Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος

9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α<) τέτοια ώστε για κάθε x [α,], f(x) 0, τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,] και E = f( xdx ), όπου Ε είναι το εµαδόν του χωρίου κάτω από το γράφηµα της f, δηλαδή του χωρίου Χ(α,f,) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα Χ ΟΧ και τις ευθείες x-α = 0, x- = 0. Παρατηρήσεις. Αν η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α,] (α < ) και αν για κάθε x [α,], ισχύει f(x) 0, τότε E = f( xdx ) είναι το εµαδόν του χωρίου Χ(α,f,). Γενικότερα αν η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [α,] (α < ), τότε είναι το εµαδόν του χωρίου Χ(α,f,). E = f( x) dx. Αν η f είναι συνεχής στο [α,] (α<) και αν έχει πεπερασµένου πλήθους ρίζες στο [α,], τότε είναι το εµαδόν του χωρίου Χ(α,f,). E = f( x) dx 3. Ας θεωρήσουµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις f,g συνεχείς στο [α,], τέτοιες ώστε f(x) g(x) 0 για κάθε x [α,]. Ας παραστήσουµε µε Χ(α,f,g,) το χωρίο που περικλείεται από τις καµπύλες c,c των f και g αντίστοιχα και τις ευθείες x-α = 0, x- = 0, τότε το εµαδόν Ε του χωρίου Χ(α,f,g,) ισούται προφανώς µε Ε = Ε -Ε 6

όπου Ε (αντ. Ε ) είναι το εµαδόν του χωρίου Χ(α,f,) (αντ. το εµαδόν του χωρίου Χ(α,g,)). Τελικά E = ( f( x) g( x)) dx. Γενικότερα αν f(x) g(x) για κάθε x [α,], τότε E = ( f( x) g( x)) dx. Πράγµατι, αν m = mi{g(x): x [,b]}, για τις συναρτήσεις f (x) = f(x)-m 0 και g (x) = g(x)-m 0 έχουµε E = E E = ( f ( x) g ( x)) dx= ( f ( x) g( x)) dx. 4. Αν η f-g διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [α,] (α < ), τότε είναι το εµαδόν του χωρίου Χ(α,f,g,). E = f( x) g( x) dx 5. Αν η f-g είναι συνεχής στο [α,] (α < ) και αν έχει πεπερασµένου πλήθους ρίζες στο [α,], τότε είναι το εµαδόν του χωρίου Χ(α,f,g,). 3. Μήκος καµπύλης E = f( x) g( x) dx Εστω f πραγµατική συνάρτηση η οποία είναι φραγµένη στο [α,]. Αν = {x 0, x,,x } είναι µια διαµέριση του [α,] και P 0,P,,P είναι αντιστοίχως τα σηµεία της καµπύλης c της f µε τετµηµένες x 0, x,,x, συµολίζουµε το µήκος της πολυγωνικής γραµµής P 0 P P µε R(f, ), δηλαδή R( f, ) P P = k k όπου Pk Pk είναι το µήκος του ευθυγράµου τµήµατος Pk Pk. Είναι προφανές ότι όταν το πλάτος της διαίρεσης τείνει στο µηδέν, τότε η πολυγωνική γραµµή τείνει να συµπέσει µε το µήκος της καµπύλης c. 6

Oρισµός 9. Μια καµπύλη c καλείται ευθυγραµµίσιµη, εάν ε > 0 δ > 0: αν < δ R(f, ) S < ε. Ο µοναδικός αριθµός S καλείται µήκος της καµπύλης c. Θεώρηµα 9. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,], τότε η καµπύλη c της f είναι ευθυγραµµίσιµη στο [α,] και µάλιστα το µήκος της καµπύλης δίνεται από τον τύπο: S = + f x dx [ ( )]. Aπόδειξη Είναι γνωστό ότι P P = ( x x ) + ( f( x ) f( x )) k k k k k k ( x x ) ( f ( ξ )( x x )) = k k + k k k, όπου ξ k (x k-,x k ). Aρα το άθροισµα R( f, ) P P = k k = + ( xk xk ) ( [ f ( ξk)] ) = + ξ ( [ f ( k)] ) ( xk xk ) είναι το άθροισµα Riem της συνάρτησης h(x) = + [ f (x) ], το οποίο είναι γνωστό ότι όταν το πλάτος της διαµέρισης τείνει στο µηδέν, τότε (, ) + [ ( )] < ε. R f f x dx 3.3 Oγκος στερεών από περιστροφή και εµαδόν επιφανειών από περιστροφή Ας θεωρήσουµε µια συνάρτηση f η οποία είναι φραγµένη και µη αρνητική στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,]. Αν το χωρίο Χ(α,f,) περιστραφεί κατά 360 0 µοίρες γύρω από τον άξονα Χ ΟΧ, τότε σχηµατίζεται ένα στερεό που καλείται στερεό από περιστροφή του χωρίου Χ(α,f,) µε άξονα περιστροφής τον Χ ΟΧ. Κατά την περιστροφή του χωρίου Χ(α,f,), η καµπύλη c της συνάρτησης f στο [α,] σχηµατίζει µια επιφάνεια που καλείται επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της συνάρτησης f στο [α,] µε άξονα περιστροφής τον Χ ΟΧ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση η οποία είναι φραγµένη και µη αρνητική στο [α,]. Θεωρούµε επίσης το στερεό από περιστροφή του χωρίου Χ(α,f,). Αν 63

= {x 0, x,,x }, είναι µια διαµέριση του [α,] και αν f(x 0 ),f(x ),,f(x ) είναι αντιστοίχως τα σηµεία της καµπύλης c της f µε τετµηµένες x 0, x,,x, σχηµατίζουµε κυλίνδρους που έχουν όγκο αθροιζόµενοι π k k k V( f, ) = [ f( x )] ( x x ). Προφανώς όταν το πλάτος της διαίρεσης τείνει στο µηδέν τότε ο αριθµός V( f, ) τείνει να συµπέσει µε τον όγκο του στερεού εκ περιστροφής. Oρισµός 9. Θα λέµε ότι το στερεό από περιστροφή ενός χωρίου που περικλείεται από την καµπύλη c της συνάρτησης f στο [α,] και τις ευθείες x-α=0 και x-=0 έχει «όγκο» όταν ε > 0 δ > 0: αν < δ V(f, ) - V < ε. Ο µοναδικός αριθµός S καλείται όγκος του στερεού εκ περιστροφής. Θεώρηµα 9.3 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και µη αρνητική στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,], τότε το στερεό εκ περιστροφής του χωρίου Χ(α,f,) µε άξονα περιστροφής τον Χ ΟΧ έχει όγκο που δίνεται από τον τύπο: [ ( )]. V = π f x dx Aπόδειξη Προφανώς το άθροισµα π k k k V( f, ) = [ f( x )] ( x x ) είναι το άθροισµα Riem της συνάρτησης h(x) = π f (x), το οποίο όταν το πλάτος της διαµέρισης τείνει στο µηδέν, τότε (, ) [ ( )] <ε. V f f x dx Παρατηρήσεις. Το παραπάνω Θεώρηµα ισχύει ακόµη και αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και µη θετική στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,].. Επίσης αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και έχει πεπερασµένο πλήθος ριζών στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,], τότε το στερεό εκ περιστροφής του χωρίου Χ(α,f,) µε άξονα περιστροφής τον Χ ΟΧ έχει όγκο που δίνεται από τον τύπο: [ ( )]. V = π f x dx 64

3. Αν η f-g διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [α,] (α < ), τότε ([ ( )] [ ( )] ), V = π f x g x dx είναι ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής του χωρίου Χ(α,f,g,). 4. Αν η f-g είναι συνεχής στο [α,] (α<) και αν έχει πεπερασµένου πλήθους ρίζες στο [α,], τότε [ ( )] [ ( )], V = π f x g x dx είναι ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής του χωρίου Χ(α,f,g,). Ας θεωρήσουµε τώρα την επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της f στο [α,] όπου η f είναι φραγµένη και µη αρνητική µε άξονα περιστροφής Χ ΟΧ. Αν = {x 0, x,,x } είναι µια διαµέριση του [α,] και P 0,P,,P είναι αντιστοίχως τα σηµεία της καµπύλης c της f µε τετµηµένες x 0, x,, x, παρατηρούµε ότι από την περιστροφή των ευθυγράµµων τµηµάτων P 0 P, P P,...,P - P σχηµατίζονται κόλουρες κωνικές επιφάνειες. Το άθροισµα των εµαδών των κόλουρων κωνικών επιφανειών συµολίζουµε µε Ε(f, ) και είναι γνωστό ότι π k k k k E( f, ) = ( f( x ) + f( x )) P P όπου Pk Pk είναι το µήκος του ευθυγράµου τµήµατος Pk Pk. Είναι προφανές ότι όταν το πλάτος της διαίρεσης τείνει στο µηδέν, τότε το παραπάνω άθροισµα τείνει να συµπέσει µε το εµαδόν της επιφάνειας από περιστροφή. Ορισµός 9.3 Θα λέµε ότι η επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c µιας συνάρτησης f στο [α,] µε άξονα περιστροφής Χ ΟΧ έχει «εµαδόν», όταν ε > 0 δ > 0: αν < δ Ε(f, ) - Ε < ε. Ο µοναδικός αριθµός Ε καλείται εµαδόν της επιφάνειας από περιστροφή. Θεώρηµα 9.3 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,], τότε αν f(x) 0 για κάθε x [α,] τότε η επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της f στο [α,] έχει εµαδόν το οποίο δίνεται από τον τύπο: π ( ) [ ( )]. E = f x + f x dx Παρατηρήσεις. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,], τότε αν f(x) 0 για κάθε x [α,], η επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της f στο [α,] έχει εµαδόν το οποίο δίνεται από τον τύπο: 65

π ( ) [ ( )]. E = f x + f x dx. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,] και υπάρχουν το πολύ πεπερασµένου πλήθους ρίζες της f(x) στο [α,], τότε η επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της f στο [α,] έχει εµαδόν το οποίο δίνεται από τον τύπο: π ( ) [ ( )]. E = f x + f x dx Καµπύλες συναρτήσεων σε πολικές συντεταγµένες. Αν ΟΑ είναι µία σταθερή ηµιευθεία ενός επιπέδου τότε σε κάθε διατεταγµένο ζεύγος (ρ,θ) πραγµατικών αριθµών µπορούµε να αντιστοιχίσουµε ένα σηµείο Ρ του επιπέδου, έτσι ώστε ο µη αρνητικός αριθµός ρ να παριστάνει την απόσταση του σηµείου Ρ από την αρχή Ο της ηµιευθείας και ο αριθµός θ να είναι η γωνία σε ακτίνια κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η ηµιευθεία ΟΑ ώστε να συµπέσει µε την ηµιευθεία ΟΡ µε φορά περιστροφής αντίθετη των δεικτών του ρολογιού όταν θ > 0. Το σηµείο Ο λέγεται πόλος, η ηµιευθεία ΟΑ λέγεται πολικός άξονας και το ζεύγος (ρ,θ) καλείται πολικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ. Ο αριθµός ρ καλείται πολική απόσταση και η γωνία θ καλείται όρισµα του Ρ. Σηµείωση Σε ένα σύστηµα πολικών συντεταγµένων κάθε σηµείο του επιπέδου µπορεί να οριστεί από άπειρα ζεύγη πολικών συντεταγµένων της µορφής (ρ, θ+κπ). Αν τώρα εφοδιάσουµε ένα επίπεδο µε ένα καρτεσιανό και µε ένα πολικό σύστηµα συντεταγµένων ταυτόχρονα, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να είναι ο πόλος και ο θετικός ηµιάξονας ΟΧ να είναι ο πολικός άξονας, τότε οι καρτεσιανές συντεταγµένες (x,y) και οι πολικές συντεταγµένες (ρ,θ) συνδέονται µε τις σχέσεις: x = ρcosθ, y = ρsiθ. Ας θεωρήσουµε µία πραγµατική συνάρτηση f: E R µε τύπο ρ = f(θ). Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που παριστάνουν τα διατεταγµένα ζεύγη {(ρ,θ): θ Ε και ρ=f(θ)} καλείται γραφική παράσταση σε πολικές συντεταγµένες της συνάρτησης ρ = f(θ). Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής σ ένα διάστηµα Ι Ε, τότε η γραφική παράσταση του περιορισµού της f στο Ι λέγεται καµπύλη σε πολικές συντεταγµένες της ρ = f(θ) στο Ι. Θεώρηµα 9.4 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής στο [θ,θ ], τότε το εµαδόν του χωρίου µεταξύ της πολικής καµπύλης και των ηµιευθειών θ = θ, θ = θ, δίνεται από τον τύπο: θ E = ( ) d. ρ θ θ θ 66

Θεώρηµα 9.5 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) έχει συνεχή παράγωγο στο [θ,θ ], τότε το µήκος της πολικής καµπύλης µεταξύ των ηµιευθειών θ = θ, θ = θ, δίνεται από τον τύπο: θ ( ) ( ) S = ρ θ + ρ θ dθ. θ ( ) Θεώρηµα 9.6 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής στο [θ,θ ], και D το χωρίο µεταξύ της πολικής καµπύλης και των ηµιευθειών θ = θ, θ = θ, τότε ο όγκος του στερεού από περιστροφή του άξονα Χ ΟΧ, δίνεται από τον τύπο: π θ 3 V = ( ) d. 3 ρ θηµθ θ θ Θεώρηµα 9.7 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής στο [θ,θ ], και D το χωρίο µεταξύ της πολικής καµπύλης και των ηµιευθειών θ = θ, θ = θ, τότε το εµαδόν από περιστροφή της πολικής καµπύλης γύρω από τον άξονα Χ ΟΧ, δίνεται από τον τύπο: θ E = π ρθηµθ ( ) ρ ( θ) + ρ ( θ) dθ. θ ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 67

68

69

70

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογισθεί το εµαδόν των ακολούθων χωρίων που περικλείονται από τις καµπύλες: (i) y = x 3, y = x, (ii) y = l( x+ ), y = 0, x = 0, x [0,] (iii) ( y ) = x, ( y ) = x (iv) y x, y x = =.. Να υπολογισθεί το εµαδόν του χωρίου µεταξύ της y = e x, της εφαπτοµένης αυτής στο σηµείο Μ(,) και της ευθείας x = 0. 3. Να υπολογισθεί ο όγκος των ακολούθων χωρίων εκ περιστροφής του άξονα x x που περικλείονται από τις καµπύλες: x (i) y xe, y 0, x = = =, (ii) l( ), 0, y = x y = x = e (iii) y = x, y = x (iv) x y = 4, y = 0, x = 6. 4. Να υπολογισθεί το µήκος των καµπύλων: x x e + e (i) y =, x [ l,l], (ii) x + y =, > 0. 5. Να υπολογισθεί το εµαδόν των επιφανειών εκ περιστροφής του άξονα x x που περικλείονται από τις καµπύλες: (i) y = εφx, x [0, π /4], (ii) y = x, x [0,] (iii) y = x 3, x [0,] (iv) y = ηµ x, x [0, π /]. 7