Έργο και Ενέργεια ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έστω ένα σωμάτιο πάνω στο οποίο εξασκείται μια σταθερή δύναμη F. Έστω ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη κατά την διεύθυνση του διανύσματος F. Το έργο που παράγει η δύναμη F πάνω στο σωμάτιο ορίζεται ως το γινόμενο του μέτρου F (= F) και της αποστάσεως d που διένυσε το σωμάτιο, δηλαδή, W= F d = F d 1
Έστω ότι η σταθερή δύναμη F πάνω στο σωμάτιο δεν έχει την διεύθυνση κίνησης του σωματίου. Y φ Fcosφ F Για τον υπολογισμό του έργου θα ληφθεί η συνιστώσα της δύναμης κατά την διεύθυνση κίνησης του σωματίου. d X
δηλαδή, το έργο που παράγει η δύναμη πάνω στο σωμάτιο ορίζεται ως το γινόμενο της συνιστώσας της δύναμης, κατά τη διεύθυνση της κίνησης, και της αποστάσεως d που διένυσε το σωμάτιο στη διεύθυνση αυτή, W=( F cosφ) d = F d cosφ Όμως, με βάση τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί και ως W=F d 3
Σημειώση 1: Το έργο είναι μια βαθμωτή ποσότητα. Σημειώση : Το έργο μπορεί να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό, καθώς το σωμάτιο πάνω στο οποίο δρα μια δύναμη μπορεί να έχει συνιστώσα κίνησης της ίδιας ή αντίθετης φοράς από αυτήν της δύναμης. 4
Μονάδες έργου: (α) στο διεθνές σύστημα (SI): [W] = 1 Newton meter = 1Nt m = 1 Joule, (β) στο σύστημα CGS: [W] = 1 dyne centimeter = 1 dn cm = 1 erg (έργιο), (γ) στο Βρετανικό σύστημα: [W] = 1 pound foot = 1 lb-ft. Σημειώση: Από τις σχέσεις μεταξύ των μονάδων προκύπτει: 1 Joule =1 7 erg =.7376 lb-ft. 5
ΕΡΓΟ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟ ΑΠΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΥΝΑΜΗ (α) Μονοδιάστατη περίπτωση Έστω δύναμη που δρα μόνο στην x-διεύθυνση και μεταβάλλεται μόνο κατά μέτρο. Έστω ότι το μέτρο της δύναμης είναι συνάρτηση της θέσεως, δηλαδή, F=F(x). Ερώτημα: Πόσο έργο που παράγεται από αυτήν την δύναμη για την μετακίνηση ενός σωματίου από την θέση x 1 στην x ; 6
F x 1 F x X x 1 x 1 +Δx { Δx x X Αρχικά, υποδιαιρούμε την ολική μετατόπιση σε μεγάλο αριθμό μικρών, ίσων διαστημάτων Δx. Έστω η πρώτη μικρή μετατόπιση Δx, από την θέση x 1 στην x 1 +Δx. 7
Κατά την διάρκεια αυτής της πολύ μικρής μετατόπισης, μπορεί να θεωρηθεί ότι το μέτρο της δύναμης F είναι κατά προσέγγιση σταθερό, οπότε το έργο που παράγεται είναι: ΔW F Δx όπου F, η τιμή του μέτρου της δύναμης στην θέση x 1. Ομοίως, στην διάρκεια της δεύτερης μικρής μετατόπισης από την θέση x 1 +Δx στην x 1 +Δx το μέτρο της δύναμης F επίσης μπορεί να θεωρηθεί κατά προσέγγιση σταθερό, οπότε και το έργο που παράγει είναι επίσης ΔW F Δx όπου F, η τιμή του μέτρου της δύναμης στην θέση x 1 +Δx. 8
Τελικά, το ολικό έργο W1 που παράγει η δύναμη, μετατοπίζοντας το σώμα από την θέση x 1 στην x, είναι κατά προσέγγιση το άθροισμα ενός πολύ μεγάλου αριθμού τέτοιων όρων (βέβαια, η F έχει διαφορετική τιμή για κάθε όρο): W 1 = x x 1 F Δx όπου το συμβολίζει το άθροισμα πάνω σε όλα τα διαστήματα από x 1 x. Σημείωση: μπορούμε να έχουμε όλο και καλύτερες προσεγγίσεις παίρνοντας το Δx όλο και μικρότερο, ώστε να έχουμε ένα μεγαλύτερο αριθμό διαστημάτων. 9
Για να πάρουμε το ακριβές αποτέλεσμα αφήνουμε το Δx να τείνει στο μηδέν, οπότε προκύπτει: W 1 = lim Δx x x 1 F Δx = F dx x x 1 Σημείωση: αριθμητικά, η παραπάνω ποσότητα ισούται ακριβώς με το εμβαδό μεταξύ της καμπύλης που περιγράφει την μεταβολή του μέτρου της δύναμης και του x-άξονα ανάμεσα στα όρια x 1 και x. 1
(β) ιδιάστατη περίπτωση Εξέταση περίπτωσης μιας δύναμης F, που μπορεί να μεταβάλλεται τόσο κατά μέτρο όσο και κατά διεύθυνση, και που εξασκείται σε ένα σωμάτιο, το οποίο μπορεί να κινείται πάνω σε μια καμπύλη (σε δυο διαστάσεις) από το σημείο Α (με διάνυσμα θέσης r 1 ) στο Β (με διάνυσμα θέσης r ). Και εδώ χωρίζουμε την τροχιά σε έναν μεγάλο αριθμό πολύ μικρών μετατοπίσεων Δr, που η καθεμία έχει την διεύθυνση της κίνησης. 11
Y F φ B(r ) Α(r 1 ) F φ Δr Δr Η μετατόπιση του σωματίου από τη θέση Α στην Β υποδιαιρείται σε μεγάλο αριθμό πολύ μικρών ίσων διαστημάτων Δr. X 1
Μπορεί να θεωρηθεί ότι η δύναμη F είναι κατά προσέγγιση σταθερή κατά την διάρκεια μιας στοιχειώδους μετατόπισης Δr, οπότε το στοιχειώδες έργο που παράγεται είναι: ΔW=F Δr = F Δr cosφ Όπου φ, η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των διανυσμάτων F και Δr. Προσθέτοντας όλα τα στοιχειώδη έργα και αφήνοντας τον Δr, έχουμε: WΑ Β = Β(r ) A(r 1 ) F d r= Β( r A( r 1 ) ) F dr cosφ 13
Τέλος, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι ποσότητες F και dr, είναι διανυσματικές και ότι μπορούν να γραφούν στην αναλυτική μορφή: οπότε F=xˆF x + ŷf y και dr=xˆdx+ ŷdy W = F dx + F dy) Α Β Β( r A( r 1 ) ( ) x y 14
Η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ- ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Αρχικά, θα θεωρήσουμε την περίπτωση όπου F = σταθερή. Από ο Ν.Ν. μια τέτοια δύναμη όταν ασκηθεί σε ένα σωμάτιο μάζας m, τότε προκαλεί σταθερή επιτάχυνση a. Έστω ότι η διεύθυνση των F και a είναι ο άξονας x. Τότε, το μέτρο της επιτάχυνσης είναι: a = υ υ t 15
όπου t είναι ο χρόνος κατά τη διάρκεια του οποίου το σωμάτιο διανύει απόσταση: x=x + υ t + 1 at Συνδυάζοντας τις δυο παραπάνω σχέσεις, για την διανυόμενη απόσταση κατά μήκος του άξονα x έχουμε: x=x + υ t 1 + t = x + υ t + t υ υ t υ υ x = x + υ + υ t 16
Θεωρώ ότι, το σωμάτιο ξεκινάει από την αρχή του Σ.Σ., δηλαδή, x =, τότε: x = υ + υ t Τότε, το παραγόμενο από την δύναμη έργο πάνω στο σωμάτιο είναι: W = F x = [ ος Νόμος Νεύτωνα] = m a x υ υ W = m t υ + υ t ( 1 = m υ υ ) υ + υ ) ( 17
W = 1 m υ υ ) ( W = 1 m υ - 1 m υ Γενικά, το μισό του γινομένου της μάζας ενός σώματος επί το τετράγωνο της ταχύτητάς του ονομάζεται κινητική ενέργεια, Κ, αυτού του σωματίου, δηλαδή, Κ = 1 m υ Οπότε, το έργο που παράγει η (συνισταμένη) δύναμη η οποία εξασκείται πάνω σε ένα σωμάτιο, ισούται προς την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σωματίου. 18
Τα παραπάνω ισχύουν ακόμη και όταν F σταθερή. Έστω δύναμη, F, η οποία μεταβάλλεται κατά μέτρο αλλά όχι κατά διεύθυνση. Το έργο που παράγει μια τέτοια δύναμη, όταν αυτή εξασκείται πάνω σε ένα σωμάτιο μάζας m, με την βοήθεια του ου Νόμου του Νεύτωνα, μπορεί να γραφεί ως: W = m a dx x x x x 19
Όμως, όπου a = a(x)= dυ ( x) = dt dυ ( x) dx dx dt dυ ( x) a = υ dx Συνδυάζοντας τις δυο παραπάνω σχέσεις, προκύπτει: x dυ υ υ W x x= m υ dx= m υ dυ= m x dx υ υ υ υ υ = m W = 1 m υ - 1 m υ x x
Δηλαδή, καταλήξαμε και πάλι στο ίδιο αποτέλεσμα. Τα παραπάνω μπορούν εύκολα να γενικευτούν και για την περίπτωση όπου έχω μια δύναμη που μεταβάλλεται τόσο κατά μέτρο όσο και κατά κατεύθυνση. Οπότε, σε οποιαδήποτε περίπτωση, θα ισχύει η γενική σχέση W = Κ-Κ = ΔΚ η οποία είναι γνωστή ως Θεώρημα Έργου-Ενέργειας. 1
4.5. ΙΣΧΥΣ Γενικά, η ισχύς ορίζεται ως ο χρονικός ρυθμός με τον οποίο παράγεται το έργο. Αρχικά, έχουμε την μέση ισχύ, που είναι ουσιαστικά το πηλίκο του ολικού έργου που παράγεται δια του ολικού χρονικού διαστήματος, δηλαδή, Ρ= <Ρ> = W ολ t ολ Ακόμη, έχουμε και την στιγμιαία ισχύ η οποία ορίζεται ως το στοιχειώδες έργο, dw, που παράγεται στην διάρκεια ενός απειροστού χρονικού διαστήματος dt, δηλαδή, dw Ρ = dt
Οι μονάδες της ισχύος στο Διεθνές Σύστημα (SI) μονάδων είναι: 1 Watt (W) = 1 joule/sec Στο Βρετανικό Σύστημα έχουμε το: 1ft-lb/sec Σημείωση: μια ευρύτατα χρησιμοποιημένη μονάδα είναι ο ίππος (κυρίως για τους κινητήρες αυτοκινήτων), ο οποίος συνδέεται με τις προηγούμενες ως: 1 ίππος = 55 ft-lb/sec 746 Watt 3
Με βάση τις παραπάνω σχέσεις, το έργο μπορεί να εκφραστεί ως: Έργο = Ισχύς Χρόνος Με βάση την παραπάνω έκφραση ορίζουμε την κιλοβατώρα που είναι το έργο που παράγει κάποιος σε διάρκεια μιας ώρας όταν δουλεύει με σταθερό ρυθμό ισχύος 1 KWatt (= 1 Watt). 4
Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Οι δυνάμεις διακρίνονται σε κατηγορίες: τις συντηρητικές (ή διατηρητικές) και τις μη-συντηρητικές (ή μη-διατηρητικές). Υπάρχουν ισοδύναμοι ορισμοί. Συγκεκριμένα: Ορισμός 1: Μια δύναμη είναι συντηρητική αν το έργο που παράγει η δύναμη αυτή πάνω σε ένα σωμάτιο είναι μηδέν σε έναν πλήρη κύκλο. Αντίθετα, μια δύναμη είναι μη-συντηρητική αν το έργο που παράγει σε έναν πλήρη κύκλο δεν είναι μηδέν. Ορισμός : Μια δύναμη είναι συντηρητική αν το έργο που παράγει η δύναμη αυτή πάνω σε ένα σωμάτιο, που κινείται μεταξύ δυο σημείων, εξαρτάται μόνο από τα σημεία αυτά και όχι από τον ακολουθούμενο δρόμο. Αντίθετα, μια δύναμη είναι μησυντηρητική αν το έργο που παράγεται μεταξύ δυο σημείων εξαρτάται από τον ακολουθούμενο δρόμο. 5
Όταν δρουν συντηρητικές δυνάμεις εισάγουμε την έννοια της δυναμικής ενέργειας, U. Οποιαδήποτε μεταβολή της Κ.Ε. ενός συστήματος αντισταθμίζεται από μια ίση και αντίθετη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας, U του συστήματος, ώστε το άθροισμά τους να παραμένει σταθερό στην διάρκεια της κινήσεως, δηλαδή, Κ + U = σταθερό ή ΔΚ + ΔU = Η Δ.Ε. έχει νόημα μόνο για τις συντηρητικές δυνάμεις. Οπότε το άθροισμα της παραπάνω εξίσωσης παραμένει σταθερό μόνο στην περίπτωση των συντηρητικών δυνάμεων και το άθροισμα αυτό ορίζεται ως η Ολική Μηχανική Ενέργεια του συστήματος. Επιπλέον, αυτή η σχέση ονομάζεται και Νόμος Διατήρησης της Ενέργειας. 6
Για μια συντηρητική δύναμη F, θα μπορούσαμε να γράψουμε, W= ΔΚ= -ΔU Το έργο W της F δεν εξαρτάται από την διαδρομή αλλά μόνο από την αρχή και το τέλος της. Για 1D κίνηση (έστω κατά τον άξονα x), προκύπτει ότι, ΔU = -W = F dx x x με τα όρια του ολοκληρώματος τα όρια κίνησης του σωματίου πάνω στην τροχιά του. 7
Ακόμη, προκύπτει η σχέση δύναμης-δυναμικής ενέργειας, F(x) = d U( x) dx Τα παραπάνω μπορούν να γενικευτούν σε δυο ή και τρεις διαστάσεις, οπότε, για D και 3D συντηρητικά συστήματα: r r ΔU = F(r) d r Καθώς, οι ποσότητες F και dr είναι διανυσματικές, έχουμε: F =xˆf x + ŷf y +ẑf z και dr =xˆdx+ ŷdy +ẑdz x x ΔU = F x dx y y F y dy z z F z dz 8
Με παρόμοια γενίκευση σε D και 3D διαστάσεις, έχουμε: F(r) =xˆf x + ŷf y +ẑf z =xˆ d U(r) dx d U(r) + ŷ dy +ẑ d U(r) dz Σημείωση: για τις μη-συντηρητικές δυνάμεις δεν θα ασχοληθούμε. Απλώς αναφέρουμε ότι στην περίπτωσή τους δεν υπάρχει διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. 9
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΣYNTHΡΗΤIKΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ MONO ΙΑΣΤΑTΩΝ (α) ύναμη της βαρύτητας (για κινήσεις κοντά στην γήινη επιφάνεια, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας, g, θεωρείται κατά προσέγγιση σταθερή). Έστω ένα σωμάτιο που εκτελεί μονοδιάστατη κατακόρυφη κίνηση κατά μήκος του άξονα y και βρίσκεται, αρχικά, σε ύψος y ( > ) με ταχύτητα υ πάνω από την επιφάνεια της γης (y = ). 3
Y g y F=-mg Η ελεύθερη πτώση ενός σωματίου που βρίσκεται σε ύψος y πάνω από την επιφάνεια της γης. X 31
Τότε, η δυναμική ενέργεια στην θέση y, βρίσκεται θέτοντας όπου x y, δηλαδή, ΔU = U(y = ) U(y ) = y= U(y ) = y y = F ( y) dy+ U(y = ) y F( y) dy Θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια στην επιφάνεια της γης είναι μηδέν, δηλαδή U(y = ) =, οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται, y= U(y ) = y F ( y) dy 3
Με βάση τα μαθηματικά, μπορώ να αντιστρέψω τα όρια του παραπάνω ολοκληρώματος, αλλάζοντας το πρόσημό του, οπότε, U(y ) = y y= F ( y) dy Η δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο είναι, F = mg F = - mg Το αρνητικό πρόσημο εισέρχεται γιατί η φορά της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι αντίθετη από αυτήν του άξονα y. Άρα, y y U(y ) = ( mg ) dy= mg dy= mg ( y ) U(y ) = m g y 33
Με την βοήθεια του νόμου διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, μπορώ να βρω και την ταχύτητα με την οποία προσγειώνεται στην επιφάνεια της γης, δηλαδή, Κ(y = y ) + U(y = y ) = Κ(y = ) + U(y = ) Όπως προαναφέρθηκε, θέσαμε U(y = ) =, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται, 1 1 mυ + m g y = mυ υ = υ + g y. Σημείωση: Το αποτέλεσμα είναι με αυτό που βρήκαμε μελετώντας την 1D με a= σταθ. 34
(β) Δύναμη ενός ελαστικού ελατηρίου: Συντηρητικής δύναμη που εξασκεί ένα ελαστικό ελατήριο πάνω σε σωμάτιο που συνδέεται με το ένα άκρο αυτού. Το άλλο του ελατηρίου είναι πακτωμένο σε σταθερό σημείο, ενώ η κίνηση του σωματίου γίνεται πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Y x F x x Η δύναμη που εξασκείται στο σωμάτιο από το ελατήριο έχει αντίθετη κατεύθυνση από την φορά συμπίεσης ή έκτασης του ελατηρίου. 35
Έστω x η θέση του άκρου του ελατηρίου στην κανονική του κατάσταση, δηλαδή στην θέση ισορροπίας του. Για ευκολία θεωρείται ότι x =. Όταν το ελατήριο τεντωθεί (ή συμπιεστεί) κατά x, τότε, η δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο είναι: F = F(x)=-kx όπου k, η σταθερά του ελατηρίου. Τότε, όπως και προηγουμένως, η δυναμική ενέργεια λαμβάνεται από την σχέση: U(x) = x x F( x) dx+ U(x = ) = 36
Για ευκολία, έστω U(x = ) =, οπότε: U(x) = x x F( x) dx = U(x) = x x = ( k x) dx= k x x = x dx U(x) = k x x x = k 1 U(x) = k x 37
Εφόσον δεν υπάρχουν τριβές, η ολική μηχανική ενέργεια πρέπει να διατηρείται δηλαδή, Κ(x) + U(x) = Κ(x = ) + U(x = ) Προφανώς, U(x = ) =, δηλαδή, στην θέση ισορροπίας (x = ) όλη η ενέργεια του σωματίου είναι κινητική, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται, 1 mυ + 1 k x = 1 mυ υ = υ - k m x 38
Στην ειδική περίπτωση που το ελατήριο θα τεντωθεί (ή συμπιεστεί) μέγιστα, δηλαδή, όταν x = x max, η ταχύτητα του σωματίου προφανώς θα είναι μηδέν (δηλαδή, όλη η ενέργεια του σωματίου είναι δυναμική), οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται, = υ - k υ = x max m x k m δηλαδή, καταλήξαμε σε μια σχέση που συνδέει την μέγιστη ταχύτητα, υ, στην θέση ισορροπίας και την μέγιστη απομάκρυνση, x max, ενός σωματίου μάζας m, που συνδέεται με ένα ελατήριο σταθεράς k. 39