ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Βαθμοί ελευθερίας : (,) γενικευμένες θέσεις (p,p ) : γενικευμένες ορμές Απλά Μηχανικά συστήματα ΒΕ α) κίνηση υλικού σημείου μάζας m στο επίπεδο υπό την επίδραση δυναμικού Κινητική ενέργεια 1 ( T p p ), p m, p m m Δυναμικό V V(, ), F gradv Συνάρτηση Χάμιλτον H(,, p, p ) T V Κανονικές εξισώσεις H H, p p p H p H F / m F / m β) κίνηση υλικων σημείων μάζας m 1 και m σε μια διάσταση (O) Σημείο 1 : ( 1, p 1) Σ1 Σ Σημείο : (, p ) p1 p Κινητική ενέργεια T T1 T, m1 m V V Δυναμικό V V ( 1, ), F gradv e e Συνάρτηση Χάμιλτον H( 1,, p1, p) T V 1 1 H, H 1 p1 p 1 F1 / m1 H p p H 1 1 F / m *Συμβολικά μπορούμε να θέσουμε, p p m 1 1 1, p p m 1 H H (,, p, p ) [1]
Γενικά, ένα σύστημα ΒΕ μπορεί να περιγράφεται από μια Χαμιλτονιανή συνάρτηση H H(,, p, p ) όπου,, p, p οι κανονικές ανεξάρτητες μεταβλητές που περιγράφουν το σύστημα, και οι εξισώσεις εξέλιξης του συστήματος δίνονται από τις κανονικές εξισώσεις H, p p H p H p H Παρατηρήσεις Αν η Η εξαρτάται από τον χρόνο, μπορούμε να απαλείψουμε το χρόνο από την συνάρτηση Hamilton αυξάνοντας τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος κατά 1 (etended Hamiltonian). Ένας μετασχηματισμός των μεταβλητών,, p, p ', ', p', p' αφήνει αναλλοίωτη τη μορφή των κανονικών εξισώσεων μόνο υπό συγκεκριμένες συνθήκες και τότε ονομάζεται κανονικός. Για δύο συναρτήσεις Α, Β των κανονικών μεταβλητών ορίζουμε την αγκύλη Poisson ως A B B A A B B A [ AB, ] p p p p * προφανώς [Α,Α]= Η ολική μεταβολή μιας συνάρτησης F F(,, p, p ) κατά μήκος μιας τροχιάς του συστήματος δίνεται από τη σχέση df [ FH, ] dt Πόρισμα. Μια συνάρτηση F F(,, p, p ) είναι πρώτο ολοκλήρωμα του συστήματος αν [ FH, ] df [ F, H] F σταθ. dt []
Γενικές ιδιότητες 1. Η ίδια η Χαμιλτονιανή συνάρτηση αποτελεί πρώτο ολοκλήρωμα του συστήματος, αφού [ HH, ]. Χώρος φάσεων : 4 διαστάσεις 3. Τα Χαμιλτονιανά συστήματα είναι διατηρητικά H H H H Διανυσματικό πεδίο f,,, p p οπότε div f 4. Τα σημεία ισορροπίας είναι τα σημεία του χώρου φάσεων για τα οποία H H H H,,, η f p p και το γραμμικοποιημένο σύστημα γύρω από τα σημεία ισορροπίας είναι H H H H p p p pp H H H H p p pp p = A, A, H H H H p p H H H H p p *Οι ιδιοτιμές του Α είναι ανά ζεύγη αντίθετες : 1,, 3 1, 4-1, πραγματικές σάγμα - 1 a ib, a ib, 3 a ib, 4 a ib μιγαδική αστάθεια ( a ) a, ib αστάθεια - 1,3,4 ib, ib κεντρικό σημείο (ευσταθές) - 1,3 1,4 [3]
Ολοκληρωσιμότητα κατά Liouville (n BE) Η ποσότητα I=Ι(q j,p j ), j=1,..,n, ονομάζεται ολοκλήρωμα του συστήματος αν di [ IH, ] I I( qi( t), pi() t ) c dt Ένα χαμιλτονιανό σύστημα n βαθμών ελευθερίας ονομάζεται ολοκληρώσιμο κατά Liouville αν υπάρχουν n ανεξάρτητα ολοκληρώματα I I ( q, p ) σε ενέλιξη, δηλαδή i i j j α) [ I, H], i 1,..., n (ολοκληρώματα) i β) [ I, I ], i, j 1,..., n (ενέλιξη) i j I k γ) rank n (ανεξαρτησία) ( qi, pj) Σε ένα ολοκληρώσιμο σύστημα μπορούμε με κατάλληλο κανονικό μετασχηματισμό να ορίσουμε * νέες μεταβλητές J i, w i (μεταβλητές δράσης και μεταβλητές γωνίας) για τις οποίες H H( J1, J,..., J n ) (1) και οι εξισώσεις κίνησης ολοκληρώνονται άμεσα J i H Ji. w i H wi i ( J j ). wi it ci J i () * εν γένει τοπικά [4]
Ολοκληρώσιμα Χαμιλτονιανά συστήματα BE H H (,,, ) p p (3) Ολοκληρώματα H H (,,, ) p p F F(,, p, p ), [ H, F] Ορισμός μεταβλητών Δράσης-Γωνίας (4),, p, p ( I, I, w, w ) H H ( I, I ) 1 1 1 I H / w 1 1 I H / w w H / I ( I, I ) 1 1 1 1 w H / I ( I, I ) 1 I I I 1 1 I w t w w 1 1 1 tw (5) I 1 w 1 3 I 1 w Αριθμός περιστροφής 1 Αν p q, όπου p,q ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους, Η τροχιά είναι περιοδική με περίοδο 1 ( I1, I) T p q. 1 w () w, w ( T ) p w p w w 1 1 1 1 1 1 1 1 w () w, w ( T) q w q w w Σε μια περίοδο έχουμε p κύκλους για την w 1 και q κύκλους για την w. Αν 1/ άρρητος η τροχιά γεμίζει πυκνά τον τόρο. [5]
Η Τομή Poincare του Ολοκληρώσιμου συστήματος Π={(I 1,w 1 ), w =kπ, I = σταθ.} I 1 I 1 Δw w 1 ρ= ρ(ι 1 ) Δw π w 1 Για κάθε στροφή της w (t=π/ω ), η w 1 μεταβάλλεται κατά 1 w1 1t ( I1) Αν 1/ p/ q τότε η περιοδική τροχιά αντιπροσωπεύεται με q σημεία στην τομή. Αν το ρ είναι άρρητος τα σημεία γεμίζουν πυκνά τον αναλλοίωτο κύκλο Ι 1 =σταθ. (ημιπεριοδική τροχιά) Συμβολίζουμε I1 I, w1 w Η τομή Poincare του ολοκληρώσιμου συστήματος μπορεί να περιγραφεί από την στροφική απεικόνιση I k1 I k wk 1 wk ( Ik ) (6) Συνθήκη στροφικότητας : Γνησίως μονότονη μεταβολή του αριθμού περιστροφής d( I) (7) di [6]
Διαταραγμένα Χαμιλτονιανά συστήματα ΒΕ H H (,, p, p ) H (,, p, p ) H (...)... 1 H H I I H ( 1, ) H1( I1, I, w1, w ) (...) (8) Τομή Poincare Διαταραγμένη Στροφική Απεικόνιση I k1 w k1 I f ( I, w ) O k ( ) w ( I ) g( I, w ) O k k k k k k ( ) (9) ε : αρκούντως μικρό (παράμετρος διαταραχής) και f,g: κατάλληλες για την διατήρηση της συμπλεκτικότητας - διατηρητικότητας ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ KAM Poincare-Birkhoff Taken Smale Chirikov KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) : «Μακριά από συντονισμούς», όπου ρq, οι αναλλοίωτοι κύκλοι του αδιατάρακτου συστήματος και η ημιπεριοδικότητα διατηρούνται (απλά ο τόρος υπόκειται σε μια μικρή αλλαγή σχήματος). [7]
Poincare-Birkhoff. Στη θέση του αναλλοίωτου κύκλου στο συντονισμό ρ=p/q, p,qz, έχουμε την εμφάνιση δύο περιοδικών τροχιών περιόδου nt, n N ( * ), όπου T p q 1. Μια είναι ευσταθής και μια ασταθής. * Εν γένει (πλην ειδικών συμμετριών) είναι n=1. [8]
Taken - Smale Σε κάθε υπερβολικό σημείο της ασταθούς περιοδικής τροχιάς αντιστοιχούν δύο ομοκλινικές (ή ετεροκλινικές) πολλαπλότητες (μια ευσταθής και μια ασταθής οι οποίες εν γένει τέμνονται (εγκαρσια) σε ένα ομοκλινικό σημείο. Το ομοκλινικό σημείο απεικονίζεται μέσω της G σε ένα άλλο σημείο το οποίο οφείλει επίσης να είναι ομοκλινικό σημείο. Έτσι έχουμε απειρία ομοκλινικών σημείων. Η πυκνότητα των ομοκλινικών σημείων αυξάνει καθώς προσεγγίζεται το υπερβολικό σημείο και οι ομοκλινικές πολλαπλότητες «αναδιπλώνονται» (Επεκτείνονται κατά την διεύθυνση του ιδιοδιανύσματος της ασταθούς πολλαπλότητας στο υπερβολικό σημείο και συρρικνώνονται κατά την διεύθυνση του ιδιοδιανύσματος της ευσταθούς πολλαπλότητας στο υπερβολικό σημείο) Η απεικόνιση G κοντά στο υπερβολικό σημείο είναι τοπολογικά συζυγής με την απεικόνιση του «Πετάλου του Smale» (που με τη σειρά της είναι τοπολογικά συζυγής με την απεικόνιση Bernoulli) δηλαδή έχουμε την δημιουργία ενός «χαοτικού συνόλου». Ομοκλινικοί Λοβοί (Tangles) [9]
[1]
Chirikov. Επικάλυψη συντονισμών. Για αρκετά μεγάλες διαταραχές οι τόροι μεταξύ διαφορετικών συντονισμών διασπώνται και δημιουργείται μια ευρεία χαοτική περιοχή. [11]
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ H=T+V ( Βαθμών Ελευθερίας) 1 ( ) V (, ) (1) H p p E Εξισώσεις κίνησης της (1) (Κανονικές εξισώσεις) p p H p H p p p H H V V () ΧΩΡΟΣ ΦΑΣΕΩΝ (,,p,p ) (4 διαστάσεις) Φασικές Τροχιές : ((t),(t),p (t),p (t)) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ H Χαμιλτονιανή συνάρτηση (Ενέργεια) αποτελεί πάντα ολοκλήρωμα για το σύστημα (1). Αν υπάρχει και ο ολοκλήρωμα, ανεξάρτητο της ενέργειας, τότε το σύστημα είναι ολοκληρώσιμο. Code Ham1.nb [1]
ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΤΑΘΕΡΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Όρια 1 ( ) (, ) H p p V E E V (, ) Επιτρεπτή περιοχή o Η κλειστή επιτρεπτή περιοχή αποτελεί ικανή συνθήκη για την ύπαρξη περατωμένων τροχιών δεν είναι όμως και αναγκαία. Συνήθως οι γενικευμένες ορμές p, p αντιστοιχούν σε ταχύτητες και το σύνορο της επιτρεπτής περιοχής στο επίπεδο O ονομάζεται καμπύλη μηδενικής ταχύτητας. 3 μεταβλητές ανεξάρτητες πάνω στην επιφάνεια ενέργειας Ε p ( E V (, )) p Σημεία Ισορροπίας και γραμμική ευστάθεια Τα σημεία ισορροπίας (*,*) υπάρχουν για δεδομένη τιμή της Ενέργειας E*=V(*,*) H H H H p, p,, p p Γραμμικοποιημένο σύστημα Code Ham.nb 1 1 H H = p p p p H H [13]
ΤΟΜΗ POINCARE Σημεία του επιπέδου (,p ) για τα οποία = και p > και Ε=Ε Παρόμοια μπορούμε να ορίσουμε την τομή για p < ή ως τα σημεία (,p ) για = και p > (ή p <) Κάθε σημείο της τομής αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη θέση του συστήματος p (,p ) : Σημείο της τομής = : Ορισμός της τομής p : Πρόσημο από τον ορισμό και τιμή από το Ολοκλήρωμα της Ενέργειας p ( ) E V (,) p Καμπύλη μηδενικής ταχύτητας p = στο επίπεδο της τομής p ( E V (,)) p p ( E V ( )) Επίπεδο τομής * Η τομή ορίζεται από την μία πλευρά της καμπύλης μηδενικής ταχύτητας όπου ορίζεται το p. * Η καμπύλη μηδενικής ταχύτητας ορίζει την επιτρεπτή περιοχή (συνεκτική ή όχι) στο επίπεδο (,p ) της τομής για ενέργεια Ε. Code Ham3.nb (Ham3_poincare.nb) [14]
Τομή Poincare (,p ), = και p >, Ε=Ε Sstem definition k,e, Acc,AccS Acc: integration accurac AccS: Section accurac k: sstem parameters E: energ (or constant integral) Initial Conditions,p,= p =+f(,p,,e), dt,t=,,p,p, (t) Numerical Integration (dt),,p,p, (t+dt) SectionApproach (SA) SA=* <&&p > dt dt/ (dt dt*/ - ) no SA es SectionFound (SF) SF= <AccS SF no =, =, p =p, p =p es [15]
ΔΙΑΤΑΡΑΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 ( p p ) (, ) 1, H V V( ) E H 1 ( p p ) V (, ) Ολοκληρώσιμο μέρος (Ι 1 =Η, Ι ) V (, ) 1 Όρος Διαταραχής, ε: παράμετρος διατραχής Γενικές Κατευθύνσεις Υπολογιστικής Μελέτης A B Γ Μελέτη για αυξανόμενες τιμές της παραμέτρου ε διαταραχής σε σταθερό επίπεδο ενέργειας Ε Μελέτη σε διάφορα επίπεδα ενέργειας Ε για σταθερή μικρή διαταραχή. Σημεία ισορροπίας - Περιοχές Επιτρεπτής κίνησης στο επίπεδο Συνθήκες για ύπαρξη περατωμένων περιοχών κίνησης. Τομές Poincare Περιοχές Επιτρεπτής κίνησης Περιοχές κανονικών κινήσεων Νησίδες Χάος μικρής ή μεγάλης κλίμακας και φυσικές επιπτώσεις Δ Περιοδικές Τροχιές και ευστάθεια (periodicorbits) Διακλαδώσεις [16]
ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Συζευγμένοι Γραμμικοί Ταλαντωτές 1 1 H p 1 p f (, ) Συζευγμένοι Μη Γραμμικοί Ταλαντωτές 1 4 1 4 H p 1 a p b f (, ) Γαλαξιακά Δυναμικά τύπου Henon-Heiles Δυναμικά Yang-Mill 1 1 H ( p p A B ) D C 3 3 1 ( ) H p p (...) Μοριακά Δυναμικά σε Ημι-κλασική Προσέγγιση κ.λ.π. Βιβλιογραφία B.M., 8.4 «Nonlinear Phsics with Mathematica for Scientists and Engineers», σελ 343-353 «Dnamical_Sstems_with_Applications_using_Mathematica», σελ. 11 11, 178-181 [17]
ΑΣΚΗΣΗ 1 Για το σύστημα με συνάρτηση Hamilton 1 1 1 4 H ( p p) ( ) ( k), k R 4 4 1. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται ώστε η τομή Poincare να ορίζεται τουλάχιστον σε ένα κλειστό τόπο. Για ενέργεια Ε=1/4 σχεδιάστε τις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για διάφορες τιμές της παραμέτρου -1<k<1.. Βρείτε τη θέση των σημείων ισορροπίας του συστήματος, την ευστάθειά τους και τις τιμές ενέργειας στις οποίες αντιστοιχούν. 3α. Θέστε k=1. Σχεδιάστε την τομή Poincare για Ε=1/4 και Ε=1. 3β. Θέστε k=1/. Σχεδιάστε την τομή Poincare για Ε=1/4 και Ε=1. 4. Για k=1/ και Ε=1/4 εντοπίστε και σχεδιάστε στο επίπεδο μερικές ενδεικτικές περιοδικές τροχιές. 5. Βρείτε ένα ολοκλήρωμα (πολυώνυμο, ου βαθμού ως προς την ταχύτητα) για k=-1. [18]
ΑΣΚΗΣΗ Για το Γαλαξιακό δυναμικό Henon-Heiles a 3 V ( ) 3 και για τις τιμές των παραμέτρων που σας δίνονται στον πίνακα Ι, να γίνουν τα ακόλουθα α) βρείτε τα σημεία ισορροπίας β) Υπολογίστε για ποιες τιμές ενέργειας (και για τις δοθείσες τιμές a και ε) έχουμε περατωμένες κινήσεις γύρω από το (,). γ) Για τις περατωμένες τροχιές, σχεδιάστε την τομή Poincare του συστήματος (για τις δοθείσες παραμέτρους a και ε και την δοθείσα ενέργεια Ε ) που ορίζεται στην τελευταία στήλη του πίνακα Ι (να συμπεριληφθεί και η καμπύλη μηδενικής ταχύτητας) δ) Για μερικές αρχικές συνθήκες της δική σας επιλογής (για τις δοθείσες παραμέτρους a και ε και την δοθείσα ενέργεια Ε ) σχεδιάστε τις αντίστοιχες τροχιές στο επίπεδο (,) και στον χώρο (,,p ) ή (,,p ) και χαρακτηρίστε τις (περιοδικές, ημιπεριοδικές, χαοτικές) Πίνακας Ι Νο a ε Ε Τομή 1 1 1.1 (, ), p 1 1.5.5 (, ), p 3.1.1 (, ), p 4 1.5.5 (, ), p 5 3.5.5 (, ), p 6 1/ 1.15 (, ), p 7 1/ 1/.16 (, ), p 8 1 1/.1 (, ), p Προσομοίωση: Θεωρήστε a=; ε=.5; Ε =1 και N αστέρες σε θέσεις πάνω στην γραμμή = ( <1, <1), και ταχύτητες p = και p > σύμφωνα με τη δοθείσα ενέργεια. Σχεδιάστε τη θέση των Ν αστέρων για t=, t=1, t=1, κλπ [19]