x k = A x k-1, k=1,2,... x 0 0 αυθαίρετο διάνυσµα (7.1.1) x k = A k x 0 = A k k
|
|
- Ἀελλώ Μιαούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάαιο 7 Μέθοδος υνάµεων Όπως είδαµε, οι ιδιοτιµές παίζουν σηµαντικό ρόο στην αριθµητική επίυση των γραµµικών συστηµάτων. Σε ποές εφαρµογές προέχει ο αριθµητικός υποογισµός των ιδιοποσών (ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων) ενός µητρώου. Θα πρέπει να τονισθεί ότι ο υποογισµός ιδιοποσών µεγάων µητρώων από την επίυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης φ() = det(a-i) = 0 (βαθµού ) και του οµογενούς συστήµατος (Α-Ι) = 0, είναι συνήθως διαδικασία πούποκη και ασύµφορη όγω συσσώρευσης αθών στρογγύευσης. Για το σκοπό αυτό έχουν αναπτυχθεί άες αποδοτικότερες µέθοδοι. Η απούστερη είναι η µέθοδος υνάµεων, ενώ γενική απάντηση στο πρόβηµα παρέχει η µέθοδος QR. Στο κεφάαιο αυτό περιγράφεται µόνον η µέθοδος των δυνάµεων. Η µέθοδος των δυνάµεων εφαρµόζεται για τον προσεγγιστικό υποογισµό της φασµατικής ακτίνας ρ(α)= ma και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος ενός µητρώου το οποίο έχει γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα (είναι γνωστό ότι δεν συµβαίνει πάντα αυτό) και ma >, µε ma. ηαδή ή κατ απόυτη τιµή µεγαύτερη ιδιοτιµή ma είναι απή και ως εκ τούτου πραγµατική. Κατά συνέπεια, η µέθοδος προσφέρεται για τον υποογισµό της φασµατικής ακτίνας συµµετρικών και ερµιτιανών µητρώων (στα οποία η ύπαρξη ανεξάρτητων ιδιοδιανυσµάτων είναι εξασφαισµένη από το φασµατικό θεώρηµα), για τα οποία ισχύει ma >, ma. Με τις παραπάνω παραδοχές ισχύει το παρακάτω θεώρηµα. Θεώρηµα Μέθοδος υνάµεων Αν ένα µητρώο Α έχει ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα (διαγωνιοποιήσιµο) και για τις ιδιοτιµές του ισχύει η διάταξη > , τότε η ακοουθία = A -, =,2, αυθαίρετο διάνυσµα (7..) συγκίνει στο ιδιοδιάνυσµα v που αντιστοιχεί στη φασµατική ακτίνα ρ(α)=. Επίσης, για κάθε συνιστώσα,2,... ισχύει: lm, = (7..2) Α όδειξη. Αφού τα {v},2,... είναι γραµµικά ανεξάρτητα, το 0 γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός τους: 0 = c v για κάποια c R. Επίσης, αν τα είναι ιδιοτιµές, τότε ισχύει Α v = v,,2,...,. Από τις παρακάτω σχέσεις και την (7..) προκύπτει: = A 0 = A c v = c A v = ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
2 VII-2 = κ c v ι = c v + κ c v = 2 = [ c v + ( ) cv ] 2 Επειδή είναι / <, για κάθε > προκύπτει lm = c v (7..3) και συνεπώς τα και v τείνουν να γίνουν συγγραµµικά. Αά και το c v είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην, και εποµένως η { } συγκίνει σε ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην. Εξ' άου, αν = (, 2,..., ) Τ, έχουµε:, = j cv + ( ) cvj j= 2 j cv + ( ) cvj j= 2 Aν c 0, επιέγουµε ένα τέτοιο ώστε vj 0, οπότε το παραπάνω κάσµα συγκίνει στο για. Αν είναι c =0, τότε επιέγουµε άο κατάηο 0 τέτοιο ώστε c 0. Η σχέση (7..2) υπαγορεύει µια επαναηπτική διαδικασία εύρεσης της σαν όριο του όγου /,-, όπου είναι η -συνιστώσα του και, - η -συνιστώσα του -. Παρατηρούµε όµως ότι οι συνιστώσες του τείνουν στο 0 όταν <, ενώ όταν > τείνουν στο ±. Για να αποφύγουµε οιπόν ενδεχόµενο διαίρεσης µε 0 ή επερχείησης, αά και σφάµατα από απώειες ψηφίων στους υποογισµούς µε διαιρέσεις µε πού µικρούς αριθµούς, διαιρούµε σε κάθε επανάηψη το µε τη νόρµα 2 (µοναδιαίο διάνυσµα). Τότε ισχύει: lm 2 = v (7..4) όπου v 2 =. Ένας άος τρόπος άρσης του πιο πάνω µειονεκτήµατος, βασίζεται στη κανονικοποίηση του µε τη νόρµα, δηαδή στο σχηµατισµό του διανύσµατος (c +) - (c + η µεγαύτερη συνιστώσα του κατ απόυτη τιµή). Τότε, η µεγαύτερη σε απόυτη τιµή συνιστώσα του θα είναι το. Η µέθοδος των δυνάµεων διαµορφώνεται έτσι: u = A και += και θα ισχύει: lm c = vκαι lm c + u (7..5) = (7..6) ιαπιστώνεται εύκοα ότι η σύγκιση της µεθόδου των δυνάµεων είναι γραµµική. Παράδειγµα 7.. Έστω το µητρώο ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
3 VII-3 A = Εφαρµόζουµε τη µέθοδο των δυνάµεων µε κανονικοποίηση. Ξεκινάµε µε 0 =(,,) T και µε διαδοχικές επαναήψεις των (7..5) βρίσκουµε τα και c : η επανάηψη: 2 η επανάηψη:... 7 η επανάηψη: Η ακοουθία { } συγκίνει στο ιδιοδιάνυσµα v=(0.4, 0.6,.0), ενώ η ακοουθία { } συγκίνει στην ιδιοτιµή = Εφαρµογή Μεθόδου υνάµεων σε Συµµετρικό πίνακα Η µέθοδος των δυνάµεων µπορεί να εφαρµοσθεί για τον υποογισµό όων των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων των συµµετρικών µητρώων, τα οποία έχουν ως γνωστόν πραγµατικές ιδιοτιµές. Αποδεικνύουµε αρχικά το εξής ήµµα. Λήµµα 7... Αν οι ιδιοτιµές ενός ραγµατικού συµµετρικού ίνακα είναι διακεκριµένες, τότε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Α όδειξη Έστω, 2,, οι διακεκριµένες ιδιοτιµές µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα v, v 2,, v θα δείξουµε ότι <v, v j>= v t v j=0 για j. Από την A v v έχουµε v t A= v t. Ποαπασιάζοντας µε v j (j ) παίρνουµε v t Avj = v t vj = jvj t vj ή (-j)v t vj = 0. Επειδή -j 0 προκύπτει v Τ vj = 0. Βάσει του φασµατικού θεωρήµατος, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα συνιστούν ορθογώνια βάση του ιδιοχώρου. Από αυτήν µπορεί προφανώς να εξαχθεί µια ορθοκανονική βάση. Το σχήµα (7..) µπορεί τώρα να χρησιµοποιηθεί επαναηπτικά, προκειµένου να προσεγγιστούν όες οι ιδιοτιµές ενός συµµετρικού ή ερµιτιανού µητρώου που έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές. Αυτό εξασφαίζεται από τη διαπίστωση ότι, αν τα q, q 2 q είναι ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα του Α, τότε το µητρώο Α=Α-qq Τ έχει τις ίδιες ιδιοτιµές πην της, συν την µηδενική: 0, 2,3,, µε τα ίδια αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα q 2 q : Θεώρηµα 7..2 Power method deflato Αν {v},,2,, είναι ορθογώνια και µοναδιαία ( v 2=) ιδιοδιανύσµατα ενός συµµετρικού (ή ερµιτιανού) µητρώου A, το οποίο έχει διαφορετικές ιδιοτιµές, 2,,, τότε οι ιδιοτιµές του µητρώου A = A - vv Τ είναι 0, 2,, µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα {v},,2,,. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
4 VII-4 Α όδειξη Εύκοα δείχνεται ότι το µητρώο A είναι και αυτό συµµετρικό. Επίσης, είναι v 2=v Τ v=, άρα Α v =(A- v v Τ)v = Av - v (v Τv ) = v - v = 0= v 0, εποµένως το 0 είναι ιδιοτιµή του Α µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το v. Για 2, είναι v Τ v = 0, οπότε παίρνουµε Αv = Av - v(vv Τ ) =Av - v 0 =Av v και εποµένως το j, 2, είναι ιδιοτιµή του Α µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το v. To Θ7..2 υπαγορεύει τη διαδικασία υποογισµού όων των ιδιοτιµών ενός συµµετρικού ή ερµιτιανού πίνακα µε διακεκριµένες ιδιοτιµές. Αν υποθέσουµε ότι ισχύει η διάταξη > 2 > 3 >, τότε η µεγαύτερη ιδιοτιµή του Α είναι η 2, η οποία υποογίζεται µε εφαρµογή της µεθόδου των δυνάµεων στον πίνακα Α. Θέτοντας αρχικά Α 0=Α και επανααµβάνοντας για 2,,- τη διαδικασία αυτή, υποογίζουµε στην επανάηψη µε τη µέθοδο των δυνάµεων την ιδιοτιµή + του πίνακα Α I =A - - v v Τ, ο οποίος έχει ιδιοτιµές 0,,0, +,, (- µηδενικά) και τα ίδια ιδιοδιανύσµατα µε τον Α. Το παραπάνω επαναηπτικό σχήµα µπορεί να διαµορφωθεί από τον εξής αγόριθµο: s 0 =[,, ] T ; [, v ] = powerm(α, s 0 ); for : - do q =v / v ; Α =Α - - q q T [, v ]= powerm(α, q ); ed; Παράδειγµα 7..2 [Matlab] Τροποποιηµένη Μέθοδος των υνάµεων Με την προϋπόθεση ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ ( διακεκριµένες ιδιοτιµές), υοποιούµε εδώ τη µέθοδο των δυνάµεων, εφαρµόζοντάς την για την προσέγγιση των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων ενός συµµετρικού µητρώου ή ερµιτιανού µητρώου. Η fucto (Μ-fle) της Matlab power_method_deflato που ακοουθεί, είναι εφαρµόσιµη σε συµµετρικά µητρώα και υοποιεί τη µέθοδο µε εφαρµογή κανονικοποίησης µε τη νόρµα 2 για την αποφυγή σφαµάτων στρογγύευσης στον υποογισµό των πηίκων. fucto [LV EV I] = power_method_deflato(a, prec, tres) % INPUT % A: symmetrc matr % prec: tolerace % tres: ma umber of teratos % OUTPUT % LV: vector of egevalues % EV: matr of egevectors % I: vector of the umber of teratos for each egevalue f = sequal(a, A'); % checg f matr s symmetrc f(f == ) for = : sze(a) f( == ) % usg as startg vector a vector of oes st terato [m ] = sze(a); = oes(,); [v l V L ter doe] = power_method(a, prec, tres, ); v = v / orm(v,2); % ormalzg egevector A = A - l * v * v'; % updatg A for the et egevalue LV = l; % storg the egevalue ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
5 VII-5 EV = v; % storg the egevector I = ter; % umber of teratos for each egevalue else [v l V L ter doe] = power_method(a, prec, tres, v); v = v / orm(v,2); % ormalzg egevector A = A - l * v * v'; % updatg A for the et egevalue LV = [LV; l]; % storg the egevalues EV = [EV, v]; % storg the egevectors I = [I; ter]; % storg the umber of teratos for every egevalue ed ed else dsp('the matr etered as put s ot a symmetrc oe. Abortg Eecuto...'); ed ed Εφαρµογή Θα βρούµε όες τις ιδιοτιµές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του συµµετρικού µητρώου Β = [ ; ; ; ]. Είσοδος: B = [ ; ; ; ]; [l v I] = power_method_deflato(b, , 00) Έξοδος: l = v = I = Eπαηθεύουµε στο Matlab: >> eg(b) as = ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
6 VII-6 Άσκηση Να εφαρµοσθεί η µέθοδος των υνάµεων για τον υποογισµό των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων του µητρώου Α = [2, 4, -; 4, 6, ; -,, 4]. Να γίνουν όα τα απαραίτητα υποογιστικά βήµατα και να δοθούν οι τεικές προσεγγίσεις για όα τα ιδιοποσά. Βιβιογραφία:., «Εισαγωγή στις Αριθµητικές Μεθόδους και Περιβάοντα Υοποίησής τους», Μιχ. Ν. Βραχάτης, «Αριθµητική Ανάυση». ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
4. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Η µέθοδος Newn-Raphsn για µη γραµµική ανάυση Η γενική εξίσωση ισορροπίας ενός µη γραµµικού συστήµατος γράφεται: F ( ) = F q () όπου είναι οι εσωτερικές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία
Τεχνικές Εκτίμησης Υποογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος 2016-17 Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία Φεβρουάριος 2017 Πρόβημα 1 Δίνεται το παρακάτω μητρώο με τις πιθανότητες μετάβασης μιας Μαρκοβιανής
Διαβάστε περισσότερα4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί. Ιδιοτιµές -Ιδιοδιανύσµατα Μία σηµαντική κατηγορία προβηµάτων που αναφέρονται σε γραµµικά συστήµατα είναι τα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη
Διαβάστε περισσότερα6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Αριθµητική Οοκήρωση Οπως αναφέραµε στην εισαγωγή, είναι συχνά δύσκοο να υποογιστεί ο αναυτικός τύπος, ή δεν υπάρχει αναυτικός τύπος, που δίνει το ορισµένο οοκήρωµα µιας συνεχούς
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν
Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) + 0 0 : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος Αριστείδης Κατάβοος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραTO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)
Διαβάστε περισσότεραΙδιοτιμές & Ιδιοδιανύσματα Επαναληπτικές Μέθοδοι
η Διάεξη Ιδιοτιμές & Ιδιοδιανύσματα Επαναηπτικές Μέθοδοι 8 Ιανουαρίου 008 Γιάννης Σαριδάκης 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ Σηµειώσεις Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού Β Κούτρας ΧΙΟΣ Β Κούτρας ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κοµµάτι αυτό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L p (T) Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () Απόστοος Γιαννόπουος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΔιπλωματική Εργασία. Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων
Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Π.Μ.Σ Εφαρμοσμένης Πηροφορικής Διπωματική Εργασία Θέμα Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Επιβέπον Καθηγητής Πετράκης Ανδρέας Μεταπτυχιακός Φοιτητής Τσαγκαρή Αθηνά
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6
Μαθηµατικά β Σελίδα από 6 Μάθηµα 9 ο ΑΩΝΠΗΣΗ ΠΝΑΚΑ Θεωρία : ραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5 (µόνο την Πρόταση 6) Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύλη έχουν διδαχθεί Ασκήσεις :,, 4, 8, 9, σελ 58
Διαβάστε περισσότεραΠροσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Οαλγόριθµος καθόδου κατά την µέγιστη κλίση (Steepest-descent)
ΒΕΣ Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηεπικοινωνίες Προσαρµοστικοί Αγόριθµοι Υοποίησης Βέτιστων Ψηφιακών Φίτρων: Οαγόριθµος καθόδου κατά την (Steepest-escent) κατά τη Βιβιογραφία Ενότητας Benvent []: Κεφάαι
Διαβάστε περισσότερα2( ) ( ) ψ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή. ψ x, θα πάρουµε
ΟΙ Ι ΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ ΩΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΟΧΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (COHERENT STATES) ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι στην αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό
Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες
Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ
ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() =
Διαβάστε περισσότεραΈστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:
ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ34 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις
ΦΥΕ4 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις ) α)η διακριτική ικανότητα του φράγµατος ορίζεται ως ο όγος, όπου, +δ, δ δύο µήκη κύµατος που µόις διακρίνονται µε γυµνό οφθαµό και δ πού µικρό Αυτό συµβαίνει σύµφωνα
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.
Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ 5 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα δούµε ότι οι ροπές µιας τυχαίας µεταβητής µπορούν να υποογιστούν µε τη βοήθεια κατάηων συναρτήσεων Αυτές οι συναρτήσεις καούνται ροπογεννήτριες
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότερα, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!
Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του
Διαβάστε περισσότεραΔρ Χρήστου Νικολαϊδη
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Δρ Χρήστου Νικοαϊδη εκέµβριος Περιεχόµενα Κεφάαιο : ΠΙΝΑΚΕΣ σε. Τι είναι ένας πίνακας. Απές πράξεις πινάκων. Ποαπασιασµός
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραSupport Vector Machines
KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάυση Εικόνας Support Vector Machnes ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνοογίας Τηεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πεοποννήσου 7 colas sapatsouls Εισαγωγή Γραµµικά διαχωρίσιµες κάσεις Μη γραµµικά
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.
ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις.
6 Κύµατα 6.1 Ορισµός του κύµατος Κύµα ονοµάζεται η διάδοση µιας διαταραχής που µεταφέρει ενέργεια και ορµή µε στα- ϑερή ταχύτητα. Εαστικό µέσο ονοµάζεται κάθε υικό µέσο που, για όγους απότητας, δεχόµαστε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 4 1 / 48
Διαβάστε περισσότεραΣεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου
Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις 2 ης (και ανώτερης) τάξης. Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε κυρίως µε γραµµικές δ.ε. 2 ης τάξης, διότι:
Κεφάαιο 3 Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις ης (και ανώτερης) τάξης Στο Κεφάαιο αυτό θα ασχοηθούµε κυρίως µε γραµµικές δε ης τάξης, διότι: οι γραµµικές δε ης τάξης έχουν ποές φυσικές εφαρµογές, η θεωρία των
Διαβάστε περισσότεραΕξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο
ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IV. Γενικές επαναληπτικές µέθοδοι Όπως είδαµε η ανάλυση της µεθόδου Guss έδειξε ότι η υπολογιστική προσπάθεια της µεθόδου για τη λύση ενός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του
Διαβάστε περισσότερα[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραe είναι ακέραια ρίζα του Ρ(χ), να βρεθούν
Σύογος Θετικών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίη Ξανθόπουου Μαθηµατικά : Τάξη: Β ράµα 30 Μαρτίου 01 Θέµα Α ίνεται το πουώνυµο P ( x) = x κ x+ κ κ: θετικός ακέραιος. Α 1. Να βρεθούν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής
Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης
Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης 2010-2011 kolako@ced.upatras.gr 10 Μαρτίου 2011 Πρόβημα 1 Ερώτημα ) Έστω W S και W B ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά του σταθμού S και B αντίστοιχα. Λαμβάνοντας
Διαβάστε περισσότεραΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο
ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.rmscotrol.fo
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότερα4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα
Διαβάστε περισσότεραεξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής
Κεφάαιο. Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Η θεωρία αναµονής (Quuig hory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πεάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότερα1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότερα!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα
Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)
-- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα των μηδενικών ιδιοτιμών.
Το πρόβημα των μηδενικών ιδιοτιμών. Από την προηγούμενη συζήτηση έχει γίνει φανερό ότι αν η ομογενής διαφορική εξίσωση L ϕ ( = 0έχει μη μηδενική ύση (ή ύσεις που να ικανοποιεί τις (ομογενείς συνοριακές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ
Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 1. Υπενθύμιση έννοιας νόρμας και βασικών ιδιοτήτων της 2. Σπουδαιότητα των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:
Διαβάστε περισσότερα3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]
0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει
Διαβάστε περισσότερα3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών
. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα
Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και
Διαβάστε περισσότεραΕίναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος
Ανασκόπηση Γραµµική Άλγεβρα Σε πολλά µαθηµατικά προβλήµατα που θα συναντήσουµε στην φασµατική εκτίµηση και γενικά στην εκτίµηση παραµέτρων θα είναι βολικό να χρησιµοποιούµε διανύσµατα και πίνακες για την
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( Ιουλίου 009 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ I. (εκδχ. Α. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το AB. ϐ Αν A R n n, τότε A AA. γ Αν A R και συµµετρικό
Διαβάστε περισσότερα10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση
ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων....4.. υνάµεις πινάκων...4.. Εξισώσεις διαφορών...5.. ιαφορικές εξισώσεις......4
Διαβάστε περισσότερα6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου
6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή
Διαβάστε περισσότερα( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn
Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Cetral Lmt Theorem Leberg Levy Εάν ~ f (, με [ ] µ, Var [ ] σ < και S τότε η τμ S ( S S µ συγκίνει ως προς κατανομή (coverges strbuto στη Var S σ ( N ( 0,, δηαδή N( 0, ή ισοδύναμα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ V. x, y R n <x, y> = x T y = x 1 y 1 + + x ny n (5.1.1) x R n : z C n :
ΚΕΦΑΛΑΙΟ V Ανάλυση Σφαλµάτων στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες Στo Κεφάλαιο παρουσιάζονται θέµατα που σχετίζονται µε µετρικές µητρώων τις λεγόµενες νόρµες, όπως και την ανάλυση σφαλµάτων στα γραµµικά συστήµατα
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ (ΜΜ618)
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ (ΜΜ6) Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Τάντος, Εαρινό εξάμηνο 7- ΕΡΓΑΣΙΑ #: Θερμική ακτινοβοία Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσείδα του μαθήματος: -- Ημερομηνία παράδοσης εργασίας:
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και
Διαβάστε περισσότερα