Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα KI

Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα KI. 009-010 1

Στερεό σώµα Φυσική Γ Λυκείου KI 009-010

Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα Γενικές Παρατηρήσεις Συνοπτική Θεωρία Τυπολόγιο 1.1. Κυκλική κίνηση Κάθε σώµα που εκτελεί κυκλική κίνηση έχει µία γωνιακή ταχύτητα ω και µία γραµµική ταχύτητα. Οι ορισµοί τους είναι: και φ ω= (1) t S = () t όπου φ η γωνία και S το τόξο που γράφει το σώµα σε χρόνο t, όπως φαίνεται στο σχήµα: Για τις ταχύτητες αυτές: Η γωνιακή είναι κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς και έχει φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού: : Αν το οθετήσουµε το δεξί χέρι µε τα δάκτυλα κυρτωµένα µε την φορά της κίνησης ο αντίχειρας µας δείχνει την φορά της γωνιακής ταχύτητας. Η γραµµική ταχύτητα είναι πάντοτε εφαπτόµενη στην τροχιά της κίνησης = πr, (3) και =πrf, (4) T ω = π, (5) και ω = πf, (6) T Σχέση γραµµικής και γωνιακής =ωr, (7) Ένα στερεό σώµα που περιστρέφεται: κάθε σηµείο του έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα, αλλά κάθε σηµείο του έχει διαφορετική (εν γένει) γραµµική ταχύτητα, ανάλογη της απόστασής του από τον ά- ξονα περιστροφής. 1.. Γενική Καμπυλόγραμμη Κίνηση Στην καµπυλόγραµµη κίνηση η θέση περιγράφεται από το διάνυσµα θέσης r ως προς σύστηµα αξόνων xοy, και η ταχύτητα του σώµατος ορίζεται ως η παράγωγος (ρυθµός µεταβολής) του διανύσµατος θέσης r: = dr, (8) dt Αρα η ταχύτητα είναι εφαπτόµενη στην τροχιά Η επιτάχυνση α στην καµπυλόγραµµη κίνηση σχηµατίζει γωνία φ µε την γραµµική ταχύτητα, που είναι πάντα εφαπτόµενη στην τροχιά. Η επιτάχυνση α αναλύεται σε δύο συνιστώσες όπως φαίνεται στο σχήµα: Επιτρόχια επιτάχυνση (α ε //) Μεταβάλλει το µέτρο της ταχύτητας Κεντρομόλος επιτάχυνση (α κ ) Μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας ω φ R S KI. 009-010 3

Στερεό σώµα Φυσική Γ Λυκείου y r α κ α ε α Τροχιά σώµατος r o r Υποθετικός κύκλος ακτίνας R O x Για την συνιστώσα α κ ισχύει α κ =, (9) όπου R η ακτίνα του υποθετικού κύκλου (ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο θεωρούµενο σηµείο). Η κεντροµόλος ε ιτάχυνση είναι υ εύθυνη για την µεταβολή της R διεύθυνσης της γραµµικής ταχύτητας. Για την επιτρόχια ισχύει ΣF ε = mα ε. Η ε ιτρόχια ε ιτάχυνση είναι υ εύθυνη για την αύξηση του µέτρου της γραµµικής ταχύτητας 1.3. Περιστροφική κίνηση στερεού σώματος Ένα στερεό σώµα που περιστρέφεται γύρω από ένα άξονα έχει µία γωνιακή ταχύτητα ω µε διεύθυνση που ταυτίζεται µε τον άξονα περιστροφής (και φορά που δίνεται µε τον κανόνα του δεξιού χεριού). Κάθε σηµείο του έχει µία γραµµική ταχύτητα ανάλογη της απόστασής του από τον άξονα περιστροφής. Η γωνιακή επιτάχυνση α γων είναι ο ρυθµός µεταβολής (παράγωγος) της γωνιακής ταχύτητας ω ενός σώµατος. Μονάδα: rad/sec dω αγων =, (10) dt Το διάνυσµα της α γων έχει την κατεύθυνση της µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας dω. Από την θεµελιώδη σχέση της στροφικής κίνησης Στ=Ια γων διαπιστώνουµε ακόµα ότι η γωνιακή επιτάχυνση έχει την διεύθυνση της συνισταµένης ροπής. Στ. (Η γωνιακή επιτάχυνση δεν πρέπει να συγχέεται µε την κεντροµόλο ή την επιτρόχια επιτάχυνση. Οι δύο τελευταίες αναφέρονται στην γραµµική ταχύτητα κάποιου σηµείου, ενώ η γωνιακή επιτάχυνση αναφέρεται στην γωνιακή ταχύτητα ω.) Την ίδια διεύθυνση και φορά µε την γωνιακή ταχύτητα ω έχει και η στροφορµή L dω ω 1 Άξονας ω α γων ω αγων ακ α αε 1.4. Είδη περιστροφικής κίνησης και εξισώσεις Από τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε: ω=σταθερή Αν Στ= 0 τότε αγων = 0 φ=φο+ ωt (11) Κίνηση µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω Ε ιταχυνόµενη εριστροφική κίνηση α γων ω 4 KI 009-010

Φυσική Γ Λυκείου Απόδειξη: Από την σχέση dφ ω= dt φ=ω t φ=φ ο +ωt Στερεό Σώµα φ (rad) φο 0 4 t (sec) Η γωνία στροφής φ σε σχέση µε τον χρόνο t στην οµαλή εριστροφική κίνηση ο γων Αν Στ= σταθ. τότε αγων = σταθ. 1 ο + γων ω (rad/sec) ω ο+α γωνt ω ο 0 α γων (rad/sec ) t ω=ω + α t (1) Κίνηση µε σταθερή γωνιακή ε ιτάχυνση φ=ω t α t () dω Απόδειξη: (1) Από την σχέση αγων = ω=α γων t dt ω=ω ο +α γων t () Η δεύτερη σχέση: t (sec) Το εµβαδό στο διπλανό διάγραµµα ω=ƒ(t) παριστάνει την γωνία περιστροφής φ, που περιστράφηκε σε χρόνο t. Αρα: φ=1/(ω ο +α γων t+ω ο )t 1 φ=ωοt+ αγωνt Στο διάγραµµα ω=ƒ(t): Η κλίση µας δίνει την γωνιακή επιτάχυνση Το εµβαδό µας δίνει την γωνία στροφής 0 φ t (sec) Στο διάγραµµα α γων =ƒ(t) : Το εµβαδό µας δίνει την µεταβολή της γωνιακής ταχύτητας ω Στο διάγραµµα φ=ƒ(t) : Η κλίση µας δίνει την γωνιακή ταχύτητα ω t Στην επιβραδυνόµενη στροφική κίνηση (που η γωνιακή ταχύτητα ω µειώνεται) ισχύουν οι σχέσεις: ω=ω α t (1) ο γων KI. 009-010 5

Στερεό σώµα φ=ω t 1 ο αγωνt (13) Αν το σώµα σταµατήσει ω=0 και ο χρόνος που απαιτείται γι αυτό είναι: γωνία περιστροφής µέχρι τότε είναι: φ ολ γων t ω Φυσική Γ Λυκείου ο ολ = (14) ενώ η συνολική αγων ωο = (15) Οι σχέσεις αυτές αποδεικνύονται η µεν πρώτη θέτο- α ντας (τελική) ω=0 και λύνοντας ως προς t ολ ενώ η δεύτερη θέτοντας την σχέση (14) στην (15) και λύνοντας ως προς φ. Ο αριθµός Ν των ολόκληρων περιστροφών που κάνει ένα σώµα το οποίο έχει στραφεί κατά γωνία φ (σε φ rad) είναι: Ν= (16) π 1.5. Κύλιση τροχού χωρίς ολίσθηση Όταν ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει τότε ισχύουν οι εξής σχέσεις: x=r φ cm = cm =ωr α cm =α γων R Η απόσταση που µετακινείται ο τροχός ισούται µε την γωνία στροφής του φ (σε rad) επί την ακτίνα του. Είναι σχέση που την γνωρίζουµε από τα µαθηµατικά: το τόξο ΑΓ = x = R φ Η µεταφορική ταχύτητα cm ισούται µε την γραµµική ταχύτητα της περιφέρειας. (Απόδειξη στο σχολικό βιβλίο). Η προηγούµενη σχέση µε άλλα λόγια Με παραγώγιση της παραπάνω σχέσης. K cm Α φ K Α x Γ Η στατική τριβή που ασκείται στο σηµείο επαφής τροχού εδάφους ΕΝ παράγει έργο, αφού το σηµείο αυτό είναι ακίνητο στιγµιαία (παρόλο που ο τροχός έχει µεταφορική ταχύτητα). Επίσης αυτή η στατική τριβή πρέπει να σχεδιάζεται έτσι ώστε να δηµιουργεί την ροπή που ε ιταχύνει ή ε ιβραδύνει το σώµα, και όχι έτσι ώστε να εριστρέφει το σώµα. ες τα παρακάτω σχήµατα: x 6 KI 009-010

Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα ω α γων τ Τ cm ω α γων τ Τ Τ cm Τ Ο τροχός καταβαίνει στο κεκλιµένο. Η ροπή της Τ επιταχύνει γωνιακά το σώµα Ο τροχός ανεβαίνει στο κεκλιµένο. Η ροπή της Τ επιβραδύνει γωνιακά το σώµα. 1.6. Στην ισορροπία σώματος Μπορούµε να εφαρµόσουµε την συνθήκη ισορροπίας Στ=0 ως προς οποιονδήποτε άξονα. Συνήθως διαλέγουµε αυτόν που µηδενίζει τις ροπές των περισσότερων άγνωστων δυνάµεων. Οι τάσεις των σηµάτων είναι πάντα πάνω στα νήµατα Η αντίδραση F ενός δεσµού µπορεί να σχεδιαστεί µε οποιαδήποτε διεύθυνση. Η πραγµατική τιµή της θα προκύψει από την λύση της άσκησης. Μία ράβδος εφάπτεται σε στήριγµα όσο δέχεται από αυτό δύναµη αντίδρασης Α. Χάνει την επαφή µε το στήριγµα όταν οριακά Α=0. 1.7. Οδοντωτοί τροχοί ιμάντες Αν δύο (οδοντωτοί ή όχι) τροχοί ακουµπάνε και ο ένας περιστρέφει τον άλλο τότε στο σηµείο επαφής έ- χουµε κάθε στιγµή την ίδια γραµµική ταχύτητα (άρα και την παράγωγό της την επιτρόχια επιτάχυνση α ε ). Με βάση την συνθήκη αυτή βρίσκουµε τις γωνιακές ταχύτητές τους και τις γωνιακές επιταχύνεις τους. Το ίδιο ακριβώς συµβαίνει όταν οι τροχοί είναι συνδεδεµένοι µε ιµάντες. 1.8. Στροφορμή Η ολική στροφορµή ενός συστήµατος βρίσκεται ή από την σχέση L συστ =Ι συστ ω ή από το άθροισµα L συστ =L 1 +L + Ο ρυθµός µεταβολής της σε ένα σώµα είναι η συνισταµένη ροπή που δέχεται το σώµα dl Στ dt = (17) Ο ρυθµός µεταβολής της σε ένα σύστηµα είναι η συνισταµένη εξωτερική ροπή που δέχεται το σύστηµα dlσυστ των σωµάτων: = Στεξωτ (18) Από αυτή την σχέση αν Στ εξωτ =0 τότε L συστ =σταθερή dt (Α..Στροφορµής). KI. 009-010 7

Στερεό σώµα Φυσική Γ Λυκείου 1.9. Έργο και ισχύς Μία δύναµη που δηµιουργεί σταθερή ροπή τ σε ένα σώµα και το περιστρέφει κατά θ παράγει έργο W=τθ (19). Αν η δύναµη δεν παράγει σταθερή ροπή τότε το έργο της βρίσκεται έµµεσα µε το Θ.Μ.Κ.Ε.: W= Κ Η στιγµιαία ισχύς P µίας δύναµης που δηµιουργεί ροπή τ βρίσκεται από την σχέση P=τω (0) όπου ω είναι η στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα. (Η αντίστοιχη σχέση για την µεταφορική κίνηση είναι P=F). Η µέση ισχύς υπολογίζεται από τον ορισµό της P=W/ t Αν ένα σώµα κάνει ταυτοχρόνως µεταφορική και περιστροφική κίνηση τότε ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής του ενέργειας είναι: dκ dκµετ dκπερ = + =ΣF + Στ ω (1) γιατί dt dt dt dκµετ dwσf d(σf x) ΣF dt = = = () dt dt ΘΜΚΕ dκ dw d(στ θ) dt dt dt περ = Στ = = Στ ω (3) ΘΜΚΕ 1.10. Ανακύκλωση Ένα σώµα κάνει ανακύκλωση όταν κινείται σε σιδηροτροχιά (π.χ.) όταν στο ανώτατο σηµείο της τροχιάς εφάπτεται οριακά στην σιδηροτροχιά. Το σώµα εφάπτεται όταν η αντίδραση Ν από την σιδηροτροχιά είναι µεγαλύτερη ή ίση µε µηδέν, άρα οριακά Ν=0. Τότε κεντροµόλος δύναµη είναι το βάρος του σώµατος. Στην περίπτωση αυτή το σώµα ρέ ει να έχει µία ταχύτητα (µεταφορική) 0 B Ν Όταν µία ράβδος κάνει ανακύκλωση γύρω από κάποιον οριζόντιο άξονα, τότε αρκεί να έχει µία γωνιακή ταχύτητα ω 0 ώστε να πετύχει την ανακύκλωσή της. Οριακά πρέπει στην κατακόρυφη θέση ω=0. ω=0 8 KI 009-010

Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Εξίσωση µας δίνει Παρατηρήσεις φ ω=, ω = π t T, ω = πf Ορισµός και διάφορες σχέσεις για την γωνιακή ταχύτητα S =, = πr t T, =πrf Ορισµός και διάφορες σχέσεις για την γραµµική ταχύτητα Σχέση γραµµικής γωνιακής ταχύτητα =ωr α κ = R τ=fl α γων dω = dt φ=φ ο +ωt ω=ω ο ±α γων t 1 φ=ωοt± αγωνt t ω ο ολ =, αγων φ Ν= π φ ολ Ι=m 1 r 1 +m r + Ι p =I cm +Md x=r φ cm =ωr α cm =α γων R L=mr L=Iω ω = α Στ=Ια γων, dl Στ dt = ο γων σχέση κεντροµόλου επιτάχυνσης γραµµικής ταχύτητας Ροπή δύναµης Ορισµός γωνιακής επιτάχυνσης γωνία στροφής σε οµαλή κυκλική κίνηση γωνιακή ταχύτητα σε περιστροφική επιταχυνόµενη (επιβραδυνόµενη) κίνηση Γωνία στροφής σε περιστροφική επιταχυνόµενη (επιβραδυνόµενη) κίνηση Ολικός χρόνος και ολική γωνία στροφής µέχρι να σταµατήσει να περιστρέφεται σώµα Αριθµός στροφών σώµατος που γράφει γωνία στροφής φ Ροπή αδράνειας στερεού Θεώρηµα Steiner Απόσταση που διανύει σώµα που κυλάει όταν στραφεί κατά φ Η µεταφορική ταχύτητα σώµατος που κυλάει Σχέση µεταφορικής και γωνιακής επιτάχυνσης σε σώµα που κυλάει Στροφορµή υλικού σηµείου Στροφορµή στερεού σώµατος Β Νόµος Newton στην περιστροφική κίνηση Η κεντροµόλος ε ιτάχυνση είναι υ εύθυνη για την µεταβολή της διεύθυνσης της γραµµικής ταχύτητας. l είναι η κάθετη απόσταση δύναµης άξονα ή σηµείου περιστροφής είναι οµόρροπη µε την ω όταν έχουµε επιτάχυνση και αντίρροπη µε την ω όταν έχουµε επιβράδυνση Ισχύει όταν Στ=0 οπότε α γων =0 και ω=σταθερή Ισχύει όταν Στ 0=σταθερή ο- πότε α γων =σταθερή Ισχύει όταν Στ 0=σταθερή ο- πότε α γων =σταθερή Ισχύει για οµαλά επιβραδυνόµενη περιστροφική κίνηση Παίζει τον ρόλο της µάζας m στη στροφική κίνηση Μεταφορική = γραµµική περιφέρειας Προκύπτει µε παραγώγιση της προηγούµενης σχέσης KI. 009-010 9

Στερεό σώµα Αν Στ εξ =0 L συστ =σταθ K 1 Iω Αρχή ιατήρησης Στροφορµής = Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής 1 1 K= m + Iω W=τθ P=τω Κινητική ενέργεια σώµατος που κάνει σύνθετη κίνηση έργο δύναµης που δηµιουργεί σταθερή ροπή Στιγµιαία ισχύς δύναµης που δηµιουργεί (στιγµιαία) ροπή τ όταν το σώµα περιστρέφεται µε (στιγµιαία) γωνιακή ταχύτητα ω 1 1 WΣτ = Iω I1ω1 ΘΜΚΕ στην περιστροφική κίνηση WΣτ + WΣF = Κµετ+ Κπερ ΘΜΚΕ στην σύνθετη κίνηση Πρέπει τ=σταθερό Φυσική Γ Λυκείου 10 KI 009-010

Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα KI. 009-010 11

Στερεό σώµα Φυσική Γ Λυκείου 1 KI 009-010

Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα KI. 009-010 13

Στερεό σώµα Φυσική Γ Λυκείου 14 KI 009-010

Φυσική Γ Λυκείου Στερεό Σώµα KI. 009-010 15

Στερεό σώµα ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Φυσική Γ Λυκείου Στερεό σώµα Ρο ή αδράνειας Ι Ε ιτάχυνση καθόδου ή ε ιβράδυνση ανόδου α cm Γενική ερί τωση κ Ι= Μ R λ α cm = λ κ + λ g ηµφ 1.Συµ αγής σφαίρα I= 5 Μ R α cm = 7 5 g ηµφ. ίσκος ή συµ αγής κύλινδρος I= 1 M R α cm = 3 g ηµφ 3.Σφαιρικός φλοιός I= 3 M R α cm = 5 3 g ηµφ 4. ακτύλιος ή κυλινδρικός φλοιός I= M R α cm = 1 g ηµφ 16 KI 009-010