ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ 1. Ηλεκτικό δναµικό φ 1 (x,y,z,) και µαγνητικό δναµικό Α 1 (x,y,z,) αντιστοιχούν σε εδίο Ε,Β. Θα ήταν δνατόν δύο άλλα δναµικά φ (x,y,z,) φ 1 (x,y,z,)+φ() (η σνάτηση φ εξατάται µόνο αό το χόνο) και Α Α 1 +Α(x,y,z,) να αντιστοιχούν στις ίδιες τιµές εδίων; Σύµφωνα µε τος µετασχηµατισµούς βαθµίδας (σελ. 196-7 το βιβλίο) είναι δνατόν τα δναµικά ψ ϕ και A να αντιστοιχούν στις ίδιες τιµές των εδίων ακεί A ψ και ϕ, όο ψ µια αιθµητική σνάτηση η οοία σύµφωνα µε τη ώτη σχέση και τα δεδοµένα της άσκησης οφείλει να εξατάται τόσο αό τη θέση όσο και αό τον χόνο (το όσθετο διανσµατικό δναµικό A A( xyz).,,, ) Τούτο όµως σηµαίνει ότι και η ώτη χονική αάγωγος της ψ εξατάται αό τις σντεταγµένες θέσεις και το ίδιο έει να σµβαίνει, σύµφωνα µε τη δεύτεη σχέση, και µε το όσθετο αιθµητικό δναµικό ϕ. H ααίτηση όµως ατή αντιτίθεται στα δεδοµένα της άσκησης και σνεώς η αάντηση είναι ανητική.. Ένα είεδο ηλεκτοµαγνητικό κύµα µε σχνότητα 15 MHz διαδίδεται µέσα σε ένα µη αγώγιµο διηλεκτικό λικό, το οοίο η σχετική ηλεκτική ειτετότητα είναι ε 4 και η σχετική µαγνητική διαεατότητα είναι µ 1. Αν το κύµα είναι γαµµικά ολωµένο και µεταφέει κατά τη διεύθνση το άξονα x µέση ισχύ 1/1 W/m, να ειγάψετε τις αναλτικές µαθηµατικές εκφάσεις της έντασης το ηλεκτικού εδίο και της µαγνητικής εαγωγής. Το κύµα διαδίδεται κατά τη διεύθνση το άξονα x. Eφόσον το κύµα είναι γαµµικά ολωµένο µοούµε να οθέσοµε ότι η διεύθνση της έντασης το ηλεκτικού εδίο είναι αάλληλη της διεύθνσης το άξονα y (ή οοιαδήοτε άλλη, ακεί η διεύθνσή της να είναι κάθετη ος τον άξονα x). Άα E Ee j( ωβx ) y και B Be j( ωβx ) z όο η γωνιακή σχνότητα ω f 31 8 ad s, η ταχύτητα φάσης 1 µε µ ε, η σταθεά διάδοσης β ω ω ad m, το λάτος της έντασης το ηλεκτικού εδίο 1 1 1 E µ S S V m µµ 1 1 1 1 και το λάτος της µαγνητικής ε εε 1 4 εαγωγής B E E 67. nt. Σελ. 1η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
3. ο ίσα και ετεώνµα σηµειακά φοτία 1µC διατηούνται ακίνητα σε αόσταση 1m µεταξύ τος µέσα σε οµογενές µαγνητικό εδίο το οοίο η µαγνητική εαγωγή µεταβάλλεται µε θµό 1-4 Τ/s. Ηλεκτικό εδίο δηµιογείται εξ αιτίας τόσο της ύαξης των φοτίων όσο και της µεταβολής το µαγνητικού εδίο. Πόση είναι η στοφή της έντασης ατού το ηλεκτικού εδίο. Το ηλεκτικό εδίο ο δηµιογείται εξ αιτίας των φοτίων είναι αστόβιλο (ηλεκτοστατικό db εδίο). Σνεώς E 1 4 Ts. d 4. Κκλικό λαίσιο ωµικής αντίστασης R βίσκεται σε οµογενές µαγνητικό εδίο µαγνητικής εαγωγής Β 1 Β m z. Tην χονική στιγµή η ακτίνα το λαισίο αχίζει να µεγαλώνει µε ταχύτητα (οθέτοµε ότι η αχική τιµή της ακτίνας είναι µηδέν και ότι, αόλο ο το µήκος το σύµατος µεγαλώνει, η σνολική ωµική το αντίσταση ααµένει σταθεή) και σγχόνως εφαµόζεται ένα δεύτεο µαγνητικό εδίο µαγνητικής εαγωγής Β -Β m (/κ)z ( κ είναι σταθεά, µε διαστάσεις χόνο). Να ολογιστεί το εύµα ο διαέει το λαίσιο και να διεενηθεί το µέτο και η φοά το σαν σνάτηση το χόνο. Η σνολική µαγνητική εαγωγή είναι B B1 + B Bm( 1 ) z. Εάν οίσοµε (αθαίετα) τη φοά κ διαγαφής της ειµέτο το λαισίο τέτοια ώστε το διάνσµα της ειφάνείας το να έχει τη διεύθνση το άξονα z τότε η µαγνητική οή ο διέχεται αό το λαίσιο θα είναι Φ( ) B S B ( ) m 1. Η ηλεκτεγετική δύναµη ο ανατύσσεται στο λαίσιο είναι κ ε Φ 3 B κ m( ) και η ένταση το εύµατος ο το διαέει I ε. Άα για R < < κ 3 το εύµα οκύτει ανητικό ο σηµαίνει ότι έχει αντίθετη φοά αό ατήν της διαγαφής το λαισίο. Για και κ 3 I. Για > κ 3 το εύµα οκύτει θετικό ο σηµαίνει ότι έχει τη ίδια φοά µε ατήν της διαγαφής το λαισίο. 5. ο ηλεκτικά δίολα έχον αάλληλες διολικές οές (διεθνόµενες ος τον άξονα z) και αµονικά µεταβαλλόµενες µε τον χόνο (p n p exp(jω n ), όο n1, ). Οι σχνότητες βίσκονται στην ειοχή το οατού και είναι f 1 4.31 14 Hz (εθό), f 7.51 14 Hz (ιώδες). Ποιό Σελ. η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
είναι το χώµα το φωτός ο θα αντιληφθεί αατηητής εισκόµενος α) στον άξονα z και β) σε διεύθνση κάθετη ος τον άξονα z. Στη σελίδα 6 το βιβλίο δίνεται η ισχύς (διάνσµα Pyning ) ο ακτινοβολείται αό χονικά p µεταβλητό δίολο S «sin θ 3, όο «p 16ε z και. Aό τις σχέσεις ατές οκύτει ότι: n pn ω np iω e n και θ η γωνία των διανσµάτων α) Εάν ο αατηητής βίσκεται στον άξονα z (θ ) δεν αντιλαµβάνεται τίοτα, ενώ εάν βίσκεται σε διεύθνση κάθετη ος τον άξονα z (θ9 ) δέχεται τη µέγιστη δνατή ισχύ ο εκέµον τα δίολα. β) Το διάνσµα Pyning είναι ανάλογο το ω 4. Σνεώς S S σηµαίνει ότι ο αατηητής αντιλαµβάνεται το ιώδες. 1 f ω ω f 1 4 1 4 94. ο 6. Η ειφανειακή κνότητα φοτίο σε µία χάλκινη σφαία µε διάµετο 1 m είναι ίση µε 1/ nc/m. α) Πόσο είναι το σνολικό φοτίο ο αντιλαµβάνεται ένας αατηητής ο κινείται ισοταχώς µε σχετική, ως ος τη σφαία, ταχύτητα 5 m/s; β) Ποια είναι η ένταση και η διεύθνση το µαγνητικού εδίο ο αντιλαµβάνεται ο αατηητής όταν βίσκεται σε αόσταση 5 m κάτω αό τη σφαία. (Θεωείστε ότι ο αατηητής κινείται στον άξονα x µε την οαναφεόµενη ταχύτητα και ότι το κέντο της σφαίας βίσκεται στη θέση 5y [m]) α) Το σνολικό φοτίο ααµένει το ίδιο σε όλα τα αδανειακά σστήµατα αναφοάς (διατήηση σνολικού φοτίο, σελ. 33) και είναι ίσο µε 4 σ 1 nc. β) Στο σύστηµα αναφοάς της σφαίας άχει µόνο το ακτινικό ηλεκτοστατικό εδίο της φοτισµένης σφαίας (B x, B y και Β z ). H αόσταση σφαίας-αατηητή είναι α5m στον άξονα y και ααµένει η ίδια τόσο στο σύστηµα αναφοάς της σφαίας όσο και στο αατηητή. Στην αόσταση ατή το ηλεκτοστατικό εδίο είναι Ε x, E y -q/4ε ο α και E z Mε βάση το µετασχηµατισµούς ο ειγάφονται στην σελ. 31 το µαγνητικό εδίο στο σύστηµα αναφοάς το αατηητή είναι Β' x, B' y και B' z γq/4 ε ο α. Εειδή γ1 (/ 5/3 1 8 ), 1/ε ο µ ο και ΗΒ/µ ο οκύτει ότι Η q/4α z 1/4 z [na/m]. Σελ. 3η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
7. Τετάγωνο σµάτινο λαίσιο, λεάς d, κινείται µε σταθεή ταχύτητα v v y σε µη οµογενές µαγνητικό εδίο εαγωγής Β Β sin(y/d) z. Το είεδο το λαισίο σµίτει µε το είεδο xy. Να ολογιστεί η ΗΕ ο ανατύσσεται στο λαίσιο. Έστω ότι το τετάγωνο λαίσιο ΑΒΓ έχει τις λεές ΑΒ και Γ στον άξονα x και τις λεές ΒΓ και Α στον άξονα y. Εάν η κίνηση της λεάς ΑΒ ειγάφεται µε την εξίσωση y ΑΒ u τότε η κίνηση της λεάς Γ θα ειγάφεται αό την εξίσωση y Γ d+u. Η ηλεκτεγετική δύναµη ο d d u ( u + d) ανατύσσεται στο λαίσιο είναι ε ( u B) dl ubsin( ) dx ubsin( ) dx [V] d d Το αοτέλεσµα ατό οκύτει αν λάβοµε όψη ότι η διεύθνση το εξωτεικού γινοµένο u B είναι κατά τη διεύθνση και φοά το άξονα x. Έτσι στο κλειστό εικαµύλιο ολοκλήωµα αφενός δεν λαµβάνονται όψη οι λεές ΒΓ και Α, αφετέο η φοά διαγαφής το λαισίο καθοίζει το θετικό όσηµο στη λεά ΑΒ και το ανητικό στη λεά Γ. Το αοτέλεσµα της ολοκλήωσης u u u είναι ε ubd sin( ) ubd sin( + ) ubd sin( ) [V] d d d 8. Φοτισµένο σωµατίδιο µάζας 17 1-8 Kg και φοτίο 1.6 1-19 C είναι ακίνητο ως ος σύστηµα σντεταγµένων (x,y,z), σε χώο (ε, µ ), στη θέση (,,). Αό τη χονική στιγµή και µετά δέχεται την είδαση είεδο ηλεκτοµαγνητικού κύµατος E E s(ω-βx) z όο Ε 1V/m και f 1GHz α) Θεωώντας αµελητέα τη µαγνητική δύναµη (δύναµη Laplae) ο ασκείται στο σωµατίδιο να ολογιστεί η ηλεκτοµαγνητική ισχύς ο ακτινοβολείται αό το φοτίο. β) Να αιτιολογηθεί η οσέγγιση ο έγινε αοδεκτή στο οηγούµενο σκέλος της άσκησης. α) Εφόσον η µόνη δύναµη ο ασκείται στο φοτίο είναι η δύναµις Culmb F qe τότε η qe ειτάχνση το φοτίο θα είναι γ s(ω ) z [m/s ] και η ισχύς ο ακτινοβολείται αό το m 4 qe 38 9 φοτίο (σελ. 7) p s ( ω) 51 s ( 1 ) [W] 3 1εm β) Η δύναµη Laplae είναι ίση µε qu B. εδοµένο ότι το φοτίο είναι αχικά ακίνητο η δύναµη ατή αχικά είναι ίση µε µηδέν. Ποκύτει διάφοη το µηδενός εφόσον τον φοτίο αχίζει να κινείται στον άξονα z ό την είδαση της δύναµης Culmb. Σγκίνοντας τα µέτα των δύο δνάµεων καταλήγοµε στο ότι F F C qub u (Στα είεδα ηλεκτοµαγνητικά κύµατα Ε/Β). qe L Σελ. 4η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
Πόση όµως είναι η ταχύτητα το φοτίο; Εειδή γνωίζοµε αό το οηγούµενο εώτηµα την ειτάχνση το φοτίο εξαιτίας της δύναµης Culmb εύκολα ολογίζοµε την z-σνιστώσα της ταχύτητας αό τη σχέση u z qe γ d sin( ω)[m/s] (µην ξεχνάτε ότι το φοτίο είναι ακίνητο στην ωm αχή). Κάνοντας τις άξεις οκύτει ότι, η µέγιστη τιµή της ταχύτητας είναι είο 15 mm/s, ο είναι σε σύγκιση µε τη ταχύτητα το φωτός αµελητέα. Έτσι, σε ώτη οσέγγιση, αµελητέα θα είναι και η είδαση της δύναµης Laplae. 9. Πηγή ηλεκτοµαγνητικής ακτινοβολίας εκέµει ισότοα ισχύ P. Η ηγή ειβάλλεται σφαιικά έως την αόσταση R αό οµογενές και ισότοο διηλεκτικό µε αώλειες. Εάν σε αόσταση >> R (δηλ. στον ελεύθεο χώο) το λάτος της έντασης το ηλεκτικού εδίο είναι Ε να ολογιστεί το σύνολο της ισχύος ο αοθηκεύεται και καταναλίσκεται στον χώο το διηλεκτικού. Το διάνσµα Pyning σε αόσταση >> R αό την ηγή είναι S E / µ [W/m ] και η σνολική ισχύς ο διέχεται αό τη σφαιική ειφάνεια ακτίνας, P E / µ [W]. Η ισχύς ατή είναι ίση µε τη εκεµόµενη ισχύ αό την ηγή µείον την ισχύ ο έχει αοθηκετεί και καταναλωθεί στον χώο το διηλεκτικού. Άα η ισχύς ο αοθηκεύεται και καταναλίσκεται στο διηλεκτικό θα είναι ίση µε P P P E / µ [W]. 1. Φοτίο q βίσκεται στον θετικό ηµιάξονα x και κινείται ισοταχώς µε ταχύτητα / x. Κάοια χονική στιγµή το αιθµητικό δναµικό στην αχή των αξόνων γίνεται ίσο µε φ. Ποια είναι η θέση το φοτίο εκείνη τη χονική στιγµή; Tο δναµικό φ ειγάφεται αό τις σχέσεις των Lienad και Wiehe (σελ. 3) 1 q ϕ όο β / 1/ x και x x. (Υόψη ότι όλα τα τονούµενα 4ε β σύµβολα αναφέονται στον αελθόντα χόνο ' και όχι τη χονική στιγµή ο µας ενδιαφέει και ότι το είναι το διάνσµα θέσης της αχής των αξόνων αό το φοτίο). Εάν κάνοµε τις άξεις οκύτει η αελθούσα θέση το φοτίο Αό τότε µεσολάβησε χονικό διάστηµα - ' q x δηλ. η θέση το φοτίο τη χονική στιγµή '. 6ε ϕ x /, όσο χόνο δηλ. χειάστηκε η ακτινοβολία για να φθάσει στην αχή των αξόνων. Σ' ατό το χονικό διάστηµα το φοτίο µετακινήθηκε στην Σελ. 5η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
αούσα το θέση x x + 3x /. Άα q x. (Στο ίδιο αοτέλεσµα καταλήγοµε αν 4ε ϕ χησιµοοιήσοµε τις σχετικιστικές σχέσεις της σελ. 37). 11. Όταν ένα αεοσκάφος ετάει µέσα στο γήινο µαγνητικό εδίο τότε ανατύσσεται κατά µήκος των τεγίων το ηλεκτεγετική δύναµη. Πιστεύετε ότι µοεί να χησιµοοιηθεί ατή η ηλεκτεγετική δύναµη (ανεξάτητα αό το µέγεθός της) για τις ενεγειακές ανάγκες το αεοσκάφος; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Όχι, διότι σε οοιοδήοτε ηλεκτικό κύκλωµα, ο θα σνδεθεί στα άκα των τεγίων, θα ανατχθεί η ίδια ηλεκτεγετική δύναµη µε την ίδια φοά ώστε να αναιείται ατή ο ανατύσσεται κατά µήκος των τεγίων. 1. Πηγή εναλλασσόµενο εύµατος σνδέεται µε είεδο κνωτή χωητικότητας C, το οοίο οι ολισµοί είναι κκλικοί δίσκοι ειφάνειας S. Εάν η τάση της ηγής είναι V V sin( ω) να ολογίσετε την εαγωγή το µαγνητικού εδίο στο εσωτεικό το κνωτή. (Tο ηλεκτικό εδίο στο εσωτεικό το κνωτή θεωείται οµογενές και η έντασή το είναι E σ / ε, όο σ η ειφανειακή κνότητα φοτίο στος ολισµούς.) Το φοτίο των ολισµών το κνωτή είναι q CV sin( ω ). Το µέτο της έντασης το ηλεκτικού εδίο είναι E CV sin( ω) / Sε, ενώ η διεύθνσή της είναι αάλληλη µε τον άξονα το κνωτή. Το οµογενές και χονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτικό εδίο σνοδεύεται αό µαγνητικό εδίο το οοίο οι δναµικές γαµµές είναι οµόκεντοι κύκλοι κάθετοι στον άξονα το κνωτή. Το µέτο της µαγνητικής εαγωγής σε αόσταση αό τον άξονα το κνωτή οκύτει αό την τέτατη εξίσωση E CV το Maxwell µε τη χήση το θεωήµατος Skes B dl ε µ ds B µ ω s( ω). d S C S 13. Μακύ σωληνοειδές ακτίνας α, µήκος l και αιθµού σειών N διαέεται αό εύµα I. Η ηλεκτική αντίσταση το σωληνοειδούς θεωείται αµελητέα, ενώ τα άκα το σνδέονται µε αγωγό το οοίο τόσο η ηλεκτική αντίσταση όσο και η ατεαγωγή θεωούνται είσης αµελητέες. Σε όλο το κύκλωµα δεν άχει ηγή, η µαγνητική οή δηλ. ααµένει σταθεή. α) να ολογιστεί η κνότητα της µαγνητικής ενέγειας και η σνολική µαγνητική ενέγεια. Σελ. 6η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
β) Πώς µεταβάλλεται το εύµα I όταν µεταβληθεί το µήκος l το σωληνοειδούς και γίνει l ενώ η ακτίνα και ο αιθµός σειών ααµείνον σταθεά; γ) Πόση δύναµη ααιτείται για την ειµήκνση το ηνίο; N α) Εειδή µέσα στο σωληνοειδές B µ l I και έξω αό ατό B τότε u B 1 N I m µ µ l και U m µα NI ( α l) um l β) Εειδή Φ και Φ Nα B B. Άα Um µα N I I I γ) F l l l l Φ. µα NI l I I I I l l l l 14. Ένας λετός µεταλλικός δίσκος ειδικής ηλεκτικής αγωγιµότητας σ [S/m] τοοθετείται κάθετα στις δναµικές γαµµές ενός οµογενούς µαγνητικού εδίο Β Β ο sinω [T]. Να ολογίσετε την κνότητα το ηλεκτικού εύµατος ο εάγεται στον δίσκο σνατήσει της αόστασης αό τον άξονά το. Σύµφωνα µε τον νόµο το Faaday db ωb s( ω) V E dl ds E B E ω s( ω ), d m C A όο C οοιαδήοτε κλειστή κκλική καµύλη άνω στην ειφάνεια το δίσκο µε κέντο τον άξονα το δίσκο και ακτίνα, ενώ A είναι η ειφάνεια ο ειγάφεται αό την καµύλη. Η διεύθνση της έντασης το ηλεκτικού εδίο είναι αζιµοθιακή. Άα η κνότητα το εαγόµενο ηλεκτικού εύµατος είναι j E σω B s( ω) A σ j. m 15. Σωληνοειδές µήκος x [m], ακτίνας α x µε λήθος σειών N 1 είναι τοοθετηµένο αξονικά στο εσωτεικό ενός άλλο σωληνοειδούς µήκος L >> x, της ίδιας ακτίνας α και µε λήθος σειών Ν. Το εσωτεικό σωληνοειδές διαέεται αό εύµα έντασης Ι 1 [A]. Πόση είναι η σνολική µαγνητική οή ο διέχεται αό το εξωτεικό σωληνοειδές; (ΠΡΟΣΟΧΗ! εν µοείτε να θεωήσετε ότι το εσωτεικό σωληνοειδές είναι αείο µήκος.) Εειδή είναι σχετικά δύσκολο να ολογιστεί το µαγνητικό εδίο B 1 ο δηµιογείται στο εσωτεικό Σελ. 7η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
σωληνοειδές (1) και κατ' εέκταση η µαγνητική οή Φ 1 ο διέχεται αό το εξωτεικό σωληνοειδές (), µοούµε να χησιµοοιήσοµε τη σχέση Φ 1 M 1 I 1 λαµβάνοντας όψη την εξίσωση το Neumann ( M αείο µήκος ( L εσωτεικό το είναι B M ). Έτσι οθέτοντας ότι το εξωτεικό σωληνοειδές, ο θεωείται 1 1 >> a), διαέεται αό εύµα έντασης I οκύτει ότι η µαγνητική εαγωγή στο N µ L I. Η µαγνητική οή µ NN 1 a µ NN 1 a Φ 1 M 1 I N 1 S 1 B I M1 L L µ NN 1 a. Άα Φ 1 M 1 I 1 L I. 1 16. Η ένταση το ηλεκτικού εδίο µέσα σε ένα µη µαγνητικό λικό (µ µ ο ) ειγάφεται αό τη σχέση E j a xe jω z V ( 1 + )sin( ), όο α [m] χαακτηιστική σταθεά το λικού. Να m οσδιοιστούν η ειδική ηλεκτική αγωγιµότητα σ και η ηλεκτική ειτετότητα ε το λικού. Τα χαακτηιστικά το λικού οκύτον αν ολογιστεί το µαγνητικό εδίο αό τη δεύτεη εξίσωση το Maxwell (νόµος Faaday) και κατόιν χησιµοοιηθεί η τέτατη εξίσωση (νόµος Ampee - Maxwell). Έτσι B E 1 E + z E E j B B j j x y 1 j j a a xe jω ω y s( ) ω ω ω E B y B µ j + + x z j E ε ( ) µ ( σ ωε) + 1 j + 1 + j a a xe jω z j j a xe jω z sin( ) µ ( σ ωε)( )sin( ) ω j µ ω a σ + jωε σ και ε µ ω a j( kz) ω j( ωkz) 17. Είεδο ηλεκτοµαγνητικό κύµα ( Ei Ee x[ V / m], H i H e y[ A / m] ) διαδιδόµενο στο κενό οσίτει κάθετα στην είεδη ειφάνεια ενός διηλεκτικού λικού, η ηλεκτική ειτετότητα το οοίο είναι ε [F/m], η µαγνητική διαεατότητα µ µ ο και η ειδική ηλεκτική αγωγιµότητα σ S/m. Μέσα στο λικό σε αόσταση d αό τη διαχωιστική ειφάνεια βίσκεται στο είεδο xz ένα τεταγωνικό σµάτινο λαίσιο, οι λεές το οοίο έχον µήκος α [m]. Να οσδιοιστεί η ηλεκτεγετική δύναµη ο ανατύσσεται στο λαίσιο. εδοµένο ότι το λικό είναι διηλεκτικό χωίς αώλειες (σ) τότε η ένταση το µαγνητικού εδίο Σελ. 8η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
µέσα στο λικό δίνεται αό τη σχέση (σελ. 57 το βιβλίο) ε j( ωβz) H He y ε + ε όο β ω εµ. Η ηλεκτεγετική δύναµη ο ανατύσσεται στο σµάτινο λαίσιο θα είναι a / d+ a/ B ε ε ε ε µ ω ω β ah µ j j z 4 βa ω β ds H j e [ ] + dx e dz e j( d / ) ( ) sin( ) V. ε + ε S a / da/ 18. Τι είδος λικό θα χησιµοοιούσατε οκειµένο να οστατέψετε ένα χώο αό την ηλεκτοµαγνητική ακτινοβολία. Το λικό ο θα χησιµοοιηθεί στη θωάκιση έναντι της ηλεκτοµαγνητικής ακτινοβολίας έει να αοσιάζει ελάχιστο ειδεµικό βάθος δηλ. ολύ ψηλή ηλεκτική αγωγιµότητα (σ) και µαγνητική διαεατότητα (µ). Σνεώς κατάλληλο λικό θα είναι ένα µαλακό σιδηοµαγνητικό µέταλλο όως ο σίδηος (βλ. ίνακα στη σελ. 53 το βιβλίο). 19. Θεωώντας την ειδική ηλεκτική αγωγιµότητα σ ενός κλινδικού αγωγού, µήκος L και διατοµής S, σταθεή σε ένα µεγάλο εύος σχνοτήτων (της τάξης των GHz), ααµένει το ίδιο σταθεά και η ηλεκτική αντίσταση το αγωγού; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Η αντίσταση το αγωγού δίνεται αό τη σχέση RL/σS. Τόσο η αγωγιµότητα όσο και το µήκος το αγωγού είναι ανεξάτητα της σχνότητας. Όσο αξάνεται όµως η τελεταία τόσο ελαττώνεται το ειδεµικό βάθος µε άλλα λόγια ελαττώνεται η ειφάνεια της διατοµής το αγωγού ο διαέεται αό ηλεκτικό εύµα. Άα αξάνεται η ηλεκτική αντίσταση το αγωγού σνατήσει της σχνότητας.. Φοτίο q βίσκεται ακίνητο σε αόσταση αό τον άξονα ενός σωληνοειδούς "αείο µήκος" και ακτίνας R, όταν η µαγνητική εαγωγή εντός το τελεταίο αχίζει να µεταβάλλεται µε θµό B/. Να ολογιστεί η αχική δύναµη ο φίσταται το φοτίο σνατήσει της αόστασης, στην είτωση ο το φοτίο βίσκεται εντός και εκτός το σωληνοειδούς. Εφόσον το φοτίο είναι αχικά ακίνητο η δύναµη ο φίσταται είναι F qe, όο η ένταση το ηλεκτικού εδίο ολογίζεται αό την εξίσωση E B/. Κατ' αχήν εφόσον το σωληνοειδές θεωείται "αείο µήκος", τόσο η µαγνητική εαγωγή B όσο και ο θµός Σελ. 9η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
µεταβολής της B/ είναι εντός το σωληνοειδούς διάφοα το µηδενός και αάλληλα το άξονά το, ενώ εκτός το σωληνοειδούς ίσα µε µηδέν. Λαµβάνοντας όψη τη γεωµετία το οβλήµατος η E και κατ' εέκταση η F είναι αζιµοθιακή. Χησιµοοιώντας το θεώηµα το Skes η εξίσωση µετασχηµατίζεται στην E dl ( B/ ) ds όο C κύκλος ακτίνας, το είεδο το οοίο C S είναι κάθετο στον άξονα το σωληνοειδούς και το κέντο το άνω στον τελεταίο, ενώ S η ειφάνεια το C. Η φοά διαγαφής το κύκλο ειλέγεται τέτοια ώστε το διάνσµα της ειφάνειάς το να είναι αάλληλο το ƒ B / ƒ. B q B Εάν < R τότε η εξίσωση καταλήγει στην E F B qr B Εάν > R τότε η εξίσωση καταλήγει στην E R F. Και στις δύο ειτώσεις η φοά της E και κατ' εέκταση της F είναι αντίθετη της φοά διαγαφής το κύκλο. 1. Σε ένα ακίνητο φοτίο εφαµόζεται κατάλληλη δύναµη F () οκειµένο ατό να διανύσει αόσταση µήκος s µε σταθεή ειτάχνση a και αµέσως µετά αόσταση το ίδιο µήκος µε σταθεή ειβάδνση a. Να ολογιστεί το σνολικό έγο ο οσφέθηκε στο φοτίο. εδοµένο ότι η αχική και η τελική κατάσταση το φοτίο είναι η ίδια, δηλ. δεν µεταβλήθηκε η κινητική το ενέγεια, όλο το έγο ο οσφέθηκε "µετατάηκε" σε ηλεκτοµαγνητική ακτινοβολία. Έτσι χησιµοοιώντας τη σχέση 7-31 το βιβλίο, το σνολικό έγο ο οσφέθηκε a είναι W q µ τ όο 6 φοτίο. s τ ο χόνος κατά τον οοίο ειταχύνθηκε ή ειβαδύνθηκε το a. Mεταλλικό έλασµα "αειόιστο µήκος" ως ος τη διεύθνση x και λάτος d ως ος τη διεύθνση y κινείται µε ταχύτητα x u µέσα σε µαγνητικό εδίο εαγωγής Bz. Να ολογιστεί η διαφοά δναµικού ο ανατύσσεται µεταξύ των ακµών το ελάσµατος. Εάν σνδεθούν οι δύο ακµές το ελάσµατος µε έναν ολύ καλό και σχετικά µε τις διαστάσεις το ελάσµατος µικού µήκος αγωγό, όση θα ήταν η διαφοά δναµικού; Και στις δύο ειτώσεις V ubd Σελ. 1η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
3. Μέσα σε ένα λικό µε σταθεές ε και µ ανατύσσεται ηλεκτικό εδίο της µοφής E ( x + iy ) sin( a bz). Ποια έει να είναι η σχέση των σταθεών a και b ώστε το + σγκεκιµένο εδίο να χαακτηιστεί ηλεκτοµαγνητικό κύµα; Tο ηλεκτικό εδίο ενός ηλεκτοµαγνητικού κύµατος ακούει στη διαφοική εξίσωση E E µε. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση τη x-σνιστώσα το εδίο ο δίνεται στην άσκηση οκύτει b sin( a + bz) + a µε sin( a + bz) b a µε ο είναι το ζητούµενο. Στην ίδια σχέση θα καταλήγαµε αν χησιµοοιούσαµε τη y-σνιστώσα το ηλεκτικού εδίο. 4. Ηλεκτοµαγνητικό κύµα έντασης 8 i( 681. 9. z) E E e x διαδίδεται στο κενό και οσίτει στη θέση z σε µεταλλικό φύλλο χαλκού (µ µ, σ 58. 1 7 S/ m) άχος d (κατά τη διεύθνση z, λάτος w (κατά τη διεύθνση y ) και αειόιστο µήκος (κατά τη διεύθνση x ). Εάν το άχος d είναι κατά ολύ µεγαλύτεο το ειδεµικού βάθος να ολογιστεί η ένταση το ηλεκτικού εύµατος ο διαέει το φύλλο. σ Υόδειξη: Στις σνοιακές σνθήκες χησιµοοιείστε για τον χαλκό ε Cu ε (1 j ). ωε ο Στην διαχωιστική ειφάνεια κενού - χάλκινο φύλλο ισχύει η σχέση των λατών E E i ε + ε ε Cu σ. Εειδή ε Cu ε (1 j ) και ωε ο σ 1. 43 1 1 οσιαστικά ε ωε ο Cu σ j και ω E ε ωε ωε j j ε Cu >> ε. Έτσι 4 e και E ε σ σ i Cu 8 ωε az+ j( 681. bz+ ) 4 E Ee x σ όο ωµ σ a b. Το εύµα ο θα διαέει το φύλλο θα είναι w d Ew I σ E dydz e 6 j681. 8 δεδοµένο ότι ad e. 5. Ένας λετός αγώγιµος δίσκος άχος h, διαµέτο d και αγωγιµότητας σ τοοθετείται Σελ. 11η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
µέσα σε οµογενές µαγνητικό εδίο εαγωγής B B sinω αάλληλης ος τον άξονά το. α) Να ολογιστεί η κνότητα το εαγόµενο εύµατος σνατήσει της αόστασης αό τον άξονα το δίσκο. β) Πόση θα είναι η ένταση το εαγόµενο εύµατος ο διαέει µια διατοµή κάθετη στον άξονα το δίσκο; α) Λόγω της σµµετίας το σστήµατος, αό τον νόµο το Faaday ( E B ) οκύτει εύκολα ότι η ένταση το εαγόµενο ηλεκτικού εδίο έχει αζιµοθιακή διεύθνση και µέτο E Bω sω [ V / m ]. Σνεώς η κνότητα το εαγόµενο εύµατος θα έχει διεύθνση αζιµοθιακή και µέτο j σbω sω [ A / m ]. β) Εφόσον η διεύθνση το εύµατος είναι αζιµοθιακή και η διεύθνση της διατοµής είναι αάλληλη στον άξονα το δίσκο τότε η ένταση το εύµατος µέσω ατής της διατοµής ( I j ds ) είναι ίση µε µηδέν. A 6. Εθύγαµµος αγωγός ειστέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω γύω αό ένα σηµείο το Ο, σε είεδο κάθετο στις δναµικές γαµµές ενός οµογενούς µαγνητικού εδίο εαγωγής B. Εάν το σηµείο Ο αέχει αό τα άκα το αγωγού αοστάσεις l 1 και l, να ολογιστεί η ηλεκτεγετική δύναµη ο ανατύσσεται στον αγωγό. Θεωείστε ένα σύστηµα αναφοάς µε αχή το σηµείο ειστοφής της άβδο Ο. Το είεδο ειστοφής είναι το xy και η διεύθνση το µαγνητικού εδίο η z. Στα φοτία των δύο τµηµάτων της άβδο ανατύσσεται δύναµη Laplae ίση µε v F q B. Εειδή η ταχύτητα της άβδο είναι αζιµοθιακή, η διεύθνση της δύναµης θα είναι ακτινική. Η φοά της δύναµης εξατάται αό τη φοά ειστοφής της άβδο. Έτσι αν η άβδος ειστέφεται δεξιόστοφα τότε η φοά της δύναµης είναι ος το κέντο ειστοφής Ο. Τούτο σηµαίνει ότι και στα δύο τµήµατα της άβδο τα θετικά φοτία θα κινηθούν ος το σηµείο Ο. Εάν η άβδος ειστέφεται αιστεόστοφα τότε τα θετικά φοτία θα κινηθούν ος τα άκα της άβδο. Και στις δύο ειτώσεις ειστοφής τα φοτία στα δύο τµήµατα της άβδο κινούνται ος αντίθετες κατεθύνσεις. Σνεώς οι ηλεκτεγετικές δνάµεις στα δύο τµήµατα είναι αντίθετες και έει να αφαιεθούν. Στο τµήµα της A 1 ω άβδο µε µήκος l 1 1 η ηλεκτεγετική δύναµη θα είναι ίση µε ε1 ( ) l B B d ωbd l, O Σελ. 1η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
B ω ενώ στο τµήµα µε µήκος l ίση µε ε ( ) B B d ωbd l ωb δύναµη είναι ίση µε ε ε1 ε ( l1 l ). O l. Η σνολική ηλεκτεγετική 7. Σηµειακό φοτίο q x κινούµενο µε ταχύτητα λησιάζει αατηητή εισκόµενο στη x y θέση (, ). Τη χονική στιγµή x κατά τη οοία το φοτίο βίσκεται στη θέση (,) ο αατηητής "αντιλαµβάνεται" αιθµητικό δναµικό ϕ. Να ολογιστεί η τιµή το ϕ. Το δναµικό ϕ ο "αντιλαµβάνεται" ο αατηητής τη χονική στιγµή οφείλεται στη θέση ο βισκόταν το φοτίο την αελθούσα χονική στιγµή. Αό τη θέση ατή ο αατηητής αείχε αόσταση ( ) x + y y, το µέτο της οοίας είναι είσης ίσο µε ( ) δεδοµένης της ταχύτητας διάδοσης το ηλεκτοµαγνητικού εδίο. Αό τις δύο ατές σχέσεις οκύτει ότι y. 1 q Το δναµικό φ( ) όο s 4ε s y ( ) ( ) 1. 8. Μέσα σε διηλεκτικό µε σταθεές ε, µ διαδίδεται ηλεκτοµαγνητικό κύµα εντάσεων E E s( ω βz) x [ / m ] E V και H s( ω βz) y [ A / m]. µ ε α) Να ολογιστεί η ηλεκτοµαγνητική ενέγεια σε έναν κβικό όγκο ακµής d. β) Τί µήκος έει να έχει η ακµή το κύβο ώστε η ενέγεια να ααµένει σταθεή; α) Η ενέγεια το ηλεκτοµαγνητικού εδίο είναι ίση µε d d d H E U ( µ ε + ) µ E dxdydz εe dx dy [ s ( ω βz) s ( ω βz)] dz µ ε d + 1 3 sin( ωβd) sin( ω) εed s ( ω βzdz ) εed ( 1 ) βd β) Εάν βd n δηλ. d nλ / όο n ένας ακέαιος αιθµός και λ το µήκος κύµατος, τότε η ενέγεια το ηλεκτοµαγνητικού εδίο οκύτει ανεξάτητη το χόνο. Σελ. 13η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
9. Ένα σµάτινο τεταγωνικό λαίσιο αοτελείται αό µία σεία και βίσκεται στο είεδο xy µε λεές µήκος α αάλληλες ος τις διεθύνσεις x και y. Στο ίδιο είεδο και αάλληλα ος τη διεύθνση x βίσκεται εθύγαµµος αγωγός "αείο µήκος" ο αέχει αόσταση α αό το κέντο το λαισίο. Να ολογιστεί ο σντελεστής αµοιβαίας εαγωγής των δύο αγωγών. Εάν ο εθύγαµµος αγωγός διαέεται αό εύµα έντασης I τότε δηµιογείται στο χώο µαγνητικό εδίο εαγωγής I B µ e. Η οή το µαγνητικού εδίο µέσα αό το σµάτινο λαίσιο είναι ϕ 3α Φ µ I α µ Iα Φ µ α ln3 d ln 3. Άα M. I α 3. Να αιτιολογηθεί γιατί σε έναν εαγωγό ο διαέεται αό εναλλασσόµενο εύµα η κατανοµή το εύµατος είναι ειφανειακή. Εειδή σε έναν εαγωγό η ηλεκτική αγωγιµότητα είναι άειη το ειδεµικό βάθος οκύτει µηδέν. 31. Ένα φοτίο q κινούµενο µε σταθεή ταχύτητα u λησιάζει αατηητή ο βίσκεται άνω στην εθεία της κίνησής το. Όταν το φοτίο βίσκεται σε αόσταση α αό τον αατηητή ο τελεταίος µετάει την ένταση το ηλεκτικού εδίο και τη βίσκει ίση µε την ένταση ο θα δηµιογούσε αό την ίδια αόσταση ένα ακίνητο φοτίο q φοτίο q; 3q/ 4. Πόση είναι η ταχύτητα το Το ισοταχώς κινούµενο φοτίο δηµιογεί στη θέση το αατηητή ηλεκτικό εδίο έντασης q β E 1 β 3 4ε ( β ) ( ) όο είναι η αελθούσα αόσταση το αατηητή αό το φοτίο και β u. Η αελθούσα αόσταση, όο το χονικό διάστηµα ο χειάστηκε η ακτινοβολία να φθάσει τον αατηητή. Στο χονικό ατό διάστηµα το φοτίο κάλψε µία αόσταση u και έφθασε σε αόσταση α αό τον αατηητή. Άα a+ u α /( u) και α/( 1 β). Λαµβάνοντας όψη ότι τα και β είναι αάλληλα διανύσµατα οκύτει το Σελ. 14η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
q 1 β µέτο της έντασης το ηλεκτικού εδίο E. Η τιµή ατή είναι ίση µε το µέτο της 4ε α έντασης το ηλεκτικού εδίο ο δηµιογεί ένα ακίνητο φοτίο q αό την ίδια αόσταση, δηλ. είναι ίση µε q 3. Εξισώνοντας οκύτει β 1 4ε 4α / και u /. 3. Ένα φοτίο κινείται µε ταχύτητα u αάλληλα σε έναν εθύγαµµο αγωγό "αείο µήκος" ο διαέεται αό εύµα σταθεής έντασης I και φέει οµοιόµοφα κατανεµηµένο φοτίο µε γαµµική κνότητα λ. Να ολογιστεί η σχέση µεταξύ των λ και I οκειµένο το κινούµενο φοτίο να διατηήσει την οµαλή και εθύγαµµη κίνησή το. Η ένταση το ηλεκτικού εδίο ο δηµιογείται αό τον αγωγό είναι E λ e. Η σχέση ατή ε οκύτει ολύ εύκολα αό το νόµο το Gauss, στην ολοκληωτική το µοφή, χησιµοοιώντας κλινδικές σντεταγµένες. Η ένταση το µαγνητικού εδίο ο δηµιογείται αό τον αγωγό είναι I H e φ. Η σχέση ατή οκύτει είσης ολύ εύκολα αό τον νόµο το Ampee, στην ολοκληωτική το µοφή, χησιµοοιώντας κλινδικές σντεταγµένες. Πάνω στο φοτίο σνεώς εξασκείται δύναµη Lenz v qλ quµ I F qe+ qu B e e, όο είναι στη σγκεκιµένη ε είτωση η αόσταση το φοτίο αό τον αγωγό. Για να διατηήσει το φοτίο την οµαλή εθύγαµµη κίνηση έει η δύναµη Lenz να είναι ίση µε µηδέν, ο ισχύει στην είτωση όο λ ui. 33. ύο τέλεια αγώγιµα είεδα "αειόιστων διατάσεων" είναι αάλληλα ος το είεδο xy οθογώνιο σστήµατος σντεταγµένων και βίσκονται στις θέσεις z και z d. Στον χώο µεταξύ των δύο ειέδων ανατύσσεται ηλεκτοµαγνητικό εδίο µε ένταση ηλεκτικού εδίο Ez (,) Es( ω+ βzx ) + Es( ω βzx ) 1 Να οσδιοιστούν οι ειτετές τιµές της σχνότητας το εδίο και να ολογιστεί η αντίστοιχη ένταση το µαγνητικού εδίο Hz (,). Πάνω στα αγώγιµα είεδα η εφατοµενική σνιστώσα το ηλεκτικού εδίο είναι ίση µε µηδέν. ηλ. σύµφωνα µε τη δεδοµένη µοφή το ηλεκτικού εδίο έει E (, ) E ( d, ). Αό τις x x Σελ. 15η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
δύο τελεταίες σχέσεις οκύτει ότι E1 E και sin( βd) β n f n d d. Έτσι η ένταση το ηλεκτικού εδίο θα δίνεται αό τη σχέση Ez (,) E sin( n )sin( n z ) d d x. Χησιµοοιώντας το νόµο το Faaday οκύτει ότι dh E Ex d z y 1. Αό τη σχέση µ µ ατή, κατόιν µεικής ααγώγισης ως ος z και ολοκλήωσης ως ος οκύτει ότι E Hz n n z (,) s( )s( ) d d y. 6 34. Σύµφωνα µε τον νόµο το Lenz, η ηλεκτεγετική δύναµη ο ανατύσσεται σε ένα ηλεκτικό κύκλωµα εξ αιτίας της χονικά µεταβαλλόµενης µαγνητικής οής αντιτάσσεται στο αίτιο της δηµιογίας της. Να ειγάψετε την εφαµογή το νόµο στην είτωση ο λησιάζοµε ή αοµακύνοµε ένα αγώγιµο λαίσιο σε ή αό έναν µόνιµο µαγνήτη. Τι δνάµεις ασκούνται σε κάθε µία είτωση; Καθώς λησιάζοµε το αγώγιµο λαίσιο στον µόνιµο µαγνήτη αξάνεται η οή το µαγνητικού εδίο αό την ειφάνεια το λαισίο, µε αοτέλεσµα να ανατύσσεται ηλεκτεγετική δύναµη και κατ' εέκταση το λαίσιο να διαέται αό ηλεκτικό εύµα. Σύµφωνα µε τον νόµο το Lenz, το εαγόµενο εύµα θα έχει τέτοια φοά ώστε το µαγνητικό εδίο ο δηµιογεί να είναι αντίθετης φοάς αό ατό το µόνιµο µαγνήτη για να ειοιστεί η αύξηση της µαγνητικής οής. Η δύναµις ο ανατύσσεται µεταξύ το µόνιµο µαγνήτη και το λαισίο είναι αωστική διότι τα δύο µαγνητικά εδία (µόνιµο µαγνήτη και εαγόµενο) είναι αντίθετης φοάς ή τα δύο εύµατα (εύµα Ampee το µόνιµο µαγνήτη και εαγόµενο εύµα στο λαίσιο) είναι αντίοα. Καθώς αοµακύνοµε το αγώγιµο λαίσιο αό τον µόνιµο µαγνήτη ελαττώνεται η οή το µαγνητικού εδίο αό την ειφάνεια το λαισίο, µε αοτέλεσµα να ανατύσσεται ηλεκτεγετική δύναµη και κατ' εέκταση το λαίσιο να διαέεται αό ηλεκτικό εύµα. Σύµφωνα µε τον νόµο το Lenz, το εαγόµενο εύµα θα έχει τέτοια φοά ώστε το µαγνητικό εδίο ο δηµιογεί να είναι της ίδιας φοάς µε ατό το µόνιµο µαγνήτη για να ειοιστεί η ελάττωση της µαγνητικής οής. Η δύναµις ο ανατύσσεται µεταξύ το µόνιµο µαγνήτη και το λαισίο είναι ελκτική διότι τα δύο µαγνητικά εδία είναι της ίδιας φοάς ή τα δύο εύµατα είναι οµόοα. Και στις δύο ειτώσεις οι δνάµεις αντιτίθενται στη µετακίνηση το λαισίο. 35. "Αείο" µήκος αγωγός αάλληλος ος τη διεύθνση z διαέεται αό εύµα έντασης Σελ. 16η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
I. Ένας δεύτεος αγωγός µήκος d, κάθετος στον ώτο και αάλληλος ος τη διεύθνση y κινείται µε σταθεή ταχύτητα z. Εάν το µέσον το δεύτεο αγωγού αέχει αό τον ώτο αόσταση a + d / να ολογίσετε την ηλεκτεγετική δύναµη ο ανατύσσεται στον δεύτεο αγωγό. Χησιµοοιώντας τον νόµο το Ampee ( B µ ) ολογίζεται η µαγνητική εαγωγή στον µ I άξονα y (όο βίσκεται ο δεύτεος αγωγός) B y ανατύσσεται στον δεύτεο αγωγό θα είναι ίση µε a µ µ + ε + d I ( B) dl ( z ) ( ) ln( ) y x dyy I a d. a a C j x. Η ηλεκτεγετική δύναµη ο 36. Είναι γνωστό ότι η ενέγεια το µαγνητικού εδίο ( U m ) ο δηµιογεί ένα ηνίο είναι ίση 1 LI. Να δείξετε ότι αν ένα σωληνοειδές ηνίο "αείο" µήκος διεέεται αό χονικά µε µεταβαλλόµενο εύµα, τότε η σνολική οή της ηλεκτοµαγνητικής ακτινοβολίας αό την ειφάνεια το ηνίο είναι ίση µε du m / d. Η µαγνητική εαγωγή µέσα σε ένα σωληνοειδές ηνίο "αείο" µήκος δίνεται αό την σχέση B µ ni (χησιµοοιούνται κλινδικές σντεταγµένες), ενώ έξω αό το ηνίο είναι ίση µε. e z Εφόσον το εύµα ο διαέει το ηνίο είναι χονικά µεταβαλλόµενο τότε σύµφωνα µε τον νόµο το db db Faaday ( E ) δηµιογείται ηλεκτικό εδίο έντασης E eφ. Το διάνσµα d d Pyning θα είναι ίσο µε n di S E H µ I d e. Εειδή το διάνσµα Pyning είναι ακτινικό η οή της ηλεκτοµαγνητικής ακτινοβολίας αό τις βάσεις το ηνίο είναι ίση µε. Αό την αάλεη ειφάνεια A το ηνίο η οή της ηλεκτοµαγνητικής ακτινοβολίας θα είναι ίση µε S d dze n RlI di LI di dum ( φ ) ( µ ). Στον όο µέσα στην αένθεση, R είναι η d d d A ακτίνα και l είναι το µήκος το ηνίο. Θεωείται δεδοµένο ότι µε την έκφαση "αείο" µήκος χαακτηίζοµε τα σωληνοειδή στα οοία ο λόγος l / R >> 1. 37. Ένα αγώγιµο λικό, η ηλεκτοµαγνητική σµειφοά το οοίο καθοίζεται αό τις Σελ. 17η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
ααµέτος ε, µ και σ, είναι ηλεκτικά ολωµένο εξ αιτίας της είδασης κάοιο εξωτεικού εδίο. Εάν τη χονική στιγµή σταµατήσει η είδαση το εξωτεικού εδίο να βείτε τη σνάτηση ο ειγάφει τη χονική µεταβολή της κνότητας το φοτίο. Σµβολεόµενοι τον ίνακα 8-1 το βιβλίο σας (σελ. 53) να εκτιµήσετε την τάξη µεγέθος το χόνο ο ααιτείται για την αοκατάσταση της ηλεκτικής οδετεότητας. Εειδή το λικό είναι αγώγιµο, η όλωσή το, ό την είδαση το εξωτεικού, οφανώς ηλεκτικού, εδίο, οφείλεται κίως στη µετατόιση των ελεύθεων φοτίων. Όταν σταµατήσει η είδαση το εξωτεικού εδίο τα ελεύθεα φοτία όκειται να µετακινηθούν και άλι ώστε να µηδενισθεί η όλωση το λικού. Η µετακίνηση ατή οφείλεται στο εδίο όλωσης ο δηµιογήθηκε αό τη σσσώεση των ελεύθεων φοτίων. Με άλλα λόγια δηµιογείται ένα εύµα, η κνότητα το οοίο θα είναι, j σe, όο / ε. Σύµφωνα µε την εξίσωση της E f d v σνέχειας j + E + d σ σ f σ f + d d ε d f ε f f fe, όο d f η αχική ( ) κνότητα των ελεθέων φοτίων. Σε ένα τικό αγώγιµο λικό η ειδική αγωγιµότητα είναι της τάξης το 1 7 S/m, σνεώς ο χόνος αοκατάστασης σ ε θα είναι της τάξης το 1-18 s. 38. Να δείξετε ότι η ειγαφή ενός µαγνητικού εδίο ως B.5xx [Τ] είναι φσικώς ααάδεκτη. Μια αό τις φσικές ιδιότητες το µαγνητικού εδίο είναι ότι η B. Στη σγκεκιµένη είτωση η B + B B + x y Bz x y z 5., ο σηµαίνει ότι η ειγαφή είναι λανθασµένη. 39. Τεταγωνικό σµάτινο λαίσιο έχει λεές µήκος a αάλληλα στις διεθύνσεις x και y. Τη χονική στιγµή, µε αχική ταχύτητα µηδέν, εισάγεται σταδιακά σε οµογενές µαγνητικό εδίο B Bz ωθούµενο σνεχώς αό σταθεή δύναµη F Fx. Εάν η µάζα το λαισίο είναι m και η ηλεκτική το αντίσταση R, να βεθεί η χονική σνάτηση ο ειγάφει τη µεταβολή της ταχύτητας το λαισίο έως ότο βεθεί ατό εξ'ολοκλήο µέσα στο µαγνητικό εδίο. Σελ. 18η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
Καθώς το λαίσιο εισέχεται µέσα στο µαγνητικό εδίο ανατύσσεται σ' ατό ηλεκτεγετική δύναµη ε ( ) B dl Ba, όο ( ) x είναι η ζητούµενη σνάτηση. Η εικαµύλιος C ολοκλήωση αγµατοοιείται µε φοά αντίθετη των δεικτών το ωολογίο και δίνει αοτέλεσµα διάφοο το µηδενός σε µία αό τις δύο λεές ο είναι αάλληλη στη διεύθνση y. Για την άλλη λεά θεωούµε ότι δεν έχει εισέλθει ακόµα µέσα στο µαγνητικό εδίο ( B ), ενώ για τις λεές ο είναι αάλληλες στη διεύθνση x οκύτει διανσµατικό αοτέλεσµα µηδέν. Η ηλεκτεγετική δύναµη ανατύσσεται έως ότο το λαίσιο βεθεί εξ'ολοκλήο µέσα στο µαγνητικό εδίο. Σ' ατό το χονικό διάστηµα το λαίσιο διαέεται αό ηλεκτικό εύµα έντασης ε Bα I και φοάς ατής των δεικτών το ωολογίο. Εξ αιτίας το εύµατος ασκούνται στο R R τµήµα το λαισίο ο βίσκεται µέσα στο µαγνητικό εδίο δνάµεις Laplae, οι οοίες είναι κάθετες στις λεές και έχον φοά αό τις λεές ος το κέντο το λαισίο. Η δύναµη ο εηεάζει την κίνηση το λαισίο είναι ατή ο ασκείται στην λεά ο είναι αάλληλη της διεύθνσης a y και είναι η ab FL Idyy B aibx x. Έτσι η σνολική δύναµη ο R ασκείται στο λαίσιο είναι F d a B m F. Αό τη d R F + FL και η εξίσωση της κίνησής το a B FR mr λύση της εξίσωσης ατής οκύτει ( ) (1 e ). a B 4. Πηγή lase σχνότητας 1 15 Hz και ισχύος 5/6 W εκέµει στο κενό δέσµη διαµέτο 1 mm. Nα ολογίσετε την ενεγό τιµή της κνότητας το εύµατος µετατόισης. Η κνότητα το εύµατος µετατόισης δίνεται αό τη σχέση D E jd ε. εδοµένο ότι η ακτινοβολία είναι µονοχωµατική η ενεγός τιµή της κνότητας το εύµατος µετατόισης δίνεται αό τη σχέση j Dms ε ωe. Για τον ολογισµό της έντασης το ηλεκτικού εδίο ms P χησιµοοιείται ο τύος < S > d 4 E R ms 4PR jdms εω 1 d A/ m. 1 41. Εθύγαµµος αγωγός αείο µήκος αχίζει να διαέεται κατά τη χονική στιγµή Σελ. 19η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
αό εύµα σταθεής έντασης I. Να ολογίσετε σνατήσει το χόνο τη µεταβολή της µαγνητικής εαγωγής σε αόσταση αό τον αγωγό. Να βεθεί η τιµή της µαγνητικής εαγωγής όταν και να σγκιθεί µε ατήν ο οκύτει αό τη θεωία το στατικού µαγνητισµού. dx ίνεται ότι το ln( x+ x + a ) και ότι η στοφή ενός διανύσµατος σε κλινδικές x + a 1 A σντεταγµένες είναι A + A A + ( ) A z ϕ z 1 A e e A e z ϕ z z ϕ ϕ. Η λύση της ϕ άσκησης ατής βίσκεται όσον αφοά τον ολογισµό το διανσµατικού δναµικού στη σελίδα 1 το βιβλίο: A(, ) µ I + ln( µ I 1 B A ( 1 + ) eϕ, όο για I B µ + e ) e. Η µαγνητική εαγωγή θα οκύψει αό τη σχέση z ϕ, δηλ. η µαγνητική εαγωγή τείνει στην ίδια τιµή ο θα οέκτε εάν εξετάζαµε το όβληµα ανεξατήτως το χόνο χησιµοοιώντας τη θεωία το στατικού µαγνητισµού. 4. Υάχον ειτώσεις κατά τις οοίες η ηλεκτοµαγνητική ακτινοβολία διαδιδόµενη σε ένα µέσον έχει ταχύτητα µικότεη αό την ταχύτητα διάδοσης το ήχο; ω Τούτο σµβαίνει στος αγωγούς, όο η ταχύτητα διάδοσης δίνεται αό τη σχέση. Εάν µσ θεωήσοµε ότι µ και σ 1 7 S / m τότε f. Στις χαµηλές σχνότητες, f < 1MHz, η µ ταχύτητα διάδοσης της ηλεκτοµαγνητικής ακτινοβολίας ταχύτητα διάδοσης το ήχο στα µέταλλα. < 1 3 m / s, ο είναι µικότεη αό τη 43. Ένας αατηητής αακολοθεί φοτίο 1nC ο αοµακύνεται ισοταχώς αό ατόν µε ταχύτητα x. Καταγάφοντας το αιθµητικό δναµικό ο οφείλεται στο φοτίο σµεαίνει ότι µεταβάλλεται χονικά σύµφωνα µε τη σχέση ϕ 1/ [V]. Να ολογιστεί η ταχύτητα το φοτίο. Χησιµοοιώντας τη έκφαση Lienad - Wiehe το αιθµητικό δναµικό εκφάζεται αό τη σχέση q ϕ 4ε 1, όο x, β x και β +. Άα 1 Σελ. η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
q 1 q 1 q 1 ϕ και 1 9m / s. 4ε (1 + ) 4ε 4ε 44. Ένα ηλεκτοµαγνητικό κύµα, το οοίο η ένταση το ηλεκτικού εδίο ειγάφεται αό τη σχέση E E s( ω βz) x, οσίτει σε ένα σωµατίδιο µε µάζα m και φοτίο q, ο βίσκεται, κατά τη χονική στιγµή, ακίνητο στην αχή το σστήµατος σντεταγµένων. Θεωώντας την είδαση της δύναµης Laplae αµελητέα να οσδιοίσετε (α) τη σχέση ο ειγάφει την κίνηση το σωµατιδίο και (β) την ηλεκτοµαγνητική ισχύ ο εκέµεται αό το σωµατίδιο. d x (α) Η διαφοική εξίσωση ο ειγάφει την κίνηση το φοτίο είναι η m qe s( ) ω. d Λύνοντας τη εξίσωση και λαµβάνοντας όψη τις αχικές σνθήκες οκύτει ότι η ταχύτητα το qe σωµατιδίο sin(ω) x και η θέση το φοτίο δίνεται αό τις σχέσεις mω qe x [1 s( ω)], y και z. mω (β) εδοµένο ότι ειτάχνση το σωµατιδίο a qe m s(ω ) x, σύµφωνα µε τη σχέση 7-3 ή 7-45 το βιβλίο (τύος το Lam) η µέση τιµή της εκεµόµενης αό το σωµατίδιο ισχύος 4 qe P 1ε m 3 [W]. 45. Ένας είεδος κνωτής βίσκεται φοτισµένος κατά τη χονική στιγµή µε φοτίο ± Q. Μεταξύ των ολισµών το κνωτή άχει διηλεκτικό λικό µε ηλεκτική ειτετότητα ε και ηλεκτική αγωγιµότητα σ. Θεωώντας δεδοµένο ότι κατά την εκφότιση το κνωτή ( > ) δεν δηµιογείται µαγνητικό εδίο, να δείξετε σνατήσει το χόνο, ότι ισχύει η αχή διατήησης της ενέγειας (θεώηµα Pyning) στον χώο µεταξύ των ολισµών το κνωτή. Η αχή διατήησης της ενέγειας (θεώηµα Pyning) εκφάζεται αό την εξίσωση u S + + J E. εδοµένο ότι κατά την διάκεια της εκφότισης δεν δηµιογείται µαγνητικό εδίο στο χώο µεταξύ των ολισµών το κνωτή, S και εe u. Στον είεδο κνωτή το Σελ. 1η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
µέτο της έντασης το ηλεκτικού εδίο κνότητα εύµατος E 1 Q ε A, όο A η ειφάνεια των ολισµών. Η J σe. Τόσο η ένταση όσο και η κνότητα το εύµατος έχον διεύθνση κάθετη στος ολισµούς το κνωτή και φοά αό τον θετικό στον ανητικό ολισµό. Χησιµοοιώντας την αχή διατήησης το φοτίο (ολοκληώνοντας δηλ. την εξίσωση της σνέχειας το φοτίο άνω σε µία κλειστή ειφάνεια ο ειλαµβάνει µόνο τον ένα ολισµό το dq σ dq κνωτή) οκύτει η εξίσωση J A + Q + Q Q e d ε d E σ σ u σq σq ε ε Άα + J E ε E + σ E e + e. ε A ε A σ ε και E 1 ε Q e A σ ε. 46. Ένα φοτίο q κινείται στο κενό µε σταθεή ταχύτητα. Κάοια χονική στιγµή οσίτει στο φοτίο ένα είεδο ηλεκτοµαγνητικό κύµα, η διεύθνση και φοά διάδοσης το οοίο σµίτει µε ατήν της ταχύτητας. Να δείξετε ότι η δύναµη ο ασκείται στο φοτίο εκείνη τη χονική στιγµή τείνει στο µηδέν, όταν η ταχύτητα τείνει στην ταχύτητα το φωτός. B E k q Η δύναµη ο ασκείται στο φοτίο είναι φσικά η δύναµη Lenz F qe + q B, το µέτο της οοίας κατά τη στιγµή της όστωσης είναι ίσο µε F qe qb qe(1 ). Αό την τελεταία σχέση οκύτει το ζητούµενο. 47. Ένα φοτίο q κινείται µε ταχύτητα αάλληλα σε έναν εθύγαµµο αγωγό αειόιστο θεωητικά µήκος. Ο αγωγός είναι αφότιστος αλλά διαέεται αό εύµα, δεδοµένο ότι τα φοτία της αγωγιµότητάς το, τα οοία έχον κνότητα, κινούνται µε ταχύτητα ίδια µε ατήν το φοτίο q. Να αναφέετε το είδος της δύναµης ο ασκείται µεταξύ το φοτίο q και το αγωγού (α) στο αδανειακό σύστηµα αναφοάς το αγωγού και (β) στο αδανειακό σύστηµα αναφοάς το φοτίο q. Σελ. η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
Στο αδανειακό σύστηµα αναφοάς το αγωγού η δύναµη ο ασκείται µεταξύ το κινούµενο φοτίο και το αγωγού είναι µαγνητοστατική (δύναµη µεταξύ εµάτων, δύναµη Laplae) και είναι ελκτική στην είτωση ο το φοτίο q και η κνότητα των φοτίων αγωγιµότητας είναι οµόσηµες οσότητες (αάλληλα εύµατα). Εφόσον διαχωίζοµε τα φοτία αγωγιµότητας αό τα όλοια ακίνητα φοτία το αγωγού, τότε οίζοντας την κνότητα των τελεταίων ως + b b ισχύει, δεδοµένο ότι ο αγωγός είναι αφότιστος. Για τις δύο κατηγοίες των φοτίων οίζονται και οι αντίστοιχες κνότητες εύµατος, δηλ. για τα φοτία αγωγιµότητας j και j. b Στο αδανειακό σύστηµα αναφοάς το φοτίο, το φοτίο είναι οφανώς ακίνητο και η δύναµη ο ασκείται µεταξύ ατού και το αγωγού αοκλείεται να χαακτηιστεί ως µαγνητοστατική. Η οσότητα το φοτίο q ααµένει αµετάβλητη σε όλα τα αδανειακά σστήµατα, δεν ισχύει όµως το ίδιο και για τον αγωγό. Χησιµοοιώντας τος µετασχηµατισµούς της κνότητας το φοτίο ο οτείνει η ειδική θεωία της σχετικότητας οκύτει για τα χαακτηισµένα (στο οηγούµενο σύστηµα αναφοάς) ως φοτία αγωγιµότητας ότι χαακτηισµένα ως ακίνητα φοτία ότι γ ( j) γ(1 ) b γ ( b j ) γ b, όο γ γ και για τα 1 1. Ποσθέτοντας τις δύο κνότητες φοτίο οκύτει ότι + b γ, δηλ. ότι ο γ γ αγωγός είναι φοτισµένος. Σνεώς µεταξύ φοτίο και αγωγού ασκείται ηλεκτοστατική δύναµη (δύναµη Culmb), η οοία είναι ελκτική στην είτωση ο το φοτίο q και η κνότητα των φοτίων αγωγιµότητας είναι οµόσηµες οσότητες (ετεώνµα φοτία). 48. Εθύγαµµος αγωγός αείο θεωητικά µήκος είναι οµοιόµοφα φοτισµένος και τατόχονα διαέεται αό ηλεκτικό εύµα. Η γαµµική κνότητα το φοτίο είναι ίση µε λ και η ένταση το εύµατος ίση µε I. Σε κάοια αόσταση αό τον αγωγό κινείται ισοταχώς(!) και αάλληλα(!) ος ατόν ένα σηµειακό οµώνµο φοτίο. α) Πόση έει να είναι η ταχύτητα το σηµειακού φοτίο ώστε να λαµβάνει χώα το φαινόµενο ατό; β) Πώς αντιλαµβάνεται το φαινόµενο ένας αατηητής ο βίσκεται στο σύστηµα αναφοάς το σηµειακού φοτίο; α) Χησιµοοιώντας τον νόµο το Gauss και τον νόµο το Ampee οκύτει εύκολα σε Σελ. 3η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3
Σελ. 4η, K.Γ. Eθµιάδης, Aικ. Σιακαβάα, A.Π.Θ. 3 κλινδικές σντεταγµένες ότι το ηλεκτοµαγνητικό εδίο ο δηµιογεί ο αγωγός ειγάφεται αό τις σχέσεις e E ε λ και ϕ µ e I B, όο η αόσταση το φοτίο αό τον αγωγό. Η δύναµ η Lenz ο ειδά στο σηµ ειακό φοτίο είναι ίση e I q e I q B q qe F ) ( ) ( λ ε µ ε λ +. Ποκειµένο το φοτίο να κινείται ισοταχώς, η δύναµη I F λ. β) Στο σύστηµα αναφοάς το σηµειακού φοτίο ο αγωγός έχει κνότητα φοτίο ( j) γ, όο και j η κνότητα φοτίο και εύµατος αντίστοιχα στο σύστηµα αναφοάς το αγωγού. Εειδή η διατοµή το αγωγού S είναι η ίδια και στα δύο σστήµατα αναφοάς η γαµµική κνότητα φοτίο το αγωγού στο σύστηµα αναφοάς το φοτίο ) ( ) ( I S j S λ γ γ λ. Σνεώς ο αατηητής εειδή βλέει το σηµειακό φοτίο ακίνητο, οθέτει ότι δεν φίσταται ηλεκτικό εδίο στον χώο (το µαγνητικό εδίο δεν ασκεί δύναµη σε ακίνητα φοτία) και ολύ σωστά θεωεί τον αγωγό αφότιστο. 49. Σε έναν εθύγαµµο αγωγό αειόιστο θεωητικά µήκος εµφανίζεται τατόχονα σε όλο το µήκος το ιή εύµατος. Να ολογιστεί το διανσµατικό δναµικό. Το διανσµατικό δναµικό στο σηµείο P είναι dz I z A P µ ) / ( 4 ω και λόγω σµµετίας ) / ( ω dz I z A P µ. Το είναι σνάτηση το z και αν λάβοµε όψη ότι + z, dz z z d +, d z dz και όταν z ή z τότε και αντίστοιχα, το ολοκλήωµα µετασχηµατίζεται και το δναµικό τελικά ολογίζεται ως εξής: P d q z A δ µ ) / ( ω d q z ) / ( ) / ( ω δ µ ) ( 1 ω q z µ P