ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους οποίους το πολυώυµο ( α + β) x ( α β + γ) x + γx + α παίρει τη µορφή ( α + β γ) x + 6x β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς λ, µ για τους οποίους το πολυώυµο (x) = x + λx + µ x + έχει ρίζα το αριθµό και ισχύει (1)=8. Να βρείτε για τις διάφορες τιµές του λ R το βαθµό του πολυωύµου (x) = ( λ λ) x ( λ + λ) x + λ + 1. ίοτας το πολυώυµο (x) = x α και Q(x) = x + αx + β α προσδιορίσετε τους α, β ότα ο αριθµός 1 είαι κοιή τους ρίζα.. Α. Να γίου οι παρακάτω διαιρέσεις: α) ( 6x 19x + 0x 10) : ( x x + 6) β) ( x + 1) : ( x + 1) γ) ( x 6x x + x + 1) : ( 1+ x x) δ) ( x + x x + ) : ( x x) Β. Να γίου οι παρακάτω διαιρέσεις: α) ( x x x + x + 1) : ( + x x) β) ( x x ): ( x x ) 6. Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner α βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο τω παρακάτω διαιρέσεω: α) ( x 7x + 8x + 1) : ( x ) β) ( x x + x 9) : ( x ) γ) ( x + x x + 1) : ( x + ) δ) ( x x + ) : ( x + 6) ε) ( x + 8x + 6x 1) : ( x ) στ) ( x 6x + 1) : ( x ) 7. Α. Α (x) = x x + x 1 α βρείτε µε το σχήµα Horner το () Β. Α f (x) = x x + x α βρείτε µε το σχήµα Horner το f(-) 1 1 Γ. Α f (x) = x + x + x 6 α βρείτε µε το σχήµα Horner το f,f. Να εξετάσετε µε το σχήµα Horner α τα πολυώυµα x+1, x- είαι παράγοτες του f (x) = x 11x + 1x + 9 + 8. Α. Α x, y θετικοί, φυσικός και A = x y δείξε ότι το x-y είαι παράγοτας της Α. Β. είξε ότι το 1991 διαιρεί το 199 1 + 1 Γ. είξε ότι το ( 1 + 1) διαιρείται δια 16. + 9. Α. Α το (x) έχει παράγοτα το x-7 δείξε ότι το (x+) έχει παράγοτα το x-1. Β. Α το x-1 διαιρεί το f(x) τότε δείξε ότι το x+ διαιρεί το f(-x) 10. Α. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωύµου (x) δια του x + x x x είαι

+ x x + 7x. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (x):(x-) Β. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωύµου (x) δια του x x x 6 είαι x + x x +. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (x):(x-) 11. Α το υπόλοιπο της διαίρεσης του (x):(x-) είαι 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του (x) διά του x+1 είαι - α βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης (x):(x-)(x+1) 1. Α. είξε ότι το x x + x Β. είξε ότι x 6 διαιρεί το x 8x + 1 Γ. είξε ότι το α+β διαιρεί το διαιρεί το ( ) + ( x 1) 1 α) το α+β διαιρεί το ( α + β + γ) α β γ β) το β+γ διαιρεί το ( α + β + γ) α β γ γ) το α+γ διαιρεί το ( ) α + β + γ α β 1. Να λυθού οι εξισώσεις: α) x x + x 1 = 0 β) x + 10x + x = 0 γ) x x 10x 8 = 0 δ) 6x 19x + 1x 19x + 6 = 0 ε) x 1x + 1x = 0 στ) x + x 6x 8 = 0 ζ) x + x 10x + 8 = 0 η) x 6x = x 9 θ) x 8x 16x + 16 = 0 ι) x x + 8x 7x + = 0 γ 1. α) Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που περάει από τα σηµεία Α(1,-) και Β(,) β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέµει τη καµπύλη y = x x για τα x που είαι ρίζες της εξίσωσης x x 6x + 8 = 0 γ) Να βρείτε τις συτεταγµέες τω κοιώ τους σηµείω. 1. Να λυθού οι αισώσεις: α) x x x 6 < 0 β) x x x + 1 0 γ) x x + < 0 δ) x x x + 0 ε) x x + 1 0 στ) x 11x + 1x + 9 > 0 ζ) x + x + x + 10x 1 0 16. Α. Α το ( p) x διαιρεί το (x)=x α β +αx+β τότε δείξε ότι + = 0 Β. Α το ( x p) είαι παράγοτας του πολυωύµου (x)=x +αx +βx+γ δείξε ότι ο p είαι ρίζα της εξίσωσης αx +βx+γ=0 Γ. Α το ( x p) διαιρεί το f(x)=x -αx+β α 17. Α το πολυώυµο Ρ(χ)= χ αχ + βχ + γ έχει παράγοτα το (χ-1) Να δείξετε ότι : 1)α + β + γ = -1 και α + β = - )Α το γ είαι ρίζα της εξίσωσης χ + χ - =0 α δείξετε ότι : γ=1 και α=β 18. Να βρεθού οι πραγµατικοί αριθµοί α,β ώστε το (χ+1) α είαι παράγοτας του πολυωύµου = β

+ +7χ. Ρ(χ)= χ αχ + (α+β)χ 1 19. είξτε ότι το x είαι παράγοτας του Ρ(x)= x 7x x + 1x + 6 και στη συέχεια α λυθεί η εξίσωση (x)=0. x 0. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ώστε το πολυώυµο ( x) = x αx + β διαιρείται δια του ( x 1) + 1 α 1. Να βρεθού τα α, β ώστε το (x)= x 9x + ( α + β) x + β και x-. α έχει παράγοτες τους x-. ίεται το πολυώυµο (x) = x αx 8x β. Να βρείτε τα α,β R (x+)(x-). α διαιρείται µε το. Να βρεθεί ο α ώστε το πολυώυµο R(x)= x ( α 1) x x + α + διαιρούµεο µε x+1 α δίει υπόλοιπο 1 και κατόπι α λυθεί η εξίσωση (x)=1.. Έα εργοστάσιο παράγει χ µοάδες εός προϊότος τη ώρα µε κόστος παραγωγής που χαρακτηρίζεται από τη συάρτηση Ρ(χ)=χ-6. Η τιµή πώλησης αυτώ τω χ µοάδω χαρακτηρίζεται από τη συάρτηση Π(χ)=χ -χ Να βρεθεί στις πόσες µοάδες παραγωγής δε θα έχουµε ούτε κέρδος ούτε ζηµιά. Πότε θα έχουµε κέρδος;. Α για κάθε πραγµατικό χ ισχύει η σχέση : α(χ+β) γ =9χ +18 τότε: Ι) Να βρεθού οι τιµές τω α,β,γ ΙΙ) Να βρεθού οι τιµές του χ για τις οποίες: 9χ +7χ+18 0 6. Α) Α χ-α, χ-β παράγοτες του Ρ(χ) µε α β, α δειχθεί ότι το (χ-α)(χ-β) είαι παράγοτας του Ρ(χ). Β) Έστω το πολυώυµο Ρ(χ) =χ +χ -7χ +αχ+β, µε α,β πραγµατικούς αριθµούς. (Ι) Να προσδιοριστού τα α,β ώστε το χ +χ- α είαι παράγοτας του Ρ(χ). (ΙΙ) Να λυθεί η αισότητα Ρ(χ) <0για αυτές τις τιµές τω α,β από το (Ι) ερώτηµα. 7. ίοται τα πολυώυµα Ρ(χ)=χ +αχ +βχ+ και Σ(χ)=χ τα δύο πολυώυµα έχου το χ +1 κοιό παράγοτα τότε: (Ι) Να προσδιορισθού τα α,β. (ΙΙ) Να λυθού οι εξισώσεις Ρ(χ)=0 και Σ(χ)=0 8. Να βρεθού τα α, β ώστε το (x) = x ( α β) x + αx x + +βχ +χ+1, α,β πραγµατικοί αριθµοί. Α + α διαιρείται µε τη µεγαλύτερη δυατή δύαµη του x-1 και κατόπι α λυθεί η εξίσωση (x)=0. 9. Α το 1 ( x) = αx + βx + γx + δx + ε έχει παράγοτα το ( 1) ( x) = αx + βx + γx + δ έχει παράγοτα το x-1. 0. είξτε ότι το πολυώυµο ( x) = ( 1 x) x + x 1, Ν * τους παράγοτες του x x + x x δείξτε ότι το έχει παράγοτες όλους 1. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του (x) µε το (x-)(x-) α είαι γωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του (x) µε το x- είαι 10 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του (x) µε το

x- είαι ίσο µε το 1.. Για ποιες τιµές τω α,β R το ( x) = x + αx x + βx + έχει παράγοτες τους x-1, x+. Για τις τιµές αυτές α λυθεί η εξίσωση (x)=0. ίοται τα πολυώυµα Ρ(χ)=χ -χ +χ-α -β, Q(x)=(1-α)χ -(β+6)χ +11χ-6 (Ι) Να βρείτε τις τιµές τω α,β ΙR α η γραφική παράσταση του (χ) διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. (ΙΙ) Α α=β=0 α βρείτε τις τιµές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση του Q(x) βρίσκεται κάτω από το άξοα χχ.. ίεται το πολυώυµο Ρ(χ)=κχ +λχ +χ-1 το οποίο έχει παράγοτα το πολυώυµο χ -1. (Ι) Να βρεθού οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ. (ΙΙ) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(χ)=0. (ΙΙΙ) Να λυθεί η αίσωση : ηµα Ρ(χ)U<U Ρ(χ), µε 0<α<π. Α το πολυώυµο Ρ(χ)=χ +Αχ -χ- έχει παράγοτα το (χ+) α δειχθεί ότι Α= (ΙΙ) Να παραγοτοποιηθεί η παράσταση χ +χ -χ- ο ο (ΙΙΙ) Να βρεθού οι τιµές του τόξου ω,0 U<UωU<U60 ώστε α ισχύει ηµ ω +ηµ ω-ηµω-=0. 6. ίεται το πολυώυµο Ρ(χ) = αχ +(β-1)χ - χ - β + 6, όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί. α) Α ο αριθµός 1 είαι ρίζα του πολυωύµου Ρ(χ) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) µε το χ+1 είαι ίσο µε, τότε α δείξετε ότι α= και β=. β) Για τις τιµές τω α και β του ερωτήµατος (α), α λύσετε τη εξίσωση Ρ(χ)=Ο. Μ. 10 7. ίεται το πολυώυµο: f(x)=x -X -X -X-, x R. α. Να αποδείξετε ότι το χ+1 είαι παράγοτας του f(x) και α βρείτε το πηλίκο π(χ) της διαίρεσης του f(x) µε το χ+ 1. β. Να αποδείξετε ότι το χ- είαι παράγοτας του π(χ) και α βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του π(χ) µε το χ-. γ. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωυµικής συάρτησης f(x) βρίσκεται πάω από το άξοα χ'χ. 8. ίεται το πολυώυµο (x) = kx - 1 (k + λ)x + λx + 1. α. Α - = 7 και (-1) =, α αποδείξετε ότι k = -6 και λ = -. β. Να γίει η διαίρεση του (x), για k = -6 και λ = -, µε το πολυώυµο x + 1 και α γραφεί το (x) µε τη ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. γ. Να λυθεί η αίσωση (x) > 7 για k = -6 και λ = -. 9. ίεται το πολυώυµο: Ρ(x) = x -(k+1)x +(k-1)x+, k R, για το οποίο ισχύει ότι Ρ() = 0. α) Να αποδείξετε ότι k=. β) Να γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ(x) µε το πολυώυµο x+. γ) Να λύσετε τη εξίσωση Ρ(x) = x- 0. Να λυθού οι εξισώσεις: 6 α) ( x 1) 7( x + 1) 8 = 0 + β) x ( x + 1) 8( x + x) + 1 = 0

γ) ( x x + ) 10( x x ) 9 = 0 δ) x + 1x + 10x + = 0 1. Να λυθού οι εξισώσεις: 6 1 1 α) ( x + 1) + 7( x + 1) = 8 β) 6 x + x + 8 = 0 x x 1 1 1 γ) x + 1 x + + 6 x + + 7 = 0 x x x. Να λυθού οι αισώσεις: α) x x + β) x 1 x γ) x + > x + δ) x 1 < x +. Να λυθού οι εξισώσεις: α) x x + 1 = 1 β) 8 7y y = y γ) x 6x x 6x + = 1. Να λυθεί η αίσωση: x x x + 1 x + > + x 1 x 1 x. Να λυθού οι εξισώσεις: α) x + x + = 0 β) x 1 = x γ) x + 7 x + = 1 δ) x 1 8 x = x + 1 ε) x = λ στ) + = x + λ 6. Να λυθού οι εξισώσεις: α) x x x + 1 = 0 β) 6x 19x + 19x 6 = 0 γ) x x + x 1 = 0 7. Να λυθού οι εξισώσεις: α) x x + x x + 1 = 0 β) x 9x 6x 9x + = 0 x