1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι αβέβαιο. Πειράματα τύχης π.χ. είναι: > η ρίψη ενός νομίσματος ή ενός ζαριού, > η επιλογή 6 σφαιριδίων από 49 αριθμημένα σφαιρίδια, > η μέτρηση των ατυχημάτων σε μια εθνική οδό κάθε σαββατοκύριακο, > η μέτρηση του πλήθους των τηλεθεατών που παρακολούθησαν μια συγκεκριμένη εκπομπή, μια συγκεκριμένη μέρα του έτους, > η μέτρηση των συνδρομητών μιας εταιρείας κινητής τηλεφωνίας που διέκοψαν τη συνδρομή τους εντός του προηγούμενου μήνα, > η μέτρηση της διάρκειας ζωής μιας ηλεκτρικής συσκευής κ.τ.λ. 2. Δειγματικός Χώρος Δειγματικός χώρος (δ.χ.) ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο Ω όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος. Εάν ω 1, ω 2,, ω ν είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός π.τ. τότε Ω = { ω 1, ω 2,, ω ν }. Για παράδειγμα: > Στο π.τ. «ρίψη ζαριού», ο δ.χ. είναι Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, > Στο π.τ. «ρίψη νομίσματος», ο δ.χ. είναι Ω = {, Γ }, > Στο π.τ. «ρίψη δύο ζαριών», ο δ.χ. αποτελείται από τα 36 ζεύγη του διπλανού πίνακα. > ς υποθέσουμε πως πρόκειται να εξετάσουμε μια οικογένεια με τρία παιδίά ως προς το φύλο και τη σειρά γέννησης. Ο δ.χ. του πειράματος, όπως προκύπτει μέσω του δενδροδιαγράμματος του σχήματος 1, είναι το σύνολο: Ω = {,,,,,,, }. > Στο π.τ. «μέτρηση της διάρκειας ζωής μιας λυχνίας» ο δ.χ. είναι το σύνολο Ω = { t/ t 0 }. 1 ο ζάρι 2 ο ζάρι 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2 (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) πίνακας 1 ΡΧΗ σχήμα 1 1 ο τέκνο 2 ο τέκνο 3 ο τέκνο
2 3. Ενδεχόμενα Ενδεχόμενο ονομάζουμε κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω (αλλιώς, ένα σύνολο με στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα του πειράματος).. Εάν Ω = { ω 1, ω 2,, ω ν } είναι ο δ.χ. ενός π.τ. τότε κάθε ένα εκ των { ω i }, i = 1, 2,, ν ονομάζεται στοιχειώδες ή απλό ενδεχόμενο. Ο δ.χ. Ω ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο και το ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο. Για παράδειγμα: > Στο π.τ. «ρίψη ζαριού» το ενδεχόμενο «η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος» είναι το = { 2, 4, 6 }, ενώ το ενδεχόμενο «η ένδειξη του ζαριού είναι αριθμός μεγαλύτερος του 4» είναι το Β = { 5, 6 }. > Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές, με τη βοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος βρίσκουμε το δ.χ. Ω = {, Γ, Γ, ΓΓ, Γ, ΓΓ, ΓΓ, ΓΓΓ} και θεωρούμε τα ενδεχόμενα: 1 : «η ένδειξη κεφαλή εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές», 2 : «η ένδειξη κεφαλή εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές», 3 : «η ένδειξη κεφαλή εμφανίζεται το πολύ δύο φορές». Τότε 1 = {, Γ, Γ, Γ}, 2 = { Γ, Γ, Γ}, 3 = { Γ, Γ, ΓΓ, Γ, ΓΓ, ΓΓ, ΓΓΓ }.
3 4. Πράξεις με ενδεχόμενα Νόμοι De Morgan συμβίβαστα ενδεχόμενα Έστω και Β ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω. Έχουμε: Το ενδεχόμενο λέγεται συμπλήρωμα του πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το και διαβάζεται «όχι». A (α) Το ενδεχόμενο Β λέγεται ένωση των, Β, πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα εκ των, Β και διαβάζεται «ή Β». AB (β) AB (γ) Το ενδεχόμενο Β λέγεται τομή των, Β, πραγματοποιείται όταν τα, Β πραγματοποιούνται ταυτόχρονα και διαβάζεται «και Β». A-B=B (δ) Το ενδεχόμενο -Β= Β λέγεται διαφορά του Β από το, πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το και όχι το Β και διαβάζεται «και όχι Β». Το ενδεχόμενο (-Β) (Β-) = ( Β) (Β ) =( Β) -( Β) πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ακριβώς ένα εκ των, Β και διαβάζεται «μόνο ή μόνο Β». (A-B)(B-A) (ε) (AB) =A B (στ) Το ενδεχόμενο (AB) =A B πραγματοποιείται όταν τα, Β δεν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα ή όταν πραγματοποιείται το πολύ ένα εκ των, Β και διαβάζεται «όχι ή όχι Β».
4 Το ενδεχόμενο (AB) =A B πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται κανένα εκ των, Β και διαβάζεται «όχι και όχι Β». (AB) =A B (ζ) σχήμα 2 Παρατήρηση: Οι ισότητες (AB) =A B [1] και (AB) =A B [2] τις οποίες έχουμε αποδείξει σε προηγούμενο κεφάλαιο, είναι γνωστές ως νόμοι De Morgan. Ορισμός: Δύο ενδεχόμενα, Β που δεν είναι δυνατόν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα, δηλ. Β=, λέγονται ασυμβίβαστα ενδεχόμενα (ή και ξένα ενδεχόμενα). Β Παραδείγματα ασυμβίβαστων ενδεχομένων είναι τα εξής: i. και ii. και Β- iii. Β και -Β iv. -Β και Β v. Β- και Β vi. -Β και Β-. vii. Στο π.τ. «ρίψη ζαριού», τα ενδεχόμενα { 1, 2 } και { 4, 5, 6 } είναι ασυμβίβαστα. σχήμα 3 Ω
5 5. Οι ορισμοί της Πιθανότητας 5.1. Ο ορισμός της πιθανότητας κατά Laplace (κλασικός ορισμός): Έστω πως ο δ.χ. Ω={ ω 1,ω 2,,ω n } ενός πειράματος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Εάν ρν, ρ n και = { α 1,α 2,,α ρ } ένα ενδεχόμενο του Ω (δηλ. τα α 1,α 2,,α ρ είναι κάποια εκ των ω 1,ω 2,,ω n). Ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου το πηλίκο: πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων για το N(A) ρ P(A), σύνολο περιπτώσεων N(Ω) n όπου με Ν() συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων του. Για παράδειγμα: > Έστω πως ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι άπαξ και ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου : «η ένδειξη του ζαριού είναι αριθμός διαιρετός δια 3» Ο δ.χ. είναι Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } και = { 3, 6}. Έτσι, η του ενδεχομένου είναι: P(A) N(A) 2 1. N(Ω) 6 3 Ο κλασικός ορισμός πιθανότητας δεν εφαρμόζεται σε π.τ. με άπειρο δ.χ. ή σε π.τ. με πεπερασμένο δ.χ. του οποίου τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα. 5.2. Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας ν σε ν επαναλήψεις του πειράματος τύχης το ενδεχόμενο πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος ν κ ονομάζεται σχετική συχνότητα του ενδεχομένου και συμβολίζεται με f A. ν ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι το πεπερασμένο σύνολο ω 1,ω2,..., ωλ επαναλήψεις του πειράματος τα στοιχειώδη ενδεχόμενα ω 1, ω 2,, κ 1, κ 2,..., κ λ φορές αντίστοιχα, τότε για τις σχετικές κ 1 κ 2 κ λ τους συχνότητες f1, f2,...,fλ θα ν ν ν ισχύουν: 0 fi 1, για κάθε i=1, 2,, λ, διότι 0 κ i ν και κ 1 κ 2 κ λ ν f1 f2 fλ 1. ν ν Θεωρούμε το π.τ. «ρίψη νομίσματος» και με τη βοήθεια π.χ. το EXCEL παίρνουμε τα στοιχεία του διπλανού πίνακα: Εύκολα ανακαλύπτει κανείς ότι αυξανομένου του πλήθους ν των επαναλήψεων του πειράματος, η σχετική συχνότητα f εμφάνισης της όψης «κεφαλή» () προσεγγίζει την τιμή 0,5. Γενικά σε οποιοδήποτε πείραμα που επαναλαμβάνεται ν φορές, η σχετική συχνότητα f A εμφάνισης του ενδεχομένου προσεγγίζει έναν αριθμό (την πιθανότητα του ενδεχομένου ) καθώς το πλήθος ν των επαναλήψεων του πειράματος αυξάνεται απεριόριστα (παρουσιάζει, όπως λέμε, μια στατιστική ομαλότητα). Το εμπειρικό πλήθος ρίψεων ν του νομίσματος Ω και σε ν ω λ πραγματοποιούνται πλήθος εμφανίσεων της όψης "" fκ 5 3 0,6 10 4 0,4 15 6 0,4 20 7 0,45 25 11 0,44 30 13 0,433 35 18 0,514 40 18 0,45 45 21 0,466 50 25 0,5 55 27 0,49 60 31 0,516667 65 35 0,538462 70 37 0,528571 75 40 0,533333 80 41 0,5125 85 44 0,517647 90 44 0,488889 95 45 0,473684 100 47 0,47 πίνακας 2
6 αυτό συμπέρασμα που αποδεικνύεται και θεωρητικά μας οδηγεί στον ακόλουθο ορισμό: Σε μια ακολουθία ν επαναλήψεων ενός π.τ. η σχετική συχνότητα f A του ενδεχομένου προσεγγίζει μια σταθερή τιμή Ρ() του διαστήματος [0,1] καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα. Την τιμή P (A) την ονομάζουμε στατιστική πιθανότητα του ενδεχομένου. 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 f K 0,1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 ν Διάγραμμα σχετικών συνχοτήτων σχήμα 4 5.3. Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας: Η αξιωματική θεμελίωση της έννοιας της πιθανότητας, οφείλεται στο ρώσο μαθηματικό. Kolmogorov. Δίνουμε μια απλή διατύπωση του ορισμού αυτού: Έστω n θετικός ακέραιος και Ω ω 1,ω 2,, ω n ένας δ.χ. με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο ω i αντιστοιχίζουμε τον πραγματικό αριθμό P ω i έτσι, ώστε να ισχύουν: 0 Pω i 1 και Pω1 Pω 2 Pω n 1. Τον αριθμό P ω i τον ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου ω i. Ως πιθανότητα του ενδεχομένου A α 1,α2,,αk, k θετικός ακέραιος n, ορίζουμε το άθροισμα Pα 1 Pα 2 Pα k, ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό P. 0 Είναι σαφές ότι Ρ(Ω) = 1. Στην ειδική περίπτωση που Pω, i 1,2,, n i 1 n, έχουμε τον κλασικό ορισμό πιθανότητας.
7 6. Λογισμός με πιθανότητες ς είναι Ω δ.χ. με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. [ Ι 1 ] Εάν τα ενδεχόμενα, Β είναι ασυμβίβαστα, τότε PA B PA PB. πόδειξη: Έχουμε: N A B PA B. NΩ Τα, Β είναι ασυμβίβαστα, άρα Ν(Β)= Ν() + Ν(Β) κι επομένως P N A P(A B) NB NΩ NB NΩ A PB. N A N Ω Στηριζόμενοι στην ιδιότητα αυτή μπορούμε ν αποδείξουμε ότι: [ Ι 2 ] Για οποιοδήποτε ενδεχόμενο ισχύει: P A. πόδειξη: Είναι A A και A A Ω. Διαδοχικά έχουμε: P P 1 PA 1 A A PA PA Ω PA PA, PA PA., σχήμα 5 [ Ι 3 ] Για τα ενδεχόμενα, Β του Ω ισχύουν: P A B P A P A B και PA B PB PA B (ή ισοδύναμα PA B PA PA B και PB A PB PA B ). πόδειξη: άρα Είναι: (-Β) (Β) =, P (A B) (A B) P(A). Όμως τα ενδεχόμενα -Β και Β είναι ασυμβίβαστα, άρα η πιθανότητα της ένωσής τους ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Έτσι, η προηγούμενη ισότητα γίνεται: P(A B) P(A B) P(A), απ την οποία έπεται: P(A B) P(A) P(A B). Όμοια παίρνουμε τη δυϊκή ισότητα. -Β Β σχήμα 6 Β
8 [ Ι 4 ] Για τα ενδεχόμενα, Β του Ω ισχύει ο προσθετικός νόμος: P A B P A P B P A B. πόδειξη: Έχουμε: A B A B B. Όμως τα ενδεχόμενα Β και -Β είναι ασυμβίβαστα, άρα η πιθανότητα της ένωσής τους ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Έτσι, P B A B P B P A B ά P A B P B P A B [ ] έ : 3 P A B P B P( A) P( A B)., [ Ι 5 ] Για τα ενδεχόμενα, Β του δ.χ. Ω ισχύει η συνεπαγωγή: A B P A P B. πόδειξη: Έστω ότι A B. Έχουμε ότι B AA B. Επίσης τα ενδεχόμενα και Β- είναι ασυμβίβαστα, οπότε η πιθανότητα της ένωσής τους ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Επομένως: P B A A P B A P A ή PB PB A PA. Εφόσον PB A 0, απ την τελευταία έπεται ότι B PA P, ο.ε.δ. Β Β- σχήμα 7 Παρατηρήσεις: i) Το αντίστροφο της παραπάνω συνεπαγωγής δεν ισχύει, δηλ. αν P(A) P(B), τότε δεν έπεται κατ ανάγκη πως A B. Πράγματι, έστω Ω={1,2,3,4}, ={1,2} και Β={2,3,4}. Τότε 2 3 P(A) P(B), όμως A B. 4 4 ii) Άμεσες συνέπειες της [Ι 5] είναι οι: P A B P(A) P(A B και PA B P(B) P(A B). )
9