ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Επιμέλεια παρουσιάσεων: Γ. Βάσιου Copyright 2009 Cengage Learning

Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, όπως φαίνεται και από το όνομά της, από τη συλλογή δεδομένων από ένα δείγμα. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για να δημιουργήσουμε μια κατανομή δειγματοληψίας βασίζεται στους κανόνες των πιθανοτήτων και στον νόμο της αναμενόμενης τιμής και της διασποράς. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη ρίψη ενός και δύο ζαριών Copyright 2009 Cengage Learning 9.2

Κατανομή Δειγματοληψίας του Μέσου Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι άπειρες φορές και η τυχαία μεταβλητή X έχει ως τιμή τον αριθμό 1-6 της επάνω πλευράς του ζαριού σε κάθε ρίψη. Η κατανομή πιθανοτήτων της X είναι: x 1 2 3 4 5 6 P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 και ο μέσος και η διασπορά υπολογίζονται ως εξής: Copyright 2009 Cengage Learning 9.3

Κατανομή Δειγματοληψίας δύο ζαριών Μία κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται εξετάζοντας όλα τα δείγματα μεγέθους n=2 (π.χ. δύο ζάρια) και τους μέσους τους Παρ όλο που υπάρχουν 36 πιθανά δείγματα μεγέθους 2, υπάρχουν μόνο 11 τιμές για τον μέσο, και μερικές (π.χ. =3.5) παρατηρούνται συχνότερα από άλλες (π.χ. =1). Copyright 2009 Cengage Learning 9.4

P( ) Κατανομή Δειγματοληψίας δύο ζαριών Η κατανομή δειγματοληψίας του φαίνεται παρακάτω: P( ) 1.0 1/36 1.5 2/36 2.0 3/36 2.5 4/36 3.0 5/36 3.5 6/36 4.0 5/36 4.5 4/36 5.0 3/36 5.5 2/36 6.0 1/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 Copyright 2009 Cengage Learning 9.5

Γενίκευση Μπορούμε να γενικεύσουμε το μέσο και τη διασπορά της δειγματοληψίας δύο ζαριών: σε n-ζάρια: Η τυπική απόκλιση της κατανομής δειγματοληψίας λέγεται τυπικό σφάλμα: Copyright 2009 Cengage Learning 9.7

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου ενός τυχαίου δείγματος που προέρχεται από οποιοδήποτε πληθυσμό είναι κατά προσέγγιση κανονική για ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματος. Όσο μεγαλύτερο το μέγεθος του δείγματος, τόσο πιο πολύ η κατανομή δειγματοληψίας της X προσεγγίζει τη κανονική κατανομή. Copyright 2009 Cengage Learning 9.8

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν ο πληθυσμός είναι κανονικός, τότε ο X ακολουθεί την κανονική κατανομή για όλες τις τιμές του n. Αν ο πληθυσμός είναι μη κανονικός, τότε ο X προσεγγίζει την κανονική κατανομή μόνο για μεγάλες τιμές του n. Πρακτικά, στις περισσότερες περιπτώσεις, ένα δείγμα μεγέθους 30 μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο ώστε να μας επιτρέψει να χρησιμοποιήσουμε την κανονική κατανομή σαν μία προσέγγιση για την κατανομή δειγματοληψίας του X. Copyright 2009 Cengage Learning 9.9

Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου 1. 2. 3. Αν η X είναι κανονική, η X είναι κανονική. Αν η X είναι μη κανονική,η X είναι κατά προσέγγιση κανονική για αρκετά μεγάλα μεγέθη δείγματος. Σημείωση: ο καθορισμός του αρκετά μεγάλου εξαρτάται από την απόκλιση της αρχικής κατανομής από την κανονική (π.χ. μεγάλη ασυμμετρία) Copyright 2009 Cengage Learning 9.10

Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Νωρίτερα υποθέσαμε ότι ο πληθυσμός είναι απείρου μεγέθους. Ωστόσο, αν το μέγεθος του πληθυσμού είναι πεπερασμένο, το τυπικό σφάλμα είναι : x N n N 1 όπου N είναι το μέγεθος του δείγματος και n N n N 1 είναι ο συντελεστής διόρθωσης πεπερασμένου πληθυσμού (finite population correction factor). Copyright 2009 Cengage Learning 9.12

Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Αν το μέγεθος του πληθυσμού είναι μεγάλο σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος ο συντελεστής διόρθωσης πεπερασμένου πληθυσμού είναι κοντά στο 1 και μπορεί να αγνοηθεί. Θα χρησιμοποιήσουμε πληθυσμούς που είναι τουλάχιστον 20 φορές μεγαλύτεροι από το μέγεθος του δείγματος. Στην πράξη οι περισσότερες εφαρμογές χρησιμοποιούν πληθυσμούς που αξιολογούνται ως μεγάλοι. Σαν συνέπεια αυτού ο συντελεστής διόρθωσης πεπερασμένου πληθυσμού συνήθως παραλείπεται. Copyright 2009 Cengage Learning 9.13

Παράδειγμα 9.1(a) Οι υπεύθυνοι ενός εργοστασίου εμφιάλωσης μέτρησαν ότι στα μπουκάλια σόδας που αναγράφουν ως περιεχόμενο 32 ουγκιές, το πραγματικό περιεχόμενο είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 32,2 ουγκιές και τυπική απόκλιση 0,3 ουγκιές. Αν ένας πελάτης αγοράσει ένα μπουκάλι, ποια είναι η πιθανότητα το μπουκάλι να περιέχει πάνω από 32 ουγκιές; Copyright 2009 Cengage Learning 9.14

Παράδειγμα 9.1(a) Θέλουμε να βρούμε τη πιθανότητα P(X > 32), όπου η X ακολουθεί τη κανονική κατανομή με µ = 32.2 και σ =.3 P(X 32) P X 32 32.2.3 P(Z.67) 1.2514.7486 υπάρχει περίπου 75% πιθανότητα ένα μπουκάλι σόδας να περιέχει περισσότερες από 32 ουγκιές Copyright 2009 Cengage Learning 9.15

Παράδειγμα 9.1(b) Οι υπεύθυνοι ενός εργοστασίου εμφιάλωσης μέτρησαν ότι στα μπουκάλια σόδας που αναγράφουν ως περιεχόμενο 32 ουγκιές, το πραγματικό περιεχόμενο είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 32,2 ουγκιές και τυπική απόκλιση 0,3 ουγκιές. Αν ένας πελάτης αγοράσει μια συσκευασία με τέσσερα μπουκάλια, ποια είναι η πιθανότητα ο μέσος του περιεχομένου των τεσσάρων μπουκαλιών να είναι μεγαλύτερος από 32 ουγκιές; Copyright 2009 Cengage Learning 9.16

Παράδειγμα 9.1(b) Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα P(X > 32), όπου η X ακολουθεί την κανονική κατανομή με µ = 32.2 και σ =.3 Δεδομένα: 1) η X ακολουθεί την κανονική κατανομή, οπότε το ίδιο συμβαίνει και με την X. 2) = 32.2 ουγκιές. 3) Copyright 2009 Cengage Learning 9.17

Παράδειγμα 9.1(b) Αν ένας πελάτης αγοράσει μια συσκευασία με τέσσερα μπουκάλια, ποια είναι η πιθανότητα ο μέσος του περιεχομένου των τεσσάρων μπουκαλιών να είναι μεγαλύτερος από 32 ουγκιές; Υπάρχει περίπου 91% πιθανότητα ο μέσος των τεσσάρων μπουκαλιών να υπερβαίνει τις 32 ουγκιές Copyright 2009 Cengage Learning 9.18

Γραφική Παράσταση μέσος=32.2 Ποια η πιθανότητα το ένα μπουκάλι να περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές; Ποια η πιθανότητα ο μέσος των τεσσάρων μπουκαλιών να υπερβαίνει τις 32 ουγκιές; Copyright 2009 Cengage Learning 9.19

Εισαγωγικό Παράδειγμα Κεφαλαίου Μισθοί αποφοίτων σχολής Διοίκησης Επιχειρήσεων Σύμφωνα με τη διαφήμιση ενός μεγάλου πανεπιστημίου, ο κοσμήτορας της σχολής Διοίκησης Επιχειρήσεων ισχυρίζεται ότι ο μέσος μισθός των αποφοίτων της σχολής ένα χρόνο μετά την αποφοίτηση είναι $800 την εβδομάδα με τυπική απόκλιση $100. Ένας δευτεροετής φοιτητής της σχολής που μόλις έχει περάσει το μάθημα της Στατιστικής θέλει να ελέγξει κατά πόσο ο ισχυρισμός για τον μέσο μισθό είναι σωστός. Copyright 2009 Cengage Learning 9.20

Εισαγωγικό Παράδειγμα Κεφαλαίου Μισθοί αποφοίτων σχολής Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιλέγει 25 άτομα που αποφοίτησαν ένα χρόνο πριν και καταγράφει τον εβδομαδιαίο μισθό τους. Ανακαλύπτει ότι ο δειγματικός μέσος είναι $750. Για να ερμηνεύσει αυτό το αποτέλεσμα χρειάστηκε να υπολογίσει την πιθανότητα σε ένα πληθυσμό με μέσο $800 και τυπική απόκλιση $100, ο μέσος ενός δείγματος 25 ατόμων να είναι μικρότερος ή ίσος από $750. Αφού υπολογίσει αυτή την πιθανότητα, πρέπει να προχωρήσει στην εξαγωγή κάποιων συμπερασμάτων. Copyright 2009 Cengage Learning 9.21

Εισαγωγικό Παράδειγμα Κεφαλαίου Θέλουμε να βρούμε τη πιθανότητα ο δειγματικός μέσος να είναι μικρότερος από $750. Δηλαδή : P(X Η κατανομή της X, του εβδομαδιαίου εισοδήματος, είναι πιθανό να παρουσιάζει θετική ασυμμετρία, αλλά όχι αρκετή για να μετατρέψει την X σε μη κανονική. Έτσι, υποθέτουμε ότι η X είναι κανονική με μέσο και τυπική απόκλιση 750) x 800 x / n 100 / 25 20 Copyright 2009 Cengage Learning 9.22

Εισαγωγικό Παράδειγμα Κεφαλαίου Έχουμε, X 750 800 x P( X 750) P ( 2.5).5.4938.0062 20 P Z x Το αποτέλεσμα που υπολογίσαμε σημαίνει ότι σε ένα πληθυσμό με μέσο 800 και τυπική απόκλιση 100 η πιθανότητα να πάρουμε ένα δείγμα του (25 ατόμων) με μέσο 750 είναι εξαιρετικά ασυνήθιστο (0,0062 ή 0,62%). Βλέπουμε ότι η πιθανότητα που ζητούσαμε είναι εξαιρετικά μικρή, άρα μάλλον ο ισχυρισμός του κοσμήτορα δεν δικαιολογείται (μάλλον υπερβάλει για λόγους μάρκετινγκ). Copyright 2009 Cengage Learning 9.23

Χρήση της Κατανομής Δειγματοληψίας στην Επαγωγική Στατιστική Εδώ έχουμε έναν άλλο τρόπο έκφρασης της πιθανότητας που υπολογίζεται από μία κατανομή δειγματοληψίας. P(-1.96 < Z < 1.96) =.95 Αντικαθιστούμε τον τύπο για την κατανομή δειγματοληψίας X P( 1.96 1.96).95 / n Μετά από πράξεις, έχουμε P( 1.96 X n 1.96 n ).95 Copyright 2009 Cengage Learning 9.24

Χρήση της Κατανομής Δειγματοληψίας στην Επαγωγική Στατιστική Επιστρέφοντας στο εισαγωγικό παράδειγμα του κεφαλαίου όπου µ = 800, σ = 100 και n = 25, υπολογίζουμε P(800 ή 1.96 100 25 X 800 1.96 100 ).95 25 P(760.8 X 839.2).95 Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει 95% πιθανότητα ένας δειγματικός μέσος να κινείται μεταξύ 760.8 και 839.2. Αφού ο δειγματικός μέσος υπολογίστηκε $750, συμπεραίνουμε ότι ο ισχυρισμός του κοσμήτορα δεν επιβεβαιώνεται από τον στατιστικό έλεγχο. Copyright 2009 Cengage Learning 9.25

Χρήση της Κατανομής Δειγματοληψίας στην Επαγωγική Στατιστική Γενικεύοντας, έχουμε ( z/ 2 X z/ ) 1 n n P 2 Σε αυτόν τον τύπο το α είναι η πιθανότητα που δεν ανήκει στο διάστημα. Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει να αντικαταστήσουμε τις τιμές για τα µ, σ, n και α. Copyright 2009 Cengage Learning 9.27

Χρήση της Κατανομής Δειγματοληψίας στην Επαγωγική Στατιστική Για παράδειγμα, με µ = 800, σ = 100, n = 25 και α=.01, έχουμε: P( z. 005 X z. 005 ) 1.01 n n P(800 2.575 100 25 X 800 2.575 100 ) 25.99 P(748.5 X 851.5).99 Copyright 2009 Cengage Learning 9.28

Κατανομή Δειγματοληψίας μιας Αναλογίας Ο εκτιμητής μιας πληθυσμιακής αναλογίας επιτυχιών είναι η δειγματική αναλογία. Δηλαδή, μετράμε τον αριθμό των επιτυχιών σε ένα δείγμα και υπολογίζουμε: (διαβάζεται p-καπελάκι ). X είναι ο αριθμός των επιτυχιών, n είναι το μέγεθος του δείγματος. Copyright 2009 Cengage Learning 9.29

Κανονική Προσέγγιση της Διωνυμικής Κατανομής Διωνυμική κατανομή με n=20 και p=.5 με μία κανονική προσέγγιση ( =10 and =2.24) Πώς προκύπτουν αυτές οι τιμές?! Στην 7.6 είδαμε ότι: Οπότε: and Copyright 2009 Cengage Learning 9.31

Κανονική Προσέγγιση της Διωνυμικής Κατανομής Η κανονική προσέγγιση στη διωνυμική κατανομή εφαρμόζεται καλύτερα όταν το πλήθος των δοκιμών, n, (μέγεθος δείγματος) είναι μεγάλο και η πιθανότητα επιτυχίας, p, έχει τιμή κοντά στο 0.5 Για να έχουμε καλά αποτελέσματα στη προσέγγιση, πρέπει να ισχύουν 2 προϋποθέσεις: 1) np 5 2) n(1 p) 5 Copyright 2009 Cengage Learning 9.32

Κανονική Προσέγγιση της Διωνυμικής Κατανομής Για τον υπολογισμό της P(X=10) με χρήση της κανονικής κατανομής, βρίσκουμε το εμβαδό κάτω από την καμπύλη μεταξύ 9.5 & 10.5 P(X = 10) P(9.5 < Y < 10.5) όπου Y είναι μια κανονική τυχαία μεταβλητή που προσεγγίζει την διωνυμική τυχαία μεταβλητή X Copyright 2009 Cengage Learning 9.33

Κανονική Προσέγγιση της Διωνυμικής Κατανομής Στην πραγματικότητα: P(X = 10) =.176 ενώ P(9.5 < Y < 10.5) =.1742 Η προσέγγιση είναι αρκετά καλή. P(X = 10) P(9.5 < Y < 10.5) όπου Y είναι μια κανονική τυχαία μεταβλητή που προσεγγίζει την διωνυμική τυχαία μεταβλητή X Copyright 2009 Cengage Learning 9.34

Κατανομή Δειγματοληψίας μιας Δειγματικής Αναλογίας Με χρήση των νόμων της αναμενόμενης τιμής και της διασποράς, μπορούμε να καθορίσουμε τον μέσο, τη διασπορά και τη τυπική απόκλιση της. (Η τυπική απόκλιση της λέγεται τυπικό σφάλμα της αναλογίας.) Μπορούμε να έχουμε μια τυποποιημένη κανονική κατανομή χρησιμοποιώντας τον τύπο: Copyright 2009 Cengage Learning 9.35

Παράδειγμα 9.2 Στις τελευταίες εκλογές ένας βουλευτής πήρε 52% των ψήφων στη περιφέρεια που εκλέγεται. Ένα χρόνο μετά ο βουλευτής οργάνωσε μια δημοσκόπηση στην οποία ρωτήθηκε ένα δείγμα 300 ατόμων αν θα ξαναψήφιζαν τον συγκεκριμένο βουλευτή στις επόμενες εκλογές. Αν υποθέσουμε ότι η δημοτικότητά του δεν έχει αλλάξει ποια είναι η πιθανότητα να τον ξαναψηφίσουν περισσότεροι από τους μισούς; Copyright 2009 Cengage Learning 9.36

Παράδειγμα 9.2 Ο αριθμός των ψηφοφόρων που θα ψήφιζαν τον βουλευτή είναι μια διωνυμική τυχαία μεταβλητή με n = 300 και p =.52. Το ζητούμενο είναι η πιθανότητα P(Pˆ.50) Γνωρίζουμε ότι η δειγματική αναλογία Pˆ προσεγγίζεται από την κανονική κατανομή με μέσο p =.52 και τυπική απόκλιση p(1 p) / n (.52)(1.52) /300.0288 Copyright 2009 Cengage Learning 9.37

Παράδειγμα 9.2 Έτσι, βρίσκουμε P(Pˆ.50) P P(Z Pˆ p p(1 p) /.69) n.50.52.0288.7549 Αν υποθέσουμε ότι το ποσοστό του βουλευτή παραμένει στο 52%, η πιθανότητα περισσότεροι από τους μισούς να ψηφίσουν υπέρ του είναι 75.49%. Copyright 2009 Cengage Learning 9.38

Κατανομή Δειγματοληψίας:Διαφορά δύο μέσων Η τελευταία κατανομή δειγματοληψίας που θα δούμε είναι αυτή της διαφοράς μεταξύ δύο δειγματικών μέσων. Αυτή απαιτεί: ανεξάρτητα τυχαία δείγματα που επιλέγονται από καθέναν από τους δύο κανονικούς πληθυσμούς. Αν συμβαίνει αυτό, τότε η κατανομή δειγματοληψίας της διαφοράς μεταξύ των δύο δειγματικών μέσων, δηλ. Θα ακολουθεί την κανονική κατανομή. (αν οι δύο πληθυσμοί δεν είναι κανονικοί, αλλά τα μεγέθη των δειγμάτων είναι «μεγάλα» (>30), η κατανομή της είναι κατά προσέγγιση κανονική) Copyright 2009 Cengage Learning 9.39

Κατανομή Δειγματοληψίας:Διαφορά δύο μέσων Η αναμενόμενη τιμή και η διασπορά της κατανομής δειγματοληψίας της δίνονται από: μέσος: τυπική απόκλιση: (επίσης λέγεται και τυπικό σφάλμα) Copyright 2009 Cengage Learning 9.40

Παράδειγμα 9.3 Οι αρχικοί μισθοί αποφοίτων MBA δύο πανεπιστημίων ακολουθούν την κανονική κατανομή με τους παρακάτω μέσους και τυπικές αποκλίσεις Πανεπιστήμιο 1 Πανεπιστήμιο 2 Μέσος 62,000 $/έτος 60,000 $/έτος Τυπική απόκλιση Μέγεθος δείγματος n 14,500 $/έτος 18,300 $/έτος 50 60 Ποια η πιθανότητα ο δειγματικός μέσος των μισθών του πανεπιστημίου 1 να υπερβαίνει αυτόν του πανεπιστημίου 2; Copyright 2009 Cengage Learning 9.42

Παράδειγμα 9.3 «Ποια η πιθανότητα ο δειγματικός μέσος των μισθών του πανεπιστημίου 1 να υπερβαίνει αυτόν του πανεπιστημίου 2;» Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα P(X 1 > X 2 ) η οποία γράφεται και ως εξής: P(X 1 X 2 > 0). Z υπάρχει περίπου 74% πιθανότητα ο μέσος του πανεπιστημίου1 να υπερβαίνει αυτόν του πανεπιστημίου2 Copyright 2009 Cengage Learning 9.43

Ο δρόμος προς την επαγωγική στατιστική Στα Κεφάλαια 7 και 8 είδαμε τις κατανομές πιθανότητας, που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε την πιθανότητα διαφόρων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής. Προϋπόθεση για αυτόν τον υπολογισμό είναι η γνώση της κατανομής και των σχετικών παραμέτρων. Copyright 2009 Cengage Learning 9.44

Ο δρόμος προς την επαγωγική στατιστική Στο Παράδειγμα 7.9, είδαμε ότι η πιθανότητα ενός αδιάβαστου φοιτητή να μαντέψει τη σωστή απάντηση είναι 20% (p =.2) και ότι το πλήθος των σωστών απαντήσεων (επιτυχίες) σε 10 ερωτήσεις (δοκιμές) είναι μια διωνυμική τυχαία μεταβλητή. Στη συνέχεια θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα οποιουδήποτε πλήθους επιτυχιών. Copyright 2009 Cengage Learning 9.45

Ο δρόμος προς την επαγωγική στατιστική Στο Παράδειγμα 8.2, είδαμε ότι η τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει την απόδοση μιας επένδυσης ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 10% και τυπική απόκλιση 5% και ότι με βάση αυτές τις παραμέτρους μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάθε απόδοσης. Copyright 2009 Cengage Learning 9.46

Ο δρόμος προς την επαγωγική στατιστική Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται σχηματικά η χρήση της κατανομής πιθανοτήτων. Με απλά λόγια, η γνώση του πληθυσμού και των παραμέτρων του μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη κατανομή πιθανότητας για να υπολογίσουμε πιθανότητες μεμονωμένων μελών του πληθυσμού. κατανομή πιθανότητας Παράμετροι πληθυσμού---------- Ατομικά χαρακτηριστικά Copyright 2009 Cengage Learning 9.47

Ο δρόμος προς την επαγωγική στατιστική Σε αυτό το κεφάλαιο αναπτύξαμε τη κατανομή δειγματοληψίας, όπου η γνώση των παραμέτρων και μερικές πληροφορίες για την κατανομή μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα για κάθε τιμή των στατιστικών δεικτών του δείγματος. ό & ά Sampling distribution ----- Στατιστικά μεγέθη δείγματος Copyright 2009 Cengage Learning 9.48

Ο δρόμος προς την επαγωγική στατιστική Η Στατιστική Επαγωγή αντιστρέφει τη κατεύθυνση της ροής των πληροφοριών όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα. Στην αρχή του Κεφαλαίου 10, θα υποθέτουμε ότι οι περισσότερες παράμετροι του πληθυσμού είναι άγνωστες. Οι στατιστικολόγοι θα επιλέγουν δείγμα από τον πληθυσμό και θα υπολογίζουν τα στατιστικά μέτρα. Η κατανομή δειγματοληψίας αυτών των στατιστικών μέτρων θα μας επιτρέψει να βγάλουμε συμπεράσματα για την παράμετρο. Copyright 2009 Cengage Learning 9.49