( u v F ds= F xuv,, uv,, z uv, r r uv, dudv Προσοχή (α Ο παραπάνω τύπος επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια φραγµένα χωρία υπό την προϋπόθεση το σύνορο αυτών να είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού, πχ να είναι µια κλειστή, τµηµατικά λεία καµπύλη (β Αν στον παραπάνω τύπο έχουµε Φ > σηµαίνει ότι το «ρευστό ρέει» προς την κατεύθυνση της καθέτου, ενώ αν Φ < το «ρευστό ρέει» προς την κατεύθυνση της καθέτου (γ Αν η επιφάνεια είναι εκ των προτέρων προσανατολισµένη από ένα µοναδιαίο διάνυσµα N, τότε N = ±, άρα: F ds= F N ds =± F ds όπου είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα που προήλθε από την παραµετροποίηση της επιφάνειας Ετσι το πρόσηµο δείχνει τη ροή σε σχέση µε την κάθετο N Παρατήρηση: Aν η επιφάνεια είναι κλειστή (βλέπε ορ 85, τότε χρησιµοποιούµε το συµβολισµό d S F Θεώρηµα 8 Εστω r: : r= r( uv, είναι µια παραµετροποίηση µιας απλής και λείας επιφάνειας πάνω σε τόπο και έστω FG, : είναι δυο συνεχή διανυσµατικά πεδία πάνω στην επιφάνεια Τότε (α Η τιµή του επιφανειακού ολοκληρώµατος τον προσανατολισµό της επιφάνειας F ds εξαρτάται από (β ( c + c d = c d + c d, ( c, c F G S F S G S 1 1 1 (γ Αν η είναι λεία επιφάνεια και συντίθεται πχ από δυο λείες επιφάνειες 1 και, τότε F ds= F ds + F ds = F ds + F ds 1,1 1, 1 1 1

ΠΡΟΟΧΗ!!! Οι κάθετες,1 και, εκλέγονται έτσι ώστε να ταυτίζονται µε τον προσανατολισµό της επιφάνειας (δ Αν M = sup { : P } F και αν Ε είναι το εµβαδόν της, τότε F d S M Ε (ε Αν ( a, b διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο µε (, φ: R: φ P = a P, b P,, R είναι ένα συνεχώς φ P x >, τότε F ds = F ds φ Παρατηρήσεις: (α Aν η επιφάνεια ορίζεται µέσω της σχέσης z= gx (,, x,, τότε µια προφανής παραµετροποίηση αυτής εί- ναι η ( x = x g( x r,,,,, οπότε (,, (, ( x,,1 F ds= F x g x g g dxd ( 1 είναι ένα συνεχές διανυσµατικό πεδίο επί απλής και λείας επιφάνειας µε παρα- µετροποίηση r ( uv, = ( xuv (,, uv (,, z( uv, Τότε είναι εύκολο να δούµε ότι το κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας ικανοποιεί την (β Εστω F: : F( Q = f ( Q, f ( Q, f ( Q συνεπώς, z z, x x, =ru r v =,, uv, uv, uv,, z z, x x, =i, =j, =k, uv, uv, uv, όπου i = ( 1,,, j = (,1,, k = (,,1 F d S Αρα, z z, x x, = ( + ( + ( uv, uv, uv, f r 1 P f r P f r P dudv,

P= u v, ή όπου (, Θέτοντας F ds= f i ds + f j ds + f k ds 1, z z, x x, dudv = ddz, dudv = dzdx, dudv = dxd, uv, uv, uv, η παραπάνω γράφεται επίσης ως F ds = f ddz + f dzdx + f dxd 1 Γενικότερα, η ποσότητα f1ddz + fdzdx + fdxd καλείται διαφορική µορφή ης τάξης και τα επιµέρους ολοκληρώµατα f ddz 1, fdzdx, fdxd που ορίζονται ως εξής: ( i ( j ( k f1ddz = f1 ds fdzdx = f ds, fdxd = f ds καλούνται επιφανειακά ολοκληρώµατα ου είδους Αν η επιφάνεια είναι εκ των προτέρων προσανατολισµένη από ένα µοναδιαίο διάνυσµα N, τότε N =± και ( i N ( i ( jn ( j ( k N ( k f1ddz = f1 ds =± f1 ds fdzdx = f ds f ds =± fdxd = f ds =± f ds 5 Θεώρηµα Απόκλισης (Gauss Το Θεώρηµα της απόκλισης µας λέει ότι η ροή ενός διανυσµατικού πεδίου F που διέρχεται από µια κλειστή επιφάνεια (µε την έννοια του ορισµού 85 ισούται µε το τριπλό ολοκλήρωµα της απόκλισης F επί του στε-

ρεού του που έχει ως σύνορο την κλειστή επιφάνεια Πιο συγκεκρι- µένα έχουµε Θεώρηµα 8 (Απόκλισης Gauss Εστω Ω είναι ένα φραγµένο κανονικό στερεό του (µε την έννοια που δόθηκε στο Κεφ 5 µε το σύνορό του Ω να είναι µία απλή, κλειστή, τµηµατικά λεία επιφάνεια µε την κάθετο αυτής να έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη της και έστω F : Ω είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους πάνω και στο εσωτερικό της επιφάνειας Ω Τότε η ροή του πεδίου F διαµέσου της επιφάνειας Ω είναι Ω F ds= F x,,z dxddz Ω Απόδειξη Εστω Ω είναι ένα κανονικό στερεό Ω του και F= ( K ( P, L( P, M( P Τότε από την παρατήρηση (β της σελίδας έχουµε F ds= K ds + L ds + M ds Ω i Ω j Ω k Ω Απ την άλλη πλευρά, εφόσον F = K x + L + Mz παίρνουµε F dxddz = K dxddz + L dxddz + M dxddz Ω Ω x Ω Ω z Από τις παραπάνω ισότητες είναι προφανές ότι αρκεί να δείξουµε ότι ( i ( j ( k K ds = K x dxddz Ω Ω L ds = L dxddz Ω Ω M ds = M z dxddz Ω Ω Θα δείξουµε την τελευταία Με όµοιο τρόπο αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες Eξ υποθέσεως το στερεό Ω είναι κανονικό, άρα είναι κανονικό και ως προς x και ως προς και ως προς z Aφού το Ω είναι κανονικό ως προς f x,, f x, επί φραγµένου z υπάρχουν δυο συνεχείς συναρτήσεις χωρίου x 1 που είναι η προβολή του χωρίου Ω πάνω στο επίπεδο Ox έτσι ώστε Ω= x, z, : x,, f x, z f x, { 1 } Αρα από τη θεωρία του Κεφ 5 έχουµε: 4

( x, f Ω (,, (, M zdxddz = M x f1( x, zdzdxd = M x f x dxd x x (,, 1(, M xf x dxd Aπό την άλλη πλευρά, το σύνορο Ω της επιφάνειας µπορεί να αναλυθεί σε ένωση Ω = 1 τριών ξένων µεταξύ τους επιφανειών, όπου z = f x, είναι η επιφάνεια µε εξί- 1 είναι η επιφάνεια µε εξίσωση 1 (, σωση z f ( x, = και είναι η παράπλευρη επιφάνεια του χωρίου, δηλαδή η κυλινδρική επιφάνεια µε γενέτειρες παράλληλες στον άξονα των z Yπενθυµίζουµε ότι η επιφάνεια Ω είναι προσανατολισµένη Τότε: ( k = ( + ( + ( Ω k 1, k, k, M ds M ds M ds M ds 1 Aλλά εξ υποθέσεως η κάθετος της Ω έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη της επιφάνειας, άρα, = 1, και, k Ετσι: 1 ( k ds = M ( k M 1, Eπίσης: (, 1 x ds (,, 1(, (,,1 ( x,,1 = M xf x f f dxd x (,, 1(, = M xf x dxd M k, ds = M xf,, ( x,,,1 fx, f,1 dxd x και τέλος = x (,, (, M xf x dxd M, ds = k Αθροίζοντας τις τρεις τελευταίες ισότητες παίρνουµε το ζητούµενο Πόρισµα 81 Εστω F : Ω διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί κανονικού στερεού Ω του µε το σύνορο αυτού Ω να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Gauss Aν το πεδίο F είναι ασυµπίεστο (δηλαδή F ( P = P Ω, τότε η ροή του F διαµέσου της επιφάνειας Ω είναι µηδενική, δηλαδή 5

F ds = Ω Παρατηρήσεις: (α Το Θεώρηµα της απόκλισης γενικεύεται και σε µη κανονικά στερεά του Πράγµατι, έστω Ω,, 1 Ω είναι κανονικά στερεά, ξένα µεταξύ τους ανά δύο που περιέχονται εντός άλλου κανονικού στερεού Ω και έστω Ω =Ω Ω ( i= i 1 Αν Ω, Ω1,, Ω είναι απλές, κλειστές, λείες επιφάνειες µε το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα αυτών να δείχνει προς την εξωτερική όψη των στερεών Ω i και αν F : Ω είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί του στερεού Ω, τότε Ω i= 1 Ω Ω F ds = F ds + F x,, z dxddz i Ειδικά στην περίπτωση κατά την οποία υπάρχει (έστω και ένα ανώµαλο σηµείο P ενός ασυµπίεστου πεδίου F εντός του στερεού Ω, τότε θεωρούµε µια προσανατολισµένη σφαιρική µπάλα Sε ( P κέντρου P και α- κτίνας ε εντός του στερεού Ω και χρησιµοποιώντας την παραπάνω ισότητα παίρνουµε: Ω S F d S = lim F d S ( P + ε ε Γενικότερα, έστω F είναι ασυµπίεστο πεδίο σε κανονικό στερεό Ω µε σύνορο Ω να είναι µια απλή, κλειστή και λεία επιφάνεια Αν (i είναι στερεό εντός του Ω, δηλαδή Ω και (ii το σύνορο του είναι µια κλειστή, λεία και θετικά προσανατολισµένη επιφάνεια (µε κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα N, τότε µε εφαρµογή του Πορίσµατος 81 παίρνουµε άµεσα ότι F ds= F ds F ds = F N ds Ω Ω Με άλλα λόγια η ροή διά µέσου της ισούται µε τη ροή δια µέσου της Ω ηλαδή η ροή δεν εξαρτάται από τη µορφή της επιφάνειας (γ Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα Gauss για να δώσουµε µια φυσική ερµηνεία της απόκλισης Πράγµατι µε χρήση του Θεωρήµατος µέσης τιµής για τριπλά ολοκληρώµατα έχουµε 6

* F( x,,z dxddz = F ( P V ( Ω Ω * για κάποιο σηµείο V Ω είναι ο όγκος του χωρίου Ω Αρα µε εφαρµογή του θεωρήµατος Gauss παίρνουµε P Ω, όπου F d * ( P S Ω F = V ( Ω Αν λοιπόν P είναι ένα σηµείο του Ω και αν θεωρήσουµε µια σφαιρική µπάλα Sε ( P κέντρου P και µικρής ακτίνας ε, τότε από τα παραπάνω * υπάρχει σηµείο έτσι ώστε P Sε P Αφήνοντας ε, έχουµε F ds Sε ( P F = * ( P * P P ( ε ( P V S, οπότε: F ds ( ( P lim S ε F P = ε V S ( ε ( P Mε άλλα λόγια η απόκλιση F ( P είναι η οριακή τιµή της ροής ανά µονάδα όγκου στο σηµείο P 6 Τύπος Stokes Το Θεώρηµα Stokes είναι το ανάλογο του Θεωρήµατος Gree, αλλά για καµπύλες του Υπενθυµίζουµε ότι αν είναι µια λεία και προσανατολισµένη επιφάνεια, c είναι µία απλή, κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη επί της και είναι το κάθετο διάνυσµα µιας προσανατολισµένης επιφάνειας, τότε λέµε ότι η καµπύλη c είναι θετικά προσανατολισµένη, εάν κινούµενοι κατά µήκος της καµπύλης µε το κεφάλι µας στην κατεύθυνση του, αφήνουµε πάντα στο αριστερό µας χέρι εκείνο το τµήµα της επιφάνειας που βρίσκεται στο εσωτερικό της καµπύλης c Θεώρηµα 84 (Stokes Έστω είναι µια ανοικτή (δηλ έχει µη κενό σύνορο, βλέπε σελ 1, απλή, λεία και προσανατολισµένη επιφάνεια µε παραµετροποίηση 7

r uv, = xuv,, uv,, z uv,, x, τέτοια ώστε η r δέχεται συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης επί κανονικού χωρίου Εστω ότι µεταβαίνουµε από τη µια όψη της επιφάνειας στην άλλη µέσω µια απλής, κλειστής θετικά προσανατολισµένης και τµηµατικά λείας καµπύλης c (η οποία είναι το σύνορο της επιφάνειας Eάν F : είναι ένα συνεχώς διαφορίσιµο πεδίο επί της, τότε: F dr= F ds Απόδ Η απόδειξη παραλείπεται Παρατηρήσεις: (α Το Θεώρηµα γενικεύεται και για µη κανονικά χωρία (β Eάν F είναι ένα συνεχώς διαφορίσιµο πεδίο επί κλειστής, λείας και προσανατολισµένης επιφάνειας, τότε: F ds = Πράγµατι, έστω ένα επίπεδο Ε που τέµνει την επιφάνεια σε δύο επιφάνειες 1 και, και έστω c είναι µια απλή, κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη που αποτελεί το κοινό σύνορο των επιφανειών 1 και Εφαρ- µόζοντας τον τύπο του Stokes παίρνουµε F dr= F ds F dr= F dr= F ds, και c c c 1 Αρα µε πρόσθεση κατά µέλη έχουµε: = F ds+ F ds= F ds 1 (γ Αν 1 και είναι δυο απλές, ανοικτές, λείες, προσανατολισµένες ε- πιφάνειες µε τον ίδιο προσανατολισµό που έχουν κοινό σύνορο µια κλειστή καµπύλη c, τότε F ds= F ds 1 (δ Το Θεώρηµα Stokes έχει την ακόλουθη φυσική ερµηνεία: H κυκλοφορία ενός πεδίου F κατά µήκος κλειστής καµπύλης c, ισούται µε τη ροή της περιστροφής του πεδίου που διέρχεται δια µέσου επιφάνειας µε σύνορο την καµπύλη c 8

(δ Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα Stokes για να δώσουµε µια φυσική ερµηνεία της περιστροφής πεδίου F σε σηµείο P Πράγµατι µε χρήση του Θεωρήµατος µέσης τιµής για επιφανειακά ολοκληρώµατα έχουµε * F ds= ( F( P E P, όπου * για κάποιο σηµείο E είναι το εµβαδόν της επιφάνειας Αρα µε εφαρµογή του θεωρήµατος Stokes παίρνουµε d ( P = F r E * c F, 9 όπου c είναι κλειστή τµηµατικά λεία και θετικά προσανατολισµένη κα- µπύλη θεωρούµενης ως το σύνορο της επιφάνειας Αν λοιπόν P είναι ένα σηµείο της επιφάνειας και αν θεωρήσουµε έναν κύκλο ε ( P κέντρου P και µικρής ακτίνας ε επί του επιπέδου που διέρχεται από το ση- µείο P και είναι κάθετος στο κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας, τότε * από τα παραπάνω υπάρχει σηµείο P S ( P έτσι ώστε Αφήνοντας ε, έχουµε F dr ε ( P = F * ( P * P P ε πε, οπότε: F dr ( ( P lim ε F P = ε πε Mε άλλα λόγια η περιστροφή F ( P είναι η οριακή τιµή της κυκλοφορίας του πεδίου ανά µονάδα εµβαδού στο σηµείο P Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F d r µας δίνει ένα µέτρο της συνολικής κυκλοφορί- c ας/περιστροφής του πεδίου κατά µήκος της καµπύλης c ΛΥΜΕΝΕ ΑΚΗΕΙ Ασκηση 1 Να υπολογισθεί το εµβαδόν σφαίρας µε εξίσωση x a + b + z c = R Λύση Αρχικά παραµετροποιούµε τη σφαίρα µε χρήση σφαιρικών συντεταγµένων ως εξής:

όπου r ( θ φ : : r=r,, r ( θ, φ = ( a+ Rσυνθηµφ, b+ Rηµθηµφ, c+ Rσυνφ, θ [, π, φ [, π ] Aπό τη θεωρία ισχύει: = 1 = ( θφ, E S ds dθdφ S επιφανειακο ολοκληρωµα του συνηθες διπλο ολοκληρωµα του µετρου βαθµωτου πεδιου f ( P = 1 πανω πανω στο πεδιο ορισµου µιας παραµετρο στην επιφανεια S ποιησης r της επιφανειας S To κάθετο διάνυσµα της σφαίρας S ορίζεται µέσω της σχέσης: i j k = rθ r φ = Rηµθηµφ Rσυνθηµφ Rσυνθσυνφ Rηµθσυνφ Rηµφ Aρα: ( R συνθηµ φ, R ηµθηµ φ, R ηµφσυνφ = = r r = R + R + R = R 4 4 4 4 4 θ φ συνθηµφ ηµθηµφ ηµφσυνφ ηµφ Tελικά:, π π θ φ θ φ 4 ηµφ θ φ π, E S = d d = R d d = R όπου {( θ, φ : θ [, π, φ [, π] } = Ασκηση Να υπολογισθεί το εµβαδόν του τµήµατος του ελλειπτικού παραβολοειδούς z = a + b που αποκόπτεται από τον ελλειπτικό κύλινδρο x x + = c, ( abc,, > a b Λύση Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η προβολή στο επίπεδο Ox της τοµής του παραβολοειδούς µε τον κύλινδρο είναι το χωρίο = ( x, : x + c a b

Μας ενδιαφέρει ο υπολογισµός του εµβαδού του τµήµατος της επιφάνειας του παραβολοειδούς που όταν προβάλλεται στο επίπεδο Ox µας δίνει το χωρίο Εφόσον η επιφάνεια ορίζεται ως συνάρτηση z = f ( x,, µια προφανής παραµετροποίηση του παραβολοειδούς (επί του χωρίου που µας ενδιαφέρει είναι η εξής: x r: : r( x, = x,, + a b Aπό τη θεωρία ισχύει: = 1 = (, E S ds x dxd S επιφανειακο ολοκληρωµα του συνηθες διπλο ολοκληρωµα του µετρου βαθµωτου πεδιου f ( P = 1 πανω πανω στο πεδιο ορισµου µιας παραµετρο στην επιφανεια S ποιησης r της επιφανειας S To κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας ορίζεται µέσω της σχέσης: Aρα: Tελικά: i j k x x = rx r = 1 =,, 1 a a b 1 b x = r x r = 1 a + b + x E ( S = (, x dxd = x 1 + + dxd + c a b a b x= aρσυνθ Κάνουµε αλλαγή µεταβλητής, θ [, π, ρ >, οπότε το = bρηµθ χωρίο µετασχηµατίζεται στο χωρίο και έτσι έχουµε {( ρ, θ : ρ c, θ π} R= < < π c R E S = ρ + 1 ab ρdρdθ = ab ρ ρ + 1 dρdθ 1

ab π ab = + + = + π c / ρ 1 d( ρ 1 dθ ( 1 c 1 Ασκηση Nα υπολογισθεί το επιφανειακό ολοκλήρωµα είναι το τµήµα του κώνου µε εξίσωση δακτύλιο {, : 1 4} = x x + Λύση Aπό τη θεωρία ισχύει: z x = r zds = + για κάθε (, f P ds f P P dp επιφανειακο ολοκληρωµα του συνηθες διπλο ολοκληρωµα της συναρτησης f( r( P ( P βαθµωτου πεδιου f ( P πανω πανω στο πεδιο ορισµου µιας παραµετροποιησης r της στην επιφανεια επιφανειας Εφόσον η ορίζεται µέσω συνάρτησης z f ( x, µετροποίηση της είναι η, όπου x στο =, µια προφανής παρα- r: : r x, = x,, x + για κάθε σηµείο Ρ επί του δακτυλίου To κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας ορίζεται µέσω της σχέσης: i j k x x x = rx r = 1 =,, 1 x + x + x + 1 x + Aρα = r r =, οπότε x π = ( + = zds x dxd ρ dρdθ 1 4 ρ 16 1 15π = π = π = 4 4 4 1

Ασκηση 4 Να υπολογισθεί η µάζα που κατανέµεται επί του ηµισφαιρίου z = a x, a> αν η πυκνότητα µάζας δίνεται από τη συνάρτηση f x, = a x Λύση Η µάζα ισούται µε την τιµή του επιφανειακού ολοκληρώµατος 1 ου είδους M = f P ds = f P P dp ( r Μια προφανής παραµετροποίηση του ηµισφαιρίου είναι η ακόλουθη: για κάθε ( x, = ( x,, a x r, { } x, = x, : x + a To κάθετο διάνυσµα της ε- πιφάνειας ορίζεται µέσω της σχέσης: i j k x x = rx r = 1 =,, 1 a x a x a x 1 a x Aρα a = rx r =, οπότε a x a M = f ( r( P ( P dp = a x dxd a x a 1dxd = a E = a π a = π a = Ασκηση 5 Να υπολογισθεί το επιφανειακό ολοκλήρωµα ου είδους zdxd πάνω στην επιφάνεια σφαίρας µε εξίσωση x + + z = a Λύση Αρχικά παραµετροποιούµε τη σφαίρα µε χρήση σφαιρικών συντεταγµένων ως εξής: r: : r=r( θ, φ, όπου

r ( θ, φ = ( aσυνθηµφ, aηµθηµφ, aσυνφ, θ [, π, φ [, π ] Από την παρατήρηση στο τέλος της παραγράφου 4 αυτού του κεφαλαίου έχουµε (, ( θφ, x zdxd = aσυνφ dθdφ = aηµθηµφ aσυνφ aσυνθσυνφ aσυνθσυνφ dθdφ aηµθσυνφ π π π συν φ 4π a = aηµφσυν φdθdφ = π a = ηµείωση Λαµβάνοντας υπόψη ότι τo κάθετο διάνυσµα της σφαίρας ορίζεται µέσω της σχέσης (βλέπε λυµένη άσκηση 1: = rθ r φ = ( a συνθηµ φ, a ηµθηµ φ, a ηµφσυνφ (,, = aηµφ aσυνθηµφ aηµθηµφ aσυνφ (,, = aηµφ x z = aηµφ r, καθώς επίσης και τη σχέση zdxd = F ( k ds, όπου F = (,, z η φυσική ερµηνεία του επιφανειακού ολοκληρώµατος είναι ότι έχουµε ε- κροή από τη σφαίρα κατά τη διεύθυνση του k µε ρυθµό 4 π a / µονάδες όγκου ανά µονάδα χρόνου Ασκηση 6 Nα υπολογισθεί η ροή Φ του διανυσµατικού πεδίου F = j + z k, δια µέσου του τµήµατος της επιφάνειας παραβολοειδούς z x = 4 που βρίσκεται στα θετικά z Λύση Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι ( (, (, Φ= F ds= F r u v u v dudv Η επιφάνεια είναι απλή και λεία, άρα και προσανατολίσιµη Μια προφανής παραµετροποίηση αυτής είναι η: r, r: : x, = x,,4 x 4

όπου {, : 4} = x x + είναι η προβολή της επιφάνειας στο επίπεδο Ox To κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας ορίζεται µέσω της σχέσης: Τότε: i j k = rx r = 1 x = x,, 1 1 (,,4 (,,1 Φ= F ds = x x dxd ( 4 ( 4 = + x dxd= x + dxd π = 4 ρ συν θ + ρ ηµ θ ρdρdθ ( 4 π π ρηµ θ ( 4 ( d d = ρ ρ ηµ θ ρ θ = ρ dθ 4 π ( = 8 4ηµ θ dθ = 16π ηµείωση: To πρόσηµο της ροής (στην προκειµένη περίπτωση θετικό σηµαίνει ότι έχουµε ροή προς την κατεύθυνση του καθέτου διανύσµατος της επιφάνειας Ασκηση 7 Να υπολογισθεί η ροή Φ του διανυσµατικού πεδίου F = ( z, xz, x που διέρχεται δια µέσου κλειστής, θετικά προσανατολισµένης επιφάνειας, η οποία ορίζεται ως το σύνορο τετραέδρου Ω το ο- ποίο φράσσεται από τα επίπεδα µε εξισώσεις x =, =, z = και x + + z = a Λύση Μπορούµε να εφαρµόσουµε το θεώρηµα της απόκλισης και έχουµε F Φ= d S = F ( P dp = ( K + x L + M z dxddz Ω = + + dxddz = Ασκηση 8 Εάν F = ( x,, z Ω Ω, επαληθεύστε το θεώρηµα απόκλισης για την επιφάνεια Π που αποτελεί το σύνορο του κύβου Π= [,a] 5

Απάντηση: Εφόσον το σύνορο Π του κύβου είναι κλειστή, τµηµατικά λεία επιφάνεια και το πεδίο F = ( K, LM, = ( x,, z είναι έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στον κύβο Π µπορούµε να εφαρµόσουµε το θεώρηµα της απόκλισης Επιφάνεια Παραµετροποίηση Κάθετο διάνυσµα = r r u v Προς τα έξω προσανατολισµένο κάθετο διάνυσµα = 1,, x = r 1 = (, z, 1 = i= ( 1,, 1 x = α r = ( az,, = i= ( 1,, = ( 1,, = r = ( x,, z = j= (, 1, = (, 1, = a r 4 = ( x, az, 4 = j= (, 1, 4 = (,1, z = r 5 = ( x,, 5 = k = (,,1 5 = (,, 1 z = a r = ( x a = k = (,,1 = (,,1 6,, Τότε χρησιµοποιώντας την τελευταία στήλη του παραπάνω πίνακα έχουµε: ( 1 6 Π 1 1 F d S= F r uv, uvdudv, + F r uv, uvdudv, ( 4 ( + Fr u, v u, v dudv + Fr u, v u, v dudv 4 4 ( ( + Fr u, v u, v dudv + Fr u, v u, v dudv 5 5 6 6 5 6 6 a a a a ddz a ddz = + a a a a dxdz a dxdz + + a a a a dxd a dxd + + 4 4 4 4 = a + a + a = a Με άλλα λόγια η ροή του πεδίου εξέρχεται δια µέσου του κύβου Απ την άλλη πλευρά χρησιµοποιώντας το θεώρηµα απόκλισης παίρνουµε F = ( x + + z = ( + + Π Π Π P dp K L M dxddz x z dxddz 4 ( x z dzddx a a a a = + + = 6

Aσκηση 9 Εστω ότι στην αρχή καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων είναι τοποθετηµένο ένα ακίνητο σηµειακό φορτίο q Υπολογίστε τη ροή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου q = {} E:,, : E r 4πε r δια µέσου οποιασδήποτε κλειστής, λείας και θετικά προσανατολισµένης επιφάνειας που περιέχει το φορτίο q στο εσωτερικό της Θεωρήστε r r= xi+ j + zk, r = r, r = r Λύση Υπενθυµίζουµε ότι το πεδίο της έντασης είναι ασυµπίεστο στον q { (,, } Εστω K = Πράγµατι, µέσω της γνωστής σχέσης 4πε ff = f F+F f παίρνουµε K K K Kr K F= r = r+ r= r+ 5 r r r r r K r K = 5 + = r r Εστω Ω είναι φραγµένο στερεό µε σύνορο την επιφάνεια Εφόσον το στερεό Ω περιέχει το ανώµαλο σηµείο του πεδίου (δηλαδή το πεδίο δεν είναι παντού διαφορίσιµο στο εσωτερικό της επιφάνειας, το Ω δεν είναι κανονικό στερεό και άρα δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρ 8 την περίπτωση αυτή εφαρµόζουµε το Θεώρηµα απόκλισης στο στερεό Ω S ε, όπου S ε είναι µια σφαιρική µπάλα ακτίνας ε επιλεγµένη έτσι ώστε να περιέχει το φορτίο q ως κέντρο της και η σφαίρα S ε είναι θετικά προσανατολισµένη Τότε από το Θεώρηµα απόκλισης για µη κανονικά στερεά συν το γεγονός ότι το πεδίο της έντασης είναι ασυµπίεστο επί του στερεού Ω S ε (που δεν περιέχει πλέον την ανωµαλία έχουµε: E ds= E ds Εφόσον ds= ds, όπου το είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα της σφάιρας µε φορά προς το εξωτερικό της σφαίρας, η παραπάνω ισότητα γίνεται: 7 Sε E ds= E ds= E ds = E συν E, ds Sε S ε S ε

=± Ε ds, Sε διότι ισχύει E// σε κάθε σηµείο της σφαίρας Επειδή όµως το µέτρο της έντασης είναι σταθερό σε κάθε σηµείο της σφαίρας S ε µε τιµή τελικά έχουµε 1 q E =, 4πε ε 1 q E ds= E ds =± 1 ds 4πε ε S ε Sε 1 1 =± q ( Ε µβ σφαιρας = ± q 4πε = q 4πε ε 4πε ε ε ηλαδή, η ροή του πεδίου της έντασης δια µέσου της επιφάνειας είναι ανάλογη του συνολικού φορτίου q που υπάρχει στο εσωτερικό της επιφάνειας (συµπεριλαµβανοµένου και του προσήµου του φορτίου q E d S = ( Noµος ε Gauss Αν είχαµε ακίνητα σηµειακά φορτία q1, q,, q σε σηµεία P,, 1 P και αν r,, 1 r είναι τα διανύσµατα θέσεις των σηµείων P,, 1 P, τότε η ολική έ- νταση σε σηµείο P µε διάνυσµα θέσης r προκύπτει από το άθροισµα q E=E + E + + E = r r i 1 i= 1 4πε r ri Τότε η ροή του πεδίου της έντασης E δια µέσου απλής, κλειστής και προς τα έξω προσανατολισµένης επιφάνειας που περιέχει τα φορτία q1, q,, q είναι q1+ q + + q qo λ E d S = = ε ε Τέλος αν υπάρχει συνεχής κατανοµή φορτίου σε στερεό Ω, τότε για τη ροή του πεδίου της έντασης E δια µέσου απλής, κλειστής και προς τα έξω προσανατολισµένης επιφάνειας που περιέχει το Ω ισχύει πάλι ο νόµος του Gauss i 8

q oλ Ω d S = = ε ρdv E ε Aσκηση 1 Nα υπολογίσετε το έργο του πεδίου F: : F= ( az, bx, γ επί του συνόρου µη κλειστής επιφάνειας, όπου είναι το τµήµα του παραβολοειδούς z = x + που κείται κάτωθεν του επιπέδου z = και άνωθεν του επιπέδου z = 1 µε θετική την κοίλη όψη Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα Stokes Tο πεδίο είναι συνεχώς διαφορίσιµο πάνω στην επιφάνεια και το σύνορο της επιφάνειας έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης Εχουµε λοιπόν όπου c= c1 c έτσι ώστε F dr= F ds, c η c 1 είναι η καµπύλη µε εξίσωση x + = 1 (που προκύπτει ως το- µη της επιφάνειας z = x + και του επιπέδου z = 1 µε ωρολογιακή φορά διαγραφής και η c είναι η καµπύλη µε εξίσωση x + = (που προκύπτει ως τοµη της επιφάνειας z = x + και του επιπέδου z = µε αντιωρολογιακή φορά διαγραφής ηµείωση Οι φορές διαγραφής καθορίζονται έτσι ώστε οι καµπύλες να διαγράφονται µε τη θετική φορά ως προς τον προσανατολισµό της επιφάνειας, βλέπε θεωρία αυτού του Κεφαλαίου Η επιφάνεια είναι απλή και λεία µε προφανή παραµετροποίηση την όπου r, r: : x, = x,, x + {, : 1 } = x x + είναι η προβολή της επιφάνειας στο ε- πίπεδο Ox To κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας ορίζεται µέσω της σχέσης: i j k = rx r = 1 x = ( x,, 1 1 9

Απ την άλλη µεριά έχουµε Αρα: i j k ( γ F = / x / / z =, a, b az bx γ c ( (, (, F dr= F ds= F r u v u v dudv ( γ,, (,,1 ( γ = a b x dxd = x a + b dxd 1 x + π γρσυνθ aρηµθ b ρdρdθ π b 1 = + = Aσκηση 11 Nα επαληθευθεί ο τύπος Stokes για το πεδίο F: : F= a, bz, γ x, όπου είναι το τµήµα της κυλιν- δρικής επιφάνειας x + = 1 που περιλαµβάνεται µεταξύ των επιπέδων z = και z = x+ 1 µε θετική την εξωτερική όψη του κυλίνδρου Λύση Η κυλινδρική επιφάνεια παραµετροποιείται ως εξής: r ( συνθ ηµθ : : r =,, θ,z z, όπου {( θ, z : θ [, π, z 1 συνθ} = + To κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας ορίζεται µέσω της σχέσης: i j k = rθ r z = ηµθ συνθ = συνθ, ηµθ, 1 Απ την άλλη µεριά έχουµε Αρα: i j k ( γ F = / x / / z = bz, x, a a bz γ x ( (, (, F ds= F r u v u v dudv 4

(,, (,, = bz γσυνθ aηµθ συνθ ηµθ dθ dz ( bz = συνθ γσυνθηµθ dθ dz π 1+ συνθ ( bz = συνθ γσυνθηµθ dzdθ = bπ Aπ την άλλη µεριά το σύνορο της επιφάνειας είναι της µορφής c= c c έτσι ώστε 1 η c 1 είναι η καµπύλη µε εξίσωση x + = 1 (που προκύπτει ως το- µη της επιφάνειας x + = 1 και του επιπέδου z = µε αντιωρολογιακή φορά διαγραφής και παραµετροποίηση ( t = ( συνt ηµ t t [ π r 1,,,, c είναι η καµπύλη µε εξίσωση { } και η x + = 1, z = x+ 1 µε ω- ρολογιακή φορά διαγραφής και παραµεροποίηση ( t = ( συνt ηµ t + συν t t [ π r,, 1,, ηµείωση Οι φορές διαγραφής καθορίζονται έτσι ώστε οι καµπύλες να διαγράφονται µε τη θετική φορά ως προς τον προσανατολισµό της επιφάνειας Αρα: 1 ( ( ( ( ( π F r + = + c 1 F r c F r 1 r1 F r π r π d d t t dt t t dt ( ηµ,, γσυν ( ηµ, συν, = a t t t t dt ( ηµ, ( 1 συν, γσυν ( ηµ, συν, ηµ π a t b + t t t t t dt ( ηµ συν συν γσυν ηµ π π = a ηµ tdt + ( 1+ + a t b t t t t dt ( π b 1 συνt συνt γσυν tηµ t dt π b = + + = 41

ΑΛΥΤΕ ΑΚΗΕΙ 1 Υπολογίστε το εµβαδόν: (α του τµήµατος του παραβολοειδούς z x θετικά z Απ 1 π = που βρίσκεται στα (β του τµήµατος της κυλινδρικής επιφάνειας επίπεδα, x, x x z = που αποκόπτουν τα 1 5 5 1 = = = Απ Υπολογίστε τα επιφανειακά ολοκληρώµατα των βαθµωτών πεδίων (α a x ds, όπου είναι το ηµισφαίριο z = a x, a > Απ π a x z ds, (β ( + + όπου είναι η επιφάνεια του συνόρου του κύβου που ορίζεται από τα επίπεδα x =, x= 1, =, = 1, z=, z= 1 Απ 9 (γ ( + z dxd, όπου είναι η κυλινδρική επιφάνεια z = 1 x που αποκόπτεται από τα επίπεδα =, = 1 Απ (α Yπολογίστε τη ροή του πεδίου (,, F x z = x i+ z j + k δια µέσου της επιφάνειας µε εξίσωση x + + z = 4, όπου x,,z Απ 16 π (β Yπολογίστε τη ροή του πεδίου F: : F ( x, z, = (, z, δια µέσου της επιφάνειας µε εξίσωση 4x + + z = 6, x,,z Απ 9 4 Να επαληθευτεί το θεώρηµα της απόκλισης για το πεδίο F x, z, = x i+ j z k και την κλειστή επιφάνεια που συντίθεται από τον κύλινδρο x + = 9 και τα επίπεδα z =, z = 4

5 Αν ( xz,, A F = r, ij i, j= 1 A= a είναι ένα γραµµικό πεδίο, και είναι µια κλειστή, λεία και θετικά προσανατολισµένη επιφάνεια, δείξτε ότι F d S = a11 + a + a V, όπου V ( είναι ο όγκος του στερεού 6 Να επαληθευτεί ο τύπος του Stokes για το πεδίο F( x,, z = i xz j+ z k και τη επιφάνεια που ορίζεται απ το παραβολοειδές z = x +, για z 1 Θεωρείστε τη προσανατολισµένη προς την κοίλη όψη Απ -π 4