ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 11: Διακριτή Ανάλυση και Δοµές Χειµερινό Εξάµηνο 016 Σειρά Ασκήσεων : Συναρτήσεις, Σχέσεις, Σειρές και Αθροίσµατα, Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ηµεροµηνία Παράδοσης: Αρχή διάλεξης στις 17/10/16. Σχετικά κεφάλαια στο βιβλίο K. Rose, Discrete Mathematics ad its Applicatios, McGraw Hill, 7 th Editio, 011: Κεφάλαιο (.-.5), Κεφάλαιο 9 (9.1-9.), Κεφάλαιο (.1-.). Ανακοίνωση: Η Ενδιάµεση Εξέταση θα γίνει από 1:00-1:15 στις 0/10/016. Η εξέταση καλύπτει όλη την ύλη µέχρι και την διάλεξη στις 1/10/16 (συµπεριλαµβανοµένης). Αυτό περιλαµβάνει επίσης τις Σειρές Ασκήσεων 1 και, και τα αντίστοιχα κεφάλαια στο βιβλίο. Άσκηση 1: Οι ακόλουθες ασκήσεις από το βιβλίο. Κεφάλαιο.: Προβλήµατα 1, 5 (προαιρετικό), και Κεφάλαιο.4: Προβλήµατα 7 και 10 (προαιρετικό) Κεφάλαιο.1: Προβλήµατα 1 και 5 Κεφάλαιο.: Πρόβληµα 1 Κεφάλαιο.: Πρόβληµα 11 (προαιρετικό) Κεφάλαιο 9.1: Προβλήµατα 5 και 51 Κεφάλαιο 9.: Πρόβληµα 1 Άσκηση : Βρείτε τα πεδία ορισµού και πεδία τιµών για τις πιο κάτω συναρτήσεις: α) Συνάρτηση η οποία αναθέτει σε κάθε ζευγάρι θετικών ακέραιων αριθµών τη µέγιστη τιµή των δύο αυτών αριθµών. Συνάρτηση η οποία αναθέτει σε κάθε θετικό ακέραιο αριθµό τον αριθµό των ψηφίων 0,1,,,4,5,6,7,,9 που δεν παρουσιάζεται σαν δεκαδικό ψηφίο του ακέραιου αριθµού. γ) Συνάρτηση η οποία αναθέτει σε ένα bit strig τον αριθµό των φορών που το µπλόκ 11 παρουσιάζεται. δ) Συνάρτηση η οποία αναθέτει σε ένα bit strig την τοποθεσία (umerical positio) του πρώτου 1 µέσα στο strig και η οποία αναθέτει τη τιµή 0 σε ένα bit strig που αποτελείται από όλο 0.
Άσκηση : Καθορίστε κατά πόσο η κάθε µια από τις ακόλουθες συναρτήσεις (από το σύνολο {a,b,c,d} στον εαυτό του) είναι ένα-προς-ένα (oe-to-oe). α) f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a, f(d)=d f(a)=a, f(b)=a, f(c)=d, f(d)=c γ) f(a)=a, f(b)=b, f(c)=c, f(d)=d Ποιες από τις πιο πάνω συναρτήσεις είναι επί (oto); Άσκηση 4: Καθορίστε κατά πόσο κάθε µια από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι ένα προς ένα αντιστοιχία (Bijectio) από το R στο R. α) f( x) = x+ 1 f x ( ) x 1 = + γ) f( x) = x δ) f x x x ( ) = ( + 1)/( + ) Άσκηση 5 (προαιρετική): Καθορίστε κατά πόσο η συνάρτηση f : Z Z Z είναι επί (oto) αν α) f( m, ) = m+ f( m, ) = m + γ) f( m, ) = δ) f( m, ) = m Άσκηση 6: (a) Αν µια συνάρτηση f και η συνάρτηση f g είναι από κοινού 1:1 αντιστοιχίες, για κάποια συνάρτηση g, τότε συνεπάγεται ότι η συνάρτηση g είναι επίσης 1:1 αντιστοιχία; Ναι ή όχι, και γιατί. (b) Αν µια συνάρτηση f και η συνάρτηση f g είναι από κοινού απεικονίσεις επί, για κάποια συνάρτηση g, τότε συνεπάγεται ότι η συνάρτηση g είναι επίσης απεικόνιση επί; Ναι ή όχι, και γιατί. Άσκηση 7 (προαιρετική): Αποδείξτε ότι µια συνάρτηση f( x) = a( x+ b) από το R στο R, όπου a και b είναι σταθερές, είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν a 0. Αν a 0 βρείτε επίσης την αντίστροφη της f. Άσκηση : Έστω S υποσύνολο του uiversal set U. Η χαρακτηριστική συνάρτηση f s του S είναι µια συνάρτηση από το U στο σύνολο {0,1} ώστε fs( x ) = 1 αν το x ανήκει στο S και fs( x ) = 0 αν το x δεν ανήκει στο S. Έστω Α και Β δύο σύνολα. Δείξτε ότι για όλα τα x, α) fa B( x) = fa( x) fb( x) fa B( x) = fa( x) + fb( x) fa( x) fb( x) γ) f ( x) = 1 f ( x) A A δ) fa B( x) = fa( x) + fb( x) fa( x) fb( x) Άσκηση 9: Αποδείξτε ότι αν το x είναι θετικός πραγµατικός αριθµός, τότε
α) floor( floor(x)) = floor( x ) ceil( ceil( x)) = ceil( x) Άσκηση 10: Για κάθε µια από τις ακόλουθες σχέσεις στο σύνολο {1,,,4}, καθορίστε κατά πόσο είναι αυτοπαθής (reflexive), συµµετρική, αντισυµµετρική, ή/και µεταβατική. α) {(,), (,), (,4), (,), (,4)} {(1,1), (1,), (,), (,), (,), (4,4)} γ) {(,4), (4,)} δ) {(1,), (,), (,4), (4,1)} ε) {(1,1), (,), (,), (4,4)} στ) {(1,), (1,4), (,), (,4), (,1), (,4)} Άσκηση 11: Για κάθε µια από τις πιο κάτω σχέσεις στο σύνολο {1,,, 4}, καθορίστε κατά πόσο είναι αυτοπαθής, συµµετρική, αντισυµµετρική, ή/και µεταβατική. α) R={(,), (,), (,4), (,), (,), (,4)} S={(1,1), (1,), (,1), (,), (,), (4,4)} γ) T={(,4), (4,)} δ) Βρείτε την σύνθεση των σχέσεων (1) R S, () S R, () R R, (4) T S. ε) Ισχύει R (S Τ)=(R S) Τ; Άσκηση 1: Δείξτε ότι αν µια σχέση R είναι αυτοπαθής, τότε η σχέση R είναι αυτοπαθής για κάθε θετικό ακέραιο. [Σηµείωση: R =R R -1 ] Άσκηση 1: Δείξτε ότι αν µια σχέση R είναι συµµετρική, τότε η σχέση R είναι συµµετρική για κάθε θετικό ακέραιο. [Σηµείωση: R =R R -1 ] Άσκηση 14: Καθορίστε τους πρώτους οκτώ όρους για τις ακόλουθες σειρές. α) Η σειρά η οποία ξεκινά µε και στην οποία κάθε όρος είναι κατά 5 µεγαλύτερος από το διπλάσιο του προηγούµενου όρου. Η σειρά η οποία καταγράφει κάθε θετικό ακέραιο αριθµό τρεις φορές σε αύξουσα σειρά. Άσκηση 15: Ποιες είναι οι τιµές των πιο κάτω αθροισµάτων, όπου S = {1,,5,7}; α) 5 ( k + 1) k = 1 4 ( ) j γ) (1/ j) δ) 1 j S j S Άσκηση 16: Ποιες είναι οι τιµές των πιο κάτω αθροισµάτων; Εκφράστε τα σαν γεωµετρικές ακολουθίες. α) j j γ) j= 1 j= ( ) j δ) ( ) j
Άσκηση 17: Υπολογίστε τα πιο κάτω διπλά αθροίσµατα. α) (i + j) i=1 j=1 (i j) γ) j δ) i j i= 0 j= 0 i=1 j=0 i=0 j=1 1 1 1 Άσκηση 1: Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα = kk ( + 1) k k+ 1 ( a ) 1 j a j j 1 = a a υπολογίστε το 1 = 0 k= 1 kk ( + 1). και το Άσκηση 19: Χρησιµοποιείστε τον bubble sort αλγόριθµο για να ταξινοµήσετε τη λίστα 5, 6,,, 1, 4 δείχνοντας τις λίστες που δηµιουργούνται σε κάθε βήµα. Άσκηση 0: Καθορίστε κατά πόσο κάθε µια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι Ο( x ). α) f( x) = 17x+ 11 f( x) = x + 1000 γ) f( x) = xlogx 4 δ) f( x) = x / ε) f( x ) = x στ) f (x) = floor(x).ceil(x) Άσκηση 1: Αποδείξτε ότι α) x + 7είναι Θ(x) x + x 7είναι Θ( x ) γ) floor( floor(x + 1 / )) είναι Θ(x) δ) log( x + 1) είναι Θ( log x ) ε) log10 x είναι Θ( log x ) Άσκηση : Έστω ότι f(x) είναι Ogx ( ( )). Μπορούµε από αυτό να συµπεράνουµε ότι ( ) f x είναι g( x) O ( ); Άσκηση (προαιρετική): Έστω H είναι το νιοστό στοιχείο της αρµονικής σειράς H = 1+ 1/+ 1/ +... + 1/. Αποδείξτε ότι το H είναι Ο (log ). [Βοήθεια: Πρώτα βρείτε την ανισότητα 1/ j< 1/ xdx µε το να δείξετε ότι το j= 1 άθροισµα της περιοχής ορθογωνίων µε ύψος 1/j µε βάση από j-1 µέχρι j για j =,,4,...,, είναι µικρότερο από την περιοχή κάτω από την καµπύλη y = 1/x από µέχρι.] Άσκηση 4 (προαιρετική): Αποδείξτε ότι αν f( x) = a x + a x +... + a x+ a όπου 1 1 1 0 a0, a1,..., a 1, a είναι πραγµατικοί αριθµοί και a 0, τότε f( x) είναι Θ ( x ).
Άσκηση 5: Καθορίστε τον αριθµό των πολλαπλασιασµών που χρειάζονται για να βρούµε το ξεκινώντας από το x και τετραγωνίζοντας (squarig) για να βρούµε το x k 4 x, x,... Είναι αυτή η µέθοδος πιο αποδοτική από το να υπολογίσουµε το πολλαπλασιάζοντας το x µε τον εαυτό του όσες φορές χρειάζεται; x k