4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί. Ιδιοτιµές -Ιδιοδιανύσµατα Μία σηµαντική κατηγορία προβηµάτων που αναφέρονται σε γραµµικά συστήµατα είναι τα προβήµατα των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων. Θα ξεκινήσουµε συνοψίζοντας την έννοια του ιδιοδιανύσµατος και της ιδιοτιµής και στη συνέχεια θα δούµε πώς είναι δυνατόν να υποογίζονται ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα σε ορισµένα βασικά προβήµατα της γραµµικής άγεβρας. Για να αντιηφθούµε την έννοια του ιδιοδιανύσµατος, ας θεωρήσουµε το Χ γραµµικό σύστηµα + + 5 (4.) µε ύση,. Το σύστηµα (4.) µπορεί να γραφεί στη συνοπτική µορφή των πινάκων (4.) 5 οπότε η ύση, δίνει την ισότητα (4.) 5 Η ισότητα πινάκων (4.), εκτός της προφανούς της ερµηνείας ως ύσης του γραµµικού συστήµατος (4.), έχει και µία άη "γεωµετρική" ερµηνεία: ο πίνακας στήη µπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει ένα διάνυσµα στο επίπεδο (,) µε - συνιστώσα ίση µε και -συνιστώσα ίση µε. Οµοίως, ο πίνακας στήη

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 5 5 µπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει ένα διάνυσµα στο επίπεδο (,) µε - συνιστώσα ίση µε και -συνιστώσα ίση µε 5. Ορισµός 4.: ένας πίνακας A αναφέρεται ότι δρά πάνω στο διάνυσµα ενός διανυσµατικού χώρου όταν ποαπασιάζεται αριστερά µε το διάνυσµα στήη. Ετσι, ο πίνακας που ποαπασιάζεται αριστερά µε τοδιάνυσµα-στήη έµε ότι δρά πάνω στο διάνυσµα, ενώ το νέο διάνυσµα που προκύπτει από τον ποαπασιασµό τουπίνακα µε τοδιάνυσµα - στήη, θα έγεται αποτέεσµα της δράσης του πίνακα πάνω στο διάνυσµα-στήη. Ας δούµε τώρα ποιά είναι η γεωµετρική σηµασία των προηγούµενων ορισµών. Ξαναγράφοντας την πράξη (4.4) 5 παρατηρούµε ότι η δράση του πίνακα επί του αρχικού διανύσµατος έχει ως αποτέεσµα την παραγωγή ενός νέου διανύσµατος το οποίο έχει υποστεί δύο µεταβοές σε σχέση µε το πααιό διάνυσµα: α) ααγή του µέτρου και β) ααγή της διεύθυνσης (στροφή). Τα παραπάνω φαίνονται σχηµατικά στο ακόουθο σχήµα 4.. Σχήµα 4.: ααγή του µέτρου και στροφή ενός διανύσµατος µετά τη δράση πάνω σ' αυτό ενός πίνακα σταθερών συντεεστών.

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 5 Είναι φανερό ότι η δράση οποιουδήποτε πίνακα πάνω σε ένα διάνυσµα θαέχειως αποτέεσµα την παραγωγή ενός νέου διανύσµατος το οποίο, στη γενική περίπτωση, θα διαφέρει από το προηγούµενο διάνυσµα τόσοκατάµέτρο όσο και κατά διεύθυνση. Εχει ενδιαφέρον να δούµεπώς"αναύεται" αυτή η δράση του πίνακα σε δύο επιµέρους δράσεις, εκτωνοποίωνηµία επιφέρει την στροφή του διανύσµατος και η άη την ααγή του µέτρου. 4.. Πίνακας στροφής Αναζητούµε έναν πίνακα ο οποίος, δρώντας σε τυχαίο διάνυσµα, επιφέρει στροφή του διανύσµατος κατά γωνία φ, χωρίς να µεταβάει το µέτρο του διανύσµατος. Αν το αρχικό διάνυσµα r έχει µέτρο R και όρισµα θ, τότε οι συνιστώσες του διανύσµατος στoυς άξονες και είναι αντίστοιχα: Rσυνθ Rηµθ r Το νέο διάνυσµα, µετάτηστροφήκατάγωνίαφ, θα έχει συνιστώσες (4.5) Rσυν ( θ + φ) Rσυνθσυνφ Rηµθηµφ συνφ ηµφ Rηµθ ( θ + φ) Rηµθσυνφ + Rσυνθηµφ ηµφ + συνφ (4.6) Οι σχέσεις (4.6) γράφονται συνοπτικά µε τηµορφή πινάκων συνφ ηµφ (4.7) ηµφ συνφ Από την εξίσωση (4.7) προκύπτει το εξής συµπέρασµα Ηδράσητουπίνακα συνφ ηµφ ηµφ συνφ σε ένα διάνυσµαστήη, δίνει ένα νέο διάνυσµα στήη το οποίο είναι στραµµένο ως προς το αρχικό κατά γωνία φ, ενώ διατηρεί το µέτρο του διανύσµατος αναοίωτο. 4.. Πίνακαςααγήςτουµέτρου Αναζητούµε τώρα έναν πίνακα ο οποίος, δρώντας πάνω σε ένα τυχαίο διάνυσµα, επιφέρει µεταβοή του µέτρου (του µήκους δηαδή) του αρχικού διανύσµατος κατά ένα παράγοντα Λ, δηαδή το νέο διάνυσµα έχει την ίδια διεύθυνση µε το πααιό, αά Λ φορές µεγαύτερο µήκος (Λ>0). Είναι φανερό ότι τόσο η, όσο και η συνιστώσα τουνέουδιανύσµατος, θα είναι Λ φορές µεγαύτερες από τις αντίστοιχες συνιστώσες του πααιού διανύσµατος. Θα ισχύουν δηαδή οι σχέσεις

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 5 Λ Λ + 0 (4.8) Λ 0 + Λ Οι σχέσεις (4.8) γράφονται σε µορφή πινάκων Λ 0 0 (4.9) Λ Συµπέρασµα: ηδράσητουπίνακα Λ 0 0 Λ σε τυχαίο διάνυσµα στήη, επιφέρει ααγή του µέτρουτουδιανύσµατος κατά παράγοντα Λ, ενώ διατηρεί τη διεύθυνση του διανύσµατος αναοίωτη. Ας σηµειωθεί ότι η µορφή των πινάκων στροφής και των πινάκων ααγής του µέτρου µπορεί να γενικευθεί άµεσα και στην περίπτωση πινάκων, και διανυσµάτων στηών, διάστασης µεγαύτερης του. Μέχρι τώρα είδαµε δύο στοιχειώδεις περιπτώσεις στις οποίες, αφού πρώτα προσδιορίσαµε τοείδοςτηςµεταβοής την οποία επιθυµούµε ναεπιφέρουµε σεένα διάνυσµα (π.χ. ααγή του µέτρου ή της διεύθυνσης), στη συνέχεια βρήκαµε ποιός πίνακας, δρώντας επί του διανύσµατος, πραγµατοποιεί την επιθυµητή ααγή. Στο επόµενο βήµα, θα έχουµε δεδοµένο πίνακα και θα µεετήσουµε τί είδους µεταβοές επιφέρει ο πίνακας αυτός δρώντας επί τυχαίου διανύσµατος. Μια τέτοια δράση ενός δεδοµένου πίνακα µε σταθερούς συντεεστές σε ένα χώρο διανυσµάτων ονοµάζεται γραµµικός µετασχηµατισµός στο συγκεκριµένο χώρο διανυσµάτων. Παραδείγµατος χάριν, ας θεωρήσουµε το γραµµικό µετασχηµατισµό που ορίζεται από την εξίσωση (4.0) που προκύπτει από τον πίνακα συντεεστών του γραµµικού συστήµατος εξισώσεων (4.). Λέµε ότι ο πίνακας της σχέσης (4.0) µετασχηµατίζει το διάνυσµα στο διάνυσµα.

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 54 Ο γραµµικός µετασχηµατισµός (4.0) µετασχηµατίζει κάθε διάνυσµα του επιπέδου σε ένα νέο διάνυσµα το οποίο θα διαφέρει γενικά από το πααιό τόσο στο µέτρο όσο και στη διεύθυνση. Ωστόσο, υπάρχουν ορισµένα διανύσµατα µε την εξής ιδιότητα: η δράση του γραµµικού µετασχηµατισµού (4.0) επιφέρει µεταβοή µόνο του µέτρου τους, χωρίς να µεταβάει καθόου τη διεύθυνσή τους. Τέτοια διανύσµατα καούνται ιδιοδιανύσµατα. Παραδείγµατος χάριν, στην περίπτωση του µετασχηµατισµού (4.0), ας υποογίσουµε το νέο διάνυσµα που προκύπτει από τη δράση του πίνακα επί του διανύσµατος (4.) Εκτεούµε τις πράξεις και βρίσκουµε + + (4.) Η κίση του πααιού διανύσµατος δίνεται από τη σχέση tanθ θ π / (4.) δεδοµένου ότι >0. Για την κίση του νέου διανύσµατος βρίσκουµε + ( + ) tanθ + + θ π / (4.4) Εχουµε εποµένως την ισότητα θ θ (4.5) που σηµαίνει ότι ο γραµµικός µετασχηµατισµός (4.0) άφησε ανεπηρέαστη την κίση του αρχικού διανύσµατος. Εποµένως, το διάνυσµα είναι ιδιοδιάνυσµα του πίνακα. Σε ότι αφορά την ααγή του µέτρου του συγκεκριµένου διανύσµατος, έχουµε γιατο µέτρο του πααιού διανύσµατος

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 55 R + + ( ) (4.6) ενώ το µέτρο του νέου διανύσµατος είναι R + ( + ) + ( + ) (4.7) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) Ο όγος των δυο µέτρων R R (4.8) ενός ιδιοδιανύσµατος µετά και πριν τη δράση του πίνακα σ'αυτό ονοµάζεται ιδιοτιµή του πίνακα. Κατόπιν των παραπάνω, µπορούµε ναδώσουµε τον ακόουθο ορισµό. Ορισµός 4.: έστω A πίνακας (n n) και ένα διάνυσµα-στήη n συνιστωσών µε µέτρο διάφορο του µηδενικού. Το διάνυσµα θα ονοµάζεται πραγµατικό ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α, αν και µόνο αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε να ικανοποιείται ησχέση Α (4.9) Οαριθµός ονοµάζεται πραγµατική ιδιοτιµή του πίνακα Α. Η εξίσωση (4.9) µας έει ότι η δράση του πίνακα Α επί του διανύσµατος επιφέρει ααγή του µέτρου του κατά τον παράγοντα, ενώ αφήνει τη διεύθυνση του αναοίωτη. Τα παραπάνω γενικεύονται και όταν οι ιδιοτιµές είναι συζυγείς µιγαδικές. Στην περίπτωση αυτή ορίζονται ιδιοδιανύσµατα µε µιγαδικές συνιστώσες, αά η δράση του πίνακα επ' αυτών επιφέρει πάντα στροφή των ιδιοδιανυσµάτων. Στα επόµενα θα περιοριστούµε σε περιπτώσεις όπου έχουµε πραγµατικές ιδιοτιµές. 4. Αναυτική εύρεση ιδιοτιµών - ιδιοδιανυσµάτων Θα δούµε τώρα πώς υποογίζονται οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός πίνακα κατ' αρχήν αναυτικά, σε απές περιπτώσεις. Στη συνέχεια θα δούµε πώς υποογίζονται µε αριθµητικές µεθόδους. Πρόβηµα: Να υποογιστούν όες οι πραγµατικές ιδιοτιµές και τα πραγµατικά ιδιοδιανύσµατα του πίνακα

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 56 A Λύση Από τον ορισµό του ιδιοδιανύσµατος και της ιδιοτιµής έχουµε ότι, αν το είναι ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α, τότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε A Η παραπάνω εξίσωση, αναύεται στο σύστηµα εξισώσεων ως προς τις άγνωστες συνιστώσες του διανύσµατος + + το οποίο γράφεται στη µορφή του οµογενούς συστήµατος 0 ) ( 0 ) ( + + Ενα οµογενές σύστηµα ( σταθεροί όροι ίσοι µε µηδέν) έχει πάντα ως ύση τη µηδενική ύση. Αυτή η ύση είναι τετριµµένη και δεν µας ενδιαφέρει, διότι επιδιώκουµε το ιδιοδιάνυσµα να έχει µή µηδενικό µέτρο, γεγονός που επιβάει µία τουάχιστον συνιστώσα του να είναι διάφορη του µηδενός. Ενα οµογενές γραµµικό σύστηµα έχει µη µηδενικές ύσεις αν και µόνο αν η ορίζουσα των συντεεστών των αγνώστων είναι ίση µε µηδεν. Εποµένως, στο προηγούµενο σύστηµα θαέχουµε µη µηδενικές ύσεις αν και µόνο αν 0 ) det( Ι A Αναύοντας την παραπάνω ορίζουσα, βέπουµε ότι είναι ένα πουώνυµο ως προς τον άγνωστο πραγµατικό. Εχουµε ) ( ) ( P Το παραπάνω πουώνυµοονοµάζεται χαρακτηριστικό πουώνυµο. Η εξίσωση P()0

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 57 µας δίνει τις τιµές του (ιδιοτιµές) για τις οποίες το οµογενές σύστηµα έχει µη µηδενικές ύσεις (ιδιοδιανύσµατα). Η εξίσωση αυτή ονοµάζεται χαρακτηριστική εξίσωση ιδιοτιµών του πίνακα Α. Από την εξίσωση των ιδιοτιµών βρίσκουµε άµεσα τις ύσεις +.7 0.68 οι οποίες και είναι οι ζητούµενες ιδιοτιµές του πίνακα Α. Σε κάθε ιδιοτιµή αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσµα. Το ιδιοδιάνυσµα µπορεί να βρεθεί από οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του οµογενούς συστήµατος ( ) + + ( ) 0 0 θέτοντας, όπου, τη συγκεκριµένη ιδιοτιµή. Ετσί, για + βρίσκουµε ( ) που σηµαίνει ότι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή είναι κάθε διάνυσµα µε συντεεστή διεύθυνσης β tan( θ ) Συνήθως επιέγουµε το µοναδιαίο διάνυσµα στη διεύθυνση θ που ικανοποιεί επιπρόσθετα τη σχέση 4, + Αρα, το µοναδιαίο ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή είναι το r (/, / ). Οαταάαιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή είναι συγγραµµικά προς το και ο φορέας τους είναι η ευθεία (ε ) µε κίση tanθ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Ασκηση Να βρεθεί το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή µετασχηµατισµού του προηγούµενου προβήµατος. του γραµµικού

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 58 Τα παραπάνω γενικεύονται άµεσα στην περίπτωση ενός πίνακα nxn. Στην περίπτωση αυτή, οι ιδιοτιµέςείναιοιύσειςτουχαρακτηριστικούπουωνύµου α ( ) det α P... α n a a...... an a n 0... ann Το χαρακτηριστικό πουώνυµο P() είναι n-οστού βαθµού. Οι συντεεστές του πουωνύµου υποογίζονται συνήθως µε τη βοήθεια επαναηπτικών σχηµάτων, όπως ο αγόριθµος Newton. Η εύρεση των ιδιοτιµών ανάγεται στην εύρεση των ριζών του χαρακτηριστικού πουωνύµου. Οταν n>4 ηεύρεσητωνριζώντουp() δεν είναι γενικά δυνατή µε αναυτικές µεθόδους. Στα επόµενα παρουσιάζουµε µία γνωστή αριθµητική µέθοδο που συγκίνει στην απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή. 4. Ησηµασία της απούτως µεγαύτερης πραγµατικής ιδιοτιµής Η αριθµητική εύρεση της απούτως µεγαύτερης πραγµατικής ιδιοτιµής του πίνακα ενός γραµµικού µετασχηµατισµού βασίζεται στην ακόουθη απή γεωµετρική παρατήρηση, την οποία δείχνουµε σχηµατικά (σχήµα.) στην περίπτωση των δύο διαστάσεων. Εστω ένα τυχαίο διάνυσµα (όχι ιδιοδιάνυσµα) και έστω (ε ) ηευθεία φορέας των ιδιοδιανυσµάτων µε ιδιοτιµή, και (ε ) η ευθεία φορέας των ιδιοδιανυσµάτων µε ιδιοτιµή. Θεωρούµε περαιτέρωότι > >0. Σχήµα.: στροφή ενός τυχαίου διανύσµατος προς τον φορέα των ιδιοδιανυσµάτων µε την απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή. Το διάνυσµα µπορεί να αναυθεί σε δύο συνιστώσες (πάγια προβοή στο φορέα ε ), και (πάγια προβοή στο φορέα ε ). Επειδήησυνιστώσα βρίσκεται πάνω

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 59 στην ιδιοδιεύθυνση ε, η δράση του πίνακα Α θα έχει ως αποτέεσµα να ποαπασιασθεί η συνιστώσα αυτή µε. Εχουµε δηαδή '.. Οµοίως βρίσκουµε '.. Επειδή όµως >, βρίσκουµε > (4.0) Ηγεωµετρική ερµηνεία της ανισότητας (4.0) είναι ότι µετά τη δράση του πίνακα Α, το νέο διάνυσµα έχει συγκριτικά µεγαύτερη πάγια προβοή στην ευθεία (ε) απ' ότι στην ευθεία (ε), σε σχέση µε τις αντίστοιχες πάγιες προβοές πριν τη δράση του πίνακα. Εποµένως, το διάνυσµα έχει στραφεί πησιέστερα προς την ιδιοδιεύθυνση (ε). Το συµπέρασµα αυτόείναιγενικό, δηαδή: η δράση ενός πίνακα Α µε πραγµατικές ιδιοτιµές επί ενός τυχαίου διανύσµατος µε µη µηδενικές προβοές στις ιδιοδιευθύνσεις (ε i ), i,,...n, προκαεί στροφή του τυχαίου διανύσµατος προς την ιδιοδιεύθυνση που αντιστοιχεί στην απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή. Τα παραπάνω τίθενται σε πιο στέρεη βάση αν θεωρήσουµε τις διαδοχικές εικόνες του διανύσµατος, µετά από ν το πήθος επαναηπτικές δράσεις του πίνακα Α σ'αυτό. Πράγµατι για ν βρίσκουµε (4.) Οµοίως,µετά από ν διαδοχικές δράσεις του πίνακα βρίσκουµε ( ν ) ( ν ) ν (4.) όπου (ν), (ν) είναιοιπροβοέςτουδιανύσµατος στις ιδιοδιευθύνσεις (ε) και (ε) αντίστοιχα, µετά από ν επαναήψεις του γραµµικού µετασχηµατισµού. Από τη σχέση (4.), και επειδή > >0, βρίσκουµε στοόριον ( ν ) ( ν ) (4.) Η σχέση (4.) έχει την ερµηνεία ότι η συνιστώσα (ν), µετά από ν επαναήψεις, γίνεται πού µεγαύτερη κατά µέτρο από τη συνιστώσα (ν). Εποµένως, η διεύθυνση του διανύσµατος τείνει να ταυτισθεί µε την ιδιοδιεύθυνση (ε), που όπως είπαµε αντιστοιχεί στην µεγαύτερη κατά µέτρο ιδιοτιµή.

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 60 Αν τώρα µία από τις ιδιοτιµές είναι αρνητική, αά ισχύει > > 0, τότε η σχέση (4.) εξακοουθεί να είναι σωστή ως προς τις απόυτες τιµές των προβοών του διανύσµατος στις ιδιοδιευθύνσεις (ε) και (ε). Το παραπάνω παράδειγµα δείχνει χαρακτηριστικά τη σηµασία της έννοιας της ιδιοτιµής και του ιδιοδιανύσµατος. Ουσιάστικά, η ιδιοδιεύθυνση µε την απόυτα µεγαύτερη ιδιοτιµή "έκει" όα τα διανύσµατα του διανυσµατικού χώρου στον οποίο ορίζεται ο γραµµικός µετασχηµατισµός, µε την έννοια ότι διαδοχικές εφαρµογές του γραµµικού µετασχηµατισµού πάνω σε σχεδόν οποιοδήποτε διάνυσµα έχουν ως αποτέεσµα να στραφεί το διάνυσµα κατάτρόποώστεηδιεύθυνσήτουνατείνει τεικά να ταυτιστεί µε την διεύθυνση της απόυτα µεγαύτερης ιδιοτιµής. Μόνο ένα σύνοο διανυσµάτων µέτρου µηδέν στο διανυσµατικό χώρο του µετασχηµατισµού, εκείνα δηαδή που έχουν µηδενική προβοή στην διεύθυνση της απόυτα µεγαύτερης ιδιοτιµής "ξεφεύγουν" από την καθοριστική αυτή "έξη". Ωστόσο, και αυτά τα διανύσµατα "έκονται" από µία εκ των υποοίπων ιδιοδιευθύνσεων οι οποίες καθορίζονται από τη δεύτερη απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή, κατόπιν την τρίτη κ.ο.κ.. Μία άη σηµαντική διάκριση έχουµε ανάογα µε το αν το µέτρο της απούτως µεγαύτερης ιδιοτιµής είναι µεγαύτερο ή µικρότερο της µονάδας. Εστω ότι το διάνυσµα, µετά από κ πρώτες µεταβατικές απεικονίσεις, έχει σχεδόν συµπέσει στην ιδιοδιεύθυνση (ε). Τότε, το διάνυσµα (κ) τείνει να είναι ιδιοδιάνυσµα µε ιδιοτιµή. Εποµένως, το µέτρο του διανύσµατος µετά από ν ακόµη απεικονίσεις θα δίνεται από τη σχέση ( ν κ ) ν ( κ ) + (4.4) Αν τώρα >, τότε η σχέση (4.4) δίνει ( ν + ) κ στο όριο ν. Βέπουµε δηαδή ότι, αν >, τότε οι διαδοχικές επαναήψεις του γραµµικού µετασχηµατισµού έχουν ως αποτέεσµατοµέτρο του ιδιοδιανύσµατος µετηναπόυτα µεγαύτερη ιδιοτιµή να τείνει στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή, ο γραµµικός µετασχηµατισµός έγεται ασταθής. Αν, αντίθετα, <, τότε στο όριο ν έχουµε από τη σχέση (4.4) ( ν +κ ) 0. Αυτό σηµαίνει ότι οι διαδοχικές επαναήψεις του γραµµικού µετασχηµατισµού έχουν ως αποτέεσµα τοµέτρο του ιδιοδιανύσµατος µε τηναπόυταµεγαύτερη ιδιοτιµή να τείνει στο µηδέν. Στην περίπτωση αυτή, ο γραµµικός µετασχηµατισµός έγεται ευσταθής. Οι παραπάνω έννοιες γενικεύονται και στην περίπτωση µιγαδικών ιδιοτιµών. Στην περίπτωση αυτή έχουµε αστάθεια αν υπάρχει τουάχιστον µία µιγαδική ιδιοτιµή µε >. Ενας γραµµικός µετασχηµατισµός σε ένα χώρο n διαστάσεων εκφράζεται από έναν πίνακα Α nxn. Το χαρακτηριστικό πουώνυµο είναι n-οστού βαθµού και οι ρίζες του είναι οι n το πήθος ιδιοτιµές,,..., n.

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 6 Ορισµός 4.: το σύνοο Λ,,..., } { n (4.5) ονοµάζεται φάσµα του πίνακα Α. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι η εύρεση του φάσµατος των ιδιοτιµών του πίνακα ενός γραµµικού (ή γραµµικοποιηµένου) προβήµατος είναι το θεµέιο της κατανόησης της δυναµικής συµπεριφοράς των ύσεών του. 4.4 Αριθµητικήεύρεσητηςαπούτωςµεγαύτερης πραγµατικής ιδιοτιµής Ο προσδιορισµός των ιδιοτιµών του πίνακα Α, διαστάσεως nxn, ενός γραµµικού µετασχηµατισµού στο χώρο των n διαστάσεων είναι δυνατόν να γίνει µέσω της εύρεσης των ριζών του χαρακτηριστικού πουωνύµου. Ωστόσο, αν οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές, τότε υπάρχει µία απή επαναηπτική διαδικασία µέσω της οποίας προσδιορίζεται αριθµητικά η απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή ενώ ταυτόχρονα βρίσκεται ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµά της. Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή ως µέθοδος των δυνάµεων. Η µέθοδος των δυνάµεων υοποιεί τα ακόουθα βήµατα. ) Ξεκινάµε µετοτυχαίοδιάνυσµα - στήη 0 r 0 0 0... 0n (4.6) του χώρου n διαστάσεων. ) Εφαρµόζουµε τογραµµικό µετασχηµατισµό τουπίνακαα επί του διανύσµατος 0, και αµβάνουµε τονέοδιάνυσµα r r A 0... n (4.7)

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 6 ) Εφαρµόζουµε τηεγόµενη κανονικοποίηση ως προς τη συνιστώσα : διαιρούµε το διάνυσµα µε την πρώτη συνιστώσα του, και αµβάνουµε τονέοδιάνυσµα /, για το οποίο διατηρούµε το ίδιο όνοµα. Εχουµε δηαδή σε τυπική αγοριθµική γραφή: r r / (4.8) Η διαίρεση είναι δυνατή εφόσον 0. Αν όµως 0, τότε επιέγουµε τηνπρώτη κατά σειρά συνιστώσα µετά την η οποία είναι διάφορη του µηδενός. Μετά τη διαίρεση (4.8), ησυνιστώσα του διανύσµατος είναι ίση µετηµονάδα, το διάνυσµα δηαδήέχειτηµορφή r... n (4.9) Η διαίρεση (4.8) έχει ως αποτέεσµα τη διαίρεση του µέτρου του διανύσµατος µε τον αριθµό, ενώ αφήνει ανεπηρέαστη τη διεύθυνση του διανύσµατος προ και µετά τη διαίρεση. 4) Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, επιστρέφουµε στοβήµα () και υποογίζουµε το διάνυσµα µετηδράσητουπίνακαα επί του διανύσµατος, όπως δίνεται από την (4.9). Στη συνέχεια επανααµβάνουµε την κανονικοποίηση του βήµατος () για το διάνυσµα, κ.ο.κ.. Η επαναηπτική διαδικασία για τα διαδοχικά διανύσµατα i µε i,...,ν (όπου Ν το πήθος των επαναήψεων) αποδίδεται από το ακόουθο γενικό αγοριθµικό σχήµα for i to Ν i A. i- i i / i endfor (θεωρούµε την πιο συνήθη περίπτωση i 0 σε κάθε βήµα i,...n). Η ανωτέρω επαναηπτική διαδικασία έχει ως αποτέεσµα ο φορέας των διαδοχικών διανυσµάτων i µε i,...,ν νατείνειναταυτισθείµε τον φορέα του ιδιοδιανύσµατος που αντιστοιχεί στην απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή του πίνακα Α. Τούτο συµβαίνει όγω της σχέσης (4.) της προηγούµενης παραγράφου, δεδοµένου ότι το διάνυσµα i προέρχεται από την επανααµβανόµενη δράση του πίνακα Α για i το πήθος φορές επί του αρχικού τυχαίου διανύσµατος 0. Εποµένως, σύµφωνα µε όσα αναφέρθηκαν στην προηγούµενη παράγραφο, µετά από ένα µεγάο πήθος επαναήψεων Ν, το διάνυσµα Ν µπορεί να θεωρηθεί ότι ταυτίζεται, σταόριατουαριθµητικού σφάµατος µε τοτο ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή.

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 6 Θεωρώντας τώρα ότι τόσο το διάνυσµα Ν- µετά την κανονικοποίηση\ r ( N ) N... ( N ) n όσο και το διάνυσµα Ν πρίν την κανονικοποίηση N r N N... Nn αποτεούν (σταόριατουαριθµητικού σφάµατος) ιδιοδιανύσµατα, έχουµε τησχέση N N N r N A r ( ) N r (4.0) N...... Nn ( N ) n από την οποία βρίσκουµε για τη συνιστώσα N του διανύσµατος N πρίν την κανονικοποίηση N (4.) Εποµένως, η συνιστώσα N πριν την τεευταία κανονικοποίηση µας δίνει την αγεβρική τιµή τηςαπούτως µεγαύτερης ιδιοτιµής. Ηιδιότητααυτήενσωµατώνεται εύκοα στο γενικό αγοριθµικό σχήµα της επαναηπτικής διαδικασίας, δίνοντας το σχήµα: for i to Ν i A. i- i i i / i endfor Είναι φανερό ότι, αν και η µεταβητή στον προηγούµενο αγόριθµοπαίρνειόεςτις ενδιάµεσες τιµές i, τεικά µόνο η τιµή N, που είναι η αριθµητικά προσδιορισµένη ιδιοτιµή, σώζεται ως η τεευταία εκχωρούµενη τιµή στηµεταβητή. Παράδειγµα Θα βρούµε τηµέγιστη ιδιοτιµή τουπίνακα A

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 64 µε τηνπροηγούµενη µέθοδο, ξεκινώντας από το τυχαίο διάνυσµα - στήη r 0 Βρίσκουµε διαδοχικά r 4 κανονικοποίηση 7.75 r.75 κανονικοποίηση.75 6.5.7 r.7 κανονικοποίηση.7 6.46666.74 r r 4 5.74 κανονικοποίηση.74 6.4648.705.705 κανονικοποίηση.705 6.464.705 Παρατηρούµε ότι η τιµή της συνιστώσας i προ της κανονικοποίησης τείνει να σταθεροποιηθεί, συγκίνοντας προς την τιµή.705, που είναι η αριθµητικά προσδιοριζόµενη µέγιστη ιδιοτιµή. Στην παράγραφο υποογίσαµε αναυτικά τη µέγιστη ιδιοτιµή του ίδιου πίνακα +.705..., η οποία ταυτίζεται µε την αριθµητικά προσδιοριζόµενη µέχρι πέντε σηµαντικά ψηφία. Ταυτόχρονα παρατηρούµε ότικαιοισυνιστώσεςτωνδιαδοχικώνδιανυσµάτων i, πριν ή µετά την κανονικοποίηση, τείνουν να σταθεροποιηθούν, δίνοντας τις συνιστώσες ενός ιδιοδιανύσµατος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή. 4.5 Επαναηπτικές µέθοδοι επίυσης γραµµικών συστηµάτων. Ηθεωρίατωνγραµµικών µετασχηµατισµών είναι δυνατό να αξιοποιηθεί προκειµένου να κατασκευαστούν επαναηπτικές µέθοδοι επίυσης γραµµικών συστηµάτων. Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε τογενικευµένου γραµµικό µετασχηµατισµότης µορφής

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 65 a + a......... n n an a............ a n a n...... ann n (4.) οοποίοςµετασχηµατίζει το σηµείο (,,...,n) του χώρου Rn (,,...,n). Η n-άδα τιµών (,,...,n) είναι σταθερή. στην εικόνα του Ο µετασχηµατισµός (4.) γράφεται συνοπτικά στη µορφή: ' + A (4.) µε προφανήερµηνεία των συµβόων. Ορισµός 4.4: Το σηµείο 0 του χώρου R n ονοµάζεται σταθερό σηµείο του γραµµικού µετασχηµατισµού ' + A αν και µόνο αν ισχύει ' + A 0 0 (4.4) δηαδή αν και µόνο αν απεικονίζεται στον εαυτό του. Η χρησιµότητα των σταθερών σηµείων ενός γενικευµένου γραµµικού µετασχηµατισµού στην επίυση γραµµικών συστηµάτων έγκειται στην ακόουθη ιδιότητα. Εστω το γραµµικό σύστηµα A (4.5) έχει ύση 0. Αν αναύσουµε τονπίνακαα σε διαφορά δύο πινάκων ΑΒ-C (4.6) εκ των οποίων ο ένας (έστω ο Β) είναι αντιστρέψιµος, τότε το σύστηµα (4.5) γράφεται στη µορφή (Β-C) (4.7) το οποίο παίρνει τη µορφή Β - +Β - C (4.8) Εστω τώρα ο γραµµικός µετασχηµατισµός

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 66 ' Β - +Β - C (4.9) εδοµένου ότι το σύστηµα (4.5) ήτο(4.7) έχει τη ύση 0, ηύσηθαικανοποιεί την εξίσωση (4.8), θα ισχύει δηαδή 0 Β - +Β - C 0 (4.40) Εποµένως, βάσει του ορισµού του σταθερού σηµείου, το σηµείο 0 αποτεεί σταθερό σηµείο του γραµµικού µετασχηµατισµού (4.9). Εχουµε δηαδή την ακόουθη πρόταση: Πρόταση 4.5: αν το σηµείο 0 του χώρου R n είναι ύση του γραµµικού συστήµατος (Β-C), και Β αντιστρέψιµος πίνακας, τότε το 0 είναι σταθερό σηµείο του γραµµικού µετασχηµατισµού: ' Β - +Β - C (4.4) Εστω τώρα το σταθερό σηµείο 0 του µετασχηµατισµού (4.4). Αν το σηµείο 0 είναι ευσταθές, τότε ακόµη και αν ξεκινήσουµε από ένα διαφορετικό σηµείο του χώρου Rn, οι διαδοχικές επαναήψεις του γραµµικού µετασχηµατισµού (4.4) θα µας φέρουν πησιέστεραπροςτοευσταθέςσηµείο 0. Εχουµε εδώµία επαναηπτική µέθοδο η οποία συγκίνει προς το σταθερό σηµείο 0 µε παρόµοιο τρόπο όπως η γενική επαναηπτική µέθοδος την οποία εφαρµόσαµε στην εύρεση των ριζών µιας µη γραµµικής εξίσωσης (διαεξη η-4η). Με τον τρόπο αυτό, ξεκινώντας από ένα τυχαίο σηµείο καταήγουµε στο σηµείο 0 το οποίο αποτεεί ύση του αντίστοιχου γραµµικού συστήµατος (4.7). ηαδή δηµιουργούµε µία επαναηπτική µέθοδο επίυσης του γραµµικού συστήµατος. Το κριτήριο σύγκισης στο σηµείο 0 βρίσκεται εύκοα µε τη εγόµενη γραµµικοποίηση του µετασχηµατισµού (4.4). Εστω 0 το σταθερό σηµείο και ένα άο σηµείο. Συµβοίζοντας ως δ τη διαφορά των δύο σηµείων βρίσκουµε: 0 +δ (4.4) Εισάγωντας την έκφραση (4.4) στην εξίσωση (4.4) του µετασχηµατισµού έχουµε ' 0 +δ' Β - +Β - C( 0 +δ) Β - +Β - C 0 + Β - Cδ (4.4) Οµως, όγω της ισότητας (4.40) για το σταθερό σηµείο βρίσκουµε τεικά δ' Β - Cδ (4.44) Εποµένως, οι αποκίσεις δ µετασχηµατίζονται στις νέες αποκίσεις δ' µε τηδράση του πίνακα Β - C επ' αυτών. Ως γνωστό τώρα από την παράγραφο (), η επανααµβανόµενη δράση του πίνακα Β - C στο διάνυσµα αποκίσεωνδ θα έχει ως αποτέεσµα να τείνει να ταυτισθεί σταδιακά µε την ιδιοδιεύθυνση που αντιστοιχεί στην απούτως µεγαύτερη ιδιοτιµή του πίνακα. Εποµένως, µετά από κ πρώτες µεταβατικές απεικονίσεις το διάνυσµα δ (κ) τείνει να είναι ιδιοδιάνυσµα µε ιδιοτιµή

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 67. Στη συνέχεια, το µέτρο του διανύσµατος ακοουθεί την εξίσωση (4.4), έχουµε δηαδή ( ν + κ ) ν ( κ ) δ δ (4.45) Προκειµένου να συγκίνουµε προςτοσηµείο 0 πρέπει οι διαφορές δ να τείνουν προς το µηδέν. Ικανήσυνθήκηγιανασυµβεί αυτό είναι η < (4.46) Καταήγουµε εποµένως στην ακόουθη πρόταση. Πρόταση 4.6: έστω το γραµµικό σύστηµα A, µε µοναδική ύση 0, και θεωρούµε την ανάυση του πίνακα Α στη διαφορά ΑΒ-C µε Β αντιστρέψιµο. Εστω η ιδιοτιµή τουπίνακαβ - C µε τοµεγαύτερο µέτρο. Αν < τότε το γενικό επαναηπτικό σχήµα (ν+) Β - +Β - C (ν) (4.47) συγκίνει προς τη ύση 0 του γραµµικού συστήµατος για κάθε αρχική συνθήκη (0).