. Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω ( x, y, z) {( ) } R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. = είναι µια διαµέριση του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R, όπου οι x, y, z είναι τυχαίες διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α i,b i ] (i=,,) της µορφής { a x x... x b}, { a y y... y b } = = < < < = = = < < < =, x N y M z { a z z... z b} = = < < < =. K Ορίζουµε ένα πλέγµα επιπέδων x = xn, y= ym, z= zk ( n=,..., N, m=,..., M, k =,..., K) παραλλήλων προς τα επίπεδα Οyz, Οxz και Oxy αντιστοίχως που διαµερίζουν το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R σε N M K το πλήθος ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ω nmk,, όγκου ( )( )( ) V = x x y y z z = dx dy dz nmk,, n+ n m+ m k+ k n m k, όπου n=,..., N, m=,..., M, k =,..., K. Αν και τότε ορίζουµε { nmk} M = sup f( x, y, z) : ( x, y, z) Ω nmk,,,, { nmk} m = inf f( x, y, z) : ( x, y, z) Ω, nmk,,,, N M K Lf = sup ( mn, m, k Vn, m, k) : οποιαδηποτε διαµεριση της R n= m= k= και
N M K U f = inf Mn m k Vn m k : οποιαδηποτε διαµεριση της R n= m= k= (,,,,). Σηµειώνουµε ότι οι αριθµοί U f και L f υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωµα Darboux της f επί της R. Ορισµός 5. Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R. Αν U = L = λ, f f τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Riemann επί του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R και γράφουµε. f ( x, y, z ) dxdydz = λ R Ισοδύναµα λέµε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωµα της f στο R. Πολλές φορές χρησιµοποιείται και ο ακόλουθος ορισµός (που είναι ισοδύναµος µε τον ορισµό 5.): Έστω f : R είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R, είναι οποιαδήποτε διαµέριση του R σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ω n,m,k και ( x n,y m, z k) είναι τυχαίο σηµείο του Ω n,m,k. Εστω { δ nmk,, n N m M k M } = max : =,...,, =,...,, =,..., είναι το µέγιστο πλάτος της, όπου Αν υπάρχει το όριο { PP P P nmk} δ = max :, Ω. nmk,,,, lim N- M- K- n= m= k= ( ( n m k ) n,m,k ) f x,y,z V = λ ανεξάρτητα της επιλογής της διαµέρισης και της επιλογής των σηµείων ( x n,y m, z k), τότε λέµε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωµα της f στο R και γράφουµε
. f ( x, y, z ) dxdydz = λ R Θεώρηµα 5. Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R εκτός ενδεχοµένως από ένα υποσύνολο Π R αµελητέου όγκου (π.χ. το Π µπορεί να είναι είτε αριθµήσιµο πλήθος σηµείων, είτε πεπερασµένη ένωση τµηµατικά λείων καµπύλων, είτε επιφάνεια z = g( x, y), όπου g συνεχής συνάρτηση). Τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο R. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος Riemann επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ως εξής: Εστω f : είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σ ένα κλειστό και φραγµένο στερεό µε το σύνορό του να είναι σύνολο αµελητέου όγκου. Αφού το είναι φραγµένο υπάρχει ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό. Ορίζουµε την επέκταση της f στο ως εξής: f ( xyz,, ), ( xyz,, ) gxyz (,, ) =. (), ( x, yz, ) R\ Αν η g είναι ολοκληρώσιµη στο R, τότε ορίζουµε f ( x, y, z) dxdydz = g( x, y, z) dxdydz. Σηµείωση. Αποδεικνύεται ότι η τιµή του τριπλού ολοκληρώµατος g ( x, y, z ) dxdydz είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R. Ετσι µπορούµε να δώσουµε τον R ακόλουθο Ορισµός 5. Θα λέµε ότι µια φραγµένη συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιµη πάνω σ ένα κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου, αν η επέκταση της f (όπως στην ()) είναι ολοκληρώσιµη κατά Riemann πάνω σ ένα (άρα και σε κάθε) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει το. R
Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Εστω f, g: είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου. Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη τις κάτωθι ιδιότητες: Η συνάρτηση k f λ g ( k, λ ) και ισχύει + είναι ολοκληρώσιµη στο ( k f + λ g )( x, y, z) dxdydz = k f ( x, y, z) dxdydz + λ g( x, y, z) dxdydz Οι συναρτήσεις f g, f, και f είναι ολοκληρώσιµες επί του g υπό την προϋπόθεση ότι είναι καλά ορισµένες στο. Αν η f είναι ολοκληρώσιµη επί του και η g: f( ) είναι συνεχής στο f() τότε και η σύνθεση αυτών g f είναι ολοκληρώσιµη επί του. Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη επί του και ισχύει Αν f ( xyz,, ) gxyz (,, ) f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. ( x,y,z) τότε ισχύει f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz. Αν = και = (ή γενικότερα το σύνολο είναι αµελητέου όγκου), τότε f ( x, y, z ) dxdydz = f ( x, y, z ) dxdydz f ( x, y, z ) dxdydz +. Γενικότερα, αν ισχύει, τότε f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dxdydz + f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. 4
f x, y,z dxdydz =. Αν είναι σύνολο αµελητέου όγκου τότε ( ) Αν m f( x, y, z) M, τότε ισχύει m V f ( x, y, z) dxdydz M V όπου V είναι ο όγκος του στερεού., Θεώρηµα 5. (Μέσης Τιµής) Εστω f, g: είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου και έστω ότι η g είναι µη αρνητική συνάρτηση επί του. Tότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός µ: inf f µ sup f έτσι ώστε ( f g)( x, y, z) dxdydz = µ g( x, y, z) dxdydz. Επιπλέον αν η f είναι συνεχής επί του και το είναι και * * συνεκτικό, τότε υπάρχει P έτσι ώστε µ = f ( P ) και * ( f g)( x, yz) dxdydz = f ( P ) g( x, y, z) dxdydz.. Υπολογισµός τριπλού ολοκληρώµατος Α. Πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Για τον υπολογισµό του τριπλού ολοκληρώµατος πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 5. (Fubini) Εστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο {( ) } R = x,y,z :a x b,a y b, a z b. Τότε οι µερικές συναρτήσεις b g yz = f xyzdx, (, ) (,, ) a b g x z = f x y z dy, (, ) (,, ) a (, ) = b (,, ) a g x y f x y z dz 5
είναι συνεχείς επί των ορθογωνίων χωρίων D, [ a, b ] [ a, b ] D = [ a, b ] [ a, b ] και D [ a, b ] [ a, b ], επιπλέον, =, = αντιστοίχως και b ( ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dz dxdy D a, b ( ) ( ) b f ( xyzdydxdz,, ) (,, ) D f xyzdxdydz a D. a = =,, Το Θεώρηµα 5. µας λέει ότι τα τριπλά ολοκληρώµατα πάνω σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µπορούν να υπολογισθούν ολοκληρώνοντας αρχικά ως µία τυχαία µεταβλητή (κρατώντας τις υπόλοιπες δύο σταθερές) οπότε καταλήγουµε σε διπλό ολοκλήρωµα επί ορθογωνίου χωρίου. Στη συνέχεια ολοκληρώνουµε ως προς κάποια από τις εναποµείναντες µεταβλητές (κρατώντας την άλλη σταθερή) και καταλήγουµε σε ολοκλήρωµα συνάρτησης µιας µεταβλητής. Β. Πάνω σε φραγµένο στερεό Ορισµός 5. Εστω είναι κλειστό και φραγµένο στερεό του το σύνορο του οποίου έχει αµελητέο όγκο. Τότε το καλείται κανονικό ως προς y εάν (α) το εσωτερικό του είναι ένα µη κενό συνεκτικό σύνολο και η προβολή του στο xz επίπεδο είναι χωρίο κανονικό, είτε ως προς x, είτε ως προς z (β) κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των y η οποία διέρχεται και από το εσωτερικό του έχει δύο µόνον κοινά σηµεία µε το σύνορο του. Με όµοιο τρόπο ορίζουµε ότι το είναι κανονικό ως προς x ή ως προς z. Aν το είναι κανονικό και ως προς x και ως προς y και ως προς z θα λέµε απλά ότι το είναι κανονικό σύνολο. Θεώρηµα 5.4 Έστω f : είναι µία συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου και έστω ότι τα χωρία D, D και D είναι οι ορθογώνιες xy xz yz 6
προβολές του στερεού πάνω στα επίπεδα Oxy, Οxz και Oyz αντίστοιχα. (i) Αν το είναι κανονικό ως προς x στερεό της µορφής {( ) ( ) yz ( ) ( )} = x, y,z : y,z D, g y,z x g y,z, όπου g, g: Dyz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο µεταβλητών πάνω στο χωρίο D yz, τότε g ( y, z) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dx dydz. D g y z (ii) Αν το είναι κανονικό ως προς y στερεό της µορφής yz {( ) ( ) xz ( ) ( )} = x, y,z : x,z D, h x,z y h x,z όπου h, h: Dxz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο µεταβλητών πάνω στο χωρίο D, τότε xz h ( x, z) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = (,, ) f x y z dy dxdz D. h x z (iii) Αν το είναι κανονικό ως προς z στερεό της µορφής xz {( ) ( ) xy ( ) ( )} = x,y,z : x,y D, k x,y z k x,y όπου k, k: Dxy είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο µεταβλητών πάνω στο χωρίο D xy, τότε k ( x, y) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = (,, ) f x y z dz dxdy D. k x y xy (iv) Aν το είναι κανονικό στερεό και άρα µπορεί να εκφρασθεί είτε µέσω της µορφής (i) είτε µέσω της (ii), είτε µέσω της (iii), τότε k ( x, y) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dz dxdy D k x y xy 7
xz h( x, z) g( y, z) ( f ( xyzdydxdz,, ) (, ) ) ( (,, ) (, ) ) D h x z f xyzdxdydz D. g y z = = yz Σηµείωση: Το δυσκολότερο µέρος υπολογισµού ενός τριπλού ολοκληρώµατος είναι η εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης. Αν το στερεό δεν είναι κανονικό ούτε ως προς x ούτε ως προς y ούτε ως προς z προσπαθούµε να το εκφράσουµε ως ένωση κανονικών στερεών ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Στη συνέχεια δουλεύουµε σε κάθε κανονικό στερεό ξεχωριστά. Έστω είναι στερεό κανονικό ως προς z. Tότε για να υπολογίσουµε τα όρια ολοκλήρωσης στο f ( x, y, z ) dxdydz εργαζόµαστε ως εξής: Παίρνουµε τυχαία ευθεία L παράλληλη µε τον άξονα z z (ή κάθετη στο επίπεδο Οxy) που να διαπερνά τo στερεό κατά τη διεύθυνση αύξησης των z. Ολοκληρώνουµε την f ως προς z από την τιµή z=g (x,y) µέσω της οποίας η ευθεία L εισέρχεται στo στερεό ως την τιµή z= g (x,y) µέσω της οποίας η ευθεία L εξέρχεται από το στερεό. Τα χωρίο D xy προκύπτει από την oρθογώνια προβολή του στερεού στο επίπεδο Οxy. Eφαρµογές του τριπλού ολοκληρώµατος (α) Εστω είναι κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου. Tότε το τριπλό ολοκλήρωµα V =, dxdydz ισούται µε τον όγκο του στερεού. (β) Εστω ρ : (, + ) είναι πυκνότητα µάζας που κατανέµεται µε συνεχή τρόπο επί στερεού. Τότε το τριπλό ολοκλήρωµα M ρ( x, y, z) dxdydz = 8
ισούται µε τη συνολική µάζα του. Επιπλέον το κέντρο βάρους (x,y,z ) του δίνεται από τις σχέσεις x M xρ( x, y, z) dxdydz M yρ( x, y, z) dxdydz = =, y = = M ρ( x, y, z) dxdydz M ρ( x, y, z) dxdydz yz xz, z M xy = = M zρ( x, y, z) dxdydz ρ( x, y, z) dxdydz όπου οι M yz, M xz και M xy είναι οι ροπές ης τάξης του.. Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων Θεώρηµα 5.5 Εστω F :T G είναι ένα συνεχώς διαφορίσιµο και αντιστρέψιµο πεδίο επί κλειστού και φραγµένου τόπου T της µορφής δηλαδή ( ) ( u,v,w) = ( x,y,z) = x( u,v,w ),y( u,v,w), z( u,v,w) F, x x x u v w D( x,y,z) F ( ) = = u v w ( u,v,w) Du,v,w ( ) J P y y y z z z u v w G. Αν f : G είναι µία συνεχής συνάρτηση, τότε G ( ) ( ) D x,y,z f ( x, y,z) dxdydz = f ( x( u,v,w ), y( u,v,w), z( u,v,w) ) dudvdw T Du,v,w (α)μετασχηµατισµός σε κυλινδρικές συντεταγµένες. Σ αυτή την περίπτωση έχουµε: άρα: συνφ -ρηµφ D( x,y,z ) = ηµφ ρσυνφ = ρσυν φ+ ρηµ φ= ρ, D( ρ,φ,z) 9
( ) ( ) f x, y,z dxdydz = f ρσυνφ, ρηµφ,z ρdρdφdz. G (β) Μετασχηµατισµός σε σφαιρικές συντεταγµένες. Στην περίπτωση αυτή έχουµε: συνθηµφ -rηµθηµφ rσυνθσυνφ D( x,y,z ) = ηµθηµφ rσυνθηµφ rηµθσυνφ D( r,θ,φ) συνφ -rηµφ = r ηµφ, όπου ϕ π και θ < π. Αρα συνεπώς ( ) ( ) D x,y,z r ηµφ D r,θ,φ =, ( ) = ( ) G T f x,y,z dxdydz f rσυνθηµφ, rηµθηµφ,rσυνφ r ηµφdrdθdφ Σηµείωση. Oταν έχουµε µη γνήσια τριπλά ολοκληρώµατα εργαζόµαστε όπως στην περίπτωση των διπλών ολοκληρωµάτων. Παρατήρηση. O ορισµός των τριπλών ολοκληρωµάτων µπορεί να γενικευθεί και σε χώρους περισσοτέρων διαστάσεων. Τότε έχουµε τα λεγόµενα πολλαπλά ολοκληρώµατα. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωµα. xydxdzdy Λύση. H oλοκλήρωση γίνεται επί ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου οπότε έχουµε ( ) x ( ) xydx dzdy = y dzdy y y dzdy = y yz 9y 6y = dz dy = dy = dy 5y 5 = dy =. 4 4
x y z dxdydz,. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωµα ( ) όπου είναι το φραγµένο στερεό µεταξύ των επιφανειών x=,y=,z=, y=x και z=x+y. Λύση. Εχουµε D x+ y ( ) ( x y z) dxdydz = ( x y z) dz dydx x+ y x z = xz yz dydx x = x y dydx xy y = x dx 4 6 5 7 x x x x 8 = dx = =. 4 5. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωµα xyzdxdydz, όπου είναι το στερεό µεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Λύση. Το στερεό είναι ένα πρίσµα το οποίο είναι κανονικό. yy ' zz ' xx ' Η oρθογώνια προβολή D του πρίσµατος στο επίπεδο Οxy προκύπτει θέτοντας z= στην x+y+z=, συνεπώς είναι το τρίγωνο µε πλευρές x=, y= και x+y=. Θεωρούµε ευθεία παράλληλη στον άξονα των z z όπως φαίνεται στο σχήµα. Αυτή πάντα εισέρχεται από την τιµή z= και εξέρχεται πάνω στην επιφάνεια z=-x-y. Aρα έχουµε x y ( ) x y z xyzdxdydz = xyzdz dxdy = xy dxdy D D 4
= xy( x y) dxdy D. Oπως είπαµε παραπάνω το χωρίο D είναι το τρίγωνο µε πλευρές x=, y= και x+y=. Με τη συνήθη ολοκλήρωση που µάθαµε για τα διπλά ολοκληρώµατα έχουµε ( ) x xy( x y) dxdy = xy( x y) dy dx = D. 7 4. Να υπολογισθεί ο όγκος που περικλείεται µεταξύ των επιφανειών µε εξισώσεις z=x +y και z=8-x -y. Λύση. Οι δύο επιφάνειες τέµνονται πάνω στην έλλειψη x +y =8-x - y x +y =4. Αρα η κοινή προβολή των επιφανειών αυτών στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο D= {( x, y): x + y 4}. Eχουµε λοιπόν: 8-x -y ( ) D = x +y. D V = dzdxdy 8 - x - 4y dxdy Με αλλαγή µεταβλητής στον κυκλικό δίσκο x = ρσυνθ ρηµθ, το χωρίο D µετασχηµατίζεται y = και έχουµε {(, ): [, ), } D = ρθ θ π ρ π ( 8-x -4y ) dxdy= ( 8-ρ ) dρdθ D 8π ρ =. 5. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που φράσσεται κάτω από το επίπεδο Οxy, πάνω από τη σφαίρα x +y +z =4α και πλευρικά από ρ =ασυνθ, θ -π/,π/, ( a > ). τον κύλινδρο [ ] 4
Λύση. Το στερεό είναι η τοµή των επιφανειών όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα (στο σχήµα θεωρήσαµε ενδεικτικά ότι a=):.5 z'z.5 - - x'x To στερεό είναι κανονικό ως προς z. Aρα οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον άξονα z z εισέρχεται στο στερεό από την τιµή z= και εξέρχεται µέσω του άνω ηµισφαιρίου z= 4a x y. Επίσης φαίνεται από το σχήµα ότι η προβολή της πάνω στο επίπεδο Οxy είναι ο κύκλος ρ =ασυνθ, θ [-π/,π/] όπως φαίνεται στο σχήµα y'y ρ=ασυνθ για α= - - y'y 4 x'x - - Εφόσον η προβολή δίνεται σε πολικές συντ/νες είναι λογικό να χρησιµοποιήσουµε µετασχηµατισµό σε κυλινδρικές συντ/νες για να βρούµε τον όγκο του στερεού. Εχουµε x = ρσυνθ, y= ρσυνθ, z = z και λαµβάνοντας υπόψη ότι z = 4a x y = 4a ρ έχουµε: 4a -ρ dxdydz = ρdρdθdφ = dz ρdρdθ G D = = π/ ασυνθ π/ aσυνθ / 4α - ρ ρdρdθ d(4a - ρ ) dθ -π/ -π/ π/ / = (( 4a -4a συν θ) 8 a ) dθ -π/ 4
π/ π/ 8a 8πa = ( 8 ) 8a ηµ θ a dθ = ηµ θdσυνθ + -π/ -π/ 8a π/ 8πa = ( ) -συν θ dσυνθ + -π/ π / 8a συν θ 8πa 8πa = συνθ - + = π / 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα zdxdydz +, όπου + είναι το θετικό ηµισφαίριο σφαίρας x + y + z = a, a >. Λύση. Χρησιµοποιούµε το µετασχηµατισµό σε σφαιρικές συντ/νες και έχουµε: π/ π a zdxdydz = + ( ( ) ) rσυνφ r ηµφdr dθdφ 4 4 πα π/ πα = ηµφσυνφdφ =. 4 7. Να υπολογισθεί µε τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z = x + y, x + y = a και z=. Λύση. Το στερεό αποτελεί την τοµή της κωνικής επιφάνειας z = x + y και της κυκλικής κυλινδρικής επιφάνειας όπως ενδεικτικά φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα (για α=):. x + y = a.75.5.5 - -.5.5 - -.5.5 44
Το στερεό είναι άνω φραγµένο από την κωνική επιφάνεια, έχει ως παράπλευρη επιφάνεια τον κύλινδρο και είναι κάτω φραγµένο από το επίπεδο z=. Eχουµε λοιπόν x + y V = dxdydz = dz dxdy x y dxdy D = + D. Το χωρίο D είναι η προβολή του στερεού στο επίπεδο Οxy, συνεπώς D= ( x, y): x + y. Με µετασχηµατισµό είναι ο κυκλικός δίσκος { } σε πολικές συντ/νες παίρνουµε V π = ρ dρdθ = π. 8. Να υπολογισθεί µε τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z = ( x + y ) και x + y + z = 6. Λύση. Το στερεό είναι άνω φραγµένο από το άνω ηµισφαίριο και κάτω φραγµένο από την κωνική επιφάνεια όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήµα: 4 4-4 - - 4-4 H προβολή της τοµής των επιφανειών x + y + z = 6 στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο z x y = ( + ) και {(, ): 4} D= x y x + y το οποίο προκύπτει από την απαλοιφή του z από τις εξισώσεις των δύο επιφανειών. Εχουµε λοιπόν: dxdydz dz dxdy x y x y dxdy 6 x y ( + ) = = 6 ( + ) D x y D 45
( ) / π 6 ρ ρ = ( 6 ρ ρ ) ρdρdθ π = 64 = π. 9. Υπολογίσετε το µη γνήσιο ολοκλήρωµα I = x + y + z + a dxdydz, a>. Λύση. Θεωρούµε το στερεό n {(, θφ, ) : n, θ π/, φ π/} = r r r όπου rn, n. Το στερεό n παριστάνει επιφάνεια σφαίρας κέντρου (,,) και ακτίνας r n για x, yz,. Τότε µε µετασχηµατισµό σε σφαιρικές συν/νες έχουµε: + a π / π / r n In = r ηµφdrd d r θ φ π / π / rn = r a + a ηµφdrdθdφ π π [ ] / rn r n = συνφ dr a dr r + a π r = rn a τοξεφ a r n π rn rn a π τοξεφ a π = + =+ a. 46
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα dxdydz, ( x+ y+ z+ ) όπου είναι το στερεό µεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Απάντ. 8 n 5 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα z x + y dxdydz, όπου είναι το στερεό µεταξύ των επιφανειών x +y =, z=x, z= (z ). π Aπάντ.. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα I = x + y + z dxdydz, όπου είναι το εσωτερικό της µοναδιαίας σφαίρας µε κέντρο το (,,). Aπάντ. 4 π 5 4. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα I το εσωτερικό του ελλειψοειδούς = xyzdxdydz, όπου είναι x y z + + = για x, yz,. a b c Aπάντ. abc 48 5. Υπολογίστε µε τριπλή ολοκλήρωση τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες y= x, y= x, x+z =6, z =. 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα Aπάντ. 48 6 5 a b y x + y dzdydx, ( a, b> ) ax x. 47
7. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα Aπάντ. 4 5 4 ab R R x y ( x + y ) dzdydx, ( R > ). R x Aπάντ. 8. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα π R 5 5 x y z ( ) + + dzdxdy επί της σφαίρας µε κέντρο το σηµείο (,,) και ακτίνα /. Απάντ. π 8 n 9. Εστω είναι η στερεά περιοχή που περικλείεται από τα παραβολοειδή z = x + y και z= 6 8x y. Υπολογίστε τους όγκους των δύο στερεών στα οποία χωρίζει ο κύλινδρος 9x + 4y = το στερεό. Απάντ. V = 48π και V = 6π 48