1 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ -04-03-2009 Θϋμα 1 ο Να γύνει πλόρησ επύλυςη του μικτού φορϋα του ςχόματοσ και ακολούθωσ να καταςκευαςτούν τα διαγρϊμματα Μ,Q,N. Επύςησ να γύνει ο ϋλεγχοσ ιςορροπύασ ςτερεών κόμβων και γωνιακών ςημεύων. Δύνονται Ρ 1=30tn, Ρ 2=25tn, q 1=2tn/m, q 2=6tn/m. Λύςη: Κϊνω Δ.Ε.. τϋτοιο ώςτε να κόβω μόνο τισ ρϊβδουσ (3) και (4) και απομονώνω το αριςτερό τμόμα του φορϋα μου όπωσ φαύνεται ςτο διπλανό ςχόμα. την ςυνϋχεια παύρνω ϊθροιςμα κατακόρυφων δυνϊμεων. F y=0 Α y=30t 1 Παύρνω τισ εξιςώςεισ ιςορροπύασ για όλον τον φορϋα:
2 F x=0 15+Α x-25-β x=0 Α x-β x=10 2 F y=0 A y+b y-30-2*2=0 A y+b y=34 3 Η 3 1 Β y=4,0t 4 Μ (Α) =0 15*1,667+30*3,0+4*8-25*3-4,0*9,0-1,0Β x=0 Β x=36t 5 'Αρα η 2 5 Α x=10+ Β x Α x=46t 6 Xρηςιμοποιώντασ το ύδιο Δ.Ε.. που ϋχω κϊνει και ςτην αρχό βρύςκω την τϊςη τησ ρϊβδου (4). Μ (Δ) =0 2S 4+30*1,0+15(5-1,667)+46,0*5,0-30*4,0=0 S 4=-95,0t 7 ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΤ Ι tanθ 1= θ 1=36,869 0 (βλϋπε και επϊνω ςχόμα) F x=0 S 1cos36,869+95=0 S 1=-118,75t 8 F y=0 S 2-S 1sin36,869=0 8 S 2=-71,25t 9 ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΤ Κ tanθ 2= θ 2=45 0 (βλϋπε και ςχόμα ςελύδασ 1 ςτο τϋλοσ) F x=0 S 6cos45+95=0 S 6=-134,35t 10 F y=0 S 5=S 6sin45 10 S 5=-95,0t 11
3 Σϋλοσ από το Δ.Ε.. του αριςτερού τμόματοσ του φορϋα βρύςκω την S 3 F x=0 S 3-95+15+46=0 S 3-S 4=-61 7 S 3=34t 12 ΡΑΒΔΟ ΣΑΕΙ(t) S 1-118,75 S 2-71,25 S 3 34,0 S 4-95,0 S 5-95,0 S 6-134,35 ΚΛΑΔΟ EΖ (0 x 2,0) F x=0 Ν(x)=34t F y=0 Q(x)-95+2x Q(x)=95-2x Q(0)=95t, Q(12)=91t Μ=0 M(x)-95,0x+2x =0 M(x)=95x- x 2 M(0)=0tm, M(2)=186tm ΚΛΑΔΟ ZH (0 x 2,0) F x=0 Q(x)=-34t F y=0 Ν(x)=91t Μ=0 M(x)-186+34x=0 M(x)=-34x+186 M(0)=186tm, M(2)=118tm
4 ΚΛΑΔΟ ΗB(0 x 2,0) F x=0 Q(x)=-59t F y=0 Ν(x)=91t Μ=0 M(x)-118+59x=0 M(x)=118-59x M(0)=118tm, M(2)=0tm ΚΛΑΔΟ ΔΘ(0 x 1,0) F x=0 Ν(x)=34t F y=0 Q(x)=-71,25t Μ=0 M(x)=71,25x M(0)=0tm, M(1)=71,25tm ΚΛΑΔΟ ΓΘ(0 x 3,0) F x=0 Ν(x)=34t F y=0 Q(x)=-41,25t Μ=0 M(x)-41,25x-71,25=0 M(x)=41,25x+71,25 M(0)=71,25tm, M(3)=195tm ΚΛΑΔΟ ΓA(0 x 5,0) F x=0 Q(x)-34 - *1,2x 2 =0 Q(x)=0,6x 2 +34 Q(0)=34t, Q(5)=49t F y=0 N(x)=41,25t Μ=0 M(x)+ *1,2x 2 +34x-195=0 M(x)=-0,2x 3-34x+195 M(0)=195tm, M(5)=0tm
5 ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΤ Z ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΤ Γ Και οι τρεισ εξιςώςεισ ιςορροπύασ ικανοποιούνται ςε κϊθε κόμβο.
6 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ - 04-03-2009 Θϋμα 2 ο Γνωρύζοντασ ότι το μόκοσ τησ καμπύλησ του ςχόματοσ εύναι L=1.479m, να βρεθεύ το εμβαδόν τησ επιφϊνειασ και ο όγκοσ του ςτερεού που δημιουργεύται από την περιςτροφό τησ καμπύλησ περύ τον ϊξονα Οy. Λύςη: 1. O όγκοσ δύνεται από: V= πx 2 dy= π dy= [ ] 1 0 = 2. Εμβαδόν: y=x 2 x= E= [2π 1 + ( ) ] = [2π ] =π 4 + 1 1 Για να λύςω το ολοκλόρωμα 1 θϋτω: u= 4 + 1 2 οπότε: du= du= 2 du= dy= για y=0 u=1 για y=1 u= 5 Έτςι με βϊςη τα παραπϊνω η 1 μεταςχηματύζεται ςε : Ε= π 4 + 1 =π = [u 3 ] 5 1 =5,33m2
7 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ - 04-03-2009 Θϋμα 3 ο To καλώδιο ΑΒΓ του ςχόματοσ ςτηρύζεται ςτον ςτύλο ΒΔ και αναρτϊται από δύο ςταθερϊ ιςοώψό ςημεύα Α και Γ. Σο βϊροσ του καλωδύου ανϊ μονϊδα μόκουσ εύναι 2kg/m. Με την προώπόθεςη ότι τα δύο τμόματα του καλωδύου εύναι ιςχυρϊ τεντωμϋνα, ο ςτύλοσ ΒΔ δϋχεται μόνο κατακόρυφα φορτύα (η οριζόντια ςυνιςτώςα τησ ςυνιςταμϋνησ των δυνϊμεων που αςκούνται ςτο Β εύναι μηδϋν) και το βϋλοσ του τμόματοσ ΑΒ εύναι f AB=2.5m να βρεθούν το βϋλοσ του τμόματοσ ΒΓ, το ςυνολικό μόκοσ του καλωδύου και το ςυνολικό φορτύο που δϋχεται ο ςτύλοσ ΒΔ. Λύςη: α) Eπειδό το καλώδιο εύναι ιςχυρϊ τεντωμϋνο η εξύςωςη του ταυτύζεται με αυτόν του καλωδύου που φορτύζεται με ομοιόμορφο φορτύο πυκνότητασ μ, δηλαδό: y= x 2, όπου S 0 η ελϊχιςτη τϊςη του καλωδύου. Τπενθυμύζεται ότι ο κατακόρυφοσ ϊξονασ αναφορϊσ ταυτύζεται με τον ϊξονα ςυμμετρύασ και η αρχό του (του ςυςτόματοσ) βρύςκεται ςτο ελϊχιςτο ςημεύο του καλωδύου Για το καλώδιο ΑΒ θα ϋχουμε: = (, ) = = =, =2500N 1 H οριζόντια δύναμη εύναι η ύδια και ςτο καλώδιο ΒΓ αφού ο ςτύλοσ δϋχεται μόνο κατακόρυφα φορτύα δηλαδό = 2 = f BΓ= 1,2 f BΓ= f BΓ=4,9m
8 β) Σο ςυνολικό μόκοσ του καλωδύου ABΓ εύναι: L ΟΛ=L ΑΒ+L ΒΓ L ΑΒ=2x B[1+ ( ) 2 - ( ) 4 ] L ΑΒ=2*25[1+ (, ) 2 - (, ) 4 ] L ΑΒ=50,3313m L ΒΓ=2x Γ[1+ ( ) 2 - ( ) 4 ] L ΒΓ=2*35[1+ (, ) 2 - (, ) 4 ] L ΒΓ=70,904m Άρα L ΟΛ=70,904+50,3313 L ΟΛ=121,235m γ) Σο ςυνολικό κατακόρυφο φορτύο που δϋχεται ο ςτύλοσ εύναι: Ν = + Ν = ( + ) Ν = (50+70)=1200Ν (θλιπτικό)