ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες μεταξύ των αβγ και δ έτσι ώστε να ισχύει: (i) dim U= και (ii) dimu= (ΙΙ) Να εξετάσετε αν το καθένα από τα σύνολα Α={(αβγδ) : dimu=} και Β={(αβγδ) : dimu=} είναι υπόχωρος του Στην περίπτωση που είναι υπόχωρος να προσδιορίσετε μία βάση του και τη διάστασή του Θέμα ο (α) Έστω X Y διανυσματικοί χώροι πάνω στο σώμα K = ή και T : X Y μία γραμμική απεικόνιση έτσι ώστε { u1 u u r } είναι βάση του ker T = N( T) και { u1 u ur ur+ 1 um} είναι βάση του X Να αποδείξετε ότι το σύνολο { Tu ( r+ 1) Tu ( m)} είναι βάση του ImT α 1 0 (β) Δίνεται ο πίνακας A = 0 1 α α 0 0 α (i) Να αποδείξετε ότι ( A α I) = O (ii) Αν α 0 να αποδείξετε ότι ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος και να υπολογίσετε τον A Θέμα ο Έστω T : γραμμική απεικόνιση με τύπο T( x y z) = (x y x+ y z x z ) και ο υπόχωρος U = {( x y z) : x y+ z = 0} του (i) Να αποδείξετε ότι η T είναι 1-1 (ii) Να βρείτε μία βάση του U και μία βάση του TU ( ) (iii) Να βρείτε τον πίνακα της T ως προς τη βάση u = { u = (111) u = (11 0) u = (1 0 0)} του 1 Θέμα ο x 1 z+ 1 x y+ z 6= 0 Δίνονται οι ευθείες ε : = y = και ε 1 : x+ y z 1= 0 (i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες τέμνονται και να προσδιορίσετε το σημείο τομής τους (ii) Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου Π που ορίζουν οι ευθείες ε1και ε (iii) Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την ε1 και είναι κάθετο στο επίπεδο Π
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 0-1-005 ΘΕΜΑ 1 ο Δίνονται τα διανύσματα α = (11 ) και β = ( 01) (i) Να βρεθεί διάνυσμα γ κάθετο στα διανύσματα α και β (ii) Να βρεθεί μία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλο προς τα διανύσματα α + βγ (iii) Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου M (100) ως προς το επίπεδο (Π) με εξίσωση 10 x+ y z = 0 ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα υποσύνολα 1 c a b P = : c Q= : a b 0 1 b a του διανυσματικού χώρου των πραγματικών πινάκων M ( ) = Π ( ) (i) Να εξετάσετε αν αυτά είναι υπόχωροι του M ( ) και αν είναι υπόχωροι να βρείτε μία βάση τους (ii) Να επεκτείνετε τη βάση που θα βρείτε σε βάση του M ( ) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η γραμμική απεικόνιση T: D D όπου D είναι το σύνολο των ελεύθερων διανυσμάτων του χώρου με τύπο Tu ( ) = a u όπου a = (111) = i + j + k (i) Να βρεθεί ο πίνακας της T ως προς την κανονική βάση { i j k } (ii) Να βρεθεί ο πυρήνας Κ ert της T και μία βάση του (iii) Να βρεθεί μία βάση της εικόνας ImT της T ΘΕΜΑ ο (Α) Έστω V πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης n και f : V V μία γραμμική απεικόνιση Να αποδείξετε ότι : η απεικόνιση f είναι 1-1 αν και μόνον αν για οποιοδήποτε υποσύνολο { u1 u u k } γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων του V και για κάθε k {1 n} το σύνολο { f ( u ) f( u ) f( u )} είναι γραμμικώς ανεξάρτητο 1 k (Β) Έστω ένας πραγματικός πίνακας M τέτοιος ώστε 1 1 0 0 0 0 5 6 7 5 0 0 T T M M M M = O 0 0 8 9 0 0 0 0 0 10 1 6 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει 1πίνακας B τέτοιος ώστε το γραμμικό σύστημα MX = B να έχει μοναδική λύση
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 0-9-006 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ = a= α1i+ αj+ αk ΟΒ = b= β1i+ βj+ βk Έστω Α Β 1 1 οι ορθές προβολές των Α Β αντίστοιχα στο επίπεδο Ο xy Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα διανύσματα ΟΑ1 και ΟΒ 1 ισούται με ( a b) k (μονάδες 1) (β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση του επιπέδου Q που περιέχει την ευθεία x 1 y+ 5 z+ ε : = = (μονάδες 15) 1 και είναι κάθετο προς το επίπεδο Π : x+ y+ z 6= 0 ΘΕΜΑ ο i) Να δώσετε τον ορισμό της βάσης και της διάστασης ενός διανυσματικού χώρου V και να αναφέρετε ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου με μια βάση του (μονάδες 09) ii) Αν dim V =n να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε n+1 το πλήθος διανύσματα του V είναι γραμμικώς εξαρτημένα (μονάδες 08) iii) Αν dim V= και v = v1 v υπάρχει διάνυσμα v του V τέτοιο ώστε τα διανύσματα { v v v v} να αποτελούν βάση του V? Δικαιολογείστε (μονάδες 08) 1 ΘΕΜΑ ο α) Έστω U V δύο διανυσματικοί χώροι με αντίστοιχες βάσεις u= { u1 u u } v= { v1 v v } και μια γραμμική απεικόνιση T :U V τέτοια ώστε T u = v + v + v 1 1 T u = v v T u 1 = v1+ v v i) Βρείτε τον πίνακα της Τ ως προς τις βάσεις {u v} ii) Χρησιμοποιείστε τον πίνακα αυτόν ή διαφορετικά και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος Τu όπου u= u1+ u 5u (μονάδες 1) β) Δίνεται η γραμμική απεικόνιση T : με τύπο T( x1 x x) = ( x1 x + xx1 + x + x5x1 x + 8x ) Να βρείτε μια βάση στον καθένα από τους υπόχωρους Κer T ImT (μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο 1 αν i+j άρτιος (α) Δίνεται ο n n πίνακας Α= ( a ij ) όπου a ij = 0 αν i+j περιττός Να βρείτε το βαθμό του πίνακα Α (μονάδες 1) (β) Να λυθεί το γραμμικό σύστημα x+ by+ b z = 1 x + by + abz = b a b b 0 ax + b y + ab z = ab (μονάδες 15)
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 10-10-007 ΘΕΜΑ 1 ο = 1 n ενός διανυσµατικού χώρου V είναι βάση του αν και µόνον αν κάθε στοιχείο x του V γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του S Μονάδες 15 (α) Να αποδείξετε ότι το πεπερασµένο υποσύνολο S { υ υ υ } (β) Να αποδείξετε ότι κάθε διανυσµατικός χώρος V { 0} ο οποίος έχει ένα πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων { x 1x xn} έχει και µία βάση Μονάδες 1 (Θεωρία) Για το αντίστροφο του (α) ας υποθέσουµε ότι κάθε x V γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων του συνόλου S = { υ1 υ υn} τότε έχουµε τη σχέση V [ υ1 υ υn ] οπότε λόγω και της αντίστροφης σχέσης εγκλεισµού η οποία ισχύει από τον ορισµό έπεται ότι τα στοιχεία του συνόλου S = { υ1 υ υn} παράγουν το διανυσµατικό χώρο V Επιπλέον αν λυ + λυ + + λυ = 0 = 0υ + 0 υ + + 0υ 1 1 n n 1 n λόγω της µοναδικότητας έπεται ότι λ i = 0 για κάθε i = 1 n δηλαδή τα στοιχεία του S = { υ1 υ υn} είναι γραµµικώς ανεξάρτητα ΘΕΜΑ ο (α) ίνονται επίπεδο Π:x y z+ 10= 0 και η ευθεία ε : x = 5+ 6 t y = 6 t z = + t t (i) Να βρεθεί το σηµείο τοµής της ευθείας ε µε το επίπεδο Π (ii) Να βρεθούν οι αναλυτικές εξισώσεις της ευθείας δ που περνάει από Μ είναι παράλληλη προς το επίπεδο Π και το σηµείο ( ) τέµνει την ευθεία ε Μονάδες 15 (i) Από τη λύση του συστήµατος x y z+ 10= 0 x = 5+ 6 t y = 6 t z = + t t προκύπτουν t = και x = 7 y = z = 5 δηλαδή το σηµείο τοµής των Π και ε ( ) είναι το Ρ 7 5 (ii) Αρκεί να βρούµε σηµείο τέτοιο ώστε ΜΚ Π δηλαδή Κ (5+ 6 t 6 t + t t ) της ευθείας ε
( + 6 t t7+ t) = ( ) ΚΜ n όπου n = ( ) είναι το κάθετο διάνυσµα του επιπέδου Π Άρα έχουµε 1 ( + 6t) ( t) + ( 7 + t) = 0 t = Κ( 8 85) Εποµένως η ευθεία ΚΜ που είναι παράλληλη προς το επίπεδο Π έχει u=km = 8 8 + 5 + = 5 69 και αναλυτικές παράλληλο διάνυσµα ( ) ( ) εξισώσεις x y+ z+ = = 5 6 9 (β) Τα σηµεία Α Β Γ ως προς δεδοµένο σύστηµα αναφοράς µε αρχή Ο έχουν διανύσµατα θέσης αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι : a b c d Α Β Γ είναι συνεπίπεδα ( abc) - ( bcd ) + ( cda) - ( dab ) = 0 Α Β Γ είναι συνεπίπεδα ( ) ( b-ac-ad-a ) = 0 ( b-a ) ( c-a ) ( d-a ) = 0 ( b c b a a c) ( d-a) = 0 ( bcd) - ( bad) - ( acd) - ( bca) = 0 ( abc) - ( bcd ) + ( cda) - ( dab ) = 0 Μονάδες 1 ΑΒ ΑΓ Α συνεπίπεδα ΑΒ ΑΓ Α = 0 ΘΕΜΑ ο (α) δίνονται οι διανυσµατικοί υπόχωροι του V 1 = {( xyz ): x+ y+ z= 0} και V = ( 110 ) ( 001) Να βρείτε τις διαστάσεις και βάσεις των υποχώρων VVV 1 1 V και V+V 1 Μονάδες 15 V = xyz : x+ y+ z= 0 = xyz : z= x y = xy x y: xy 1 {( ) } ( ) = { x( 10 1) + y( 01 ): x y } = ( 10 )( 01 ) Επειδή τα διανύσµατα ( 1 0 1)( 01 1) ότι αποτελούν βάση του { } {( ) } είναι γραµµικώς ανεξάρτητα έπεται { } V1 και dim V1 = Οµοίως επειδή υα διανύσµατα ( 11 0 ) ( 0 01 ) είναι γραµµικώς ανεξάρτητα και παράγουν τον υπόχωρο έπεται ότι αποτελούν βάση του V και dim V = xyz V V V Αν ( ) 1 τότε υπάρχουν κ λµν τέτοια ώστε ( xyz ) = κ( 1 0 1) + λ ( 01 1) = µ ( 11 0) + ν( 0 01) κ = µ λ = µ κ λ = ν κ = λ = µ ν = µ οπότε το τυχόν στοιχείο της τοµής είναι της µορφής xyz = µ 1 0 1 + µ 01 1 = µ 11 µ ( ) ( ) ( ) ( )
{ } Άρα είναι dim V1 V 1 11 Από θεώρηµα διαστάσεως έχουµε ότι dim V +V = dim V + dim V dim V V = = µε βάση ( ) ( ) ( ) 1 1 1 οπότε V+V = και µπορούµε να θεωρήσουµε ως βάση του µία βάση του 1 για παράδειγµα την {( 10 1 )( 01 1 )( 001) } (β) ίνεται η γραµµική απεικόνιση Τ: µε τύπο Τ x x x = x + x x + x x + x ( ) ( ) 1 1 1 Να βρεθεί ο πίνακας της Τ ως προς τη βάση u= u = 111 u = 1 1 0 u = 11 Έχουµε { 1 ( ) ( ) ( )} ( u ) ( 111) ( ) ( u ) ( 1 1 0) ( 11 0) ( u ) ( ) ( ) Τ =Τ = = 1 1 Τ =Τ = = u Τ =Τ 11 = 1 = u οπότε ο πίνακας της τα ως προς τη βάση u είναι ο 0 0 Α= 0 1 0 0 0 u Μονάδες 1 ΘΕΜΑ ο (α) Για τις διάφορες τιµές των α β να λύσετε το σύστηµα x y z = x y+ z = 7 x y+ α z = β Μονάδες 1 Με µετατροπή του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος σε κλιµακωτό λαµβάνουµε τελικά 1 1 0 1 1 0 0 α β οπότε διακρίνουµε τις περιπτώσεις: α β ρ AB = ρ Α = οπότε το σύστηµα έχει (Ι) Αν { } τότε ( ) ( ) µοναδική λύση Επειδή τότε
α β 5 1 0 1 1 1 1 α 5 0 1 1 α β 0 1 1 + 0 1 0 α 0 0 α β β 0 0 1 β α 0 0 1 α 5α 5β + 5 1 0 0 α α β + 5 0 1 0 η µοναδική λύση είναι η α β 0 0 1 α 5α 5β + 5 α β + 5 β ( xyz ) = α α α (ΙΙ) Αν α = β τότε το σύστηµα είναι αδύνατο (ΙΙΙ) Αν α = β = τότε ο επαυξηµένος πίνακας γίνεται 1 1 1 0 5 5 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 οπότε το σύστηµα γίνεται x+ 5z = 5 ( xyz ) = ( 5 5 t1 tt ) t y+ z = 1 (β) ίνεται ο πίνακας β α α α α β α α Α= α α β α α α α β Να προσδιορίσετε τις τιµές των α β για τις οποίες ο Α είναι αντιστρέψιµος Στην περίπτωση που ο Α αντιστρέφεται να αποδείξετε ότι ο πίνακας Α είναι της ιδίας µορφής δηλαδή έχει όλα τα διαγώνια στοιχεία του ίσα και όλα τα µη διαγώνια στοιχεία του επίσης ίσα Μονάδες 15 Επειδή είναι det Α= ( β + α)( β α) ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος αν ισχύει ότι α β και β α Έστω ότι α β και β α Γράφουµε τον πίνακα Α στη µορφή
β α α α β α 0 0 0 α α α α α β α α 0 β α 0 0 α α α α Α= = + α α β α 0 0 β α 0 α α α α α α α β 0 0 0 β α α α α α δηλαδή Α= ( β α) Ι + αj όπου ο πίνακας J είναι τύπου µε όλα τα στοιχεία του ίσα µε 1 Υποθέτουµε ότι ο πίνακας Α είναι της µορφής Α = xι+ yj και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε τους συντελεστές x y έτσι ώστε ΑΑ =Ι Σε περίπτωση ύπαρξης του αντίστροφου πίνακα σε αυτή τη µορφή λόγω της µοναδικότητας του αντίστροφου πίνακα αυτό σηµαίνει ότι ο πίνακας που θα βρούµε είναι ο αντίστροφος του Α Έχουµε ΑΑ =Ι ( β α) Ι + αj ( xι+ yj) =Ι Άρα είναι ( ) ( ) ( ) x 1 ( ) β α xι+ β + α y+ αx J =Ι β α Ι+ β + α y+ αx J = O ( ) ( ) ( β α) y αx β α x 1+ β + α y+ αx = 0 + + = 0 1 x = ( β α) x 1 0 β α = ( β + α) y+ αx= 0 α y = ( β α)( β + α) 1 α Α = Ι J β α β α β + α ( )( ) δηλαδή της ιδίας µορφής µε τον πίνακα Α Ο προσδιορισµός βεβαίως του Α µπορεί να γίνει και µέσω των δύο γνωστών µεθόδων προσδιορισµού του αντίστροφου πίνακα
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 8--008 ΘΕΜΑ 1 ο Δίνονται σημείο Ρ (1 0 ) επίπεδο Π με εξίσωση x+ y+ z = 1 και η x 1 z ευθεία ε : = y = Να βρεθούν : (i) Το συμμετρικό Ρ του Ρ ως προς το επίπεδο Π (Μονάδες 15) (ii) Η ευθεία που περνάει από το σημείο Ρ και είναι παράλληλη προς την προβολή της ευθείας ε στο επίπεδο Π (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα υποσύνολα α β γ 0 U 1 = : α β U = : γ δ 0 α δ γ του συνόλου Μ των πραγματικών πινάκων ( ) (i) Να αποδείξετε ότι τα υποσύνολα U1 και U είναι υπόχωροι του διανυσματικού χώρου και να βρείτε μία βάση στον καθένα Μ ( ) (Μονάδες 1) (ii) Να αποδείξετε ότι: U1+ U = M( ) (Μονάδες 1) (iii) Είναι ο διανυσματικός χώρος Μ ( ) το ευθύ άθροισμα των υποχώρων U και U 1 ; (Μονάδες 05) ΘΕΜΑ ο Έστω ab δύο μοναδιαία διανύσματα του χώρου π ab = και c= a b ( ) (i) Να αποδείξετε ότι το σύνολο { abc } είναι μία βάση του Δ με Δ (Μονάδες 05) (ii) Να αποδείξετε ότι η απεικόνιση T: Δ Δ όπου Δ είναι το σύνολο των ελεύθερων διανυσμάτων του χώρου με τύπο T( u) = a u είναι γραμμική και να βρείτε τον πίνακά της ως προς τη βάση { abc } (Μονάδες 15) (iii) Να βρείτε μία βάση του πυρήνα της Τ (Μονάδες 05) ΘΕΜΑ ο (Α) Να ελέγξετε πότε το διάνυσμα = ( 0 λ λ ) υπόχωρο U = [ uuu 1 ] του όπου u1 = ( λ+ 1111 ) u = ( 1 λ+111) u = ( 11 λ +11) u ανήκει στον Στην περίπτωση που ισχύει u U να γραφεί το διάνυσμα u ως γραμμικός συνδυασμός των u1 u u (Μονάδες 15) (Β) Αν ΑΒ είναι ν ν αντιστρέψιμοι πίνακες να αποδείξετε ότι: ν (i) det ( adj ) ( det ) 1 adj ( ) ( adj )( adj Α = Α (ii) ΑΒ = Β Α) (Μονάδες 1) και